圆的方程单元讲解
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文档简介
习题精选精讲圆标准方程
已知圆心和半径，即得圆的标准方程；已知圆的标准方程，即得圆心和半径，进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1 (06重庆卷文) 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
解 已知圆心为，且由题意知线心距等于圆半径，即 ，∴所求的圆方程为，故选(C).
点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程即得圆的方程.
二、位置关系问题
例2 (06安徽卷文) 直线与圆没有公共点，则的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
解 化为标准方程，即得圆心和半径.
∵直线与已知圆没有公共点，∴线心距，平方去分母得，解得，注意到，∴，故选(A).
点评：一般通过比较线心距与圆半径的大小来处理直线与圆的位置关系：线圆相离；线圆相切；线圆相交.
三、切线问题
例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆相切的直线方程为( )
(A)或 (B)或
(C)或 (D)或
解 化为标准方程,即得圆心和半径.
设过坐标原点的切线方程为，即，∴线心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切线方程为或，故选(A).
点评：一般通过线心距与圆半径相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.
四、弦长问题
例4 (06天津卷理) 设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .
解 由已知圆，即得圆心和半径.
∵线心距，且，∴，即，解得.
点评：一般在线心距、弦长的一半和圆半径所组成的直角三角形中处理弦长问题：.
五、夹角问题
例5 (06全国卷一文) 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
(A) (B) (C) (D) 0
解 已知圆化为，即得圆心和半径.
设由向这个圆作的两条切线的夹角为，则在切线长、半径和构成的直角三角形中，，∴，故选(B).
点评：处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径和所构成的直角三角形中求得的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角问题.
六、圆心角问题
例6 (06全国卷二) 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 .
解 由已知圆，即得圆心和半径.
设，则；∵直线时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线的斜率.
点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.
七、最值问题
例7 (06湖南卷文) 圆上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是( )
(A) 30 (B) 18 (C) (D)
解 已知圆化为，即得圆心和半径.
设线心距为，则圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，∴，故选(C).
点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距与圆半径的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为，最小距离为.
八、综合问题
例8 (06湖南卷理) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
解 已知圆化为，即得圆心和半径.
∵圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，∴，即，由直线的斜率代入得，解得，又，，∴直线的倾斜角的取值范围是，故选(B).
点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.
圆的方程
确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.
圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)，圆心坐标为()，半径为r＝
直线与圆的位置关系的判定方法.
法一：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
一元二次方程
法二：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)到直线的距离为d＝.
两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、 O2，半径分别为r1、 r2， ｜O1O2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：
｜O1O2｜＞r1＋r2两圆外离；
｜O1O2｜＝r1＋r2两圆外切；
｜r1－r2｜＜｜O1O2｜＜r1＋r2两圆相交；
｜O1O2｜＝｜r1－r2｜两圆内切；
０＜｜O1O2｜＜｜r1－r2｜两圆内含.
●点击双基
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是
A.－1解析：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0，即－2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是
A.｜a｜＜1 B.a＜C.｜a｜＜ D.｜a｜＜
解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部（5a+1－1）2+（12a）2＜1 ｜a｜＜.答案：D
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是
A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b解析：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当b●典例剖析
【例2】 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.
剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.
又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
夯实基础
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0
解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.答案：A
2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B
3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
解析：圆心（－，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.答案：2
4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.
解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.答案：1
5.（2005年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.
解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1.
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b.将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0.
Δ=4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）>0，得2－3y1·y2=b2－b（x1+x2）+x1·x2=+4b.∵·=0，∴x1x2+y1y2=0，即b2－6b+1+4b=0.
解得b=1∈（2－3，2+3）.∴所求的直线方程为y=－x+1.
培养能力
7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值.
解：（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.
设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，
解得k2=3.所以kmax=，kmin=－.
（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得=，即b=－2±，故（y－x）min=－2－.
（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+，（x2+y2）min=｜OB｜=2－.
8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.
解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.
因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB==－1，AB的中点为（2，3），
故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，即x－y+1=0.又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组
x－y+1=0，
y=0
半径r==，所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20.
因为M1到圆心C（－1，0）的距离为=，|M1C|，所以M2在圆C外.
“求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：
方法—：先求出两已知圆交点，再设圆心坐标为，根据，可求出圆心坐标及半径r，于是可得所求圆方程。
方法二：先求出两已知圆交点，再设所求圆的方程为：,其圆心为，代入，再将A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方程。
但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。
经过两已知圆的交点的圆系
设圆C1与C2的方程为： C1:
C2: .
并且两圆相交于两点。引进一个参数，并令：
+（）=0 ——① 其中-1。
引进两个参数和，并令：
（）+（）=0 ——② 其中+0
不论参数取何值，方程①与②中的x2项和y2项的系数相等，方程没有xy项，而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②，所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系，但是①与②稍有不同：
⑴ 当=0时，方程①的曲线就是圆C1;不论为何值，方程①的曲线都不会是圆C2。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1在内，但不包括圆C2。
⑵ 当=0时，方程②的曲线就是圆C2；当=0时，方程②的曲线就是圆
C1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1和圆C2在内。
下面应用圆系来解本文前面的问题：
设经过已知两圆的交点的圆的方程为：
. （-1）则其圆心坐标为
∵ 所求圆的圆心在直线上∴ +－4=0， 解得=-7
∴ 所求圆的方程为：－7即：
下面再举两例说明圆系的应用
求经过两已知圆：和的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。
解： 设经过两已知圆交点的圆系的方程为：
（-1）
其圆心的横坐标为： ，令 =3 得
∴ 所求圆的方程为：即
例2． 设圆方程为：
其中－4
求证： 不论为何值，所给圆必经过两个定点。
证明： 把所给方程写为：
这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：
所以，不论为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点
直线与圆的位置关系
二、例题选析
例1：求由下列条件所决定圆的圆的切线方程；
(1)经过点，(2)经过点，(3)斜率为
解：(1) ∴点在圆上，故所求切线方程为。
(2) ∴点在圆外。
设切线方程为即
直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴，∴
∴所求切线方程为。
(3)设圆的切线方程为，代入圆的方程。整理得，，∵直线与圆相切 ∴，解得。
∴所求切线方程为。
小结：利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别式法求切线方程适用圆锥曲线，当然对于圆也适用。
例2：已知点在圆的外部，过作圆的切线，切点为，求证。
证明：如图7-53-1，圆心，
半径，
由勾股定理得
小结：(1)此题的证明，给出了切线长公式，即将圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端，再取算术平方根即为切线长。
(2)以为直径的圆与圆相交于、两点，则、为切点。若圆的方程为，则两切点连线所在的直线方程为。
例3：从圆外一点向圆引割线，交该圆于、两点，求弦的中点轨迹方程。
解：如图7-53-2，设的中点，
连接，，，
∵，∴，
即
∴
∴，
小结：此题用向量法求得轨迹方程，显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程，即设出割线方程，和圆联立方程组，由韦达定理建立中点坐标的参数方程，继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件，但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。
备选例题：
例4*：已知对于圆上任意一点，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解一：作直线：，
如图：7-53-3
向下平移与圆相切和相离时有
恒成立，
由点到直线的距离公式
得。
轴对称
轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。
例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。
分析：本题的常规方法是：（1）设点（2）列出相应的函数关系式（3）求解。
但本题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。
解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点，则由，得：，
∴直线BC的方程为：，将其与直线y=3x-1联立，解得：D,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。
显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC方程为：，与L方程联立解得P的坐标为（2,5）。
例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。
解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知识易知：点B在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。
由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），
故直线AB的方程易求得为：。它即为反射光线方程。
例3、已知ΔABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B、∠C的平分线的分别方程为和，求BC所在的直线方程。
分析：本题的常规思路是利用L1到L2的角的有关知识解决问题，但较繁，若能注意到角平分线的有关性质，则可简捷求解。
解：设∠B、∠C的平分线分别为L1、L2,则由角平分线的知识可知：AB与CB关于L1对称，AC与BC关于L2对称，故点A关于L1、L2的对称点A1、A2都应该在直线BC上，故BC所在的直线方程即为A1A2所在的直线方程。
利用对称性可求得：（过程略）
于是BC方程可求得为：
直线和圆
1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程．
解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。
设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。
由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即．
整理得 解得．故所求的直线方程是，或，
即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．
2．已知圆C：，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由．（14分）
．解：圆C化成标准方程为: 假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）
由于CM⊥L，∴kCM(kL=－1 ∴kCM=，即a+b+1=0，得b= －a－1 ①
直线L的方程为y－b=x－－，即x－y+b－a=0 ∴ CM=∵以AB为直径的圆M过原点，∴ ，
∴ ② 把①代入②得 ，∴
当此时直线L的方程为：x－y－4=0；当此时直线L的方程为：x－y+1=0
故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0．
3．（12分）求过点P（6，－4）且被圆截得长为的弦所在的直线方程．
解：设弦所在的直线方程为，即①
则圆心（0，0）到此直线的距离为．
因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rt△，
所以．
由此解得或．
代入①得切线方程或
，即或．
4．（12分）已知圆C:及直线.
（1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；
（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．
．解:(1)直线方程,可以改写为,所以直线必经过直线的交点.由方程组解得即两直线的交点为A 又因为点与圆心的距离,所以该点在内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交.
(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短弦长.此时,.即最短弦长为.
又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程为:
5（12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．
解：由
又OP⊥OQ， ∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=
∴ 解得m=3.
6.已知圆C：(x+4)2+y2=4和点A(-2，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y 轴交于点M、N. ∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明理由.
【解】设圆D的方程为那么
因为圆D与圆C外切, 所以
又直线的斜率分别为
为定值
7．（14分）已知圆和直线交于P、Q两点，且OP⊥OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．
解：将代入方程，得．
设P，Q，则满足条件：．
∵ OP⊥OQ, ∴而，，∴．
∴，此时Δ，圆心坐标为（－，3），半径．
8．（14分）求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程．
解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组
，
解这个方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0），B（0，2）．
因所求圆心在直线上，故设所求圆心坐标为，则它到上面的两上交点
（－4，0）和（0，2）的距离相等，故有，
即，∴，，从而圆心坐标是（－3，3）．
又， 故所求圆的方程为．
解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂线为，
它与直线交点（－3，3）就是圆心，又半径，
故所求圆的方程为．
解法三：（用待定系数法求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标为A（－4，0），B（0，2）．
设所求圆的方程为，因两点在此圆上，且圆心在上，所以得方
程组 ，解之得，
故所求圆的方程为．
解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）
设所求圆的方程为，
即 ． 可知圆心坐标为．
因圆心在直线上，所以，解得． 将代入所设方程并化简，求圆的方程
9．(12分) 已知一个圆截y轴所得的弦为2，被x轴分成的两段弧长的比为3∶１．（1）设圆心为（a，b），求实数a，b满足的关系式；（2）当圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时，求圆的方程．
⑴设圆心P（a，b），半径为r，则 |b|＝，2b2＝r2．又|a|2＋1＝r2，所以a2＋1＝r2，所以2b2＝a2＋1；
(2)点P到直线x－2y＝0的距离d＝，5d2＝a2－4ab＋4b2≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1．
所以所以 或
所以（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2．
10 已知圆C与圆相外切，并且与直线相切于点，求圆C的方程
设圆C的圆心为，
则
所以圆C的方程为
11.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为，求该圆的方程.
.解：设圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.令x=0，得y2－2by+b2+a2－r2=0.
|y1－y2|==2，得r2=a2+1 ①令y=0，得x2－2ax+a2+b2－r2=0，
|x1－x2|=，得r2=2b2 ②由①、②，得2b2－a2=1
又因为P（a，b）到直线x－2y=0的距离为，得d=，即a－2b=±1.
综上可得或解得或于是r2=2b2=2.
所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x－1）2+（y－1）2=2.
12.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.
.解：设所求圆的圆心为P（a，b），半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P截x轴所得弦长为r，故r2＝2b2，
又圆P截y轴所得弦长为2，所以有r2＝a2＋1，从而有2b2－a2＝1
又点P（a，b）到直线x－2y=0距离为d＝，
所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值，
由此有 解方程得或 由于r2＝2b2，知r＝，
于是所求圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2
13.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．
.答案：2
解析：圆心到直线的距离d＝＝3∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2
经过两已知圆的交点的圆系及应用
在高中数学第二册（上）第82页有这样一道题：“求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：
方法—：先求出两已知圆交点，再设圆心坐标为，根据，可求出圆心坐标及半径r，于是可得所求圆方程。
方法二：先求出两已知圆交点，再设所求圆的方程为：,其圆心为，代入，再将A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方程。
但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。
弦长
【例题】 已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x2+y2=2相交于A、B两点，求弦长AB. ??? 【思考与分析】 一条直线和圆相交，直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长AB. ??? 解法一：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B坐标即方程组的解， ??? 从方程组中消去x可得：5y2-8y+2=0， ??? ??? ??? 又A、B在直线l∶x+2y-2=0上，即x1+2y1-2=0，x2+2y2-2=0，A ???? ??? 解法二：作CM⊥AB于M，M为AB中点，在Rt△CMA中，∣AM∣=∣AB∣，∣CA∣=，∣CM∣为原点到直线l∶x+2y-2=0的距离，即∣CM∣＝， ??? ??? 【小结】 解法一给出了已知一条直线与一条曲线相交于A、B两点，求∣AB∣的一般办法，设已知直线为l∶y=kx+b，与已知曲线C的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y1=kx 1+b，y2=kx2+b，即y1-y2=k（x1-x2）， ??? ??? 这两个公式一般称为直线与曲线相交所得线段长公式，显然这个公式只与已知直线的斜率k及交点的坐标（x1，y1）、（x2，y2）有关，而与曲线C本身是什么曲线无关，因此这个公式在以后的学习中会得到普遍应用. ??? 解法二针对圆本身的特点给出了简单的解法，由于解析几何本身解决的是几何图形的问题，因此对于图形本身的特点给予充分的挖掘和运用（例如凡有关圆的弦的问题，应该注意弦心距）往往会找到解题的捷径
圆的方程例析
. 求圆心坐标和半径 ??? 【例1】 求下列各圆的圆心坐标和半径: ??? （1）x2+y2－x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a≠0）；（3）x2+y2+2ay－1=0. ??? 【思考与分析】 我们先配方得标准方程，然后写出圆心坐标及半径.解： （1）配方 ???∴ 圆心为半径为r=. ??? （2）配方得（x+a）2+y2=a2， ??? ∴ 圆心为（-a，0），半径为r=（注意：这里字母a不知道正负，而半径为正值，所以要加绝对值）. ??? （3）配方得x2+（y+a）2=1+a2， ??? ∴ 圆心为（0，-a），半径为r= ??? 【拓展】 讨论方程x2+y2+2ay+1=0（a∈R）表示曲线的形状. ??? 解： 配方得x2+（y+a）2=a2-1， ??? 当a<-1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为（0，-a），半径为r=的圆； ??? 当a=±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为（0，-a）； ??? 当-1如何确定圆的方程
已知两点P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程. ??? 【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P1P2的坐标已知，且P1P2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏： ???? 解法1：设圆心为C（a，b）、半径为r. ??? 由中点坐标公式，得 a＝＝5，b＝＝6. ??? ∴ C（5，6），再由两点间距离公式，得 ??? ??? ∴ 所求的圆的方程为（x－5）2＋（y－6）2＝10. ??? 解法2：设P（x，y）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P1（4，9）、P2（6，3）， ??? ∴ 圆的方程为（x－4）（x－6）＋（y－9）（y－3）＝0， ??? 化简得 （x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求. ??? 解法3：设P（x，y）是圆上任意一点. ??? 由圆的性质有三角形PP1P2为直角三角形， ??? ??? ∴（x－4）2＋（y－9）2＋（x－6）2＋（y－3）2＝（4－6）2＋（9－3）2， ??? 化简得 x2＋y2－10x－12y＋51＝0. ??? ∴ （x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求的圆的方程. ??? 解法4：设P（x，y）是圆上不同于P1、P2的任意一点. ??? ∵ 直径上的圆周角为直角， ∴ PP1⊥PP2. ??? （1）当PP1、PP2的斜率都存在时， ??? ??? （2）当PP1、PP2的斜率有一个不存在时，PP1、PP2的方程为x＝4或x＝6，这时点P的坐标是（4，3）或（6，9），均满足方程（*）. ??? 又P1（4，9）、P2（6，3）也满足方程（*）， ??? 所以，所求圆的方程为 （x－5）2＋（y－6）2＝10. ??? 【小结】 本题我们分别采用了4种解法求解，其中解法2技巧性最强；解法3主要是运用了“圆中直径所对的圆周角是90°”这一结论；解法4是通过直线的斜率来求.不同的方法极大地开阔了我们的思路
圆的切线方程
在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，那么你知道在运用这个结论的时候要注意些什么吗？ 【例题】 求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程. 解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4， 过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4. 又点A（2，1）在切线上，∴ 2x0＋y0＝4. 将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0. 解法二： 设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0. ∵ 圆心（0，0）到切线的距离是2， ∴ ＝2，解得k＝－. ∴ 所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0. 当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件. 故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2. 解法三： 设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0. ∵ 直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－. ∴ 所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0. 又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切. 故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2. 【小结】 求过定点的圆的切线问题，应首先判断该点是否在圆上，若点在圆x2＋y2＝r2上，则可直接用公式xx0＋yy0＝r2（A（x0，y0）为切点），类似的可以求出过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；若点在圆外，则所求切线必有两条，此时可设切线方程，用待定系数法求斜率k.如果关于k的方程只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在，应该将该直线补上. 【警示】 大家做题的时候必须按照我们所讲的认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，由圆心（0，0）到切线的距离是2得，＝2，解得k＝－，故所求切线方程为－x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不存
例题】 求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程． 错解1：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，4）. 又已知圆的方程化为标准式为：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3． （1）若两圆外切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7． 即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2， ∴ 所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16 或（x-2+2）2+（y-4）2=16. （2）若两圆内切，则圆心距＝|Ｒ-r|＝4－3＝1． ∴ （a－2）2＋（4－1）2＝1，这个方程无解． 故讨论（1）中，两个方程均是所求圆的方程． 错解2：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，±4）. 又已知圆的方程化为标准式为：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3． 由于两圆相切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7． 即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2， 或（a-2）2+（-4-1）2=72，得a=2±2. ∴ 所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16 或（x-2+2）2+（y-4）2=16. 或（x-2-2）2+（y＋4）2=16 或（x-2+2）2+（y＋4）2=16. 【误区剖析】 本题容易出错的有两个地方：其一是只考虑了所求圆的圆心在x轴（y＝0）上方，疏忽了圆心在直线y＝0下方的可能，遗下了漏解的隐患，如错解1．其二，只考虑了两圆外切，没有考虑两圆内切的情况，解题是不严密的，如错解2．因此在审题、解题时，一定要全面、细致地分析研究，努力克服粗心大意、主观片面． 正解：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，±4）. 又已知圆的方程化为标准式为： （x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3． （1）若两圆外切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7． 即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2， 或（a-2）2+（-4-1）2=72，得a=2±2. ∴ 所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16 或（x-2+2）2+（y-4）2=16. 或（x-2-2）2+（y＋4）2=16. 或（x-2+2）2+（y＋4）2=16. （2）若两圆内切，则圆心距＝R-r＝4－3＝1． ∴ （a－2）2＋（4－1）2＝1，或（a－2）2＋（－4－1）2＝1， 这两个方程都无解．故讨论（1）中，4个方程均是所求圆的方程
正确判断两圆的位置关系
已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系. 【思考与分析】 要判断两圆的位置关系，我们通常有两种方法：一种是判断两圆的交点个数，如果它们有两个交点，则相交；有一个交点则外切或内切；没有交点则相离或内含.另一种是通过两圆连心线的长与两半径的和或两半径差的绝对值的大小关系，来判断两圆的位置关系. 解法一： 将两圆的方程联立得， 由（1）－（2）得x＋2y＋1＝0?????? （3） 由（3）得x＝－2y－1，把此式代入（1）， 并整理得y2－1＝0???????????????? （4） 方程（4）的判别式Δ＝02－4×1×（－1）＝4＞0， 所以，方程（4）有两个不同的实数根y1，y2，把y1，y2分别代入方程（3），得到x1，x2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的交点，即两圆是相交的位置关系. 解法二： 把圆C1的方程化为标准方程形式为（x＋2）2＋（y＋2）2＝10，圆C1的圆心坐标为（－2，－2），半径长r1＝. 把圆C2的方程化为标准方程形式为（x－1）2＋（y－4）2＝25.圆C2的圆心坐标为（1，4），半径长r2＝5. 圆C1和圆C2的连心线的长为： 圆C1与圆C2的两半径之和是r1＋r2＝5＋，两半径之差r2－r1＝5－. 而5－＜3＜5＋.即r2－r1＜3＜r1+r2. 【小结】 在解法1中，我们只要判断出圆C1与圆C2有几个公共点即可，不需要求出公共点的具体坐标，也就是说只需要判断出方程（4）的判别式大于0，而不需要求解方程
直线与圆的位置关系解析
【例1】 如果曲线C：x2+（y+1）2=1与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是?? ??? ． 【思考与分析】 通过直线与圆的位置关系来求其中所含参数的取值范围，下面我们分别从代数和几何两个方面来求. 解法一：（代数法）由消去y得2x2+2（a-1）x+a2-2a=0， 由Δ=4（a-1）2-8（a2-2a）≥0，即（a－1）2≤2得1-≤a≤1+. ∴ 实数a的取值范围是1-≤a≤1+. ? 解法二：（几何法）圆C与直线x+y+a=0有公共点，圆心（0，－1）到直线的距离不大于半径， ∴实数a的取值范围是1-≤a≤1+. 【小结】 直线与圆的位置关系的判定方法有：①代数法：利用二次方程的判别式判断；②几何法：依据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 【例2】 直线2x－y＋1＝0与圆O∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是（???? ）. A． 相切????? B． 相交且过圆心 C． 相离????? D． 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r＝6， 圆心到直线的距离为d＝ 从而知0＜d＜r，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D
求圆的切线方程的几种方法
在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。
例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解
解法二：利用向量求解
（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）
解法三：利用几何特征求解
解法四：用待定系数法求解
利用点到直线的距离求解
利用直线与圆的位置关系求解：
这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。
同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章，很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法，同学们下来可以尝试。
《圆的方程》的经典问题聚焦
1 直线和直线的位置关系问题
1（北京 ）若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab0)共线,则的值等于 .
2（上海） 已知两条直线若，则____.
【思维展示】
1 合理选择截距式，利用点在曲线上的意义切入，设过点B(a,0),C(0,b) 的直线方程为,由于点A(2,2)在此直线上,所以,则.
2 直线和直线的位置关系研究方法，构建方程求解，，则 ；
【学习体验】
认识直线的方程和方程的直线的一一对应关系，学会用代数的方法研究直线和直线的位置关系。
2利用几何法简化研究直线和圆的位置关系.
1（江苏）圆的切线方程中有一个是
（A）x－y＝0 （B）x＋y＝0 （C）x＝0 （D）y＝0
2（湖南）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( B ) A.[] B.[] C.[ D.
3（江西） 已知圆M：（x＋cos(）2＋（y－sin(）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：
A对任意实数k与(，直线l和圆M相切；B对任意实数k与(，直线l和圆M有公共点；
C 对任意实数(，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切
D对任意实数k，必存在实数(，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
【思维展示】
1本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.
直线ax+by=0，则，由排除法，选C；
2 注意到圆圆心，直线恒过原点的直线系，圆上至少有三个不同点到直线:的距离为，特值验证，倾斜角为0或不存在时圆上只有两个点满足，排除D，注意到直线过圆心时此时倾斜角为，由图形的对程性知圆上有4个点满足到直线:的距离为，则倾斜角含；当倾斜角为时，此时，，圆心到直线的距离，于是，此时与倾斜角为平行有两直线与圆相切和相交，且它们到过原点倾斜角之间的距离都为，即此时有3个点满足题设，故选B；
3 本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。
若直接思维求解油，圆心坐标为（－cos(，sin(）d＝ 故选（B）（D）；
【学习体验】
直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.
3 圆的第二定义的应用
（四川）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于 （A） （B） （C） （D）
【思维展示】
解析法探究轨迹，若有圆的第二定义的意识，所求为员的面积。设为动点P的轨迹，选C；
【学习体验】
本题来源于教材第78页例5和第88页19题的习题，是“动点到两定点的距离之比为正常数的轨迹为圆或线段的垂直平分线”的一特例，若有教材习题的学习体验很容易找到思维的切入点和探求的方法，应体会高考题来源于课本的指导思想，认识教材的突出地位和作用.
4 直线和圆有关的信息迁移问题
1（上海） 如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点,
若分别是到直线和的距离，则称有序非负
实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，
“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.4
2（重庆）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是
D
【思维展示】
1 认识“距离坐标”的意义，是点到两直线的距离是两个非负实数对，注意点所在位置可在两相交直线分成的4个区域内，故“距离坐标”是（1，2）的点的个数是4；
2 运动变化的认识弓形面积的变化，开始变化斜率较小，越来越大，注意其对称性，图像关于对称，选D；
【学习体验】
信息迁移问题，认真阅读的基础上反馈提取信息，注意题设的“新定义和新概念”运用运动变化的观念和函数与数形结合思想和方法，将问题转化为学过的原有的知识和方法求解。试回味本题求解中的思维方法，不断提高自己的创新能力。
【实战演练】
1（全国2）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率
2（湖北 ）已知直线与圆相切，则的值为 。
3（重庆） 以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为( C )
（A） （B）
（C） （D）
4设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则____________
5.（陕西）设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( )
A.± B.±2 B.±2 D.±4
6（湖南文）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
A．36 B. 18 C. D.
参考答案 ；－18或8；C ；0； B；C；
已知圆心和半径，即得圆的标准方程；已知圆的标准方程，即得圆心和半径，进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1 (06重庆卷文) 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
解 已知圆心为，且由题意知线心距等于圆半径，即 ，∴所求的圆方程为，故选(C).
点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程即得圆的方程.
二、位置关系问题
例2 (06安徽卷文) 直线与圆没有公共点，则的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
解 化为标准方程，即得圆心和半径.
∵直线与已知圆没有公共点，∴线心距，平方去分母得，解得，注意到，∴，故选(A).
点评：一般通过比较线心距与圆半径的大小来处理直线与圆的位置关系：线圆相离；线圆相切；线圆相交.
三、切线问题
例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆相切的直线方程为( )
(A)或 (B)或
(C)或 (D)或
解 化为标准方程,即得圆心和半径.
设过坐标原点的切线方程为，即，∴线心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切线方程为或，故选(A).
点评：一般通过线心距与圆半径相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.
四、弦长问题
例4 (06天津卷理) 设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .
解 由已知圆，即得圆心和半径.
∵线心距，且，∴，即，解得.
点评：一般在线心距、弦长的一半和圆半径所组成的直角三角形中处理弦长问题：.
五、夹角问题
例5 (06全国卷一文) 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
(A) (B) (C) (D) 0
解 已知圆化为，即得圆心和半径.
设由向这个圆作的两条切线的夹角为，则在切线长、半径和构成的直角三角形中，，∴，故选(B).
点评：处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径和所构成的直角三角形中求得的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角问题.
六、圆心角问题
例6 (06全国卷二) 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 .
解 由已知圆，即得圆心和半径.
设，则；∵直线时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线的斜率.
点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.
七、最值问题
例7 (06湖南卷文) 圆上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是( )
(A) 30 (B) 18 (C) (D)
解 已知圆化为，即得圆心和半径.
设线心距为，则圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，∴，故选(C).
点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距与圆半径的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为，最小距离为.
八、综合问题
例8 (06湖南卷理) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
解 已知圆化为，即得圆心和半径.
∵圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，∴，即，由直线的斜率代入得，解得，又，，∴直线的倾斜角的取值范围是，故选(B).
点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.
圆的方程
确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.
圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)，圆心坐标为()，半径为r＝
直线与圆的位置关系的判定方法.
法一：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
一元二次方程
法二：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)到直线的距离为d＝.
两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、 O2，半径分别为r1、 r2， ｜O1O2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：
｜O1O2｜＞r1＋r2两圆外离；
｜O1O2｜＝r1＋r2两圆外切；
｜r1－r2｜＜｜O1O2｜＜r1＋r2两圆相交；
｜O1O2｜＝｜r1－r2｜两圆内切；
０＜｜O1O2｜＜｜r1－r2｜两圆内含.
●点击双基
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是
A.－1
A.｜a｜＜1 B.a＜C.｜a｜＜ D.｜a｜＜
解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部（5a+1－1）2+（12a）2＜1 ｜a｜＜.答案：D
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是
A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b
【例2】 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.
剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.
又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
夯实基础
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0
解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.答案：A
2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B
3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
解析：圆心（－，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.答案：2
4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.
解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.答案：1
5.（2005年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.
解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1.
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b.将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0.
Δ=4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）>0，得2－3
解得b=1∈（2－3，2+3）.∴所求的直线方程为y=－x+1.
培养能力
7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值.
解：（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.
设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，
解得k2=3.所以kmax=，kmin=－.
（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得=，即b=－2±，故（y－x）min=－2－.
（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+，（x2+y2）min=｜OB｜=2－.
8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.
解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.
因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB==－1，AB的中点为（2，3），
故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，即x－y+1=0.又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组
x－y+1=0，
y=0
半径r==，所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20.
因为M1到圆心C（－1，0）的距离为=，|M1C|
“求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：
方法—：先求出两已知圆交点，再设圆心坐标为，根据，可求出圆心坐标及半径r，于是可得所求圆方程。
方法二：先求出两已知圆交点，再设所求圆的方程为：,其圆心为，代入，再将A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方程。
但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。
经过两已知圆的交点的圆系
设圆C1与C2的方程为： C1:
C2: .
并且两圆相交于两点。引进一个参数，并令：
+（）=0 ——① 其中-1。
引进两个参数和，并令：
（）+（）=0 ——② 其中+0
不论参数取何值，方程①与②中的x2项和y2项的系数相等，方程没有xy项，而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②，所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系，但是①与②稍有不同：
⑴ 当=0时，方程①的曲线就是圆C1;不论为何值，方程①的曲线都不会是圆C2。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1在内，但不包括圆C2。
⑵ 当=0时，方程②的曲线就是圆C2；当=0时，方程②的曲线就是圆
C1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1和圆C2在内。
下面应用圆系来解本文前面的问题：
设经过已知两圆的交点的圆的方程为：
. （-1）则其圆心坐标为
∵ 所求圆的圆心在直线上∴ +－4=0， 解得=-7
∴ 所求圆的方程为：－7即：
下面再举两例说明圆系的应用
求经过两已知圆：和的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。
解： 设经过两已知圆交点的圆系的方程为：
（-1）
其圆心的横坐标为： ，令 =3 得
∴ 所求圆的方程为：即
例2． 设圆方程为：
其中－4
求证： 不论为何值，所给圆必经过两个定点。
证明： 把所给方程写为：
这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：
所以，不论为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点
直线与圆的位置关系
二、例题选析
例1：求由下列条件所决定圆的圆的切线方程；
(1)经过点，(2)经过点，(3)斜率为
解：(1) ∴点在圆上，故所求切线方程为。
(2) ∴点在圆外。
设切线方程为即
直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴，∴
∴所求切线方程为。
(3)设圆的切线方程为，代入圆的方程。整理得，，∵直线与圆相切 ∴，解得。
∴所求切线方程为。
小结：利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别式法求切线方程适用圆锥曲线，当然对于圆也适用。
例2：已知点在圆的外部，过作圆的切线，切点为，求证。
证明：如图7-53-1，圆心，
半径，
由勾股定理得
小结：(1)此题的证明，给出了切线长公式，即将圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端，再取算术平方根即为切线长。
(2)以为直径的圆与圆相交于、两点，则、为切点。若圆的方程为，则两切点连线所在的直线方程为。
例3：从圆外一点向圆引割线，交该圆于、两点，求弦的中点轨迹方程。
解：如图7-53-2，设的中点，
连接，，，
∵，∴，
即
∴
∴，
小结：此题用向量法求得轨迹方程，显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程，即设出割线方程，和圆联立方程组，由韦达定理建立中点坐标的参数方程，继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件，但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。
备选例题：
例4*：已知对于圆上任意一点，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解一：作直线：，
如图：7-53-3
向下平移与圆相切和相离时有
恒成立，
由点到直线的距离公式
得。
轴对称
轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。
例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。
分析：本题的常规方法是：（1）设点（2）列出相应的函数关系式（3）求解。
但本题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。
解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点，则由，得：，
∴直线BC的方程为：，将其与直线y=3x-1联立，解得：D,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。
显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC方程为：，与L方程联立解得P的坐标为（2,5）。
例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。
解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知识易知：点B在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。
由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），
故直线AB的方程易求得为：。它即为反射光线方程。
例3、已知ΔABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B、∠C的平分线的分别方程为和，求BC所在的直线方程。
分析：本题的常规思路是利用L1到L2的角的有关知识解决问题，但较繁，若能注意到角平分线的有关性质，则可简捷求解。
解：设∠B、∠C的平分线分别为L1、L2,则由角平分线的知识可知：AB与CB关于L1对称，AC与BC关于L2对称，故点A关于L1、L2的对称点A1、A2都应该在直线BC上，故BC所在的直线方程即为A1A2所在的直线方程。
利用对称性可求得：（过程略）
于是BC方程可求得为：
直线和圆
1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程．
解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。
设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。
由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即．
整理得 解得．故所求的直线方程是，或，
即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．
2．已知圆C：，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由．（14分）
．解：圆C化成标准方程为: 假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）
由于CM⊥L，∴kCM(kL=－1 ∴kCM=，即a+b+1=0，得b= －a－1 ①
直线L的方程为y－b=x－－，即x－y+b－a=0 ∴ CM=∵以AB为直径的圆M过原点，∴ ，
∴ ② 把①代入②得 ，∴
当此时直线L的方程为：x－y－4=0；当此时直线L的方程为：x－y+1=0
故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0．
3．（12分）求过点P（6，－4）且被圆截得长为的弦所在的直线方程．
解：设弦所在的直线方程为，即①
则圆心（0，0）到此直线的距离为．
因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rt△，
所以．
由此解得或．
代入①得切线方程或
，即或．
4．（12分）已知圆C:及直线.
（1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；
（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．
．解:(1)直线方程,可以改写为,所以直线必经过直线的交点.由方程组解得即两直线的交点为A 又因为点与圆心的距离,所以该点在内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交.
(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短弦长.此时,.即最短弦长为.
又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程为:
5（12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．
解：由
又OP⊥OQ， ∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=
∴ 解得m=3.
6.已知圆C：(x+4)2+y2=4和点A(-2，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y 轴交于点M、N. ∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明理由.
【解】设圆D的方程为那么
因为圆D与圆C外切, 所以
又直线的斜率分别为
为定值
7．（14分）已知圆和直线交于P、Q两点，且OP⊥OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．
解：将代入方程，得．
设P，Q，则满足条件：．
∵ OP⊥OQ, ∴而，，∴．
∴，此时Δ，圆心坐标为（－，3），半径．
8．（14分）求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程．
解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组
，
解这个方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0），B（0，2）．
因所求圆心在直线上，故设所求圆心坐标为，则它到上面的两上交点
（－4，0）和（0，2）的距离相等，故有，
即，∴，，从而圆心坐标是（－3，3）．
又， 故所求圆的方程为．
解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂线为，
它与直线交点（－3，3）就是圆心，又半径，
故所求圆的方程为．
解法三：（用待定系数法求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标为A（－4，0），B（0，2）．
设所求圆的方程为，因两点在此圆上，且圆心在上，所以得方
程组 ，解之得，
故所求圆的方程为．
解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）
设所求圆的方程为，
即 ． 可知圆心坐标为．
因圆心在直线上，所以，解得． 将代入所设方程并化简，求圆的方程
9．(12分) 已知一个圆截y轴所得的弦为2，被x轴分成的两段弧长的比为3∶１．（1）设圆心为（a，b），求实数a，b满足的关系式；（2）当圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时，求圆的方程．
⑴设圆心P（a，b），半径为r，则 |b|＝，2b2＝r2．又|a|2＋1＝r2，所以a2＋1＝r2，所以2b2＝a2＋1；
(2)点P到直线x－2y＝0的距离d＝，5d2＝a2－4ab＋4b2≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1．
所以所以 或
所以（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2．
10 已知圆C与圆相外切，并且与直线相切于点，求圆C的方程
设圆C的圆心为，
则
所以圆C的方程为
11.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为，求该圆的方程.
.解：设圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.令x=0，得y2－2by+b2+a2－r2=0.
|y1－y2|==2，得r2=a2+1 ①令y=0，得x2－2ax+a2+b2－r2=0，
|x1－x2|=，得r2=2b2 ②由①、②，得2b2－a2=1
又因为P（a，b）到直线x－2y=0的距离为，得d=，即a－2b=±1.
综上可得或解得或于是r2=2b2=2.
所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x－1）2+（y－1）2=2.
12.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.
.解：设所求圆的圆心为P（a，b），半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P截x轴所得弦长为r，故r2＝2b2，
又圆P截y轴所得弦长为2，所以有r2＝a2＋1，从而有2b2－a2＝1
又点P（a，b）到直线x－2y=0距离为d＝，
所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值，
由此有 解方程得或 由于r2＝2b2，知r＝，
于是所求圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2
13.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．
.答案：2
解析：圆心到直线的距离d＝＝3∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2
经过两已知圆的交点的圆系及应用
在高中数学第二册（上）第82页有这样一道题：“求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：
方法—：先求出两已知圆交点，再设圆心坐标为，根据，可求出圆心坐标及半径r，于是可得所求圆方程。
方法二：先求出两已知圆交点，再设所求圆的方程为：,其圆心为，代入，再将A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方程。
但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。
弦长
【例题】 已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x2+y2=2相交于A、B两点，求弦长AB. ??? 【思考与分析】 一条直线和圆相交，直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长AB. ??? 解法一：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B坐标即方程组的解， ??? 从方程组中消去x可得：5y2-8y+2=0， ??? ??? ??? 又A、B在直线l∶x+2y-2=0上，即x1+2y1-2=0，x2+2y2-2=0，A ???? ??? 解法二：作CM⊥AB于M，M为AB中点，在Rt△CMA中，∣AM∣=∣AB∣，∣CA∣=，∣CM∣为原点到直线l∶x+2y-2=0的距离，即∣CM∣＝， ??? ??? 【小结】 解法一给出了已知一条直线与一条曲线相交于A、B两点，求∣AB∣的一般办法，设已知直线为l∶y=kx+b，与已知曲线C的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y1=kx 1+b，y2=kx2+b，即y1-y2=k（x1-x2）， ??? ??? 这两个公式一般称为直线与曲线相交所得线段长公式，显然这个公式只与已知直线的斜率k及交点的坐标（x1，y1）、（x2，y2）有关，而与曲线C本身是什么曲线无关，因此这个公式在以后的学习中会得到普遍应用. ??? 解法二针对圆本身的特点给出了简单的解法，由于解析几何本身解决的是几何图形的问题，因此对于图形本身的特点给予充分的挖掘和运用（例如凡有关圆的弦的问题，应该注意弦心距）往往会找到解题的捷径
圆的方程例析
. 求圆心坐标和半径 ??? 【例1】 求下列各圆的圆心坐标和半径: ??? （1）x2+y2－x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a≠0）；（3）x2+y2+2ay－1=0. ??? 【思考与分析】 我们先配方得标准方程，然后写出圆心坐标及半径.解： （1）配方 ???∴ 圆心为半径为r=. ??? （2）配方得（x+a）2+y2=a2， ??? ∴ 圆心为（-a，0），半径为r=（注意：这里字母a不知道正负，而半径为正值，所以要加绝对值）. ??? （3）配方得x2+（y+a）2=1+a2， ??? ∴ 圆心为（0，-a），半径为r= ??? 【拓展】 讨论方程x2+y2+2ay+1=0（a∈R）表示曲线的形状. ??? 解： 配方得x2+（y+a）2=a2-1， ??? 当a<-1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为（0，-a），半径为r=的圆； ??? 当a=±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为（0，-a）； ??? 当-1
已知两点P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程. ??? 【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P1P2的坐标已知，且P1P2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏： ???? 解法1：设圆心为C（a，b）、半径为r. ??? 由中点坐标公式，得 a＝＝5，b＝＝6. ??? ∴ C（5，6），再由两点间距离公式，得 ??? ??? ∴ 所求的圆的方程为（x－5）2＋（y－6）2＝10. ??? 解法2：设P（x，y）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P1（4，9）、P2（6，3）， ??? ∴ 圆的方程为（x－4）（x－6）＋（y－9）（y－3）＝0， ??? 化简得 （x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求. ??? 解法3：设P（x，y）是圆上任意一点. ??? 由圆的性质有三角形PP1P2为直角三角形， ??? ??? ∴（x－4）2＋（y－9）2＋（x－6）2＋（y－3）2＝（4－6）2＋（9－3）2， ??? 化简得 x2＋y2－10x－12y＋51＝0. ??? ∴ （x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求的圆的方程. ??? 解法4：设P（x，y）是圆上不同于P1、P2的任意一点. ??? ∵ 直径上的圆周角为直角， ∴ PP1⊥PP2. ??? （1）当PP1、PP2的斜率都存在时， ??? ??? （2）当PP1、PP2的斜率有一个不存在时，PP1、PP2的方程为x＝4或x＝6，这时点P的坐标是（4，3）或（6，9），均满足方程（*）. ??? 又P1（4，9）、P2（6，3）也满足方程（*）， ??? 所以，所求圆的方程为 （x－5）2＋（y－6）2＝10. ??? 【小结】 本题我们分别采用了4种解法求解，其中解法2技巧性最强；解法3主要是运用了“圆中直径所对的圆周角是90°”这一结论；解法4是通过直线的斜率来求.不同的方法极大地开阔了我们的思路
圆的切线方程
在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，那么你知道在运用这个结论的时候要注意些什么吗？ 【例题】 求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程. 解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4， 过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4. 又点A（2，1）在切线上，∴ 2x0＋y0＝4. 将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0. 解法二： 设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0. ∵ 圆心（0，0）到切线的距离是2， ∴ ＝2，解得k＝－. ∴ 所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0. 当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件. 故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2. 解法三： 设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0. ∵ 直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－. ∴ 所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0. 又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切. 故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2. 【小结】 求过定点的圆的切线问题，应首先判断该点是否在圆上，若点在圆x2＋y2＝r2上，则可直接用公式xx0＋yy0＝r2（A（x0，y0）为切点），类似的可以求出过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；若点在圆外，则所求切线必有两条，此时可设切线方程，用待定系数法求斜率k.如果关于k的方程只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在，应该将该直线补上. 【警示】 大家做题的时候必须按照我们所讲的认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，由圆心（0，0）到切线的距离是2得，＝2，解得k＝－，故所求切线方程为－x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不存
例题】 求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程． 错解1：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，4）. 又已知圆的方程化为标准式为：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3． （1）若两圆外切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7． 即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2， ∴ 所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16 或（x-2+2）2+（y-4）2=16. （2）若两圆内切，则圆心距＝|Ｒ-r|＝4－3＝1． ∴ （a－2）2＋（4－1）2＝1，这个方程无解． 故讨论（1）中，两个方程均是所求圆的方程． 错解2：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，±4）. 又已知圆的方程化为标准式为：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3． 由于两圆相切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7． 即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2， 或（a-2）2+（-4-1）2=72，得a=2±2. ∴ 所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16 或（x-2+2）2+（y-4）2=16. 或（x-2-2）2+（y＋4）2=16 或（x-2+2）2+（y＋4）2=16. 【误区剖析】 本题容易出错的有两个地方：其一是只考虑了所求圆的圆心在x轴（y＝0）上方，疏忽了圆心在直线y＝0下方的可能，遗下了漏解的隐患，如错解1．其二，只考虑了两圆外切，没有考虑两圆内切的情况，解题是不严密的，如错解2．因此在审题、解题时，一定要全面、细致地分析研究，努力克服粗心大意、主观片面． 正解：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，±4）. 又已知圆的方程化为标准式为： （x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3． （1）若两圆外切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7． 即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2， 或（a-2）2+（-4-1）2=72，得a=2±2. ∴ 所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16 或（x-2+2）2+（y-4）2=16. 或（x-2-2）2+（y＋4）2=16. 或（x-2+2）2+（y＋4）2=16. （2）若两圆内切，则圆心距＝R-r＝4－3＝1． ∴ （a－2）2＋（4－1）2＝1，或（a－2）2＋（－4－1）2＝1， 这两个方程都无解．故讨论（1）中，4个方程均是所求圆的方程
正确判断两圆的位置关系
已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系. 【思考与分析】 要判断两圆的位置关系，我们通常有两种方法：一种是判断两圆的交点个数，如果它们有两个交点，则相交；有一个交点则外切或内切；没有交点则相离或内含.另一种是通过两圆连心线的长与两半径的和或两半径差的绝对值的大小关系，来判断两圆的位置关系. 解法一： 将两圆的方程联立得， 由（1）－（2）得x＋2y＋1＝0?????? （3） 由（3）得x＝－2y－1，把此式代入（1）， 并整理得y2－1＝0???????????????? （4） 方程（4）的判别式Δ＝02－4×1×（－1）＝4＞0， 所以，方程（4）有两个不同的实数根y1，y2，把y1，y2分别代入方程（3），得到x1，x2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的交点，即两圆是相交的位置关系. 解法二： 把圆C1的方程化为标准方程形式为（x＋2）2＋（y＋2）2＝10，圆C1的圆心坐标为（－2，－2），半径长r1＝. 把圆C2的方程化为标准方程形式为（x－1）2＋（y－4）2＝25.圆C2的圆心坐标为（1，4），半径长r2＝5. 圆C1和圆C2的连心线的长为： 圆C1与圆C2的两半径之和是r1＋r2＝5＋，两半径之差r2－r1＝5－. 而5－＜3＜5＋.即r2－r1＜3＜r1+r2. 【小结】 在解法1中，我们只要判断出圆C1与圆C2有几个公共点即可，不需要求出公共点的具体坐标，也就是说只需要判断出方程（4）的判别式大于0，而不需要求解方程
直线与圆的位置关系解析
【例1】 如果曲线C：x2+（y+1）2=1与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是?? ??? ． 【思考与分析】 通过直线与圆的位置关系来求其中所含参数的取值范围，下面我们分别从代数和几何两个方面来求. 解法一：（代数法）由消去y得2x2+2（a-1）x+a2-2a=0， 由Δ=4（a-1）2-8（a2-2a）≥0，即（a－1）2≤2得1-≤a≤1+. ∴ 实数a的取值范围是1-≤a≤1+. ? 解法二：（几何法）圆C与直线x+y+a=0有公共点，圆心（0，－1）到直线的距离不大于半径， ∴实数a的取值范围是1-≤a≤1+. 【小结】 直线与圆的位置关系的判定方法有：①代数法：利用二次方程的判别式判断；②几何法：依据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 【例2】 直线2x－y＋1＝0与圆O∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是（???? ）. A． 相切????? B． 相交且过圆心 C． 相离????? D． 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r＝6， 圆心到直线的距离为d＝ 从而知0＜d＜r，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D
求圆的切线方程的几种方法
在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。
例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解
解法二：利用向量求解
（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）
解法三：利用几何特征求解
解法四：用待定系数法求解
利用点到直线的距离求解
利用直线与圆的位置关系求解：
这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。
同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章，很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法，同学们下来可以尝试。
《圆的方程》的经典问题聚焦
1 直线和直线的位置关系问题
1（北京 ）若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab0)共线,则的值等于 .
2（上海） 已知两条直线若，则____.
【思维展示】
1 合理选择截距式，利用点在曲线上的意义切入，设过点B(a,0),C(0,b) 的直线方程为,由于点A(2,2)在此直线上,所以,则.
2 直线和直线的位置关系研究方法，构建方程求解，，则 ；
【学习体验】
认识直线的方程和方程的直线的一一对应关系，学会用代数的方法研究直线和直线的位置关系。
2利用几何法简化研究直线和圆的位置关系.
1（江苏）圆的切线方程中有一个是
（A）x－y＝0 （B）x＋y＝0 （C）x＝0 （D）y＝0
2（湖南）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( B ) A.[] B.[] C.[ D.
3（江西） 已知圆M：（x＋cos(）2＋（y－sin(）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：
A对任意实数k与(，直线l和圆M相切；B对任意实数k与(，直线l和圆M有公共点；
C 对任意实数(，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切
D对任意实数k，必存在实数(，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
【思维展示】
1本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.
直线ax+by=0，则，由排除法，选C；
2 注意到圆圆心，直线恒过原点的直线系，圆上至少有三个不同点到直线:的距离为，特值验证，倾斜角为0或不存在时圆上只有两个点满足，排除D，注意到直线过圆心时此时倾斜角为，由图形的对程性知圆上有4个点满足到直线:的距离为，则倾斜角含；当倾斜角为时，此时，，圆心到直线的距离，于是，此时与倾斜角为平行有两直线与圆相切和相交，且它们到过原点倾斜角之间的距离都为，即此时有3个点满足题设，故选B；
3 本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。
若直接思维求解油，圆心坐标为（－cos(，sin(）d＝ 故选（B）（D）；
【学习体验】
直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.
3 圆的第二定义的应用
（四川）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于 （A） （B） （C） （D）
【思维展示】
解析法探究轨迹，若有圆的第二定义的意识，所求为员的面积。设为动点P的轨迹，选C；
【学习体验】
本题来源于教材第78页例5和第88页19题的习题，是“动点到两定点的距离之比为正常数的轨迹为圆或线段的垂直平分线”的一特例，若有教材习题的学习体验很容易找到思维的切入点和探求的方法，应体会高考题来源于课本的指导思想，认识教材的突出地位和作用.
4 直线和圆有关的信息迁移问题
1（上海） 如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点,
若分别是到直线和的距离，则称有序非负
实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，
“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.4
2（重庆）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是
D
【思维展示】
1 认识“距离坐标”的意义，是点到两直线的距离是两个非负实数对，注意点所在位置可在两相交直线分成的4个区域内，故“距离坐标”是（1，2）的点的个数是4；
2 运动变化的认识弓形面积的变化，开始变化斜率较小，越来越大，注意其对称性，图像关于对称，选D；
【学习体验】
信息迁移问题，认真阅读的基础上反馈提取信息，注意题设的“新定义和新概念”运用运动变化的观念和函数与数形结合思想和方法，将问题转化为学过的原有的知识和方法求解。试回味本题求解中的思维方法，不断提高自己的创新能力。
【实战演练】
1（全国2）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率
2（湖北 ）已知直线与圆相切，则的值为 。
3（重庆） 以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为( C )
（A） （B）
（C） （D）
4设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则____________
5.（陕西）设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( )
A.± B.±2 B.±2 D.±4
6（湖南文）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
A．36 B. 18 C. D.
参考答案 ；－18或8；C ；0； B；C；