湖南省张家界市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题

湖南省张家界市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题
1．（2023·张家界期末）35是等差数列3，5，7，9，…的（　　）
A．第16项 B．第17项 C．第18项 D．第19项
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解： 等差数列3，5，7，9，…的首项为3，公差为2，
所以等差数列的通项公式为，
令，解得，
所以 35是等差数列3，5，7，9，…第17项。
故答案为：B.
【分析】首先求数列的通项公式，即可求解.
2．（2023·张家界期末）若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由直线经过，两点，
可得直线AB的斜率为，
设 直线的倾斜角为，有，
又因为，所以，即.
故答案为：C.
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
3．（2023·张家界期末）抛物线的焦点到直线的距离等于（　　）
A．1 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解： 抛物线的焦点为，
焦点到直线的距离为.
故答案为：B.
【分析】首先求焦点坐标，再求点到直线的距离.
4．（2023·张家界期末）已知向量若与、共面，则实数（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为
由共面定理可得存在非零实数x，y满足，
可得，解得.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量共面定理构造方程组即可求得结果.
5．（2023·张家界期末）若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为（　　）
A．－2 B．0 C．4 D．0或4
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 圆的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为d，
则，解得，
又因为，所以，解得或.
故答案为：D.
【分析】根据圆的弦长求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.
6．（2023·张家界期末）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；......，依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（　　）
A．“徵 商 羽”的频率成等比数列
B．“宫 徵 商”的频率成等比数列
C．“宫 商 角”的频率成等比数列
D．“商 羽 角”的频率成等比数列
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：设“宫”的频率为1，
则“徵”的频率为，“商”的频率为，“羽”的频率为，“角”的频率为，
因为，
所以“宫 商 角”的频率成等比数列，且公比为.
故答案为：D.
【分析】依题意求出“宫 徵 商 羽 角”这5个音阶的频率，根据等比数列的定义可得答案.
7．（2023·张家界期末）设，为椭圆与双曲线 的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：已知如图所示：
根据椭圆及双曲线的定义可得：，
所以.
在中，，
由余弦定理可得：
，
整理可得，，
两边同时除以可得，.
又因为，，
所以有，
所以.
因为，所以，
所以，所以，，
所以.
则，所以.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得.在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知条件，求解即可得出答案.
8．（2023·张家界期末）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，
令，则，
令，则，
令，解得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即，
即，所以.
综上，.
故答案为：A.
【分析】易得，，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性即可比较的大小关系，即可得解.
9．（2023·张家界期末）已知直线l：，则（　　）
A．直线l过点 　　
B．直线l的斜率为
C．直线l的倾斜角为 　　
D．直线l在轴上的截距为1
【答案】A,C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：直线l：，即直线l：，
对于A，令，可得，即直线l过点，故A正确；
对于B，直线l的斜率为，故B错误；
对于C，设直线l的倾斜角为，且，可知，
所以，即直线l的倾斜角为，故C正确；
对于D，直线l在轴上的截距为1，故D正确。
故答案为：ACD.
【分析】根据直线方程逐项分析各判断即可.
10．（2023·张家界期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（　　）
A． B．数列是等差数列
C．当时， D．当或4时，取得最大值
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由可得，当时，，
两式相减得：，
即时，，
又当时，，符合，
所以可得，即可得A，B正确；
因为，所以数列为递减数列，
当时，，所以C错误；
由，
利用二次函数性质以及可得：当或4时，取得最大值.
故答案为：ABD.
【分析】利用的关系式可求得，即可判断A，B，由数列单调性即可判断C，再由前项和的函数性质可判断D.
11．（2023·张家界期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，则（　　）
A．
B．⊥平面
C．异面直线与所成角的大小为45°
D．平面到平面的距离等于
【答案】A,B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
因为是的中点，由正方体性质可知，是与的交点，
又因为是的中点，所以是的中位线，即，故A正确；
连接，四边形是正方形，所以，
又由正方体性质可知，，，平面，
所以平面；
又，所以平面，故B正确；
由可得，异面直线与所成的角即为直线与所成的角，
也即是异面直线与所成的角，
连接，易得是正三角形，所以，
即异面直线与所成的角为，故C错误；
易知，由正方体性质可知，
又，平面，
所以平面；
又平面，所以，
同理可证，，平面，所以平面；
同理可证平面；
因为正方体棱长为2，所以正三角形和正三角形的边长为，可得其面积为，
设到平面的距离为，
则由等体积法可得，解得；
同理有到平面的距离也为，
又易知，所以平面到平面的距离等于，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用三角形中位线性质可判断A；再由线面垂直的判定定理及其性质可求判断B；由异面直线定义可求得异面直线与所成角的大小为，可判断C；利用等体积法和正方体对称性，即可得平面到平面的距离等于，可判断D.
12．（2023·张家界期末）已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（　　）
A．若，则的面积为
B．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则
C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为
D．存在直线：，使得弦的中点坐标为
【答案】A,B,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知如图所示：
在双曲线中，
对于A：在双曲线的焦点三角形中，
，解得，
所以，故A正确；
对于B，不妨设，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线.
设直线，与的交点为，
联立，消y得：，
应满足且.
由韦达定理可知：，都与无关.
所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为.
由可知，故B正确；
对于C，设，且，，
所以若的斜率范围为，则的斜率的范围为，C正确；
对于D，联立，消去可得，，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】对于A：利用余弦定理及双曲线的定义求出，进而可得三角形的面积；对于B：设，与直线联立，发现均与无关，进一步分析可得；对于C：求出为定值，进而可得的斜率的范围；对于D：将直线方程和双曲线方程联立，通过判别式可得结果.
13．（2023·张家界期末）已知向量，，且，则实数　 　.
【答案】2
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：，，且，
，
解得。
故答案为：2.
【分析】由向量垂直的坐标表示列出方程计算即可求得.
14．（2023·张家界期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为　 　．
【答案】y2= 2x
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：设抛物线的标准方程为，
由题意可知，，解得，
所以抛物线的标准方程为.
故答案为：.
【分析】根据抛物线方程与准线的关系，列式求解.
15．（2023·张家界期末）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】(-∞，-1]
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，即在恒成立，
因为，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意，转化为在上恒成立，得到在恒成立，结合正弦函数的性质，即可求解.
16．（2023·张家界期末）记R上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，数列为牛顿数列，设已知，，则　 　，数列的前项和为，若不等式≤对任意的恒成立，则实数的最大值为　 　．
【答案】4；
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，
由，，所以，解得，
所以，所以，
由，所以，
所以，
即数列是以为首项、为公比的等比数列，
所以，，
因为对任意的恒成立，又且单调递增，
所以对任意的恒成立，
令，，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
又，且，，
所以，所以的最大值为.
故答案为：；.
【分析】求出函数的导函数，即可得到，再由求出，即可求出，从而求出，又，则，即可求出的通项公式与，参变分离可得对任意的恒成立，利用对勾函数的性质求出，即可得解.
17．（2023·张家界期末）已知函数，且.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）解：由题设
则
$$
所以点 处的切线方程为， 即；
（2）解：由 (1)
由， 有 或， 由， 有，故在区间 上 单调递增， 在 上单调递减，所以 的极小值为， 极大值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）首先求出导函数，再根据导数的几何意义求切线方程；
（2）首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的极值.
18．（2023·张家界期末）已知直线：和圆：.
（1）求圆C的圆心坐标和半径；
（2）求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程.
【答案】（1）解：圆 可化为，
则圆心为， 半径为 2 ；
（2）解：设与直线 垂直的直线的方程为已求出圆 的圆心坐标为，
又因为直线 经过圆心， 所以， 即，
故所求直线方程为4x - 3y +10=0
【知识点】直线的点斜式方程；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可；
（2）首先利用垂直关系设所求直线方程为，再代入圆心坐标即可求解。
19．（2023·张家界期末）已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为数列 是等比数列， 设公比为， 且 成等
差数列， 所以，
解得，
所以；
（2）解：把 代入， 化简得，
则 ①
由①×2得
②
由①-②得
化简得
解得
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合；等差中项
【解析】【分析】（1）根据条件建立首项和公比的方程组，求解方程组，再由等比数列的通项公式即可求得；
（2）求出，再由错位相减法计算即可求得.
20．（2023·张家界期末）如图，平面，，，，，，点E，F，M分别为，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小.
【答案】（1）证明：连接 EM ，因为 AB//CD ， PQ//CD ，所以 AB//PQ ， 又 PQ = AB ，所以 PABQ 为平行四边形，
因为点 E，M 分别为 AP ， BQ的中点，所以 EM / /AB，EM = AB，
因为 AB / /CD，CD = 2AB， F 为CD 的中点，所以CF / /AB，CF = AB ，
则 EM / /CF，EM = CF ，
所以四边形 EFCM 为平行四边形，
则 EF / /MC ，
又因为 EF 面CPM ，MC 面CPM ，
所以 EF// 平面CPM
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设平面 $A B Q P$ 的法向量为，
则， 令， 则， 即，
即，
设平面ABQP与平面CPM所成夹角为，则，所以平面ABQP与平面 CPM所成夹角为
【知识点】空间点、线、面的位置；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用平行关系，转化为证明四边形是平行四边形，通过线线平行证明线面平行；
（2）根据垂直关系，以点D为原点建立空间直角坐标系，分别求平面ABQP和平面CPM的法向量，根据法向量求平面夹角的余弦值.
21．（2023·张家界期末）在直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，点P为椭圆短轴的一个端点，的面积是.
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆，使得动直线l始终与定圆相切？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：依题意可得 的面积是，
解得， 所以椭圆方程为
（2）解：存在， 其定圆的方程是.
设原点 O 到直线l 的距离为 d，
当直线 l 斜率不存在时，直线 l 的方程为 x =n
所以， 此时
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
所以，
整理得
由， 可得，
，
， 恒成立，即 恒成立 ，
所以， 所以，
综上， 当 时， 存在定圆始终与直线 相切
其方程是
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率与三角形的面积公式得a，b，c的值，进而得椭圆的方程.
（2）讨论直线l的斜率不存在，设其方程为，根据得A(n，n)，代入方程解得n，进而求得d；当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+m，求得d，再联立方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，求得d，即可判断存在定圆满足题意.
22．（2023·张家界期末）已知函数，，R.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若存在零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解： 由 .
求导可得，
当 时，， 此时， 函数 在 上单调递增
当 时， 令， 解得；若， 解得 在 上单调递增；
若， 解得 在 上单调递减；
综上， 当 时， 函数 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减
（2）解：令， 分离参数得，
令， 其中
则，当 时，；当 时，，
函数 的减区间为， 增区间为，所以当 时， 取得最小值H (1) = e -1，
由图可知，当a ≥ e -1时，直线 y = a 与函数 H ( x)的图象有交点， 故实数a 的取值范围是是[e -1，+∞)
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）对函数求导并对参数a进行分类讨论，即可求得出函数的单调性；
（2）分离参数a并构造函数，求导得出函数单调性并利用函数与方程的思想画出图象即可求得实数a的取值范围.
1 / 1湖南省张家界市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题
1．（2023·张家界期末）35是等差数列3，5，7，9，…的（　　）
A．第16项 B．第17项 C．第18项 D．第19项
2．（2023·张家界期末）若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·张家界期末）抛物线的焦点到直线的距离等于（　　）
A．1 B． C． D．4
4．（2023·张家界期末）已知向量若与、共面，则实数（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·张家界期末）若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为（　　）
A．－2 B．0 C．4 D．0或4
6．（2023·张家界期末）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；......，依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（　　）
A．“徵 商 羽”的频率成等比数列
B．“宫 徵 商”的频率成等比数列
C．“宫 商 角”的频率成等比数列
D．“商 羽 角”的频率成等比数列
7．（2023·张家界期末）设，为椭圆与双曲线 的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·张家界期末）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·张家界期末）已知直线l：，则（　　）
A．直线l过点 　　
B．直线l的斜率为
C．直线l的倾斜角为 　　
D．直线l在轴上的截距为1
10．（2023·张家界期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（　　）
A． B．数列是等差数列
C．当时， D．当或4时，取得最大值
11．（2023·张家界期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，则（　　）
A．
B．⊥平面
C．异面直线与所成角的大小为45°
D．平面到平面的距离等于
12．（2023·张家界期末）已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（　　）
A．若，则的面积为
B．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则
C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为
D．存在直线：，使得弦的中点坐标为
13．（2023·张家界期末）已知向量，，且，则实数　 　.
14．（2023·张家界期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为　 　．
15．（2023·张家界期末）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是　 　．
16．（2023·张家界期末）记R上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，数列为牛顿数列，设已知，，则　 　，数列的前项和为，若不等式≤对任意的恒成立，则实数的最大值为　 　．
17．（2023·张家界期末）已知函数，且.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.
18．（2023·张家界期末）已知直线：和圆：.
（1）求圆C的圆心坐标和半径；
（2）求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程.
19．（2023·张家界期末）已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
20．（2023·张家界期末）如图，平面，，，，，，点E，F，M分别为，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小.
21．（2023·张家界期末）在直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，点P为椭圆短轴的一个端点，的面积是.
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆，使得动直线l始终与定圆相切？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．
22．（2023·张家界期末）已知函数，，R.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若存在零点，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解： 等差数列3，5，7，9，…的首项为3，公差为2，
所以等差数列的通项公式为，
令，解得，
所以 35是等差数列3，5，7，9，…第17项。
故答案为：B.
【分析】首先求数列的通项公式，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由直线经过，两点，
可得直线AB的斜率为，
设 直线的倾斜角为，有，
又因为，所以，即.
故答案为：C.
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
3．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解： 抛物线的焦点为，
焦点到直线的距离为.
故答案为：B.
【分析】首先求焦点坐标，再求点到直线的距离.
4．【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为
由共面定理可得存在非零实数x，y满足，
可得，解得.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量共面定理构造方程组即可求得结果.
5．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 圆的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为d，
则，解得，
又因为，所以，解得或.
故答案为：D.
【分析】根据圆的弦长求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.
6．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：设“宫”的频率为1，
则“徵”的频率为，“商”的频率为，“羽”的频率为，“角”的频率为，
因为，
所以“宫 商 角”的频率成等比数列，且公比为.
故答案为：D.
【分析】依题意求出“宫 徵 商 羽 角”这5个音阶的频率，根据等比数列的定义可得答案.
7．【答案】C
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：已知如图所示：
根据椭圆及双曲线的定义可得：，
所以.
在中，，
由余弦定理可得：
，
整理可得，，
两边同时除以可得，.
又因为，，
所以有，
所以.
因为，所以，
所以，所以，，
所以.
则，所以.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得.在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知条件，求解即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，
令，则，
令，则，
令，解得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即，
即，所以.
综上，.
故答案为：A.
【分析】易得，，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性即可比较的大小关系，即可得解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：直线l：，即直线l：，
对于A，令，可得，即直线l过点，故A正确；
对于B，直线l的斜率为，故B错误；
对于C，设直线l的倾斜角为，且，可知，
所以，即直线l的倾斜角为，故C正确；
对于D，直线l在轴上的截距为1，故D正确。
故答案为：ACD.
【分析】根据直线方程逐项分析各判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由可得，当时，，
两式相减得：，
即时，，
又当时，，符合，
所以可得，即可得A，B正确；
因为，所以数列为递减数列，
当时，，所以C错误；
由，
利用二次函数性质以及可得：当或4时，取得最大值.
故答案为：ABD.
【分析】利用的关系式可求得，即可判断A，B，由数列单调性即可判断C，再由前项和的函数性质可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
因为是的中点，由正方体性质可知，是与的交点，
又因为是的中点，所以是的中位线，即，故A正确；
连接，四边形是正方形，所以，
又由正方体性质可知，，，平面，
所以平面；
又，所以平面，故B正确；
由可得，异面直线与所成的角即为直线与所成的角，
也即是异面直线与所成的角，
连接，易得是正三角形，所以，
即异面直线与所成的角为，故C错误；
易知，由正方体性质可知，
又，平面，
所以平面；
又平面，所以，
同理可证，，平面，所以平面；
同理可证平面；
因为正方体棱长为2，所以正三角形和正三角形的边长为，可得其面积为，
设到平面的距离为，
则由等体积法可得，解得；
同理有到平面的距离也为，
又易知，所以平面到平面的距离等于，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用三角形中位线性质可判断A；再由线面垂直的判定定理及其性质可求判断B；由异面直线定义可求得异面直线与所成角的大小为，可判断C；利用等体积法和正方体对称性，即可得平面到平面的距离等于，可判断D.
12．【答案】A,B,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知如图所示：
在双曲线中，
对于A：在双曲线的焦点三角形中，
，解得，
所以，故A正确；
对于B，不妨设，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线.
设直线，与的交点为，
联立，消y得：，
应满足且.
由韦达定理可知：，都与无关.
所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为.
由可知，故B正确；
对于C，设，且，，
所以若的斜率范围为，则的斜率的范围为，C正确；
对于D，联立，消去可得，，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】对于A：利用余弦定理及双曲线的定义求出，进而可得三角形的面积；对于B：设，与直线联立，发现均与无关，进一步分析可得；对于C：求出为定值，进而可得的斜率的范围；对于D：将直线方程和双曲线方程联立，通过判别式可得结果.
13．【答案】2
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：，，且，
，
解得。
故答案为：2.
【分析】由向量垂直的坐标表示列出方程计算即可求得.
14．【答案】y2= 2x
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：设抛物线的标准方程为，
由题意可知，，解得，
所以抛物线的标准方程为.
故答案为：.
【分析】根据抛物线方程与准线的关系，列式求解.
15．【答案】(-∞，-1]
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，即在恒成立，
因为，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意，转化为在上恒成立，得到在恒成立，结合正弦函数的性质，即可求解.
16．【答案】4；
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，
由，，所以，解得，
所以，所以，
由，所以，
所以，
即数列是以为首项、为公比的等比数列，
所以，，
因为对任意的恒成立，又且单调递增，
所以对任意的恒成立，
令，，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
又，且，，
所以，所以的最大值为.
故答案为：；.
【分析】求出函数的导函数，即可得到，再由求出，即可求出，从而求出，又，则，即可求出的通项公式与，参变分离可得对任意的恒成立，利用对勾函数的性质求出，即可得解.
17．【答案】（1）解：由题设
则
$$
所以点 处的切线方程为， 即；
（2）解：由 (1)
由， 有 或， 由， 有，故在区间 上 单调递增， 在 上单调递减，所以 的极小值为， 极大值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）首先求出导函数，再根据导数的几何意义求切线方程；
（2）首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的极值.
18．【答案】（1）解：圆 可化为，
则圆心为， 半径为 2 ；
（2）解：设与直线 垂直的直线的方程为已求出圆 的圆心坐标为，
又因为直线 经过圆心， 所以， 即，
故所求直线方程为4x - 3y +10=0
【知识点】直线的点斜式方程；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可；
（2）首先利用垂直关系设所求直线方程为，再代入圆心坐标即可求解。
19．【答案】（1）解：因为数列 是等比数列， 设公比为， 且 成等
差数列， 所以，
解得，
所以；
（2）解：把 代入， 化简得，
则 ①
由①×2得
②
由①-②得
化简得
解得
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合；等差中项
【解析】【分析】（1）根据条件建立首项和公比的方程组，求解方程组，再由等比数列的通项公式即可求得；
（2）求出，再由错位相减法计算即可求得.
20．【答案】（1）证明：连接 EM ，因为 AB//CD ， PQ//CD ，所以 AB//PQ ， 又 PQ = AB ，所以 PABQ 为平行四边形，
因为点 E，M 分别为 AP ， BQ的中点，所以 EM / /AB，EM = AB，
因为 AB / /CD，CD = 2AB， F 为CD 的中点，所以CF / /AB，CF = AB ，
则 EM / /CF，EM = CF ，
所以四边形 EFCM 为平行四边形，
则 EF / /MC ，
又因为 EF 面CPM ，MC 面CPM ，
所以 EF// 平面CPM
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设平面 $A B Q P$ 的法向量为，
则， 令， 则， 即，
即，
设平面ABQP与平面CPM所成夹角为，则，所以平面ABQP与平面 CPM所成夹角为
【知识点】空间点、线、面的位置；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用平行关系，转化为证明四边形是平行四边形，通过线线平行证明线面平行；
（2）根据垂直关系，以点D为原点建立空间直角坐标系，分别求平面ABQP和平面CPM的法向量，根据法向量求平面夹角的余弦值.
21．【答案】（1）解：依题意可得 的面积是，
解得， 所以椭圆方程为
（2）解：存在， 其定圆的方程是.
设原点 O 到直线l 的距离为 d，
当直线 l 斜率不存在时，直线 l 的方程为 x =n
所以， 此时
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
所以，
整理得
由， 可得，
，
， 恒成立，即 恒成立 ，
所以， 所以，
综上， 当 时， 存在定圆始终与直线 相切
其方程是
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率与三角形的面积公式得a，b，c的值，进而得椭圆的方程.
（2）讨论直线l的斜率不存在，设其方程为，根据得A(n，n)，代入方程解得n，进而求得d；当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+m，求得d，再联立方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，求得d，即可判断存在定圆满足题意.
22．【答案】（1）解： 由 .
求导可得，
当 时，， 此时， 函数 在 上单调递增
当 时， 令， 解得；若， 解得 在 上单调递增；
若， 解得 在 上单调递减；
综上， 当 时， 函数 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减
（2）解：令， 分离参数得，
令， 其中
则，当 时，；当 时，，
函数 的减区间为， 增区间为，所以当 时， 取得最小值H (1) = e -1，
由图可知，当a ≥ e -1时，直线 y = a 与函数 H ( x)的图象有交点， 故实数a 的取值范围是是[e -1，+∞)
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）对函数求导并对参数a进行分类讨论，即可求得出函数的单调性；
（2）分离参数a并构造函数，求导得出函数单调性并利用函数与方程的思想画出图象即可求得实数a的取值范围.
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