2023-2024学年人教版数学 八年级上册 13.3等腰三角形教案

《等腰三角形》教案
教材版本： 人教版 学 校：
教 师 年 级 八年级 授课时间 年 月 日
课 时 2课时 课 题 等腰三角形
教材分析 本节重点研究等腰三角形中的分类讨论问题、性质等重要知识点，但是本讲知识并未重点讲解等腰三角形的三线合一的性质，特在拓展延伸中补充了. 本节例题1和例2都属于易错题，在考试中会经常出现，学生独立完成，并提示学生的易错点.例3，例4和例5主要考查的是等腰三角形的性质，中等题，学生分组生生互动教学；例5等腰三角形的动态问题，需要分析运动过程，可以通过师生互动、生生互动方式 . 本讲的巩固拓展较简单，学生独立完成并指定在程度较弱的学生讲解
教学目标 知识技能 1.探索等腰三角形的轴对称性及其轴对称； 2.掌握等腰三角形的性质与判定的综合运用
数学思考 1.在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间概念，培养学生的几何直觉. 2.学生经历观察、操作、探究、归纳、总结等过程，获得等腰三角形的性质，能够运用等腰三角形的性质解决问题
问题解决 1.通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力. 2.通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用只适合技能解决问题的能力，发展应用意识
情感态度 让学生再观察、发现生活中的等腰三角形和实际操作中获得等腰三角形的体验；在探究和运用等腰三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣
教学重点、难点 重点：探究等腰三角形的性质 难点：灵活运用等腰三角形的性质解决实际问题
教学准备 动画多媒体语言课件
第一课时
复备内容及讨论记录 教学过程
师和学生一起复习关于等腰三角形的知识，然后播放导入. 学生回答导入中问题的答案.(4根火柴不能做成三角形) 师：请同学进一步思考下8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？ 生： 师：其中等腰三角形有几个？ 生：3个.（其中有一个等边三角形） 师：来让我们看看等腰三角形又都会考哪些题型呢？ (二)教学探究 探究类型一 等腰三角形边（或角）的分类讨论 教学例1，课件出示例1： 例1 等腰三角形的两边长分别为3、 6， 那么它的周长为( ) A. 15 B. 12 C. 12或15 D. 不能确定 1.学生独立完成，并指定学生说说自己的解题思路. 2.指定学生说说自己的解题思路： 生1：我们要求三角形的周长只需要知道三角形的三边长就可以，又因为本题是等腰三角形，所以三角形的三边长为3，3,6，所以三角形的周长为12. 师：你同意这位同学的说法吗？ 生2：不同意，他说错了. 师：错在哪里呢 ？ 生2：由3，3,6这样的三条线段不能构成三角形，还有这个题目中并没有说等腰三角形的哪条边为腰，所以要分两种情况来讨论：三角形三条边有可能是3,3,6，还有可能6，6,3，前面我们知道3,3,6这样的线段不能组成三角形， 6，6,3这样的三条线段满足三角形三边的关系，所以这个等腰三角形的周长为15. 师：说得非常好，分析的非常正确。 3.师提醒学生注意：对于此类型的题，一定要考虑全面，给出的两条边长哪个为腰长，哪个为底边长，然后在考虑可能的三边是否满足三角形的三边之间的关系. 答案：A 师：前边我们研究等腰三角形的边，下面让我们看看跟等腰三角形角相关的题我们要怎么做呢？ 课件出示例2： 例2 （1）已知等腰三角形一个角的度数为50°，则它的底角的度数分别为 ； （2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角度数为 . 1.生独立完成（1），师指定学生说说自己的解题思路。 生：这个等腰三角形的底角的度数为（180°-50°）÷2=65°. 师：这位同学的说得对吗？ 生：不对，他把这个50°的角看成了顶角，其实题目中并未说明50°的角是什么角，50°的角可以是顶角，也可以是底角.所以底角的度数可能是65°或50°. 2.学生自己独立思考（2）,然后老师指定学生说说自己的思路.（师注意提醒学生考虑全面） 生1：顶角的度数为45°. 师：你能把你画的图到黑板上画一画，然后说说自己的解题思路呢？ 生1到黑板上板演，（） 师：同学们，你们还有不同的答案吗？ 生2：有，还有一种情况：腰上高的还可能在三角形的外部。 师：那你能给大家到黑板上把你画的图给画出来吗？ 生2： 师：说得非常好,我们在做与三角形的边长，高，角的度数问题时，我们一定要考虑全面. 答案： （1） 65°，65°或50°，50° （2）45°或135° 师：我们在解决这类问题的时候，考虑问题的角度要全面，分类讨论是一种重要的数学思想.现在让我们来做几道题来练一练，看看大家都学会了吗？ 巩固拓展： 1. 已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ） A．55°，55° B. 70°，40° C. 55°,55°或70°，40° D. 以上都不对 1.老师安排学生独立完成. 2.指定一名基础弱的学生说说解题思路，老师可引导完成解答. 3.最后老师鼓励学生，给学生自信. 探究类型之二 利用等腰三角形解决有关角的计算问题 例3 如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC上一点，BF=CD,CE=BD,那么∠EDF=( ). A. 90°-∠A B. 90°-∠A C. 180°-∠A D. 45°-∠A 1.学生独立思考，然后师指定学生说说由题中的条件都能得到哪些信息： 生：由AB=AC可以知道△ABC是等腰三角形，能得到∠B=∠C.又因为BF=CD,CE=BD，进而根据SAS可以判出△BFD≌△CDE…… 师：说得非常好，那三角形全等与我们所求的∠EDF有什么关系呢？ 2.生独立思考，然后指定学生说说： 生2：△BDF≌△CED，我们能得到∠BFD=∠EDC,∠EDF+∠EDC+∠BDF=180°，所以∠EDF+∠BFD+∠BDF=180°,很容易得到 ∠EDF=∠B.又因为∠B=（180°-∠A）=90°-∠A. 师:我们再证∠EDF=∠B是不是还能利用三角形外角的性质来证明呢？ 生独立思考.(探求多种解法) 师：说得非常好，我们只需求∠B或∠C就可以.同学们自己独立算一算吧. 3.学生独立完成计算，然后找学生说说自己的答案. 4.等腰三角形中“等边对等角”及“等角对等边”常用于证明线段相等和角相等问题. 答案：A 探究类型之三 运用等腰三角形的性质解决生活实际问题 课件出示例4： 例4 如图，∠AOB是一钢架，∠AOB=15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，……添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（ ） A.2根 B.4根 C.5根 D.无数根 1.教师指定学生审题，并说出自己获得的信息； 生：我们只知道题中的OE=EF=FG=GH=HQ=QB. 2.学生同桌之间相互合作，探究图中各角与∠AOB的关系； 师：在什么情况下我们就不能在加钢管了呢？ 生：我们知道等腰三角形的底角都是小于90°，如果构成的等腰三角形的底角的度数是大于等于90°，那么我们就能判断了. 3.学生独立完成解答过程. 答案： C 师：下面让我们来看看谁能又快又准的把下面这道题做出来： 巩固练习： 2. 如图，△ABC中，AC=AD=BD,∠DAC=80°，则∠B的度数是（ ） A. 40° B. 35° C. 25° D. 20° 学生独立解答，然后老师找学生说说自己的解题思路. 3. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=10°,则∠C的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 学生独立计算，然后指定学生说说此题解题思路. （三）课堂总结： 师引导学生总结： 等腰三角形的分类讨论： （1）在等腰三角形中求边或周长：在等腰三角形中，若给出的边没有明确是腰或底边，则要进行分类讨论，且需要验证三边能否围成三角形. (2) 在等腰三角形中求角：在等腰三角形中，若给出的角没有明确是底角或顶角，则必须分情况讨论.
第二课时
复备内容及讨论记录 教学过程
师：通过上节课的学习我们学习了等腰三角形中有关的计算和相关的关系，现在我们继续来学习三角形的相关内容。 探究类型之五 利用等腰三角形解决线段相等或不等关系 课件出示例5： 例5 如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， ∠ACD=∠BCE=90°，AE交DC于F,BD分别交CE、AE于点G、H. （1）试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由； （2）把△ACD、△BCE改为等边三角形呢？ 1.师：线段AE和BD的位置和数量关系，你们能大胆的猜测一下吗 生：AE=BD，还有AE⊥BD. 师：那我们怎么证明这两个线段相等？两个线段垂直呢？ 生1：可以借助全等三角形来证线段相等. 生2：要想证垂直，可以根据垂直的定义来证两条线段的一个夹角为90°. 师：那图中有全等三角形吗？ 生：有，△ACE≌△DCB 师：那我们能得到AE=BD，你知道怎么证明这两条线段垂直吗？ 2、学生独立完成证明AE⊥BD的过程，然后老师找学生讲解。 3.学生独立完成将△ACD和△BCE变为等边三角形的过程.小组交流，老师巡视，然后老师指定学生说说自己的解题思路. 4.师：给出问题的条件，根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性” 需要进行推断，甚至要求探求条件在变化中的结论，这些问题是结论开放型问题，要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论. 在学习几何问题时，要注意搜集一些几何图形的原型. 答案： 解：（1）猜测AE=BD,AE⊥BD.理由如下： ∵∠ACD=∠BCE=90°, ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, 即∠ACE=∠DCB. ∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， ∴AC=CD,CE=CB,∴△ACE≌△DCB, ∴AE=BD,∠CAE=∠CDB. ∵∠AFC=∠DFH,∴∠DHF=∠ACD=90°, ∴AE⊥BD. （2）AE=BD,但AE与BD不垂直，夹角为60°， 证明类似于（1）. 探究类型之五 等腰三角形动态型问题 课件出示例6 例6 在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ. （1）若α=60°且点P与点M重合（如图（1）），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； （2）在图（2）中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时， 能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围. 1.学生独立完成(1)，然后师指定学生讲解. 2.师：假如点P不和端点重合，这个时候∠CDB又该是多少度呢？你能用含有α的式子表示出来吗？ 生之间相互讨论交流（2），尝试解答，找同学汇报自己的想法，师做适当的引导.师最后讲解. 3. 师：对于（3）这种问题，我们要怎么求α的取值范围呢？同学们同桌之间相互说说. 同桌之间相互讨论（3），师巡视，对没有思路的同学提示：题目条件要求点P不和端点重合，假如让点P与B,M两端点重合，就会发现什么不等关系吗？ 生：∠MCD＜∠PCQ＜∠BCD （或∠MAD＜∠PAD＜∠BAD） 师：现在不等关系找到了，那么接下来我们要求α的取值范围我们只需要怎么做就可以了呢？ 生：将不等关系中的每一个角用含α式子表示出来. 4.生独立完成，然后师指定学生说说讲解. 生1：我们可以得到∠QPD=∠BDC=90°-α,进而得到 ∠PQC=2∠CDB=180°-2α，又因为PC=PQ，我们能得到∠PQC=∠PCQ=180°-2α. 生2：当点P与端点B重合时，因为PQ=QD，∠CDB=∠QPD= 90°-α，所以点Q与点C重合，所以∠BCD=2α,所以∠MCD=α. 生独立完成，最后师总结. 5. 师：图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何.它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题.在解这类问题时，要充分发挥空间想象能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径. 巩固拓展：出示类似性问题 4.下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点， 图（1）中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个， 图（2）中以格点为顶点的等腰直角三角形有 个，图（3）中以格点为顶点的等腰直角三角形有 个，图（4）中以格点为顶点的等腰直角三角形有 个. 学生独立完成，然后指定学生说说自己的解题思路，其他同学补充： 提示：第一个：4（正方形边长为1，直角边长为1的等腰三角形有4个）； 第二个：4×2+2=10 （每个正方形都有4个边长为1的等腰直角三角形，还有2个直角边长为）； 第三个：4×4+2×4+4=28 （4个小正方形就是4×4，而相邻的两个小正方形都有2个直角边为的等腰直角三角形，这样相邻的有4对所以是2×4，然后再加上4个直角边长为2的）； 第四个： 4×6+2×7+4×2+4=50（正方形边长为1，直角边长为1的等腰三角形有4×6个小正方形，7对相邻的两个小正方形，4对直角边为2的大正方形，4个直角边长为）． 5.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点， ∠B=30°，∠DAB=45°． （1）求∠DAC的度数； （2）求证：DC=AB． 1. 同学们以前有看过这个类型的题目吗？你们有什么办法呢？ 2. 现在分小组来讨论一下，看看哪个小组能又快又好的解决这个题目. 3. 教师指定小组汇报，学生先讲评，老师再讲评. 类似性问题6、 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）BE=CE. 1. 老师安排学生独立完成，老师巡视，帮助有困难的学生. 2. 教师指定两名学生上台板演解答过程，看谁算得又快又对. 3. 最后老师对两位学生的解题过程给出相应的评价. 拓展延伸： 1.已知：∠ABC=3∠C，∠1=∠2，且BD⊥AD.求证：AC－AB=2BD． (
A
B
D
C
1
2
) 1. 学生独立审题，然后说说由题中的信息： 生：（1）∠1=∠2，说明AD是∠BAC的角平分线 （2）BD⊥AD，若是在三角形中则会满足等腰三角形三线合一的条件. 师：XX同学对条件的分析可谓是一针见血，思路清晰明了，目的明确.小组讨论：根据你们刚才的发现，进一步探究如何添加辅助线，并利用好∠ABC=3∠C这个条件呢？ 3.小组讨论，然后指定小组汇报交流 小组1：我们想角平分线和高线在一个三角形中会满足等腰三角形三线合一的性质，所以延长BD交AC边于点E； 进而得到AB=AE得到；AC-AB=AC-AE=EC，而题目中要说明AC-AB=2BD，我们只要说明EC=2BD就可以了 小组2：需要说明EB=EC=2BD；∠ABC=3∠C，∠ABE=∠AEB=∠EBC+∠C,又∠ABC=∠ABE+∠EBC，可以得出∠C=∠EBC，则EB=EC，题目就可以迎刃而解了. 4.师：通过本题的学习你有哪些收获？ 生：（1）根据题中的条件能大胆进行结论的猜测，分析 （2）遇到角平分线和垂线的时候可以考虑添加辅助线构造等腰三角形解决问题 （3）用等边对等角或三角形全等证明线段相等的方法较为常见. （4）线段和差倍分的关系经常需要进行转化后求解 （5）要熟练掌握等腰三角形的性质与判定 答案： 证明：延长BD交AC于点E,如图. ∵∠1=∠2,BD⊥AD，∴△ABE是等腰三角形. ∴AB=AE, BE=2BD，∠ABE=∠AEB. ∵∠AEB=∠EBC +∠C=∠ABE， ∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠EBC +∠C= 2∠EBC +∠C=3∠C， ∴∠EBC=∠C，∴EB=EC， ∴AC-AE=EC ，∴AC-AB=EC=BE=2BD. 2.如图的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架.若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是__________. 学生审题 师：题中告诉我们好多边相等，由这些边相等，我们能得到什么呢？ 生：∠A=∠AP2P1=∠AP13P14，∠P2P1P3=∠P13P14P12， ∠P3P2P4=∠P12P13P11，…,∠P7P6P8=∠P8P9P7 2.学生同桌之间相互合作，探究图中各角与∠A的关系. 生：∠A=∠AP2P1=∠AP13P14，∠P2P1P3=∠P13P14P12= 2∠A， ∠P3P2P4=∠P12P13P11=3∠A，…,∠P7P6P8=∠P8P9P7= 7∠A. 师：分析得非常好，那你知道怎么求∠A了吗？ 3.学生独立计算，然后指定学生说说自己的解题思路. 答案：12° 课堂总结 1.等腰三角形的分类讨论： （1）在等腰三角形中求边或周长：在等腰三角形中，若给出的边没有明确是腰或底边，则要进行分类讨论，且需要验证三边能否围成三角形. 下一步： (2) 在等腰三角形中求角：在等腰三角形中，若给出的角没有明确是底角或顶角，则必须分情况讨论. 下一步： 2.等腰三角形“三线合一”的应用. (1)当题目中出现等腰三角形和“三线”之一时，可以直接得到其余两线的性质.应用“三线合一基本图形”是一个重要的解题策略，可以证明线段相等的问题、角相等的问题、线段垂直等问题. 下一步： （2）当题目中没有出现等腰三角形时，要善于分别“补形”的条件，是否能产生“三线合一”的情况.
本讲教材及练习册答案：
答案
类似性问题
1. C
2. C
3. B
4. 10 28 50
5.解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°.
∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.
∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.
（2）由（1）知∠DAC=75°，∠ADC=∠B+∠DAB=75°，
∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，
又∵AB=AC，∴DC=AB．
6.证明：（1）∵点D是BC的中点，∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中，BD=CD，AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD.
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE.
在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE.∴BE=CE.
练习册：
1.D
2.A【解析】根据题意：在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C.∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，即∠B+α-∠EDC=∠C+∠EDC，∴α=2∠EDC，∴∠EDC=α．
3.40
4.36°
5.50°
6.6
7.解：（1）△ABE≌△ACD.
证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°,
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE, 即∠BAE=∠CAD,∴△ABE≌△ACD.
（2）证明：由（1）知△ABE≌△ACD，∴∠ACD=∠ABE=45°,
又∵∠ACB=45°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°,∴DC⊥BE.
8.解：（1）连接AO，过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E，F分别是垂足.由题意知，OE=OF,OB=OC,∴S△ABO=S△ACO，即AB·OE=AC·OF，∴AB=AC.
（2）过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E，F分别是垂足.由题意得OE=OF.在Rt△OEB和
Rt△OFC中，∵OE=OF,OB=OC,∴Rt△OEB≌Rt△OFC,∴∠OBE=∠OCF.又由OB=OC知∠OBC=∠OCB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.
（3）不一定成立.当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则AB≠AC,如图（1）、（2）.
9.证明：以AD为边在△ABD内作等边△ADE,连接BE,则
∠DAE=60°,AD=DE=AE.
又∵∠DAC=15°,∠BAC=90°,∴∠BAE=90°-60°-15°=15°，
∴∠BAE=∠CAD.
又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠AEB=∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA=150°,
∴∠BED=360°-150°-60°=150°,
∴∠BED=∠BEA,
又∵AE=DE,BE=BE,∴△BED≌△BEA(SAS)，∴BD=BA.