高中数学人教A版（2019）必修2 第十章 10.1.3 古典概型（34页ppt）

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第九章
10.1.3 古典概型
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解概率的定义. 1.数学抽象素养.
2.结合实例得出古典概型的概念，理解古典概型的特征． 2.数学抽象素养和数学建模素养.
3.能正确判断古典概型，计算古典概型中简单随机事件的概率. 3.数学运算素养和逻辑推理素养.
温故知新
1.事件的关系：
2.事件的运算：
包含关系：若事件A发生则必有事件B发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B).记作A B.
相等关系：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等.记作A=B.
互斥关系：如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B= ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）.
对立关系：如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B= ，那么称事件A与事件B互为对立．
并事件：事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件).
交事件：事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件).
新知引入
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
知新探究
在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验．它们的共同特征有哪些
1.体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，写出试验的样本空间.
Ω1={0，1，2，3,4,5,6,7,8，9}
2.抛掷一枚质地均匀硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.
Ω2={正面朝上，反面朝上}.
3.抛掷一枚质地均匀骰子，观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.
Ω3={1,2,3,4,5,6}.
知新探究
在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验．它们的共同特征有哪些
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：
⑴有限性：样本空间的样本点只有有限个；
⑵等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型( classical models of probability)，简称古典概型．
下面我们就来研究古典概型．
知新探究
考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小
⑴一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；
⑵抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B = “恰好一次正面朝上”．
对于问题⑴班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型．
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小．因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量．
显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生”包含18个样本点．因此，事件A发生的可能性大小为．
知新探究
考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小
⑵抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B = “恰好一次正面朝上”．
对于问题⑵，我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，则试验的样本空间
共8个样本点，每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型．
因为B={(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B发生的可能性大小为．
Ω={(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)， (0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}．
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小，因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量．
知新探究
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
P(A)
其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
法国数学家拉普拉斯（P.S.Laplace1749—1827）在1812年把该式作为概率的一般定义，现在我们称它为概率的古典定义．
古典概型的概率计算公式：
知新探究
【例7】单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω={A，B，C，D}.
解：
考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.
设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一，所以n(M)=1.
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
P(M)=.
知新探究
在标准化考试中也有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有一个选项是正确的）.你认为单选题和多选题哪种更难选对 为什么？
对有A，B，C，D四个选项的多选题，则试验的样本空间可以表示为
Ω={A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD}
其中共有15个样本点.每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.
设W=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一，所以n(W)=1.
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率为
P(W)=.
相比单选题猜对答案的概率要小得多，所以多选题猜对答案更难.
知新探究
【例8】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
⑴写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
⑵求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解：
⑴抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.
用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组（m，n）表示这个试验的一个样本点.
因此样本空间Ω={(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
知新探究
【例8】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
⑴写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
解：
借助表格帮助理解：
Ⅱ号 Ⅰ号 1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
知新探究
【例8】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
⑵求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解：
⑵因为A={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，所以n(A)=4，从而
P(A)===
因为B={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4) ，(5，5) ，(6，6)}，所以n(B)=6，
从而
P(B)===
知新探究
【例8】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
⑵求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解：
⑵因为C={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(3，2)，(4，2)，
(5，2)，(6，2)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(5，4)，(6，4)，(6，5)}，
所以n(C)=15，从而
P(C)===.
知新探究
在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号 如果不给两枚散子标记号，会出现什么情况 你能解释其中的原因吗
不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点．这样，(1, 2)和(2, 1)的结果将无法区别．
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间Ω1={(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}，且m≤n},则n(Ω1)=21.
其中，事件A=“两个点数之和是5”的结果变为A={（1,4），（2,3）}，这时
P(A)=.
知新探究
同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢
可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，（1,1）和（1,2）发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此P(A)=是错误的．
求解古典概型问题的一般思路：
⑴明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
⑵根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
⑶计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
知新探究
【例9】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率:
⑴A=“第一次摸到红球”；
解：
将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，采用不放回地依次随机摸球，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次的结果配对，组成20种等可能的结果，用下表表示.
第二次 第一次 1 2 3 4 5
1 × （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） × （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） × （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） × （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ×
知新探究
【例9】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率:
⑴A=“第一次摸到红球”；
解：
第二次 第一次 1 2 3 4 5
1 × （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） × （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） × （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） × （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ×
⑴第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2行)，即
A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}.
所以
P(A)== .
知新探究
【例9】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率:
⑵B=“第二次摸到红球”；
解：
第二次 第一次 1 2 3 4 5
1 × （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） × （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） × （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） × （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ×
⑵第二次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2列)，即
B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}.
所以
P(B)== .
知新探究
【例9】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率:
⑶AB=“两次都摸到红球”；
解：
第二次 第一次 1 2 3 4 5
1 × （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） × （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） × （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） × （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ×
⑶事件AB包含2个可能结果，即
AB={(1，2)，(2，1)}.
所以
P(AB)== .
如果同时摸出2个球，那么事件AB的概率是多少
知新探究
解：
第二次 第一次 1 2 3 4 5
1 × （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） × （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） × （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） × （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ×
如果同时摸出2个球，那么事件AB的概率是多少
同时摸出2个球时，(1，2)与(2，1)表示同一个结果，(1，3)与(3，1)表示同一个结果，以此类推(m，n)与(n，m)表示同一个结果，试验的样本空间
Ω={{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}}.
其中共有10个样本点，各个样本点出现的可能性相等，这个试验是古典概型.
事件AB包含1个可能结果，即AB={{1，2}}，所以
P(AB)== .
两种抽取方式：“同时抽取”和“不放回地依次抽取”，同一事件的概率相等.
知新探究
【例10】从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.
⑴分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
⑵在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：
Ω1={（B1，B1），（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B1），（B2，B2），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G1），（G1，G2），（G2，B1），（G2，B2），
（G2，G1），（G2，G2）}.
设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组（x1，x2）表示样本点.
⑴根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间
第二次 第一次 B1 B2 G1 G2
B1 （B1，B1） （B1，B2） （B1，G1） （B1，G2）
B2 （B2，B1） （B2，B2） （B2，G1） （B2，G2）
G1 （G1，B1） （G1，B2） （G1，G1） （G1，G2）
G2 （G2，B1） （G2，B2） （G2，G1） （G2，G2）
知新探究
【例10】从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.
⑴分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
⑵在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2={（B1，B2），（B1，G1）， （B1，G2），
（B2，B1），（B2，G1），（B2，G2），
（G1，B1），（G1，B2），（G1，G2），
（G2，B1），（G2，B2），（G2，G1）}
第二次 第一次 B1 B2 G1 G2
B1 （B1，B1） （B1，B2） （B1，G1） （B1，G2）
B2 （B2，B1） （B2，B2） （B2，G1） （B2，G2）
G1 （G1，B1） （G1，B2） （G1，G1） （G1，G2）
G2 （G2，B1） （G2，B2） （G2，G1） （G2，G2）
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
Ω3={（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2）}
知新探究
【例10】从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.
⑴分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
⑵在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：
⑵设事件A=“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，
对于不放回简单随机抽样，A={（B1，B2），（B2，B1）}
A={（B1，B1），（B1，B2），（B2，B1），（B2，B2）}
因为抽中样本空间Ω1 中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
因此
P(A)= =0.25.
因为抽中样本空间Ω2 中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
因此
P(A)= = .
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A= ，因此P(A)=0.
知新探究
例10表明，同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大.因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同.
上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题.我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高.上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率.特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现.所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.
初试身手
1.生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标.若从这只兔子中随机取出只，则恰有只测量过该指标的概率为（ ）
A. B. C. D.
解：
B
因此，所求概率P=.故选B.
设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只共有10种取法，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，
其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)
初试身手
2.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A. B. C. D.
解：
所以，所求概率 P=.故选C.
从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种．
其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，
C
课堂小结
1.古典概型的特征：
2.古典概型的概率计算公式：
⑴有限性：样本空间的样本点只有有限个；
⑵等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
P(A)
其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
课堂小结
3.求解古典概型问题的一般思路：
⑴明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
⑵根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
⑶计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
作业布置
作业： P241 练习 第2,3题
P245 习题10.1 第7，8,9题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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