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课前预学案
6．1 平面向量的概念
一、
大小 方向 大小 方向
[即时练习]
解析：向量是既有大小，又有方向的量，
∵海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向，
∴加速度是向量．故选C.
答案：C
二、
1．方向 起点 方向 长度 ||
3．|| 0 0 1
[即时练习]
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
三、
1．相同或相反 a∥b
2．相等 方向 a＝b
3．同一条直线
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：
＝≠≠＝.
答案：(1)(4)
6．2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
一、
1．两个向量和
2．a＋b a＋b
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：由题意得，＝.故选B.
答案：B
二、
1．||a|－|b|| |a|＋|b|
2．|a|＋|b|
3．|b|－|a| |a|－|b|
三、
1．b＋a
2．a＋(b＋c)
[即时练习]
解析：＝＝＝.
答案：
6．2.2 向量的减法运算
一、
相等 相反 0 －b 0
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√
2．答案：
二、
相反向量 终点 终点
[即时练习]
1．解析：＝.故选C.
答案：C
2．解析：因为a与b是两个相等向量，
所以a－b＝0.
答案：0
6．2.3 向量的数乘运算
一、
向量 相同 相反
[即时练习]
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、
①(λμ)a ②λa＋μa ③λa＋λb
λa－λb λμ1a±λμ2b
[即时练习]
解析：3(2a－4b)＝6a－12b.故选D.
答案：D
三、
b＝λa
[即时练习]
1．解析：因为a＝－e，b＝e，所以a＝－2b，则b＝－a.故选B.
答案：B
2．解析：∵b与a的方向相反，
可设a＝λb(λ<0)，∴|a|＝|λ||b|，
∴5＝7|λ|，∴λ＝±，
又∵λ<0，∴λ＝－.
答案：－
6．2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的概念
一、
1．非零向量 ∠AOB＝θ 0≤θ≤π
2．(1)同向 (2)反向 (3)垂直 a⊥b
[即时练习]
解析：因为向量a与向量b的夹角为60°，根据向量夹角的几何意义，－a与－b构成的夹角和a与b的夹角相等，故选A.
答案：A
二、
|a||b|cos θ a·b a·b＝|a||b|cos θ 0
[即时练习]
解析：因为平面向量a，b的夹角为，且|a|＝4，|b|＝4，
所以a·b＝|a||b|cos ＝4×4×＝8.
故选C.
答案：C
三、
1．投影向量
2．投影向量
3．|a|cos θ e
[即时练习]
解析：a和e夹角为锐角，于是a在e上的投影向量和e同向共线，故投影向量为|a|·cos ·e＝e.
答案：e
四、
(1)|a|cos θ (2)a·b＝0 (3)|a||b| －|a||b| |a|2 (4)≤
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：设向量a与b的夹角为θ，
由|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，
得cos θ＝＝＝，
所以θ＝.故选C.
答案：C
第2课时 向量数量积的运算
(1)b·a (2)λ(a·b) a·(λb) (3)a·c＋b·c
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：b·c＝b·(a－2b)＝b·a－2b2＝0－2＝－2.
故选A.
答案：A
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
(1)不共线 有且只有 λ1e1＋λ2e2 (2)所有向量
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由图可知e1，e2为平面内的一组正交单位基底，A点在e1方向有4个单位，在e2方向有3个单位，所以＝4e1＋3e2.
答案：4e1＋3e2
6．3.2～6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示
一、
1．互相垂直
2．单位向量 (x，y) (x，y)
3．(x，y) 坐标 一一对应
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：A：仅当A点与原点重合时，向量与点B的坐标相同，错误；
B：只有当A点不与原点重合时，向量与点B的坐标不相同，错误；
C：如A中描述，正确；
D：当B与原点O重合时，的坐标值与A的对应坐标值互为相反数，错误．故选C.
答案：C
二、
[即时练习]
1．解析：由题意，＝(－1－0，2－1)＝(－1，1).故选A.
答案：A
2．解析：a＋b＝(0，3)＋(4，1)＝(4，4).
答案：(4，4)
6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
一、
(λx，λy) 相应坐标
[即时练习]
解析：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)
＝(4，8)－(－1，1)
＝(5，7).故选A.
答案：A
二、
x1y2－x2y1＝0
[即时练习]
解析：A，1×2－3×1≠0，则不符合题意；
B，1×3－3×(－1)≠0，则不符合题意；
C，1×(－3)－3×1≠0，则不符合题意；
D，1×6－3×2＝0，则向量(1，3)与向量(2，6)共线．
答案：D
三、
[即时练习]
解析：由中点坐标公式得x＝＝－1，y＝＝3，故PQ的中点坐标为(－1，3).
答案：(－1，3)
6．3.5 平面向量数量积的坐标表示
1．x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0
2.
3.
4.
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)×
2．解析：由数量积的计算公式得a·b＝(－3，4)·(5，2)＝－3×5＋4×2＝－7.故选D.
答案：D
3．解析：由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.
答案：－1
6．4 平面向量的应用
6．4.1 平面几何中的向量方法
[即时练习]
1．解析：因为·＝－5<0，
所以A为钝角，
所以△ABC一定是钝角三角形．故选D.
答案：D
2．解析：BC中点为D(，6)，＝(－，5)，
∴＝ ＝.
答案：
6．4.2 向量在物理中的应用举例
[即时练习]
解析：∵＝(2，2)，＝(－2，3)，
∴F1＋F2＝＋＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5).
∴|F1＋F2|＝＝5.故选D.
答案：D
6．4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
其他两边平方的和 夹角的余弦的积 b2＋c2－2bc cos A a2＋c2－2ac cos B a2＋b2－2ab cos C 解三角形
[即时练习]
1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由余弦定理可得c2＝12＋22－2×1×2·cos ＝7，所以c＝.
答案：D
第2课时 正弦定理
正弦 2R sin B 2R sin C
sin A∶sin B∶sin C
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√
2．解析：由正弦定理得＝，＝，sin B＝1，
由于0答案：D
3．解析：因为A＝45°，C＝75°，
所以B＝180°－45°－75°＝60°，
因此由正弦定理可知：＝ ＝ a＝2.
答案：2
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
视线在水平线上方 视线在水平线下方 顺
[即时练习]
1．解析：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝45°，
由正弦定理＝，即＝，
解得：AC＝＝.
故选B.
答案：B
2．解析：由题意得∠ACB＝65°＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝，
由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 150°＝4＋3－2×2××(－)＝13，
所以AB＝ km.
答案： km
第4课时 余弦定理、正弦定理综合应用
ab sin C ac sin B bc sin A
[即时练习]
1．解析：S△ABC＝|AB|·|AC|sin A＝×＝.
故选D.
答案：D
2．解析：由题可知，ab sin C＝2 ×1·b·＝2 b＝4.故选C.
答案：C
第七章 复数
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
一、
1．复数 虚数单位 －1
2．复数集
3．实部 虚部
[即时练习]
解析：1－i的实部为1，虚部为－1.
答案：1 －1
二、
a＝c且b＝d
[即时练习]
解析：因为3＋4i＝3＋bi，所以b＝4.故选C.
答案：C
三、
1．实数 虚数 a＝0 a≠0
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．
答案：1＋i，πi，＋2i，i，i πi，i
7．1.2 复数的几何意义
一、
1．复平面 实轴 虚轴
2．Z(a，b)
[即时练习]
1．解析：点M(1，2)对应的复数为1＋2i.
故选B.
答案：B
2．解析：由复数的几何意义知：复数z＝－2＋3i在复平面上对应的向量的坐标为(－2，3)．
答案：(－2，3)
二、
[即时练习]
解析：∵z＝1＋i，∴＝＝.故选C.
答案：C
三、
相等 互为相反数 共轭虚数 a－bi
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：由共轭复数的定义知z＝3＋4i的共轭复数为＝3－4i.
答案：3－4i
7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数加、减运算及其几何意义
一、
1．(a＋c)＋(b＋d)i
2．向量
3．z2＋z1 z1＋(z2＋z3)
[即时练习]
1．解析：(1＋i)＋(－2＋2i)＝－1＋3i.故选A.
答案：A
2．解析：由于＝，所以对应的复数为6－5i＋(－1＋4i)＝6－1＋(4－5)i＝5－i.
答案：5－i
二、
1．(a－c)＋(b－d)i
[即时练习]
1．解析：∵复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i.
故选A.
答案：A
2．解析：∵＝－5＋i，＝－3－2i，
∴＝＝(－3－2i)－(－5＋i)＝2－3i，
即向量表示的复数为2－3i.
答案：2－3i
7．2.2 复数乘、除运算
一、
1．(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2．z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3
[即时练习]
1．解析：由题可知i(1＋i)＝－1＋i.故选A.
答案：A
2．解析：z＝(1－3i)2＝1－6i＋9i2＝－8－6i，
故z的虚部为－6.
答案：－6
二、
i
[即时练习]
1．解析：z＝＝＝＝1－i.故选A.
答案：A
2．解析：因为＝＝1＋i，所以复数的虚部为1.
答案：1
第八章 立体几何初步
8．1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台
一、
形状 大小 平面多边形 公共边 公共点 直线 曲面 几何体 轴
[即时练习]
答案：A
二、
平行 四边形 平行 平行 公共边 公共顶点
[即时练习]
答案：(1)√ (2)√ (3)×
三、
多边形 三角形 公共边 公共顶点
[即时练习]
解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
答案：C
四、
平行于棱锥底面 截面 底面
[即时练习]
解析：由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义．故选C.
答案：C
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
一、
矩形的一边所在直线 垂直 平行 平行 圆柱O′O
直角三角形的一条直角边 圆锥SO 圆锥底面 圆台O′O
[即时练习]
1．解析：根据题中图形可知，
(1)是圆柱；
(2)是圆锥；
(3)不是圆台，因为上下两个面不平行；
因此如图所示的图形中有圆柱和圆锥，故选B.
答案：B
2．解析：由题意知，该几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确．故选B.
答案：B
二、
直径所在直线 球心 半径 球O
[即时练习]
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
三、
1．简单几何体
2．(1)拼接 (2)截去 挖去
[即时练习]
答案：圆锥 圆柱
8．2 立体图形的直观图
一、
45° 135° 水平面 x′轴或y′轴的线段 保持原长度 一半
[即时练习]
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
8．3 简单几何体的表面积与体积
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、
各个面
[即时练习]
解析：长方体的表面积为S表＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.故选A.
答案：A
二、
Sh Sh
[即时练习]
解析：因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，
所以该三棱锥的体积为V＝Sh＝××2×3×4＝4.
故选A.
答案：A
8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
一、
πr2 2πrl 2πrl＋2πr2 πr2 πrl πrl＋πr2 πr′2 πr2 π(r′＋r)l π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
[即时练习]
1．解析：该圆锥的侧面积为πrl＝π×2×3＝6π.故选B.
答案：B
2．解析：圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即2π×2＝4π，另一边长为2，圆柱的侧面面积为2×4π＝8π，故圆柱的表面积为8π＋2π×22＝16π.
答案：16π
二、
πr2h πr2h πh(r′2＋r′r＋r2)
[即时练习]
1．解析：底面圆周长l＝2π＝2πr，r＝1，S＝πr2＝π，
所以V＝Sh＝π×2π＝2π2.故选A.
答案：A
2．解析：易知圆锥的高h＝＝4，
所以体积V＝π×32×4＝12π.
答案：12π
第2课时 球的表面积和体积
一、
1．4πR2
2.πR3
[即时练习]
1．解析：因为球的直径为2，即球的半径为1，
所以球的表面积为4π×12＝4π.故选D.
答案：D
2．解析：设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，
则球的体积V＝πR3＝π.故选B.
答案：B
8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1 平面
一、
1．无限延展
2．平行四边形 45° 2 虚线
[即时练习]
解析：镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确．故选D.
答案：D
二、
1．不在一条直线上 两个点 公共直线
[即时练习]
解析：点A在直线l上，则A∈l，l在平面α内，则l α.
故选D.
答案：D
8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、
1．任何一个
3．(1)平行 异面 相交 (2)平行 相交 异面
[即时练习]
解析：因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选D.
答案：D
二、
无数 1 0 a α a∩α＝A a∥α
[即时练习]
解析：对于B，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，B错误；
对于AC，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，AC错误；
对于D，直线无论与平面相交还是平行，则都有无数个点在平面外，D正确．故选D.
答案：D
三、
α∥β α∩β＝a 0 无数
[即时练习]
解析：由基本事实可知，平面α与平面β相交．故选B.
答案：B
8．5 空间直线、平面的平行
8．5.1 直线与直线平行
一、
1．平行
2．a∥c
[即时练习]
解析：∵E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，
∴EF为△SPN的中位线，GH为△MPN的中位线，
则EF∥PN，GH∥PN，
由平行公理可得，EF∥HG.故选A.
答案：A
二、
相等或互补
[即时练习]
解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.故选C.
答案：C
8．5.2 直线与平面平行
一、
平面外 此平面内 平行 a α b α a∥b
[即时练习]
解析：对A，直线m与平面α内的所有直线平行不可能，故A错误；对B，当直线m在平面α内时，满足直线m与平面α内的无数条直线平行，但m与α不平行；对C，能推出m与α平行；对D，当直线m在平面α内时，m与α不平行．故选C.
答案：C
二、
平行 交线平行 a β，α∩β＝b
[即时练习]
解析：由线面平行定义知：直线a与平面α无交点，∴直线a与平面α内的任意一条直线不相交．故选D.
答案：D
8．5.3 平面与平面平行
一、
两条相交直线 a∥β b∥β a∩b＝P a α，b α
[即时练习]
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
二、
平行 a∥b
[即时练习]
解析：因为α∥β，所以α与β无公共点，因为a α，所以a与β无公共点，所以a∥β.
答案：a∥β
8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
一、
1．a′ b′
2．(0°，90°]
[即时练习]
解析：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.
答案：65°
二、
直角 a⊥b
[即时练习]
解析：在长方体ABCD -A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．
故选D.
答案：D
8．6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
一、
任意一条 垂线 垂面 垂足 有且只有一 垂线段 垂线段
[即时练习]
解析：因为l⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以l⊥AB，故选B.
答案：B
二、
两条相交直线 a∩b＝P
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)√
2．解析：根据直线与平面垂直的判定定理可知直线垂直三角形所在的平面，所以直线垂直三角形的第三边．
答案：A
三、
相交 垂直 交点 垂线 垂足 斜足 AO 直角 0°
[即时练习]
解析：如图所示，因为在正方体ABCD -A1B1C1D1中，
B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，
∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．
由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.
答案：45°
第2课时 直线与平面垂直的性质
一、
平行 a∥b
[即时练习]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．解析：因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面，在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可得，两条垂线平行，故选B.
答案：B
二、
1．任意一点
2．都相等
[即时练习]
解析：根据直线与平面的距离、平面与平面的距离的概念可知，直线A1B1到平面ABCD的距离为4，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离也为4.
答案：4 4
8．6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
一、
1．两个半平面 棱 面
4．垂直于棱l 二面角的平面角 [0，π]
[即时练习]
解析：根据正方体中的线面位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A -BC -A1的平面角，又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.
答案：45°
二、
1．直二面角 α⊥β
2．如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 a α，a⊥β α⊥β
[即时练习]
解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
答案：C
第2课时 平面与平面垂直的性质
一、
一个平面内 交线 a α a⊥l
[即时练习]
答案：(1)× (2)√ (3)×
第九章 统计
9．1 随机抽样
9．1.1 简单随机抽样
一、
1．每一个 全体 每一个
2．一部分 那部分 个体数
[即时练习]
解析：由随机抽样的基本概念可得，D正确．故选D.
答案：D
二、
相等 相等 放回
[即时练习]
解析：A选项错在“一次性”抽取；B选项错在“有放回”抽取；C选项错在“一次性”“总体容量无限”．故正确选项为D.
答案：D
三、
1．不透明 不放回
[即时练习]
答案：(1)× (2)× (3)√
四、
1.＝
2．样本均值
[即时练习]
解析：＝×(32×2＋34×4＋38×20＋40×20＋42×26＋43×10＋45×8＋46×6＋48×4)≈41(岁)，
即这个学校老师的平均年龄约为41岁．
答案：41
9．1.2～9.1.3 分层随机抽样 获取数据的途径
一、
简单随机抽样 分层随机抽样 层 比例分配
[即时练习]
答案：(1)√ (2)√ (3)×
二、
[即时练习]
解析：根据题意知，样本容量为40，则这40名学生的平均成绩为×110＋×106＝108分，所以该组合学生的平均成绩约为108分．
答案：108
三、
通过调查获取数据 通过试验获取数据 通过观察获取数据
通过查询获得数据
[即时练习]
解析：“中国天眼”主要是通过观察获取数据．故选C.
答案：C
9．2 用样本估计总体
9．2.1 总体取值规律的估计
一、
1．差
2．等长
5．高度 组距× 频率
[即时练习]
1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由频数分布表知：样本数据落在[10，40)内的频率为＝0.52.故选C.
答案：C
二、
[即时练习]
解析：依题意，该地区初中生有4 500人，而该地区初中生的近视率为30%，所以该地区初中生近视人数为4 500×30%＝1 350.故选D.
答案：D
9．2.2 总体百分位数的估计
1．p% (100－p)%
2．小 大 n×p% 第j项 平均数
3．25 75
[即时练习]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．解析：将数据从小到大排列为1，2，3，4，5，5.
而6×0.5＝3，所以第50百分位数是＝3.5.故选B.
答案：B
9．2.3 总体集中趋势的估计
一、
1．最多
2．从小到大(或从大到小) 中间 平均数
3.(x1＋x2＋…＋xn)
[即时练习]
解析：由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，平均数为＝87.
答案：C
二、
1．横坐标 面积
2．相等
3．最高 中点
[即时练习]
解析：由条形图知：50个数据出现次数最多的为40，
所以众数为40.故选C.
答案：C
9．2.4 总体离散程度的估计
1.
2.
3.
[即时练习]
1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．解析：平均数为＝5.
该样本的方差为＝4.
故选B.
答案：B
第十章 概率
10．1 随机事件与概率
10．1.1 有限样本空间与随机事件
一、
1．随机现象
2．(1)重复 (2)明确可知
3．基本结果 样本点 样本空间 有限样本空间
[即时练习]
解析：任取两个不同的字母的有：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．
答案：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}
二、
子集 一个 总有一个样本点 都不会
[即时练习]
解析：守株待兔是随机事件，故A选项正确；
瓮中捉鳖是必然事件，故B选项错误；
水中捞月是不可能事件，故C选项错误；
水滴石穿是必然事件，故D选项错误．
故选A.
答案：A
10．1.2 事件的关系和运算
一、
一定发生 B A且A B
[即时练习]
解析：因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；同理D J，E I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.
答案：(1) (2) (3) (4)＝
二、
至少 同时
[即时练习]
解析：由题意可知C＝A∪B.
答案：C＝A∪B
三、
不能同时 A∩B 有且仅有
[即时练习]
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
10．1.3 古典概型
1．(1)有限个 (2)相等
2.＝
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√
2．解析：样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为.故选B.
答案：B
10．1.4 概率的基本性质
≥ 1 0 1 0 P(A)＋P(B) 1－P(A) 1－P(B) P(A)≤P(B) P(A)＋P(B)－P(A∩B)
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：因为A与B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.1＝0.3.
答案：0.3
10．2 事件的相互独立性
1．P(A)P(B)
[即时练习]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A、B可以同时发生，所以A、B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等．故选C.
答案：C
10．3 频率与概率
10．3.1 频率的稳定性
10．3.2 随机模拟
一、
增大 缩小 稳定 稳定 频率fn(A)
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)×
2．解析：事件A出现的频数是6，频率＝＝.故选B.
答案：B
二、
[即时练习]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．解析：用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，准确程度越高．故选B.
答案：B
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第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
预学案01
一、向量的实际背景与概念
我们把既有________又有________的量叫做向量，而把只有________没有________的量称为数量．
【即时练习】 下列各量中是向量的为( )
A．海拔 B．压强
C．加速度 D．温度
二、向量的几何表示
1．有向线段
具有________的线段叫做有向线段，它包含三个要素：________、________、________，如图所示．
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作________．
2．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)．
3．模、零向量、单位向量
向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作________.长度为________的向量叫做零向量，记作________；长度等于________个单位长度的向量，叫做单位向量．
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量没有方向．( )
(2)向量的长度和向量的模相等．( )
(3)单位向量都平行．( )
(4)零向量与任意向量都平行．( )
三、相等向量与共线向量
1．平行向量：方向____________的非零向量叫做平行向量，记作________．
2．相等向量：长度________且________相同的向量叫做相等向量，记作________．
3．共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到________上，所以平行向量也叫做共线向量．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平行向量一定方向相同．( )
(2)不相等的向量一定不平行．( )
(3)零向量与任意向量都平行．( )
(4)共线向量一定在同一直线上．( )
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．
(1)与；
(2)与；
(3)与；
(4)与.
微点拨
(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小．
微点拨
(1)在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的；
(2)有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段．
(3)0与0不同，虽然|0|＝0，但0是向量，而0是数量．
(4)定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向．
(5)在平面内，所有单位向量的起点平移到同一点，它们的终点可构成一个半径为1的圆．
微点拨
(1)向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线．
(2)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．
(3)相等向量
向量相等具有传递性，即若a＝b，b＝c，则a＝c.而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，那么当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行．但若b≠0，则必有a∥b，b∥c a∥c.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量．
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
预学案02
一、向量加法的定义及其运算法则
1．定义：求____________的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.
2．向量求和的法则
向量加法 的三角形 法则 前提 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A
作法 作＝a，＝b，连接AC
结论 向量叫做a与b的和，记作________，即a＋b＝＝________
图形
向量加法 的平行四 边形法则 前提 已知两个同一起点的向量a，b，在平面内任取一点O
作法 作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作 OACB，连接OC
结论 以O为起点的向量就是向量a与b的和，即＝________
图形
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的和可能是数量．( )
(2)两个向量相加就是它们的模相加．( )
(3)＝( )
(4)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量．( )
2．如图，在平行四边形ABCD中，＝( )
A． B． C． D．
二、|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
1．对于任意向量a，b，都有________≤|a＋b|≤________；
2．当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝________；
3．当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝________或________．
三、向量加法的运算律
1．(加法交换律)a＋b＝________；
2．(加法结合律)(a＋b)＋c＝________．
【即时练习】 化简：＝__________．
微点拨
(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和．
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
微点拨
根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论．
微点拨
(1)当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．
(2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
6.2.2 向量的减法运算
预学案03
一、相反向量
定义 如果两个向量长度________，而方向________那么称这两个向量是相反向量
性质 对于相反向量有：a＋(－a)＝________
若a、b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝________
零向量的相反向量仍是零向量
推论 －(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； 如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0
【即时练习】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若b是a的相反向量，则a与b一定不相等．( )
(2)若b是a的相反向量，则a∥b.( )
(3)向量的相反向量是，且＝－.( )
2．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________．
二、向量的减法
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝________．如图所示
几何意义 如果把两个向量＝a，＝b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的________指向向量a的________的向量
【即时练习】
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则＝( )
A． B．
C． D．
2．设a与b是两个相等向量，则a－b＝________．
微点拨
相反向量仍具备两个要素：方向和长度．互为相反向量的两个向量一定是共线向量，任一向量与它的相反向量的和是零向量．
微点拨
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义．－＝，就可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减数”即可．
(2)以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该理解并会应用．
(3)在平行四边形ABCD中，＝＝，即两条对角线所在向量可以用从一个顶点出发的两边所在向量表示．
6.2.3 向量的数乘运算
预学案04
一、向量的数乘
定义 实数λ与向量a的积是一个________
记法 λa
长度 |λa|＝|λ||a|
方向 λ＞0 方向与a的方向________
λ＜0 方向与a的方向________
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于任意的向量a，总有0·a＝0.( )
(2)当λ＞0时，|λa|＝λa.( )
(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．( )
(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．( )
二、向量数乘的运算律
设λ，μ为任意实数
①λ(μa)＝________；
②(λ＋μ)a＝________；
③λ(a＋b)＝________．
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．
【即时练习】 3(2a－4b)＝( )
A．5a＋7b B．5a－7b
C．6a＋12b D．6a－12b
三、向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.
【即时练习】
1．已知a＝－e，b＝e，则下列式子正确的是( )
A．b＝a B．b＝－a
C．b＝2a D．b＝－2a
2．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
微点拨
(1)向量数乘仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数．
(2)不要忽略特殊情况：当λ＝0时，λa＝0.当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.
(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．
(4)向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向扩大(λ＞1)λ倍或缩小(0<λ<1)λ；当λ＜0时，沿着a的反方向扩大(|λ|＞1)λ倍或缩小(|λ|<1)|λ|.
微点拨
(1)向量数乘运算律与实数乘法运算律很相似，只是向量数乘分配律由于因子的不同，可分为(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb.
(2)向量数乘运算律的理论依据是两个向量相等的定义．
微点拨
(1)由a＝λb a∥b中，若λ＝0，则a＝0，零向量与任一向量都平行．若λ＞0，则a与b同向；若λ＜0，则a与b反向．
(2)由a∥b a＝λb中，由λ的唯一性，得b≠0.
(3)该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一非零向量线性表示，可以用来求参数λ，它是轴上向量坐标化的依据．
6．2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的概念
预学案05
一、向量的夹角
1．定义：已知两个________a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则________叫作向量a与b的夹角，夹角的取值范围是________．
2．特例：
(1)当θ＝0时，向量a，b________．
(2)当θ＝π时，向量a，b________．
(3)当θ＝时，向量a，b________，记作________．
【即时练习】 若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
二、向量的数量积
已知两个非零向量a与b，我们把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作________，即________________(θ为a，b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为________．
【即时练习】 已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝4，|b|＝4，则a·b＝( )
A．4 B．4
C．8 D．8
三、投影向量
1．如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影叫做向量a在向量b上的________．
2．如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的________．
3．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝________．
【即时练习】 已知|a|＝3，e为单位向量，它们的夹角为，则向量a在e上的投影向量是________．
四、向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝________．
(2)a⊥b ________．
(3)当a与b同向时，a·b＝________；当a与b反向时，a·b＝________．特别地，a·a＝________或|a|＝________．
(4)|a·b|____|a||b|.
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a与b的数量积a·b是一个向量．( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(3)若a⊥b，则a·b＝0.( )
(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acos θ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．( )
2．若|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，则向量a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
微点拨
按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，
∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
微点拨
(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
(2)两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、b的乘积ab(或a·b)是不同的．
(3)在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
(4)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc a＝c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b＝b·cDa＝c.
微点拨
(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量．
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．
微点拨
(1)a⊥b a·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．
(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝＝也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)用cos θ＝求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当θ＝0时，cos θ＝1，a·b＝|a||b|；
当θ为锐角时，cos θ>0，a·b>0；
当θ为直角时，cos θ＝0，a·b＝0；
当θ为钝角时，cos θ<0，a·b<0；
当θ＝π时，cos θ＝－1，a·b＝－|a||b|.
(4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题．
第2课时 向量数量积的运算
预学案06
向量的数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)a·b＝________(交换律)．
(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a·b＝a·c且a≠0，则b＝c.( )
(2)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(3)(a·b)2＝a2·b2.( )
(4)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.( )
2．已知a，b是互相垂直的单位向量，若c＝a－2b，则b·c＝( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
微点拨
(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)实数运算满足乘法结合律，但向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
(3)常用结论
①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2.
③(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
预学案07
平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝________．
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内________的一组基底．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)只有非零向量才能用平面内的一组基底e1，e2线性表示．( )
(2)同一向量用两组不同的基底表示时，表示方法是相同的．( )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( )
2．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
微点拨
(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
(2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值．
(3){e1，e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
6.3.2～6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示
预学案08
一、平面向量的正交分解及坐标表示
1．向量的正交分解
把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量作正交分解．
2．向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个________分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对________叫做向量a的坐标，记作a＝________，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
3．向量与坐标的关系
设＝xi＋yj，则向量的坐标________就是终点A的坐标；反过来，终点A的________(x，y)就是向量的坐标．
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是________的．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．( )
(4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
2．平面直角坐标系中，的坐标( )
A．与点B的坐标相同
B．与点B的坐标不相同
C．当A与原点O重合时，与点B的坐标相同
D．当B与原点O重合时，与点A的坐标相同
二、平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
【即时练习】
1．在平面直角坐标系中，若点A(0，1)，B(－1，2)，则的坐标为( )
A．(－1，1) B．(1，1) C．(－1，2) D．(－1，3)
2．已知向量a＝(0，3)，b＝(4，1)，则a＋b的坐标是________．
微点拨
(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(3)向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
预学案09
一、平面向量数乘运算的坐标表示
符号表示 若a＝(x，y)，则λa＝________
文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的________
【即时练习】
已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )
A．(5，7) B．(5，9)
C．(3，7) D．(3，9)
二、平面向量共线的坐标表示
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)共线的充要条件是______________．
【即时练习】 下列向量与a＝(1，3)共线的是( )
A．(1，2) B．(－1，3)
C．(1，－3) D．(2，6)
微点拨
两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
三、中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
【即时练习】 已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________．
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
预学案10
平面向量数量积的坐标表示
1．平面向量数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积 a·b＝____________
向量垂直 a⊥b ____________
2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝________．
3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝________．
4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cos θ＝________．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2－y1y2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
3．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x＝________．
微点拨
(1)公式a·b＝|a||b|cos θ与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
(2)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
(3)与向量a同向的单位向量的坐标表示：
因为与向量a同向的单位向量a0＝，若a＝(x，y)则|a|＝，所以a0＝＝(x，y)＝()，此式为与向量a＝(x，y)同向的单位向量的坐标表示．
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
预学案11
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
【即时练习】
1．在△ABC中，若·＝－5，则△ABC的形状一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
2．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________．
微点拨
(1)平面几何中经常涉及求距离(线段长度)、夹角问题，证明平行、垂直问题，而平面向量的运算，特别是数量积的运算主要涉及向量的模、夹角、垂直等知识，因此可以用向量方法解决部分几何问题．
(2)用向量解决平面几何问题，就是将几何逻辑推理论证问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作．
6.4.2 向量在物理中的应用举例
预学案12
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
【即时练习】 已知向量＝＝(－2，3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0，5) B．(4，－1) C．2 D．5
微点拨
向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象．
6．4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
预学案13
余弦定理
文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于__________________减去这两边与它们的__________________的两倍
公式 表达 a2＝______________________，b2＝______________________， c2＝______________________
推论 cos A＝__________________，cos B＝__________________， cos C＝__________________
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( )
(2)余弦定理只适用于锐角三角形．( )
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( )
(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( )
2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝，则c＝( )
A． B． C． D．
微点拨
(1)余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．
(3)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
第2课时 正弦定理
预学案14
正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等
符号语言 ＝________＝________＝2R(R为△ABC外接圆的半径)
常见变形 a＝2R sin A，b＝________，c＝________， sin A＝，sin B＝________，sin C＝________， a∶b∶c＝________，＝2R
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在△ABC中必有a sin A＝b sin B．( )
(2)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．( )
(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.( )
2．在△ABC中，A＝，a＝2，b＝2，则B为( )
A． B． C．或 D．
3．在△ABC中，已知b＝6，A＝45°，C＝75°，则a＝________．
微点拨
(1)正弦定理对任意三角形都适用．
(2)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径．
(3)正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广，正弦定理对任意三角形都成立，它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
预学案15
实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
仰角 在视线和水平线所成的角中，________的角称为仰角
俯角 在视线和水平线所成的角中，________的角称为俯角
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°
方位角 从正北的方向线按________时针到目标方向线所转过的水平角
【即时练习】
1．在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是( )千米．
A． B． C．6 D．2
2．已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西65°且B到C的距离为 km，则A，B两船的距离为________．
微点拨
解三角形在实际测量中的常见问题
(1)
(2)高度问题
(3)角度问题
测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要得出所求的角．
第4课时 余弦定理、正弦定理综合应用
预学案16
三角形面积公式
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为
(1)S＝________＝________＝________；
(2)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)．
【即时练习】
1．在△ABC中，若AB＝1，AC＝，A＝，则S△ABC的值为( )
A．2 B．
C．1 D．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝1，C＝45°，△ABC的面积为2，则b＝( )
A．2 B．4
C．4 D．4
微点拨
△ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝180°，sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C；
(2)大边对大角，即a>b A>B sin A>sin B；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
第七章 复数
7.1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
预学案17
一、复数的有关概念
1．复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做________，其中i叫做________，满足i2＝________.
2．复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做________．
3．复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的________，b叫做复数z的________．
【即时练习】 1－i的实部等于________，虚部等于________．
二、复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当____________．
【即时练习】 若复数3＋4i＝3＋bi，i为虚数单位，则b＝( )
A．1 B．2 C．4 D．5
三、复数的分类
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数i的实部不存在，虚部为0.( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
2．在下列数中，属于虚数的是________，属于纯虚数的是________．
0，1＋i，πi，＋2i，i，i.
微点拨
(1)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
(2)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(3)复数a＋bi的实部、虚部不一定是a、b，只有当a∈R，b∈R时，a、b才是该复数的实部、虚部．
微点拨
(1)应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，即分离实部和虚部．
(2)只有当a＝c且b＝d的时候才有a＋bi＝c＋di，a＝c和b＝d有一个不成立时，就有a＋bi≠c＋di.
(3)由a＋bi＝0，a，b∈R，可得a＝0且b＝0.
微点拨
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
7.1.2 复数的几何意义
一、复平面和复数的几何意义
1．如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x轴叫做________，y轴叫做________．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点________，这是复数的一种几何意义．
(2)
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定．因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义．
【即时练习】
1．复平面内的点M(1，2)对应的复数为( )
A．－1＋2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
2．复数z＝－2＋3i在复平面上对应的向量的坐标为________．
二、复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝________．
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．
【即时练习】 若z＝1＋i，则|z|＝( )
A．0 B．1
C． D．2
三、共轭复数
一般地，当两个复数的实部________，虚部____________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做________．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝________.
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数即为向量，反之，向量即为复数．( )
(2)复数的模一定是正实数．( )
(3)复数与向量一一对应．( )
(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|.( )
2．复数z＝3＋4i(i是虚数单位)的共轭复数是________．
微点拨
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
(4)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
【学习札记】
微点拨
(1)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．
(2)几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离．
微点拨
(1)结构特点：实部相等，虚部互为相反数．
(2)几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称．
【学习札记】
7．2 复数的四则运算
7.2.1 复数加、减运算及其几何意义
一、复数加法法则
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝________________．
2．复数加法的几何意义
两个向量与的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，复数的加法可以按照____________的加法来进行．
如图，复数z1＋z2是以为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
3．加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律：z1＋z2＝________．
结合律：(z1＋z2)＋z3＝____________．
【即时练习】
1．(1＋i)＋(－2＋2i)＝( )
A．－1＋3i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
2．在复平面上，如果对应的复数分别是6－5i，－1＋4i，那么对应的复数为________．
二、复数的减法法则
1．运算法则
复数的减法是加法的逆运算．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝____________．
2．复数减法的几何意义
如图，复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数．
【即时练习】
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
2．已知复数－5＋i与－3－2i分别表示向量和，则表示向量的复数为________．
微点拨
(1)复数加法可以从数与形两方面领会：代数形式上，复数加法类似于多项式加法的合并同类项；几何形式上，复数加法类似于向量加法．
(2)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加．
(3)实数加法的运算性质对复数加法仍然成立．
【学习札记】
微点拨
(1)复数减法的几何意义就是平面向量减法的三角形法则．
(2)在确定两个复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定．
【学习札记】
7.2.2 复数乘、除运算
一、复数乘法法则及其运算律
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝____________．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝________
结合律 (z1z2)z3＝________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝________
【即时练习】
1．复数i(1＋i)＝( )
A．－1＋i B．2＋i
C．1＋i D．－2－i
2．复数z＝(1－3i)2，其中i为虚数单位，则z的虚部为________．
二、复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)，则＝＝________(c＋di≠0)．
【即时练习】
1．复数z＝化简的结果是( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
2．复数的虚部为________．
微点拨
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
微点拨
(1)分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
(2)注意最后结果要将实部、虚部分开．
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台
一、空间几何体
名称 定义
空间几何体 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的________和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
多面体 由若干个__________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的________叫做多面体的棱；棱与棱的________叫做多面体的顶点
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定________旋转所形成的________叫做旋转面，封闭的旋转面围成的________叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的________
【即时练习】 如图所示，下列判断正确的是( )
A．①是多面体，②是旋转体
B．①是旋转体，②是多面体
C．①②都是多面体
D．①②都是旋转体
二、棱柱的结构特征
棱柱 有两个面互相________，其余各面都是________，并且相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相________的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的________ 顶点：侧面与底面的________ 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)棱柱的底面互相平行．( )
(2)棱柱的各个侧面都是平行四边形．( )
(3)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体．( )
三、棱锥的结构特征
棱锥 有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥S-ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的________ 顶点：各侧面的________ 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
【即时练习】 下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①②
四、棱台的结构特征
棱台 用一个______的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 可记作： 棱台ABCD-A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的______ 下底面：原棱锥的________ 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
【即时练习】 下列图形中，是棱台的是( )
微点拨
(1)多面体的一个重要特征是围成多面体的每一个面都是平面图形，没有曲面．
(2)多面体也包括它内部部分，而不是只有表面．
微点拨
(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．
(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．
微点拨
对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．
微点拨
棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
一、圆柱、圆锥、圆台的结构特征
结构特征 图形 表示
圆柱 以________________为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴；________于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；________于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，________于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作________
圆锥 以__________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作________
圆台 用平行于________的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作________
【即时练习】
1．如图所示的图形中有( )
A.圆柱、圆锥和圆台
B．圆柱和圆锥
C．圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥和圆锥
2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是( )
二、球的结构特征
结构特征 图形 表示
球 半圆以它的________为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的________；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为____
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)球面上四个不同的点一定不在同一平面内．( )
(2)球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．( )
(3)球面上任意三点可能在一条直线上．( )
(4)用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．( )
三、简单组合体
1．概念：由________组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．基本形式：(1)由简单几何体________而成；
(2)由简单几何体________或________一部分而成．
【即时练习】 如图，粮囤可以看作是由________和________构成的几何体．
微点拨
(1)以直角三角形斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．
微点拨
球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．
微点拨
识别组合体，要准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．
8.2 立体图形的直观图
一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相等的线段在直观图中仍然相等．( )
(2)平行的线段在直观图中仍然平行．( )
(3)一个角的直观图仍是一个角． ( )
(4)相等的角在直观图中仍然相等．( )
二、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
微点拨
画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
微点拨
画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感．
8．3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的________的面积的和．
【即时练习】 已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为( )
A．22 B．20
C．10 D．11
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝________ S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥 V棱锥＝________ S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台 V棱台＝(S′＋＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
【即时练习】 三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为( )
A．4 B．6 C．12 D．24
微点拨
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积也就是它的展开图的面积．
(2)注意区分侧面积与表面积，表面积包括侧面积和底面积．
微点拨
棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 底面积：S底＝________； 侧面积：S侧＝________； 表面积：S＝____________
圆锥 底面积：S底＝________； 侧面积：S侧＝________； 表面积：S＝______________
圆台 上底面面积：S上底＝________； 下底面面积：S下底＝________； 侧面积：S侧＝____________； 表面积：S＝________________
【即时练习】
1．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为( )
A．4π B．6π C．3π D．12π
2．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的表面积是________．
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积
圆柱 V圆柱＝Sh＝________
圆锥 V圆锥＝Sh＝________
圆台 V圆台＝(S＋)h＝________
【即时练习】
1．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是( )
A．2π2 B．π2
C． D．
2．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．
微点拨
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.
第2课时 球的表面积和体积
球的表面积和体积
1．球的表面积公式S＝________(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝________．
【即时练习】
1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为( )
A．2π B．16π
C．8π D．4π
2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )
A．π B．π
C．16π D．24π
微点拨
(1)球面不能展成平面图形，因此不能根据柱、锥、台求面积的推导方法求解．
(2)不要求掌握其推导过程，只要求记住公式并会应用，要求球的表面积，只需求出球的半径R.
8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
一、平面
1．平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周________的．
2．平面的画法
我们常用矩形的直观图，即____________表示平面，它的锐角通常画成________，且横边长等于其邻边长的________倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用________画出来，如图②.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
【即时练习】 下列说法正确的是( )
A．镜面是一个平面
B．一个平面长10 m，宽5 m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D．所有的平面都是无限延展的
二、平面的基本性质
1．基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过______________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的________ P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2.推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
【即时练习】 点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是( )
A．A∈l，l∈α B．A∈l，l α
C．A l，l α D．A∈l，l α
微点拨
(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
微点拨
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“ ”或“ ”表示．
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、空间中两条直线的位置关系
1．异面直线：不同在________平面内的两条直线．
2.异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
3．空间两条直线的三种位置关系
(1)从是否有公共点的角度来分：
(2)从是否共面的角度来分：
【即时练习】 若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
二、空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 ________个公共点 ____个 ____个
符号表示 ________ ________ ________
图形表示
【即时练习】 若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是( )
A．直线与平面平行
B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内
D．直线上有无数多个点都在平面外
三、空间中平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交
图示
表示法 ________ ________
公共点个数 ____个 ________个
【即时练习】 若M∈平面α，M∈平面β，α、β为不同的平面，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．重合 D．不确定
微点拨
1．异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
2．不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
微点拨
直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.
微点拨
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
8．5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
一、基本事实4
1．文字表述：平行于同一条直线的两条直线________．
2．符号表示： ________．
【即时练习】 如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与 HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
二、空间等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________
符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
【即时练习】 已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．大小无法确定
微点拨
基本事实4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本事实是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线．
微点拨
(1)空间等角定理实质上是由如下两个结论合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同(或方向相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．
(2)空间等角定理表明，把空间中的一个角平移后，角的大小不变．
(3)由空间等角定理可得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．
8.5.2 直线与平面平行
一、直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果________一条直线与________一条直线________，那么该直线与此平面平行
符号语言 a∥α
图形语言
【即时练习】 下列条件中，能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m与平面α内的所有直线平行
B．直线m与平面α内的无数条直线平行
C．直线m与平面α没有公共点
D．直线m与平面α内的一条直线平行
二、直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面________，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与________
符号语言 a∥α，________________ a∥b
图形语言
【即时练习】 如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
微点拨
(1)用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
①直线a在平面α外，即a α.
②直线b在平面α内，即b α.
③两直线a，b平行，即a∥b.
(2)实质是线线平行 线面平行．
微点拨
(1)线面平行的性质定理可以看作直线和直线平行的判定定理，实质是线面平行 线线平行．
(2)这里的线线是指与平面平行的一条直线和过这条直线的平面与已知平面的交线，定理中的三个条件缺一不可，即①直线a和平面α平行；②平面α和平面β相交于直线b；③直线a在平面β内．
(3)在应用该定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错误．
(4)使用定理时，还要注意直线a与平面α平行时，易出现“在平面α内作出一直线b使其与直线a平行”的错误作法．
8.5.3 平面与平面平行
一、平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 ________，________，________，____________ α∥β
图形语言
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知平面α，β和直线m，n若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β.( )
(2)若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α∥β.( )
(3)平行于同一条直线的两个平面平行．( )
(4)平行于同一个平面的两个平面平行．( )
二、平面与平面平行的性质定理
文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线________
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ________
图形语言
【即时练习】 已知平面α∥平面β，直线a α，则直线a与平面β的位置关系为________．
微点拨
(1)如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，那么这两个平面不一定平行．即使一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，也不能推出这两个平面平行．
(2)在这个定理中，要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字，否则条件不充分，结论不成立．
(3)判定定理说明，要证明面面平行，可证线面平行．
微点拨
(1)该定理是证明直线与直线平行的又一重要方法，简记为“面面平行，则线线平行”．
(2)定理中有两个条件：
①α∥β；②γ∩α＝a，γ∩β＝b.两个条件缺一不可．
(3)面面平行的性质定理给出了在两个平行平面内作平行直线的方法．
8．6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
一、异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线________与________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．异面直线所成角的范围：________．
【即时练习】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________．
二、直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作________．
【即时练习】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有( )
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
微点拨
(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关．
(2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
微点拨
两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形．
8．6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．它们唯一的公共点P叫做________
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
过一点垂直于已知平面的直线____________条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的________，________的长度叫做这个点到该平面的距离．
【即时练习】 空间中直线l和三角形ABC所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边AB的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不确定
二、直线与平面垂直的判定
文字语言 一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，__________ l⊥α
图形语言
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．( )
(2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．相交不垂直 D．不确定
三、直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与平面α________，但不和这个平面α________，图中直线PA
斜足 斜线和平面的________，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引________，过________和________的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为________
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角． 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是________；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是__________
取值范围 [0°，90°]
【即时练习】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
微点拨
定义中的“任意一条”与“所有直线”意义相同，但与“无数条直线”不同，即定义说明这条直线和平面内的所有直线都垂直．
微点拨
(1)判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．
(2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的．
微点拨
(1)直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°，而斜线和平面所成的角θ的取值范围是0<θ<90°.
(2)斜线和平面所成的角反映了斜线和平面的位置关系，它是转化成平面内两条相交直线所成的角度量的，它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角．
(3)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面成0°角；当直线与平面垂直时，直线与平面成90°角．
第2课时 直线与平面垂直的性质
一、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言 ________
图形语言
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．( )
(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．( )
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．( )
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
二、直线与平面、平面与平面的距离
1．直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫这条直线到这个平面的距离．
2．两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离________，我们把它叫做两个平行平面间的距离．
【即时练习】 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则直线A1B1到平面ABCD的距离为________，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________．
微点拨
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
微点拨
直线与平面的距离、平面与平面的距离最终都要转化为点到平面的距离．
8．6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
一、二面角
1．定义：从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的__________；这两个半平面叫做二面角的________.
2．画法：
3．记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.
4．二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作____________的射线OA，OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做____________．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是________．
【即时练习】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．
二、平面与平面垂直的定义与判定定理
1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作________．如图，
2．判定定理：____________________________________________________________.
符号表示为：____________________．
【即时练习】
直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
微点拨
(1)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个要素缺一不可．前两个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．
(2)二面角是一个几何图形，而不是真正意义的角．
(3)二面角的大小通过其平面角来度量．
(4)二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
微点拨
(1)判定定理可以简述为“线面垂直，则面面垂直”．因此要证明平面与平面垂直，可转化为寻找平面的垂线，即证线面垂直．
(2)两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据．
第2课时 平面与平面垂直的性质
一、平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果__________有一直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．( )
(2)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．( )
(3)若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则直线a必垂直于平面β.( )
微点拨
(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台
一、空间几何体
名称 定义
空间几何体 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的________和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
多面体 由若干个__________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的________叫做多面体的棱；棱与棱的________叫做多面体的顶点
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定________旋转所形成的________叫做旋转面，封闭的旋转面围成的________叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的________
【即时练习】 如图所示，下列判断正确的是( )
A．①是多面体，②是旋转体
B．①是旋转体，②是多面体
C．①②都是多面体
D．①②都是旋转体
二、棱柱的结构特征
棱柱 有两个面互相________，其余各面都是________，并且相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相________的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的________ 顶点：侧面与底面的________ 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)棱柱的底面互相平行．( )
(2)棱柱的各个侧面都是平行四边形．( )
(3)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体．( )
三、棱锥的结构特征
棱锥 有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥S-ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的________ 顶点：各侧面的________ 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
【即时练习】 下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①②
四、棱台的结构特征
棱台 用一个______的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 可记作： 棱台ABCD-A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的______ 下底面：原棱锥的________ 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
【即时练习】 下列图形中，是棱台的是( )
微点拨
(1)多面体的一个重要特征是围成多面体的每一个面都是平面图形，没有曲面．
(2)多面体也包括它内部部分，而不是只有表面．
微点拨
(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．
(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．
微点拨
对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．
微点拨
棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
一、圆柱、圆锥、圆台的结构特征
结构特征 图形 表示
圆柱 以________________为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴；________于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；________于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，________于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作________
圆锥 以__________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作________
圆台 用平行于________的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作________
【即时练习】
1．如图所示的图形中有( )
A.圆柱、圆锥和圆台
B．圆柱和圆锥
C．圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥和圆锥
2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是( )
二、球的结构特征
结构特征 图形 表示
球 半圆以它的________为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的________；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为____
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)球面上四个不同的点一定不在同一平面内．( )
(2)球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．( )
(3)球面上任意三点可能在一条直线上．( )
(4)用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．( )
三、简单组合体
1．概念：由________组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．基本形式：(1)由简单几何体________而成；
(2)由简单几何体________或________一部分而成．
【即时练习】 如图，粮囤可以看作是由________和________构成的几何体．
微点拨
(1)以直角三角形斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．
微点拨
球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．
微点拨
识别组合体，要准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．
8.2 立体图形的直观图
一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相等的线段在直观图中仍然相等．( )
(2)平行的线段在直观图中仍然平行．( )
(3)一个角的直观图仍是一个角． ( )
(4)相等的角在直观图中仍然相等．( )
二、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
微点拨
画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
微点拨
画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感．
8．3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的________的面积的和．
【即时练习】 已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为( )
A．22 B．20
C．10 D．11
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝________ S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥 V棱锥＝________ S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台 V棱台＝(S′＋＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
【即时练习】 三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为( )
A．4 B．6 C．12 D．24
微点拨
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积也就是它的展开图的面积．
(2)注意区分侧面积与表面积，表面积包括侧面积和底面积．
微点拨
棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 底面积：S底＝________； 侧面积：S侧＝________； 表面积：S＝____________
圆锥 底面积：S底＝________； 侧面积：S侧＝________； 表面积：S＝______________
圆台 上底面面积：S上底＝________； 下底面面积：S下底＝________； 侧面积：S侧＝____________； 表面积：S＝________________
【即时练习】
1．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为( )
A．4π B．6π C．3π D．12π
2．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的表面积是________．
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积
圆柱 V圆柱＝Sh＝________
圆锥 V圆锥＝Sh＝________
圆台 V圆台＝(S＋)h＝________
【即时练习】
1．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是( )
A．2π2 B．π2
C． D．
2．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．
微点拨
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.
第2课时 球的表面积和体积
球的表面积和体积
1．球的表面积公式S＝________(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝________．
【即时练习】
1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为( )
A．2π B．16π
C．8π D．4π
2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )
A．π B．π
C．16π D．24π
微点拨
(1)球面不能展成平面图形，因此不能根据柱、锥、台求面积的推导方法求解．
(2)不要求掌握其推导过程，只要求记住公式并会应用，要求球的表面积，只需求出球的半径R.
8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
一、平面
1．平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周________的．
2．平面的画法
我们常用矩形的直观图，即____________表示平面，它的锐角通常画成________，且横边长等于其邻边长的________倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用________画出来，如图②.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
【即时练习】 下列说法正确的是( )
A．镜面是一个平面
B．一个平面长10 m，宽5 m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D．所有的平面都是无限延展的
二、平面的基本性质
1．基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过______________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的________ P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2.推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
【即时练习】 点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是( )
A．A∈l，l∈α B．A∈l，l α
C．A l，l α D．A∈l，l α
微点拨
(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
微点拨
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“ ”或“ ”表示．
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、空间中两条直线的位置关系
1．异面直线：不同在________平面内的两条直线．
2.异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
3．空间两条直线的三种位置关系
(1)从是否有公共点的角度来分：
(2)从是否共面的角度来分：
【即时练习】 若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
二、空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 ________个公共点 ____个 ____个
符号表示 ________ ________ ________
图形表示
【即时练习】 若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是( )
A．直线与平面平行
B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内
D．直线上有无数多个点都在平面外
三、空间中平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交
图示
表示法 ________ ________
公共点个数 ____个 ________个
【即时练习】 若M∈平面α，M∈平面β，α、β为不同的平面，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．重合 D．不确定
微点拨
1．异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
2．不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
微点拨
直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.
微点拨
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
8．5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
一、基本事实4
1．文字表述：平行于同一条直线的两条直线________．
2．符号表示： ________．
【即时练习】 如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与 HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
二、空间等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________
符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
【即时练习】 已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．大小无法确定
微点拨
基本事实4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本事实是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线．
微点拨
(1)空间等角定理实质上是由如下两个结论合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同(或方向相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．
(2)空间等角定理表明，把空间中的一个角平移后，角的大小不变．
(3)由空间等角定理可得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．
8.5.2 直线与平面平行
一、直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果________一条直线与________一条直线________，那么该直线与此平面平行
符号语言 a∥α
图形语言
【即时练习】 下列条件中，能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m与平面α内的所有直线平行
B．直线m与平面α内的无数条直线平行
C．直线m与平面α没有公共点
D．直线m与平面α内的一条直线平行
二、直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面________，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与________
符号语言 a∥α，________________ a∥b
图形语言
【即时练习】 如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
微点拨
(1)用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
①直线a在平面α外，即a α.
②直线b在平面α内，即b α.
③两直线a，b平行，即a∥b.
(2)实质是线线平行 线面平行．
微点拨
(1)线面平行的性质定理可以看作直线和直线平行的判定定理，实质是线面平行 线线平行．
(2)这里的线线是指与平面平行的一条直线和过这条直线的平面与已知平面的交线，定理中的三个条件缺一不可，即①直线a和平面α平行；②平面α和平面β相交于直线b；③直线a在平面β内．
(3)在应用该定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错误．
(4)使用定理时，还要注意直线a与平面α平行时，易出现“在平面α内作出一直线b使其与直线a平行”的错误作法．
8.5.3 平面与平面平行
一、平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 ________，________，________，____________ α∥β
图形语言
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知平面α，β和直线m，n若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β.( )
(2)若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α∥β.( )
(3)平行于同一条直线的两个平面平行．( )
(4)平行于同一个平面的两个平面平行．( )
二、平面与平面平行的性质定理
文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线________
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ________
图形语言
【即时练习】 已知平面α∥平面β，直线a α，则直线a与平面β的位置关系为________．
微点拨
(1)如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，那么这两个平面不一定平行．即使一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，也不能推出这两个平面平行．
(2)在这个定理中，要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字，否则条件不充分，结论不成立．
(3)判定定理说明，要证明面面平行，可证线面平行．
微点拨
(1)该定理是证明直线与直线平行的又一重要方法，简记为“面面平行，则线线平行”．
(2)定理中有两个条件：
①α∥β；②γ∩α＝a，γ∩β＝b.两个条件缺一不可．
(3)面面平行的性质定理给出了在两个平行平面内作平行直线的方法．
8．6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
一、异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线________与________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．异面直线所成角的范围：________．
【即时练习】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________．
二、直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作________．
【即时练习】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有( )
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
微点拨
(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关．
(2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
微点拨
两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有
