九年级数学上册试题 24.4相似三角形的判定-沪教版（含解析）

24.4相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CD B．
C． D．
2．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒AD D．
3．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．各有一个角是100°的两个等腰三角形
B．各有一个角是90°的两个等腰三角形
C．各有一个角是60°的两个等腰三角形
D．各有一个角是50°的两个等腰三角形
4．如图，已知则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．
A．①，② B．②，③ C．③，④ D．①，④.
6．如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，下列选项中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在△ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
9．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有（ ）
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
11．下列条件，能使和相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，则=______．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则△ABC∽______，其相似比为______．
15．点D在的边AB上，且，则，理由是_______．
16．如图，添上条件________，则．
17．如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
18．如图，E是□ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中______对相似三角形．
19．如图，在矩形ABCD中，，，点E在边AD上，，点F在边DC上，则当________时，与相似．
20．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有____（填序号）
21．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
三、解答题
22．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
23．如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．
24．如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．
25．如图，在中，，于．
（1）写出图中的两对相似三角形；
（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．
26．如图，已知.求证：．
27．如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E．
求证：△DME∽△BCA．
28．如图，和的顶点都在正方形网格的格点上，则与相似吗？请说明理由．
29．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．
30．如图，在中，E是DC上一点，连接AE、F为AE上一点，且.
求证：.
31．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：△ADP∽△BDF；
（3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值．
答案
一、单选题
1．D
【解析】
本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
2．D
【解析】
由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．
【详解】
解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；
两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；
由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意；
而D不是夹角相等，故选项D符合题意；
故选：D
3．D
【解析】
根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解．
【详解】
A、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；
B、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；
C、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；
D、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；
故选：D．
4．A
【解析】
先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
A. ，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
B. ，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C. ∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D. ∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
故选：A
5．B
【解析】
根据三角形相似的判定判定即可；
【详解】
①必须是夹角，故错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，正确；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，正确；④必须是第三边的平行线，故错误；
故答案选D．
6．D
【解析】
试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D．
7．B
【解析】
根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵AC2=AD AB，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
B、∵BC2=BD AB，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△ABC，
不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．C
【解析】
根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
【详解】
满足条件的直线有4条，如图所示：
如图1，过D作DE∥AC，则有△BDE∽△BAC；
如图2，过D作DE∥BC，则有△ADE∽△ABC；
如图3，过D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，则有△ADE∽△ACB；
如图4，过D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，则有△BED∽△BAC，
故选：C．
9．B
10．B
【解析】
本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE=BE，我们可以分别得到：△AED、△BCD为锐角三角形，△BED、△ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．
【详解】
由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE=BE，
易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；
△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；
但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；
故选：B．
11．B
【解析】
【解析】
根据相似三角形的判定定理进行判断．
【详解】
解：A、，不能使和△相似，错误；
B、，能使和△相似，正确；
C、，不能使和△相似，错误；
D、，不能使和△相似，错误；
故选B.
12．D
【详解】
试题解析：如图①，∠OAB=∠，∠AOB=∠时，△AOB∽△．
如图②，AO∥BC，BA⊥，则∠=∠OAB，故△AOB∽△；
如图③，∥OB，∠ABC3=，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△；
如图④，∠AOB=∠=，∠ABO=∠，则△AOB∽△．
故选D．
二、填空题
13．
【解析】
根据平行线的性质得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，利用“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案为：．
14．△ADE
【解析】
根据已知条件判定相似三角形即可；
【详解】
∵DE∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴;
故答案是△ADE和．
15．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
【解析】
先依题意画出图形，再根据相似三角形的判定即可得．
【详解】
依题意，画图如下：
，即，
又，
（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
16．∠ABC=∠ADE（答案不唯一）
【解析】
根据相似三角形的判定定理添加即可.
【详解】
添上∠ABC=∠ADE条件，则△ABC∽△ACD．
理由：∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．
故答案为∠ACD=∠B（答案不唯一）
17．解：∠D=∠B或∠AED=∠C．
【解析】
根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．
【详解】
解：∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD AC=AB AE时两三角形相似．
故答案为∠D=∠B（答案不唯一）．
18．3
【解析】
由□ABCD可得，，再由平行线性质推导而证明△AFE∽△CFD∽△BCE，从而完成求解．
【详解】
∵□ABCD
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴
△CFD∽△BCE
∴△AFE∽△CFD∽△BCE
故答案为：3．
19.5或
【解析】
若要与相似,则需要对应直角边成比例,代入数值计算即可．
【详解】
由题意,知与都是直角三角形,
所以当或时,与相似,
由,,,得,,
∴或,
∴5或．
故答案为: 5或．
20.③④⑤
【解析】
两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
【详解】
解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、、．则
②△BCD的各边长分别为1、、2；
③△BDE的各边长分别为2、2、2（为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、、（为△ABC各边长的倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、、（为△ABC各边长的倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为③④⑤．
21.145
【解析】
先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.
【详解】
解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，
△ABD与△DBC相似，但不全等，
∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.
又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，
∴∠ADB+∠BDC=145°，
即∠ADC=145°.
三、解答题
22.证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．
23.∵正方形ABCD
∴∠DCB=∠DCF=90，DC=BC
∵CE=CF
∴△DCF≌△ECB
∴∠CDF =∠CBE
∵∠CDF＋∠F=90
∴∠CBE＋∠F=90
∴∠BGF=90=∠DCF
∴△BGF∽△DCF
24.∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE，
∴AD=，BD=2，
∴，
∵∠ADB=∠ADB，
∴△ADE∽△BDA．
25.解：根据相似三角形的判定定理可知：
图中的两对相似三角形为：和；
（2）∵，，
∴，
又∵，
∴．
26.解：．
．
．
∴，
∴.
27.证明：∵∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠C=∠ENB=∠DME=90°，
∴AC∥DN，
∴∠BEN=∠A，
∵∠BEN=∠DEM，
∴∠DEM=∠A．
在与中，
，
∴∽．
28.解：相似，理由如下：
设网格中小正方形的边长均为1．
根据勾股定理，得，
∴，
∴.
29.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠2+∠ADE+∠3＝180°，∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠ADE＝135°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABD∽△DCE．
30.证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴
∵，且，
∴.
∵，
∴，
∴.
31.（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠FCH＝45°，
∵AB∥FH，
∴∠HFC＝∠ABC＝90°，
∴∠FCH＝∠H＝45°，
∴CF＝FH＝AE，
∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，
∴△APE≌△HPF（AAS），
∴PE＝PF，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵EP＝PF，
∴∠EDP＝∠FDP＝45°，
∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，
∴∠ADP＝∠BDF，
∵∠DAP＝∠DBF＝45°，
∴△ADP∽△BDF；
（3）如图2中，作PH⊥BC于H．
∵∠ACB＝45°，PC＝，
∴PH＝CH＝1．
由（2）得：BE＝PE＝PF，
∴BE＝EF，
∴∠BFE＝30°，
∴PF＝2，
∴HF＝，
∴CF＝﹣1，