沪教版九年级数学上册试题 24.5相似三角形的性质（含答案）

24.5相似三角形的性质
一、单选题
1．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的最小内角为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题中，不正确的是：（ ）
A．两个全等三角形一定相似； B．两个等边三角形一定相似；
C．两个直角三角形一定相似； D．两个正方形一定相似．
5．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（ ）
A． B． C．相似比为 D．相似比为
6．直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AD=2，BC=3，AB=7，点P是线段AB上一个动点，要使以A、P、D为顶点的三角形与△BPC相似，P的位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，中，是中点，是中点，的延长线交于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有( )
① ； ② ； ③；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
12．如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）
A．AE=2DE B． C． D．
二、填空题
13．相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为______．
14．若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是______，面积比是______．
15．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________．
16．在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，又，则S△ADE：S四边形BCED=_____．
17．如图，已知点O是△ABC的重心，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝________．
18．如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是_____米．
19．如图，在ABC中，点D是边BC的中点，直线DF交边AC于点F，交AB的延长线于点E，如果CF∶CA=a∶b，那么BE∶AE的值为______．（用含a、b的式子表示）
20．如图，已知在平行四边形中，点E在边上，，联结交对角线于点O，那么的值为_____．
21．如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____．
22．如图，在中，，，点E是边上一点，以为斜边往侧作等腰，连接，若，四边形的面积为12，则_________，_________．
三、解答题
23．已知：在△ABC中，点D、E分别在AC、AB边上，且∠ADE=∠B，若AE=2，BE=3，AD=3，求CD的长．
24．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于O点，若S△AOD:S△DOC＝2:3，求S△AOB:S△COD．
25．如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：CD是DF和DA的比例中项．
26．已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF的面积:四边形EMNF的面积:四边形MBCN的面积．
27．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．
（1）求证：CF CA＝CB CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．
28．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且．
（1）求证：△CDE∽△ACB；
（2）当DA∶EA＝时，求△CDE与△ABC的面积比．
29．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
30．如图①，在四边形中，，，于点，作于点．
（1）求证：；
（2）连接，交于点（如图②），
①若，求的值；
②求证：．
答案
一、单选题
1．A
【解析】
根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．
解：∵对应高之比是1：2，
∴相似比=1：2，
∴对应周长之比是1：2．
故选：A．
2．C
【解析】
根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得．
由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为，
则另一个三角形的第三个内角为，
因此，另一个三角形的最小内角为，
故选：C．
3．A
【解析】
根据相似三角形的性质判断即可．
解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
4．C
【解析】
根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析解答即可．
解：、全等三角形是特殊的相似三角形，故正确；
、等边三角形的三个角均相等，可根据两角对应相等两三角形相似判定，故正确；
、若一个等腰直角三角形与一个一般直角三角形，则不能判定其相似，故不正确；
、由正方形的性质可判定其相似，故正确．
故选：C．
5．D
【解析】
根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．
解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或 ，B不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立；
∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为，∴D一定成立，
故选D ．　　　
6．C
【解析】
要使两个三角形相似，则可能是△PAD∽△PBC，也可能是△ADP∽△BPC，所以应分两种情况讨论，进而求解．
解：(1)①当△PAD∽△PBC时，
AP：PB=AD：BC，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴AP=；
②当△ADP∽△BPC时，
AP：BC=AD：BP，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6；
综合①②P点距离A点有三个位置：PA=；PA=1或PA=6；
故选：C．
7．B
【解析】
【解析】
根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC∽△CDB∽△ACB，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解.
【详解】
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ADC∽△CDB∽△ACB
∴AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，
故，A正确，B错误；
∵△ADC∽△CDB
∴
∴，,C,D选项正确；
故选B.
8．B
【解析】
由△ADC和△ABC相似，可得到，从而完成求解．
【详解】
∵△ADC和△ABC相似，且∠ACB=∠ACD=90°
∴
∴
∴
故选：B．
9．B
【解析】
过G作GF∥AB，交CD于F，得到△CFG∽△CDB，再根据AAS得出△ADE△GFE，然后根据相似三角形和全等三角形的性质即可得出答案
【详解】
解：过G作GF∥AB，交CD于F，
∴△CFG∽△CDB，
∴BG：CG=DF：FC
∵G是BC的中点，
∴BG=CG
∴DF=FC
∵GF∥AB，
∴∠DAG=∠FGA
∵E是AG的中点，
∴AE=GE
∵∠DEA=∠FEG
∴△DAE≌△FEG
∴DE=EF
∴DF=2DE=2EF
∴FC=2DE
∴EC=3DE
∴
故选：B
10．B
【解析】
【解析】
根据角平分线的性质，推出角相等，再得出边相等，判断出①②正确，再利用三角形不相似，排除其它选项，最后得解．
【详解】
解：如图，∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD
∴∠ABE=∠CBE，∠ABE=∠CBE．
∵CD∥BA，
∴∠ABC+∠BCD=180°．
∴∠BEC=∠D=∠A=90°．
则有△CED∽△BEA∽△CBE,
∴① 正确，③ 正确；
无法证明CD=DE，故②不正确；
故④CE 2=CD×BC正确；
故BE2=AE×BC不正确．
因此只有①②④正确．
故选B．
11．C
【解析】
首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得,，由此即可解决问题．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，DC=AB，
∵AC=CA，
∴△ADC≌△CBA，
∴S△ADC=S△ABC，
∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，
∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，
∴AG：AB=CH：BC=1：3，
∴GH∥AC，
∴△BGH∽△BAC，
∴，
∵，
∴.
故选C．
12．C
【解析】
A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．
C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断．
D.利用相似三角形的性质即可证明．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠DAB=90°，
∵△ABP是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，
∴∠DAE=30°，
∴AE=2DE，故A正确;
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，
∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，
又∵BC=BP，∠PBC=30°，
∴∠BPC=∠BCP=75°，
∴∠CPF=105°，
∴∠PHA=∠CPF，又易得∠APB=∠CFP=60°，
∴△CFP∽△APH，故B正确;
∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF，
∴△PFC与△PCA不相似，故C错误;
∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，
∴∠PCH=∠PBC，
∵∠CPH=∠BPC，
∴△PCH∽△PBC，
∴,
∴PC2=PH PB，故D正确，
故选：C．
二、填空题
13．4:3
【解析】
根据相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比解答即可．
【详解】
解：相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为4:3．
故答案为：4:3．
14．5:2 25:4
【解析】
根据周长比、面积比与相似比的关系可以解得答案．
【详解】
相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方．
两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是5：2，面积比是25：4．
故答案为5：2；25：4．
15．8
【解析】
首先设与它相似的三角形的最短边的长为x，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．
【详解】
解：设与它相似的三角形的最短边的长为x，则
，
∴；
∴三角形的最短边为8．
故答案为：8．
16．4:5
【解析】
由已知条件可证得△ADE∽△ABC，则，再根据已知条件，得出，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解．
【详解】
如图：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：DB＝2：1，
∴，
∴，
∵S△ADE＋S四边形DBCE＝S△ABC，
∴S△ADE：S四边形BCED=4:5.
故答案为：4:5．
17．4
【解析】
连接AO并延长交BC于Q，利用重心性质得AO：OQ=2：1，则AO：AQ=2：3，再证明△AEF∽△ABC，△AEO∽△ABQ，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】
解：∵连接AO并延长交BC于Q，
∵O是△ABC的重心，
∴AO：OQ=2：1，
∴AO：AQ=2：3，
∵EF∥BC，
∴△AEO∽△ABQ，△AEF∽△ABC，
∴
∵BC＝6，
∴EF=4．
故答案为：4．
18．5.4
【解析】
依据题意可得∠AOC＝∠BOD，通过说明△ACO～△BDO，得出比例式可求得结论．
【详解】
解：由题意得：∠AOC＝∠BOD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°．
∴△ACO～△BDO．
∴．
即．
∴BD＝5.4（米）．
故答案为：5.4．
19．a:(b-a)
【解析】
做辅助线构造全等三角形得出BG=CF，再由△BGE∽△AFE得即可．
【详解】
解：如图：
过点B作BG∥AC交EF于点G
∴∠1=∠C
∵点D是边BC的中点
∴BD=CD
在△BDG和△CDF中
∴△BDG≌△CDF
∴BG=CF
又∵BG∥AC
∴△BGE∽△AFE
∴ =
即BE:AE=a:(b-a)
故答案为：a:(b-a) ．
20．
【解析】
由题意可以得到△AOE∽△COD，再根据三角形相似的性质和已知条件可以求得AO：OC的值．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠OAE=∠DCO，∠OEA=∠ODC，
∴△AOE∽△COD，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
21．
【解析】
作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，再根据对应边成比例，即可得出答案．
【详解】
作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，
∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k）2＋k2，解得：k＝2，
∴BC＝2，AC＝4，
∴CM＝＝＝4，
∵正方形DEFG内接于△ABC，
∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
解得：EF＝；
故答案为：．
22．
【解析】
如图，过点作于，过点作，交的延长线于，由面积和差关系可求，通过证明，可得，可求，由勾股定理可求，，的长，通过证明，可得，可求，，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，过点作于，过点作，交的延长线于，
，，
，
，
，
四边形的面积为12，
，
，
等腰，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，且
，且，
，
，
，，
，
，
故答案为：，．
三、解答题
23．
∵∠ADE=∠B，∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴AC=
∴CD=．
24．
∵AB∥CD
∴△CDO∽△ABO
∵S△AOD∶S△DOC＝2∶3
∴AO：CO=2∶3
∴S△AOB∶S△COD=4:9．
25．
证明：（1）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，
∴DE DB=DA DF，
∵∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，
∴△DEC∽△DCB，
∴，
∴DC2=DE DB，
又∵DE DB=DA DF，
∴CD2=DF DA．
∴CD是DF和DA的比例中项
26．
∵EF∥MN∥BC，
∴△AEF∽△AMN∽△ABC，
∵E、M是AB边的三等分点，
∴△AEF，△AMN，△ABC的相似比为1:2:3，
∴△AEF，△AMN，△ABC的面积比为1:4:9，
∴△AEF的面积∶四边形EMNF的面积∶四边形MBCN的面积=1:3:5.
27．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC．
∴∠ADE＝∠E．
∵∠ADE＝∠BAC．
∴∠BAC＝∠E．
∵∠ACB＝∠ECF．
∴△ACB∽△ECF．
∴．
∴CF CA＝CB CE
（2）由（1）知∠ADE＝∠E．
∵∠ADF＝∠CFE．
∴△ADF∽△CEF．
∴．
∴．
∵AC＝DE．
∴EF＝CF．
∵△ACB∽△ECF．
∴AB＝BC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
28．
（1）∵CD是直角△ABC斜边上的中线，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠DCA＝∠A．
在△ADE中，∠DEC＝∠A＋∠ADE．
又∠ADE＝∠B－∠A，即∠B＝∠A＋∠ADE，
∴∠DEC＝∠B．
∴△CDE∽△ACB．
（2）令EA＝k，DA＝，CE＝x．
由△CDE∽△ACB，
得，即，
解得，（舍）．
所以．
29．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
30．
（1）证明：∵，∴．
∵，∴，
∴．
又∵，
∴；
（2）①解：如解图①，过点作交的延长线于点．
∵，，
∴是等边三角形，．
∵，
∴，．
∴，．
设的边长为，∵，
∴，，，
∴．
∵，，∴，
∴，
∴，即；
图①
②证明：如解图②，过点作交于点，则．
∵，∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，则．
又∵，∴，，
∴，
∴．
图②