九年级数学上册试题 25.3解直角三角形-沪教版（含解析）

25.3解直角三角形
一、单选题
1．在△ABC中，∠C=90°，以下条件不能解直角三角形的是（ ）
A．已知a与∠A B．已知a与c
C．已知∠A与∠B D．已知c与∠B
2．如图，中，，则的面积是（ ）
A． B．12 C．14 D．21
3．在中，，则边长为（ ）
A．7 B．8 C．7或17 D．8或17
4．如图，在直角中，延长斜边到点C，使，连接，若tanB=，则的值（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC=4，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．12 B．20 C．8 D．16
6．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作、，那么它们的大小关系是( )
A． B．
C． D．不能确定
8．如图，已知正方形的边长为2，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的点处，那么tan∠BAD’等于（ ）
A．1 B． C． D．
9．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，DE⊥AC于点E，连接BE，则tan∠CBE的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在中，边上的高，则__________．
12．在中，，则边的长为______
13．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________．
14．如图，在四边形中，，，，，则线段AD的长为___________.
15．如图，已知ABCD是正方形，以CD为一边向CD两旁作等边三角形PCD和等边三角形QCD，那么的值为_________。
16．如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，于点E，若
17．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2，则AB=_____．
18．如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为___．
三、解答题
19．在中，的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形．
（1）已知；
（2）已知．
20．已知：如图，中，．是边上一点，于点．．求：、、．
21．在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B为锐角且cosB＝．
（1）求△ABC的面积．
（2）求tanC．
22．如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求的值：
（2）若，求的长．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
24．如图，中，是中点，过点作直线的垂线，垂足为点．
求的值．
连接求四边形的面积．
25．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若，求tan∠EBC的值．
26．如图，平面直角坐标系中直线：分别与x轴，y轴交于点A和点B，过点A的直线与y轴交于点C，．
（1）求直线的解析式；
（2）若D为线段上一点，E为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点E的坐标．
答案
一、单选题
1．C
【分析】
根据解直角三角形的方法和计算进行判断．
【解析】
解：∵已知a和A，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠B＝∠C－∠A，c＝，b＝csinB.
故选项A错误．
∵已知c和a，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴b＝，sinA＝，sinB＝.
故选项B错误．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知A和B，∠A＋∠B＝∠C＝90°，
∴只能知道直角三角形的三个角的大小，而三条边无法确定大小．
故选项C正确．
∵已知c和B，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A＝∠C－∠B，a＝csinA，b＝csinB．
故选项D错误．
故选C．
2．A
【分析】
根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD的长，即可得出三角形的面积．
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB=，sinC=，BC=5，
∴cosB==，
∴∠B=45°，
∴AD=BD，
∵sinC==，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．
故选A．
3．C
【分析】
由的余弦值得到它的度数，再分情况讨论，画出图象，利用锐角三角函数求出BC的长．
【解析】
解：∵，
∴，
如图，当是钝角三角形时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，当是锐角三角形时，
．
故选：C．
4．D
【分析】
延长，过点作，垂足为，由，即，设，则，然后可证明，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得，，从而可求．
【解析】
解：如图，延长，过点作，垂足为，
，即，
设，则，
，，
，
，
，，
，
．
故选：．
5．D
【分析】
连接BD交AC于点O，由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°，求出∠BAO=30°，由直角三角形的性质得OB=OA=2，AB=2OB=4，即可得出答案．
【解析】
解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°，
∴∠BAO=30°，
∴OB= OA==2，AB=2OB=4，
∴菱形ABCD的周长=4AB=16；
故选：D．
6．C
【分析】
如图，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形即可解决问题．
【解析】
解：如图，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝，
故选：C．
7．C
【分析】
在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．
【解析】
如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，
在Rt△ABG中，AG＝ABsinB＝5×sin 50°＝5sin 50°，
在Rt△DHE中，∠DEH＝180° 130°＝50°，
DH＝DEsin∠DEH＝5sin 50°，
∴AG＝DH．
∵BC＝4，EF＝4，
∵等底等高两三角形面积相等
∴．
故选：C．
8．B
【解析】
试题解析：正方形ABCD的边长为2，则对角线BD=．
∴BD′=BD=．
∴tan∠BAD’=．
故选B.
9．B
【分析】
作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【解析】
解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
10．C
【分析】
根据题意和30°角所对的直角边与斜边的关系，设AB=4a，可以用a分别表示出CE和CB的值，从而可以求得tan∠CBE的值．
【解析】
设AB=4a，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，
∴BC=2a，AC=2a，AD：AB=1：4，
∵∠C=90°，DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠C，
∴DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴AE=a＝，
∴EC=AC-AE=2a ＝，
∴tan∠CBE=，
故选C．
二、填空题
11．
【分析】
由题意易得，则有，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解．
【解析】
解：如图，
∵AD⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为．
12．
【分析】
根据锐角三角函数定义即可解决问题．
【解析】
解：∵△ABC中，，
∴tan20°＝，
∴BC＝AC tan20°＝，
故答案为：
13．
【分析】
如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解．
【解析】
解：如图，延长BC，AD交于E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴BC=BE-CE=，
∴．
故答案为：
14．
【分析】
连结AC，先在Rt△ABC中，根据正切函数的定义求得tan∠ACB，进而求得∠ACB=30，于是AC=2AB=4，由∠BCD=120，得出∠ACD=∠BCD-∠ACB=90．然后在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求出AD的长．
【解析】
如图，连接AC，
在中，，， ，
，
∵，
，
，
，
，
在中，，，，
．
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
延长QP交AB于F，根据正方形与等边三角形的性质可得CD=CP=DP=DQ=CQ，DE=CE，QE=PE，再利用=求解即可.
【解析】
如图，延长QP交AB于F，
∵四边形ABCD为正方形，△PCD与△QCD是以CD为边的等边三角形，
∴四边形PCQD为菱形，
设正方形的边长为a，则可得，
PE=QE=a，DE=EC=a，
∴==.
故答案为.
16．3
【分析】
先根据矩形的性质得到AO=OD，再根据特殊角的三角函数值得到∠OAE=30°，进而求得OE的长，然后即可得解.
【解析】
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OD，
在Rt△AOE中，
∵，
∴sin∠OAE=，
∴∠OAE=30°，
则OE=AE·tan∠OAE=×=1，
OA===2，
故DE=OE+OD=OE+OA=3.
故答案为3.
17．4
【解析】
分析：由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD，进而可得出∠ACE=∠DCE，由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合∠ACB=90°可求出∠ACE、∠A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度．
详解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，
∴CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
∵CD平分∠BCE，
∴∠DCE=∠DCB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠ACB=30°，
∴∠A=60°，
∴AB==4．
18．9﹣5
【分析】
根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=2-2，PE=4-2，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论．
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=2，∵AD=2，∴AE=4，DE=2，∴CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，∴PF=PE=2﹣3，∴三角形PCE的面积=CE PF=×（2﹣2）×（2﹣3）=9-5，故答案为9-5．
三、解答题
19．
（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵．
∴，，，
∴．
20．
解：设BC=x，则AC=2x，
在中，
∵，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴，
，
．
21．
（1）如图，过点A作AH⊥BC于H．
∵cosB=，
∴∠B=60°，
∴BH=AB cosB=8=4，AH=，
∴S△ABC= BC AH=×6×=；
（2）在Rt△ACH中，
∵∠AHC=90°，AH=，CH=BC﹣BH=7﹣4=2，
∴tanC．
22．
（1）∵，是斜边的中线，
∴，
∴∠B=∠DCB，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
23．
（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴=1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴，
∴BF=AC=3
24．
在中，
而，，
是中点，
；
在中，，
，
是中点，
，
即，
在中， ；
在中，，
是中点，
，
25．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°．
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°．
∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°．
又∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE．
（2）在Rt△DEF中，，
∴设DE＝a，则EF＝3a，
∴．
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE＝EF＝3a，∠EBC＝∠EBF，
∴CD＝DE＋CE＝4a，
∴AB＝4a．
又由（1）知△ABF∽△DFE，
∴．
∴，即．
26．
解：（1）在中，求当y=0时，
解得：
∴A（，0）
又∵OC=6
∴C（0，6）
设直线AC的解析式为，将A（，0），C（0，6）代入得
，解得
∴直线AC的解析式为；
（2）过点B作BF⊥AC，
在中，x=0时，y=2
∴B（0，2）
在Rt△AOB中，，
在Rt△AOC中，，
∴∠BAO=30°，∠CAO=60°，∠ACO=30°
∴BF=，DF=2
∵
∴
∴，解得AD==BF
∴此时点D与点F重合，即BD⊥AC
∴CD=AC-AD=，
在y轴右侧作∠NCO=30°，过点D作DM⊥NC，交y轴于点E
此时EM=，
∴此时最短
又∵DM⊥NC，∠ACO=∠NCO=30°，
∴在Rt△CDM中，∠CDM=30°
∴CM=，DM=
又∵在Rt△CEM中，∠ECM=30°
∴，CE=2EM=2
∴OE=OC-CE=4
∴的最小值为3，点E的坐标为（0，4）．