沪教版九年级数学上册试题 25.4解直角三角形的应用（含答案）

25.4解直角三角形的应用
一、单选题
1．已知两点，若点对点的仰角为，那么对的俯角是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，为测河两岸相对两抽水泵的距离，在距点的处，测得，则间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
3．从地面上的两处望正西方向山顶，仰角分别为和两处相距，那么山高为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为( )米
A． B． C． D．24
5．小明同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时小明同学离A地 (　 　)
A．150 m B．50 m C．100 m D．100 m
6．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后公里”问题，电力公司在 改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为的山坡的平台上（如图），测得米，米，米，则铁塔的高度约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
8．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物的高度，如图，已知斜坡的坡度为，小明在坡底点处测得建筑物顶端处的仰角为，他沿着斜坡行走米到达点处，在测得建筑 物顶端处的仰角为，小明和建筑物的剖面在同一平面内，小明的身高忽略不计．则建筑物的高度约为（ ）（参考数据：）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．某兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC的长为 12 米它的坡度 ．在离 C点 40 米的 D处，用测量仪测得大楼顶端 A的仰角为 37度，测角仪DE的高度为 1.5米，求大楼AB 的高度约为（ ）米（）
A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7
10．某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一个平台、小华想利用所学知识测量古塔的高度，她在平台的点处水平放置一平面镜，她沿着方向移动，当移动到点时，刚好在镜面中看到古塔顶端点的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离米，米，米，米，已知，根据题中提供的相关信息，古塔的高度约为（参考数据：）（　　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，，已知木箱高，斜面坡角为，则木箱端点距地面的高度为_________．
12．在倾斜角为的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为，则斜坡上相邻两树的坡面距离为______．
13．如图，已知斜坡长，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡度为3∶1，休闲平台的长是______m．
14．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝___米（结果保留根号）．
15．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点处，另一端在边上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得，，长为32厘米，则的长为_______ 厘米．
16．如图，小丽的房间内有一张长高的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿与墙垂直，出风口离墙，空调开启后，挡风板与夹角成，风沿方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度(的长)至少为__________(精确到个位)(参考数据：)
17．如图，为测量某物体的高度，在点测得点的仰角为，朝物体方向前进到达点，再次测得点的仰角为，则物体的高度为 ______．
18．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌，小明在斜坡上处测得标识牌顶部的仰角为，沿斜坡走下来在地面处测得标识牌底部的仰角为60°，已知斜坡的坡角为30°，米． 则标识牌的高度是米__________．
19．如图，数学实习小组在高300米的山腰（即米）P处进行测量，测得对面山坡上A处的俯角为30°，对面山脚B处的俯角60°，已知，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且，则A，B两点间的距离为___________米．
20．有一种双层长方体垃圾桶AB＝70cm，BC＝25cm，CF＝30cm，侧面如图1所示，隔板EG等分上下两层，下方内桶BCHG绕底部轴（CF）旋转开，若点H恰好能卡在原来点G的位置，则内桶边CH的长度应设计为___；现将CH调整为25cm，打开最大角度时，点H卡在隔板上，如图2所示，则可完全放入下方桶内的球体的直径不大于____．
三、解答题
21．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由降为，已知原斜坡坡面长为200米，点在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离．(结果保留整数．参考数据: ，)
22．如图，在甲建筑物上从点到点挂一长为的宣传条幅，在乙建筑物的顶部点测得条幅顶端的仰角为，测得条幅底端点的俯角为，求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距离．(答案保留根号)
23．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图．其中，AB⊥BD．∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．车库坡道入口上方要张贴限高标志．以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．为标明限高，请你根据该图计算CE的长度（即点C到AD的距离）．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33）（结果精确到0.1m）
24．我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：1.414，1.732）
25．如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上．
（1）求的距离；
（2）小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
26．如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
27．如图，河流的两岸、互相平行，河岸上有一排间隔为的电线杆、、某人在河岸的处测得，然后沿河岸走了到达处，测得．求河流的宽度．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
28．如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：； 方案二：.
经测量得AB=4千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°．已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米.
（1）求出河宽AD（结果保留根号）；
（2）求出公路CD的长；
（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.
答案
一、单选题
1．A
【分析】
根据俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到B对A的仰角为．
【解析】
解：如图，
∵A对B的俯角为，
∴B对A的仰角为．
故选A．
2．A
【分析】
在中，，由此可以求出之长．
【解析】
解：在中，
，
．
又，，
．
故选：．
3．A
【分析】
设山高为，利用三角函数分别表示和BC的长．根据得方程求解．
【解析】
解：设山高为，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
∵，
∴．
解得：．
故选：．
4．B
【分析】
根据斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度为12米，可得AE=12，BE=6，然后利用勾股定理求出AB的长度．
【解析】
解：如图,过B作BE⊥AD于点E，
∵斜面坡度为1：2，AE=12，
∴BE=6，
在Rt△ABC中， ．
故选：B．
5．D
【分析】
根据在Rt△ABD中利用三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．
【解析】
解：如图：
由B在A的北偏西60°方向可求得∠B=60°，
在Rt△ABD中，
AD=AB sin60°=，
BD=AB cos60°=50，
∴CD=BC-BD=150．
∴AC==．
故选D．
6．C
【分析】
设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据，列出方程即可解决问题．
【解析】
解：设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，
∴
∴，
∴（1-）x=1，
∴x=．
故选C．
7．C
【分析】
延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，得到GF=BC=5，设DF=3k，CF=4k，解直角三角形得到结论．
【解析】
解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，
则四边形BGFC是矩形
∴GF=BC=5，
∵山坡CD的坡度为1：0.75，
∴设DF=3k，CF=4k，
∴CD=5k=35，
∴k=7，
∴DF=21，BG=CF=28，
∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45，
∵∠AED=52.5°，
∴AG=EG tan52.5°=45×1.30=58.5，
∴AB=AG-BG=30.5米，
答：铁塔AB的高度约为30.5米．
故选：C．
8．D
【分析】
如图，过F点作FH⊥CD，垂足为H，作FG⊥EB，垂足为G.利用坡度先求出FG与EG，设DE=CD=x，表示出FH，CH，再利用三角函数即可解得.
【解析】
如图，过F点作FH⊥CD，垂足为H，作FG⊥EB，垂足为G.
根据题意易知DC=DE，EF=13m，∠CFH=35°，HF=GD，HD=FG
∵斜坡的坡度为，且EF=13m
故FG=5m，EG=12m
设DE=CD=x，则FH=DE+EG=x+12，CH=CD-HD=CD-FG=x-5
在直角三角形CHF中，
解得x≈44.7
故选D
9．C
【分析】
延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．
【解析】
解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．
∵在Rt△BCF中，=，
∴设BF=k，则CF=k，BC=2k．
又∵BC=12，
∴k=6，
∴BF=6，CF=，
∵DF=DC+CF，
∴DF=40+，
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=，
∴AH=tan37°×（40+）≈37.785（米），
∵BH=BF-FH，
∴BH=6-1.5=4.5．
∵AB=AH-HB，
∴AB=37.785-4.5≈33.3．
故选C．
10．C
【分析】
由正切定义求出CE，延长GD交AB于点H，则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），证明△AHG∽△MNG，求出AH的长，则可求出答案．
【解析】
解：在Rt△CDE中，tan∠DCE，
∴0.9，
∴CE＝2，
延长GD交AB于点H，
则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），
∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN，
∴△AHG∽△MNG，
∴，
即，
∴AH＝19.5（米），
∴AB＝AH+HB＝21.3（米）．
答：古塔的高度AB为21.3米．
故选：C．
二、填空题
11．3
【分析】
连接AE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE的长，利用三角函数即可求得，然后在Rt△AEF中，利用三角函数求得的长．
【解析】
解：连接AE，在Rt△ABE中，已知AB=3ｍ，BE=，
∴根据勾股定理得．
又∵，∴．
在Rt△AEF中，，
∴．
故答案为：3．
12．
【分析】
由题意可知，利用角的余弦即可求出的长．
【解析】
解：，，
，
米，
米，
故答案为：．
13．20
【分析】
由三角函数的定义，即可求得AC与BC的长，又由坡度的定义，即可求得EH的长，继而求得休闲平台DE的长．
【解析】
解：如图，延长交于点H,
在中，，，
∴，
∵点D为中点，
∴，
又∵，
∴，
∵斜坡的坡度为：，
∴，
∴，即休闲平台的长是．
故答案为：20．
14．100．
【分析】
作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题．
【解析】
解：作DF⊥AC于F．
∵DF：AF＝1：，AD＝200米，
∴tan∠DAF＝，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝×200＝100（米），
∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴EC＝DF＝100（米），
∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴AD＝BD＝200（米），
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，
∴BE＝BD sin∠BDE＝200×＝100（米），
∴BC＝BE+EC＝100+100（米）；
故答案为：100．
15．
【分析】
作AC⊥OB于点C，然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC和BC的长，再根据直角三角形中的性质即可得到AB的长．
【解析】
解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，
则∠ACO=∠ACB=90°，
∵，
∴，
∴AC=OC，
设AC=x，则OC=x，
∵
由
解得，
∴（厘米），
即AB的长为厘米．
故答案为：．
16．
【分析】
连接AF,作FH⊥AD构造直角三角形运用三角函数解出FH,再将床高加上即可求出EC的值．
【解析】
当A、F在一条直线时,就正好不会吹到床上,连接AF,过点F作FH⊥AD,
∵AD=200,HD=20,
∴AH=180,
∵∠EFA=136°,
∴∠FAD=46°,
∴FH=．
∴ED=FH=187.2,
∴EC=187.2+50=237.2≈237．
故答案为237．
17．
【分析】
首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD＝DC BC＝20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
【解析】
∵在直角三角形ADB中，∠D＝30°，
∴＝tan30°，
∴BD＝＝AB，
∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝60°，
∴BC＝＝AB，
∵CD＝20，
∴CD＝BD BC＝AB AB＝20，
解得：AB＝m．
故答案为：．
18．
【分析】
过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN DE即可求出结论．
【解析】
解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB cos30°＝5（米），BM＝AB sin30°＝5（米）．
在Rt△ADE中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE tan60°＝10（米）．
在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋5（米），∠CBN＝45°，
∴CN＝BN tan45°＝10＋5（米），
∴CD＝CN＋EN DE＝10＋5＋5 10＝15 5（米）．
故答案为：15 5．
19．200
【分析】
在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．
【解析】
解：由题意得.
∵，
，
，
为直角三角形.
在中，（米）.
在中，（米）.
A，B两点之间的距离为200米.
故答案为：200.
20． 21
【分析】
① 由题意，EG等分上下两层，，勾股定理直接求解即可
②过点作于点，交于点，过点作于点，分别通过勾股定理和三角函数求出，继而求出，过点作于点,交于点，过作于点，通过证明，继而用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，求出，即为球的直径大小
【解析】
①点恰好能卡在原点的位置
故答案为：
②如图：
根据旋转，，,
过点作于点，交于点
过点作于点，
过点作于点,交于点，过作于点
又
,
球体的直径不大于21
故答案为21．
三、解答题
21．
解：，，，
∴在中，，
米，
∵在中，，
米，
米，
答：改善后的斜坡坡角向前推进的距离为104米．
22．
解：过点作于，
，，
，
是矩形，
，，
∵在中，，
，
∵在中，，
，
∵，
∴，
解得：米
即 米．
23．
解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，AB＝9，
∴BD＝tan18°×AB≈0.33×9＝2.97米，
∵∠DCE+∠ADB=90°，∠BAD+∠ADB=90°，
∴∠DCE=∠BAD＝18°，
在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠DCE＝18°，CD＝BD﹣BC＝2.97﹣0.5＝2.47（米），
∴CE＝cos18°×CD≈0.95×2.47≈2.3（米）．
24．
解：该文化墙PM不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，
∴tanα，∴α＝30°．作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，
∵新坡面的坡度为1：，∴tan∠CAD，
解得，AD＝6，∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，∴BD＝6米，
∴AB＝AD﹣BD＝（6）米，又∵PB＝8米，
∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（6）＝14﹣614﹣6×1．732≈3．6米＞3米，
∴该文化墙PM不需要拆除．
25．
解：（1）如图，过点作于点，
在中，，，
∵，
∴
在中，，，
∴．
∴海里
（2）如图，过点作于点，
在中，，，
∴
在中，．
在中，，，
∴海里．
∴点与点之间的距离为海里．
26．
过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．
在Rt△ABE中，BE=AB sin30°=20×=10km，
在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷km，
CF=BF sin30°=km，
DF=CD﹣CF=（30﹣）km，
在Rt△DFG中，FG=DF sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，
∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．
故两高速公路间的距离为（25+5）km．
27．
过点C作CG∥DA交AB于点G．
∵MN∥PQ，CG∥DA，
∴四边形AGCD是平行四边形．
∴AG=CD=50m，∠CGB=38°．
∴GB=AB-AG=120-50=70（m）．
∴，
在Rt△BFC中，
=2.75，
∴BF=，
∴，
解得：CF≈76.2（m）．
答：河流的宽是76.2米．
28．
（1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F．
由题意得：∠BAF=∠ABD+∠ADB=15°+45°=60°，
在Rt△BFA中，
BF=ABsin60°=4×=6（千米），
AF=ABcos60°=4×=2（千米）．
∵CD⊥AD，∠BDC=45°，
∴∠BDF=45°，
在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
∴DF=BF=6千米．
∴AD=DF-AF=6-2（千米）．
即河宽AD为（6-2）千米；
（2）过点B作BG⊥CD于G，易证四边形BFDG是正方形，
∴BG=BF=6千米．
在Rt△BGC中，CG＝=8（千米），
∴CD=CG+GD=14千米．
即公路CD的长为14千米；
（3）方案一的铺设电缆费用低．
由（2）得DE=CD-CE=8千米．
∴方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD=40万元，
方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）=（32+8）万元．
∵40＜32+8，
∴方案一的铺设电缆费用低．