九年级数学上册试题 26.1二次函数的概念-沪教版（含解析）

26.1二次函数的概念
一、单选题
1．下列函数中不属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果函数是二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．＝﹣2 D．为全体实数
3．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．直角三角形两锐角∠A与∠B的关系
B．矩形的面积一定时，长y与宽x的关系
C．我国人口年自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份的变化关系
D．等边三角形面积S与边长a的关系
4．在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）y=3(x－1)2+1 （2）y=（3）S=3－2t2 （4）y＝ x4＋2x2－1 （5）y＝3x(2－x)＋ 3x2 (6) y=mx2+x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是 ( )
A． B． C． D．
7．下列各点中，一定不在抛物线上的是（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）
8．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
9．已知抛物线经过E(4，5)，F（2，－3），G（－2，5），H（1，－4）四个点，选取其中两点用待定系数法能求出该抛物线解析式的是（ ）
A．E，F B．F，G C．F，H D．E，G
10．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
二、填空题
11．已知函数y＝（2﹣k）x2+kx+1是二次函数，则k满足__．
12．方程化为一般形式后，a=________，b=___________，c=_______，____________．
13．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式______________________________；②顶点式______________________________；③双根式______________________________．
14．像y＝－5x ＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的_____次式表示的．一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的______函数．其中，x是______，a为_______，叫做________；b为_______，bx叫做________；c为_______．
15．把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________．
16．已知二次函数的图象经过两点，则这个二次函数的解析式为_______．
17．若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________．
18．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：
… 0 1 3 4 8 …
… 7 0 0 40 …
则二次函数的解析式为__．
三、解答题
19．已知是关于的二次函数，试确定的值．
20．已知抛物线经过点．
（1）求a，b的值．
（2）若是抛物线上不同两点，且，求m的值．
21．下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？
．
22．（1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围；
（2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值．
23．已知．
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
24．题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字。请你根据有信息添加一个适当的条件，把原题补充完整并求解．己知二次函数的图象经过点，________．求该二次函数的表达式．
25．（1）已知二次函数的图象经过与两点，求这个二次函数的表达式；
（2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数表达式的题目，使所求得的二次函数与第（1）题相同．
26．我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，对于二次函数，探究下面的问题：
（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
（2）如果一个二次函数的图象经过三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式．
27．已知抛物线经过点，．
（1）求，的值．
（2）已知为正数，当时，的最大值和最小值分别为，，且，求的值．
答案
一、单选题
1．C
【分析】
利用二次函数定义进行解答即可．
【解析】
解：A、y＝（x+1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，故此选项不合题意；
C、y＝2（x+2）2﹣2x2＝8x+8不是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝1﹣x2是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2．C
【分析】
根据二次函数定义可得m-2≠0，，再解即可．
【解析】
解：由题意得：m-2≠0，，
解得：m=-2，
故选：C．
3．D
【解析】
【分析】
根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．
【解析】
因为直角三角形两个锐角∠A与∠B的关系为∠A+∠B=90°，是一次函数，所以A错误；
因为矩形的面积（S）一定时，长y与宽x的关系为：，不是二次函数，故B错误；
因为我国人口年自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份的变化关系，不是二次函数，故C错误；
因为等边三角形面积S与边长a的关系为：，即，是二次函数，故D正确.故选择D.
4．C
【分析】
根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．
【解析】
解：设剩下部分的面积为y，则：
y=-x2+4（0＜x＜2），
故选：C．
5．B
【分析】
根据二次函数的定义，逐一判断可得答案．
【解析】
（1）满足二次函数的定义，所以它是二次函数；
（2）分母中含有变量，不满足二次函数定义，所以它不是二次函数；
（3）满足二次函数的定义，所以它是二次函数；
（4）因为x的最高次数为4次，满足二次函数的定义，所以它不是二次函数；
（5）化简得：y=6x,它是一次函数，故它不是二次函数；
（6）当m=0时，它不是二次函数.
故是二次函数的有2个.
故选B.
6．D
【分析】
分析给出的三个点的特点，可知A,B关于y轴对称，所以排除关于原点对称的函数A，B选项，然后再利用函数的增减性可得出答案.
【解析】
∵A(-2，n)，B(2，n)
∴点A与点B关于y轴对称
∵、 的图像都关于原点对称
∴选项A、B错误
∵由B(2，n)、C(4，n+12)得，在对称轴右侧y随x增大而增大
∴a＞0
∴选择D：
故选D
7．C
【分析】
分别计算出x=1或x=2时的函数值，从而求得m的值，然后根据二次函数的定义进行判断．
【解析】
解：当x=1时，，此时解得m=1，
∴点（1，1）可以在抛物线上，故选项A不符合题意；
当x=2时，，
∴点（2，2）在抛物线上，故选项B不符合题意；
当x=1时，，此时解得m=0，此时抛物线解析式不成立，
∴点（1，2）一定不在抛物线上，故选项C符合题意；
当x=1时，，此时解得m=-1，
∴点（1，3）可以在抛物线上，故选项D不符合题意；
故选：C
8．B
【分析】
先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定b,c的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可
【解析】
∵二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
∴，
解得：，
将b＝4，c＝5代入方程﹣+bx+c+d＝0，
得：﹣+4x+5+d＝0，
又∵关于x的方程﹣+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，
∴把x＝6代入方程﹣+4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
经验证d＝7时，△＞0，符合题意，
∴d＝7．
故选：B．
9．C
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，则可判断H（1，－4）点为抛物线的顶点，于是可设顶点式y=a（x－1）2－4，然后把E点或F点或G点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式．
【解析】
解：根据题意，点E(4，5)，G（－2，5）在抛物线上，
∴点E和G是抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为：，
∴点H（1，－4）是抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为：y=a（x－1）2－4，
然后把点F（2，－3）代入解析式，得
，解得：，
∴；
故选择：C.
10．B
【分析】
根据二次函数的定义得到，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案
【解析】
由题意，
∴a有四种选法：1、2、3、4，
∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，
∴共有=100种，
故选：B
二、填空题
11．k≠2
【分析】
利用二次函数定义可得2﹣k≠0，再解不等式即可．
【解析】
解：由题意得：2﹣k≠0，
解得：k≠2，
故答案为：k≠2．
12．2 -7 -4 81
【分析】
化为一般形式，得，即可得．
【解析】
解：
，
∴，，，
，
故答案为：2，-7，-4，81．
13．
【分析】
根据二次函数的三种形式：一般式，形如；顶点式，形如；双根式，形如，进行求解即可．
【解析】
解：二次函数的一般式是形如的形式；
二次函数的顶点式是形如；
若、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标，则二次函数解析式可以设为形如的形式，这叫做双根式，
故答案为：，，．
14．二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项
【解析】
略
15．1
【分析】
先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论．
【解析】
解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6
∴一次项系数为7，常数项为-6
∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1
故答案为：1．
16．
【分析】
将（1,0）、（0,5）两点坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．
【解析】
解：把（1,0）、（0,5）代入，
得，
解得，
所以二次函数的解析式为．
故答案为：．
17．．
【分析】
设出二次函数的解析式为，将三点坐标代入二次函数解析式求出a，b，c的值，即可确定出解析式．
【解析】
设二次函数的解析式为，
将（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点代入解析式得：
，解得：．
则二次函数解析式为．
故答案为：．
18．
【分析】
从表格中选三组数代入，求出即可．
【解析】
解：设二次函数的解析式为，
将、、代入得：，
解得 ．
∴二次函数的解析式为；
故答案为：．
三、解答题
19．
解：根据题意得，，解得，，
∵，即，
∴．
20．
解：（1）把点（-1，6），（2，3）代入y=ax2+bx+1得，
，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y=2x2-3x+1，
把x=1代入y=2x2-3x+1得，y1=0，
∵y2-y1=36，
∴y2=36，
则2m2-3m+1=36，
解得：m=或m=5．
21．
解：是关于的二次函数；
不是二次函数；
是一次函数，不是二次函数；
是关于的二次函数，
故和是二次函数．
22．
解：（1）函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数，
即m2﹣m≠0，
即m≠0且m≠1，
∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数；
（2）由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m2+m≠0，
解得：m1=3，m2=﹣1（不合题意舍去），
所以m的值为3．
23．
（1）由是关于x的一次函数，
得解得．
所以当时，它是y关于x的一次函数．
（2）由是关于x的二次函数，得
①，解得；
②，解得；
③解得；
④，解得或．
综上所述，当m的值为4或或或0或1时，它是y关于x的二次函数．
24．
解：可以添加 ，
∵二次函数的图象经过点， ，
∴ ，
解得： ，
∴该二次函数的表达式为 ．
25．
解：（1）把（1，1）与（2，3）分别代入y=x2+bx+c得
，解得；
所以二次函数的解析式为；
（2）改为：二次函数y=x2+bx+c的图象经过（0，1）与（1，3）两点，求这个二次函数的表达式．
把（0，1）与（1，3）分别代入y=x2+bx+c得
，解得
所以二次函数的解析式为．
26．
（1）由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值．
（2）设所求二次函数为．
由已知，函数图象经过三点，得关于a，b，c的三元一次方程组
解这个方程组，得
．
所求二次函数是．
27．
解：（1）∵抛物线经过点，
∴ 解得
（2）由（1）可知抛物线的解析式为： =
∴抛物线的顶点坐标为：（1,8）
∵a<0,
∴当x=1时，y有最大值，最大值为8，又当0∵的最大值和最小值分别为，，
∴m=8
又∵
∴n=6
则6=
解得x=2或x=0
∵当x>1时，y随x的增大而减小，又当0∴1+k=2
∴k=1