九年级数学上册试题 26.2特殊二次函数的图像-沪教版（含解析）

26.2特殊二次函数的图像
一、单选题
1．抛物线y＝x2＋2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．y轴 C．x轴 D．直线x＝2
2．将抛物线向上平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．在同一坐标系中，作、、的图象，它们共同特点是　　
A．都是关于轴对称，抛物线开口向上
B．都是关于原点对称，顶点都是原点
C．都是关于轴对称，抛物线开口向下
D．都是关于轴对称，顶点都是原点
4．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　）
A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2
5．不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都( )
A．在y=x直线上 B．在直线y=－x上
C．在x轴上 D．在y轴上
6．对于二次函数，有以下结论：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．0或3
8．如果将抛物线的图象平移，有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”，现将抛物线：向右平移个单位得到，如果“平衡点”为，那么的值为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
9．已知，是抛物线上两点，则正数（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
10．如图，直线y＝2x与直线x＝2相交于点A，将抛物线y＝x2沿线段OA从点O运动到点A，使其顶点始终在线段OA上，抛物线与直线x＝2相交于点P，则点P移动的路径长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．二次函数y＝（x+1）2+2的顶点坐标为 ___．
12．抛物线与轴交点坐标为______.
13．若抛物线是抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到，则的函数关系式为________．
14．若二次函数y＝x2+x+1的图象，经过A（﹣3，y1），B（2，y2），C（，y3），三点y1，y2，y3大小关系是__（用“＜”连接）
15．已知抛物线经过点(－3，0)和(1，0)，则该抛物线的对称轴是_____．
16．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点：
甲：对称轴是；
乙：与轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：______.
17．抛物线沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线沿直线向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．
18．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣1），若∠ACB为直角，则当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是_____．
三、解答题
19．已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+1的图象的对称轴是x=2，求此二次函数解析式．
20．已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… -2 -1 0 1 2 …
… 0 -3 -3 …
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；
（2）求抛物线的表达式及的值；
21．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点(1，2)，(2，1)两点
（1）求二次函数的解析式；
（2）若﹣4＜x≤0，求y的取值范围
22．已知二次函数，当时，．
（1）当时，求y的值；
（2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
23．已知抛物线经过点、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把表达式化成的形式，并写出顶点坐标与对称轴．
24．已知二次函数的图像经过点．
（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．
25．已知抛物线与轴交于点，它的顶点为，对称轴是直线．
（1）求此抛物线的表达式及点的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移个单位，所得新抛物线经过原点，设新抛物线的顶点为，请判断的形状，并说明理由．
答案
一、单选题
1．B
【分析】
根据顶点式的可知对称轴为即轴，二次函数的顶点式，抛物线的顶点：．
【解析】
抛物线y＝x2＋2的对称轴是即轴．
故选B
2．A
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【解析】
解：将抛物线向上平移2个单位后，得到新抛物线的解析式是：，
故选：A．
3．D
【分析】
根据类型的二次函数图像性质可得结果.
【解析】
在二次函数中，其图象关于轴对称，顶点为原点，
、、都是类型的二次函数，
、、的图象关于轴对称，且顶点都是原点．
故选：．
4．A
【分析】
根据二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，可以得出那个选项是正确的．
【解析】
解：∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，
又∵，
∴抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是y=x2，
故选A．
5．B
【分析】
直接利用配方法可求顶点坐标为（-m，m），即可判断顶点所在直线．
【解析】
∵抛物线的解析式为y=a(x+m)2+m(a≠0)，
∴顶点坐标为（-m，m），
∴顶点在直线y=-x上．
故选B.
6．A
【分析】
将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解析】
解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线x=6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
当x=6时，y有最小值3，故②符合题意；
当y=0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选：A．
7．B
【分析】
由于函数图象关于y轴对称，则函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，由此求得问题的答案．
【解析】
解：∵二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，
∴函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，
∴-（m2-3m）=0，
解得：m=0或m=3，
∵二次函数的二次项系数m不能为0，
∴m=3．
故选：B．
8．B
【分析】
先将“平衡点”为代入抛物线，可求出，然后将将（4，0）带入新抛物线，即可求出．
【解析】
解：根据题意：将（4，n）带入C1，
得： ，
∵将抛物线：向右平移个单位得到新抛物线，
∴抛物线C2：，
将（4，0）带入C2，得：，
解得： 或，
又∵，
所以．
故选：B．
9．C
【分析】
根据二次函数的对称性可得，代入二次函数解析式即可求解．
【解析】
解：∵，是抛物线上两点，
∴，
∴且n为正数，
解得，
故选：C．
10．C
【分析】
根据点M在y＝2x上可得相应坐标，即可用顶点式表示出相应的二次函数解析式，求出点P的坐标，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解析】
解：∵设抛物线的顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y＝2m（0≤m≤2）．
∴当抛物线运动到A点时，顶点M的坐标为（m，2m），
∴抛物线函数解析式为y＝（x-m）2+2m．
∴当x＝2时，y＝（2-m）2+2m＝m2-2m+4（0≤m≤2），
∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．
∵对于二次函数y′＝m2-2m+4＝（m-1）2+3
当0≤m≤2时，
∴m＝1时，y′有最小值3，
当m＝0或2时，y′的值为4，
∴点P移动的路径长为2×（4-3）＝2，
故选：C．
二、填空题
11．（-1，2）
【分析】
由抛物线解析式可求得顶点坐标．
【解析】
解：∵y=（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（-1，2），
故答案为（-1，2）．
12．
【分析】
令x=0，求出y的值即可．
【解析】
解：∵当x=0，则y=-1+3=2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）．
13．
【解析】
【分析】
利用平移的性质求解即可.
【解析】
向上平移2个单位是，再向右平移2个单位得到.
14．y3＜y1＝y2．
【分析】
先将二次函数的一般式化成顶点式，从而求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象的对称性和增减性判断即可.
【解析】
∵y＝x2+x+1＝（x+）2+，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣，
A（﹣3，y1）关于直线x＝﹣的对称点是（2，y1），
∴y1＝y2，
∵﹣＜＜2，
∴y3＜y2，
故答案为y3＜y1＝y2．
15．直线x=－1.
【分析】
由条件知：点(－3，0)和(1，0)关于抛物线的对称轴对称，据此求出即可.
【解析】
解：∵抛物线经过x轴上的点(－3，0)和(1，0)，∴这两点关于抛物线的对称轴对称，
故抛物线的对称轴为：直线；
故答案为直线x=－1.
16．答案不唯一.如：、、、，等等.
【分析】
此题是一道以二次函数为背景的结论开放型试题，题目条件已确定，而所要求的结论不唯一.试题构思新颖，对培养阅读理解能力、数学思维的深刻性和创新意识起到良好作用.由二次函数图象的对称性及已知条件不难分析得出，若与轴两个交点的坐标分别是、，则与轴的交点为或，然后由一般式求解.其他情况类似.
【解析】
解 答案不唯一.如：、、、，等等.
17．
【分析】
沿直线y=x向上平移，平移距离为则相当于抛物线y=ax2 (a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．
【解析】
解:∵抛物线沿直线向上平移，平移距离为，相当于抛物线向右平移1个单位，向上平移1个单位，
∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是．
故答案为:．
18．﹣2＜x＜2．
【分析】
设直线y＝3与y轴交于D点，则D（0，3），由C(0，﹣1),可设抛物线的表达式为：y=ax2﹣1；由∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，可求点B(4，3)，由点B在抛物线上，可求解析式，由y=0，解方程即可求解．
【解析】
设直线y＝3与y轴交于D点，则D（0，3）
∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，
由C(0，﹣1)，则抛物线的表达式为：y=ax2﹣1；
CD=3﹣(﹣1)=4，
AD=BD=CD=4
则点B(4，3)，
将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：
∴a=，
故抛物线的表达式为：y=x2﹣1，
令y=0，则x=±2，
故y＜0时，﹣2＜x＜2，
故答案为：﹣2＜x＜2．
三、解答题
19．
∵ 图象的对称轴是x=2
∴ ，即，
解得：，，
经检验，，是所列分式方程的解，
分别将，代入y=(m2－2)x2－4mx+1中，解得：
此二次函数解析式为或．
20．
（1）由表可知：x=﹣1，y=0； x=0，y=﹣3；x=2，y=﹣3可知抛物线开口方向向上；
由表可知：x=0，y=﹣3；x=2，y=﹣3可知抛物线的对称轴为：，
故答案为：上；
（2）由表可知：代入点，，得：
，
解得：
∴抛物线的表达式为：，
当时，；
当时，；
21．
（1）将点(1，2)，(2，1)代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+1；
（2）∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，
∴该函数的对称轴是直线x=1，
∵1﹣（﹣4）=5，1﹣0=1，
∴当﹣4＜x≤0时，x=0，取得最大值，此时y=1，
x=﹣4时取得最小值，此时y=﹣23，
即当﹣4＜x≤0时，y的取值范围是﹣23＜y≤1．
22．
（1）∵把代入得，解得，∴这个二次函数的解析式为．
当时，．
（2）∵，
∴函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．
当时，函数y随x的增大而增大．
23．
解：（1）由抛物线经过点、两点可得：
解得：；
∴抛物线的解析式为：；
（2）；
∴，
∴顶点坐标为：，对称轴为：直线．
24．
解：（1）把点代入函数解析式，得，解得，
∴，
写成顶点式：，
∴顶点坐标是；
（2）将也写成顶点式，得，
，，
∴把原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移个单位．
25．
解：（1）∵抛物线对称轴是直线，
∴，
解得b=2，
把代入得，
，
∴抛物线解析式为：；
把代入得，
，
，
点M的坐标为：．
（2）抛物线与y轴交点为，向下平移个单位后经过原点，
∴m=2，
新抛物线的顶点N的坐标为：，
∴，
，
MN=2，
∴，
∴△MON是等腰直角三角形．