沪教版九年级数学上册试题 26.3二次函数ax2＋bx＋c的图像（含答案）

26.3二次函数ax2＋bx＋c的图像
一、单选题
1．抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
2．把配方成的形式后，h和k对应的值分别是（ ）
A．-2，-3 B．2，-3 C．2，3 D．-2，3
3．二次函数y＝x2+x﹣2的图象与x轴交点的横坐标是（　　）
A．2和﹣1 B．﹣2和1 C．2和1 D．﹣2和﹣1
4．在同一平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，得到新图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．将抛物线y＝x2+2x﹣1的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+6x+10 B．y＝x2+4x+2 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+38x+2
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中( )
A．(－1，1) B．(1，－1) C．(－1，－1) D．(1，1)
8．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（　　）
A．y＝3x2+7x+3 B．y＝2x2+7x+4 C．y＝x2+7x+5 D．y＝4x2+7x+2
9．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系：①；②；③；④其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③对任意实数都有；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标是______．
12．将二次函数化成的形式，则__________．
13．把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为，则a+b+c=___________。
14．有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：开口向下；乙：对称轴是直线；丙：与轴的交点到原点的距离为2，满足上述全部特点的二次函数的解析式为______．
15．抛物线一定经过非坐标轴上的一点，则点的坐标为___________．
16．已知抛物线与x轴一个交点的坐标为，则一元二次方程的根为____________．
17．根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，求出代数式的值为________．
x 3 5 7
1 1 13
18．如图在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，若与的面积比为3：5，则值为______．
三、解答题
19．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）求该二次函数的顶点坐标．
20．已知一个二次函数的图像经过三点
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）求tan∠BAC的值.
21．如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，求的值．
22．如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线与直线交于、两点，连接，．
（1）求的值；
（2）抛物线上有一点，满足，求点的坐标．
23．已知抛物线y＝x ＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线顶点为点D，
（1）求物线的解析式
（2）求证：∠ACB＝∠ABD
（3）沿着y轴所在直线上下平移抛物线，使平移后的抛物线与x轴正半轴的交点为E且E在B的右侧，若∠EDB＝45°，求平移后的抛物线表达式．
24．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与BC相交于点E,与x轴相交于点F.
（1）求线段的长．
（2）联结，若点G在抛物线的对称轴上，且与相似，请直接写出点G的坐标．
（3）设点P为x轴上的一点，且时，求点P的坐标.
答案
一、单选题
1．D
【分析】
根据二次函数顶点式的特点即可求解．
【解析】
抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（-3，﹣1）
故选D．
2．A
【分析】
利用配方法把一般式化为顶点式，得到答案．
【解析】
解：
=2（x2+4x）+5
=2（x+2）2-3，
则h=-2，k=-3，
故选：A．
3．B
【分析】
令，把函数转化为方程，利用因式分解法求出方程的根，从而求出二次函数的图象与轴交点的横坐标．
【解析】
解：令，则，
，
解得或1，
二次函数的图象与轴交点的横坐标是和1；
故选：．
4．B
【分析】
先将二次函数一般式改为顶点式确定顶点坐标，再利用点平移的坐标规律求解即可．
【解析】
二次函数改为顶点式为：．
∴该二次函数的顶点为，
∴把点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的对应点为，即．
故选：B．
5．A
【分析】
将抛物线解析式转化为顶点式，再根据图象平移规律，可得答案．
【解析】
解：
的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得
，即，
故选：A．
6．B
【分析】
首先根据二次函数图象的开口方向确定a＜0，再根据对称轴在y轴右，可确定a与b异号，然后再根据对称轴可以确定2a+c＜0，再根据反比例函数图象的性质和正比例函数图象的性质确定出两个函数图象所在象限，进而得到答案．
【解析】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵，
∴b＝﹣a＞0，
∴ab＜0，反比例函数y＝在第二、四象限，
∵当x＝﹣1时，y＜0，即a-b+c＜0，
把b＝﹣a代入得，2a+c＜0，
∴正比例函数y＝（2a+c）x的图象经过原点，且在第二、四象限，
故选：B．
7．D
【分析】
将p+q=0代入二次函数，变形得y=x2+p（x-1），若图象一定过某点，则与p无关，令p的系数为0即可．
【解析】
∵p+q=0，
∴y=x2+px+q=x2+px-p=x2+p(x-1)，
∵图象必经某点，
∴图像与p的值无关，
∴x-1=0，即x=1，
当x=1时，y=1，
∴它的图象必经过（1，1）
故选D.
8．A
【分析】
设和谐点为（t，t），把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，则△＝62﹣4ac＝0，所以ac＝9，再把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得c＝6﹣a，然后解关于a、c的方程组即可．
【解析】
解：设和谐点为（t，t），
把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，
整理得at2+6t+c＝0，
∵t有且只有一个值，
∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9，
把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a，
把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3，
∴c＝6﹣3＝3，
∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3．
故选：A．
9．B
【解析】
【分析】
抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，可得对称轴为y轴，b=0，方程ax2+bx+c=0的两根为c与-c，即可得出答案；
【解析】
∵抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，
∴对称轴为y轴，
∴b=0，y=ax2+c，
令x=1，得到y=a+c，
而x=1对应的函数值不一定为0，故a+c不一定为0；
∵OA=OB=OE，
∴方程ax2+bx+c=0的两根为c与-c，
∴ac2+c=0，∵c≠0，
∴c（ac+1）=0，
∴ac=-1，
S△ABE=×|2c|×|c|=c2，
故正确的有三个，
故选B．
10．D
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】
解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，对称轴为＞0，
而a＜0，所以b＞0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，可知c＞0，故abc＜0，故①错误；
由图象可知：当x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等，所以当x=-1时y<0，即a-b+c<0，故②正确；
由图象可知：对称轴=1，对任意实数都有，即，故③正确；
④由图象可知：对称轴=1，即b=-2a，a-b+c<0，所以，即，故④正确．
综上可得：②③④正确．
故选：D．
二、填空题
11．（-1，-7）
【分析】
已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解析】
解：∵y=2x2+4x-5=2（x+1）2-7，
∴抛物线y=2x2+4x-5的顶点坐标是（-1，-7），
故答案为：（-1，-7）．
12．
【分析】
利用配方法，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
【解析】
解：，
，
．
故答案为：．
13．1
【解析】
由抛物线y=ax2+bx+c先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y=x2-3x-5，可知抛物线y=x2-3x-5=（x-）2-先向上平移2个单位，再向左平移3个单位可得抛物线y=ax2+bx+c，根据平移法则可知平移后解析式为y=（x-+3）2-+2=（x+）2-=x2+3x-3，则a=1，b=3，c=-3，则a+b+c=1.
故答案为1.
14．
【分析】
由开口向下，可知a＜0，对称轴是直线x=2，可得k=2，与y轴的交点到原点的距离为2，可得与y轴的交点的坐标为（0，±2），利用待定系数法求出解析式．
【解析】
解：∵二次函数y=a（x-k）2的图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=2，
∴k=2，
∴二次函数y=a（x-k）2的解析式为y=a（x-2）2，
∵与y轴的交点到原点的距离为2，
∴与y轴交于点（0，2）或（0，-2），
把（0，2）代入得，2=4a，
∴（舍去），
把（0，-2）代入得，-2=4a，
∴，
∴解析式为：．
故答案为：．
15．（3，4）
【分析】
y=m（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=-1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）．
【解析】
解：∵抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m，
∴y=m（x2-2x-3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y与m无关，
显然当x2-2x-3=0时，y与m无关，
解得：x=3或x=-1，
当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；
当x=-1时，y=0，定点坐标为（-1，0），
∵P不在坐标轴上，
∴P（3，4），
故答案为：（3，4）．
16．
【分析】
将x＝ 1，y＝0代入抛物线的解析式可得到c＝ 3a，然后将c＝ 3a代入方程，最后利用因式分解法求解即可．
【解析】
解：将x＝ 1，y＝0代入得：a＋2a＋c＝0．
解得：c＝ 3a．
将c＝ 3a代入方程得：ax2 2ax 3a＝0．
∴a（x2 2x 3）＝0．
∴a（x＋1）（x 3）＝0．
∴x1＝ 1，x2＝3．
故答案为：x1＝ 1，x2＝3．
17．104
【分析】
根据题意可求出此二次函数的对称轴，即可求出．利用二次函数对称的性质即可求出．再化简得：，最后整体代入求值即可．
【解析】
根据题意可知此二次函数的对称轴为，即．
∵x=7，y=13，
∴x=1，y=13．
∴当x=1时，．
∵，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
18．
【分析】
．推导出顶点Ｄ的纵坐标，结合抛物线顶点坐标公式列式计算即可，同时要结合图形对参数进行判断．
【解析】
解：∵点Ｃ为抛物线与ｙ轴的交点，令，得，
∴
∴
∵
∴
∵点D为抛物线顶点，且在第四象限
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
故答案为：
三、解答题
19．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．
∴，解得 ，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）∵y＝x2﹣6x+5
＝（x﹣3）2﹣4，
∴该二次函数的顶点坐标为（3，﹣4）．
20．
解：（1）设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2 4x＋3；
（2）如图，过点C作CM⊥AB于点M，
∴点M的坐标为（1，3），
∴tan∠BAC＝．
21．
解：（1）把，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得：，
解得：，．
的值为或．
22．
解：（1）抛物线过点，
，
；
（2）由得，，
，
，
，
当时，，无实数根；
当时，
，
或．
23．
解：（1）∵抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）如图所示，连接AC，BC，BD，CD，
∵A点的坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），
∴OA=1，OB=3
∵C是抛物线与y轴的交点，
∴C点的坐标为（0，-3），
∴OC=OB=3，
∵∠COB=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴，
∵D是抛物线的顶点，
∴D点的坐标为（1，-4），
∴，，，
∴，
∴∠BCD=90°，
∴，
∴，
∴∠CBD=∠ACO，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠OBC+∠CBD=∠ABD；
（3）如图所示，过点A作AF∥BC交y轴于F，
∴∠AFO=∠OCB=∠BDE=45°，
∴∠ACB=∠AND=∠ACF+∠OCB=∠ACF+∠AFC，
∵∠FAC=180°-∠ACF-∠AFC，∠DBE=180°-∠ABD，
∴∠FAC=∠DBE，
∴△FAC∽△DBE，
∴，
∵∠AOF=90°，
∴∠AFO=∠FAO=45°，
∴AO=FO=1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵B（3，0），E在x轴上且在B点右侧，
∴E（13，0），
设平移后的抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴平移后的抛物线解析式为．
24．
（1）当时，解方程得：
∴抛物线与x轴的交点坐标分别为A（-1，0）、B(3，0)
∴OB=3
∵在中，当x=0时，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，3)
∴OC=3
∵
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)
∴DF=4，OF=1
∵OB=OC=3，OC⊥OB
∴∠OCB=∠OBC=45°
∵EF⊥OB
∴∠FEB=∠OBC=45°
∴EF=BF=OB-OF=3-1=2
∴DE=DF-EF=4-2=2
（2）设点G的坐标为(1，x)
在Rt△OBC及Rt△FBE中，由勾股定理得：，
∴
①若△COE∽△EGB
则有，∠GEB=∠OCE=45°
即OC BE=CE EG
∴点G只能在点E下方
∵由（1）可得点E的坐标为(1，2)
∴EG=2-x
∴
解得：x=-4
即点G的坐标为(1，-4)
②若△COE∽△EBG
则有，∠BEG=∠OCE=45°
即OC EG=CE BE
∴点G只能在点E下方
∴EG=2-x
∴
解得：
即点G的坐标为
综上所述，满足条件的点G的坐标为或
（3）①如图，当点P在点A的左侧时，连接DP、DA、DO
∵，
∴∠DOF=∠α=∠DAO+∠DPO，∠DOF=∠PDO+∠DPO
∴∠DAO=∠PDO
∴△OAD∽△ODP
∴，即
∵
∵OA=1
∴OP=17
∴点P的坐标为(-17，0)
②当点P在点A的右侧时，作点P(-17，0)关于抛物线的对称轴的对称点，则
∴
此时点满足题意，且其坐标为(19，0)
综上所述，满足条件的点P的坐标为或