沪教版九年级数学上册试题 26.3二次函数ax2＋bx＋c的图像同步测试（含答案）

26.3二次函数ax2＋bx＋c的图像
一、单选题
1．若A（1，），B（2，）是二次函数图像上的两点，则与的大小关系是（ ）
A．< B．= C．> D．不能确定
2．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当，y随x的增大而增大 B．当时，y有最大值-3
C．图象的对称轴是直线 D．图象与x轴有两个交点
3．下列关于二次函数的图象与性质的描述，错误的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象可由函数的图象平移得到
C．该函数图象关于y轴对称 D．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
4．设函数（，，是实数，），当时，；当时，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．二次函数在内的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．－29 D．－30
6．已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．
7．函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为-8，则m的取值范围是（　　）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5
8．老师给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
同学们讨论得出了下列结论，
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9．
其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．已知二次函数的图象经过，，，且，，，则满足（ ）．
A． B．
C． D．
10．如图，已知抛物线与轴交于、两点，将该抛物线向右平移（）个单位长度后得到抛物线，与x轴交于、两点，记抛物线的函数表达式为．则下列结论中错误的是（ ）
A．若，则抛物线的函数表达式为：
B．
C．不等式的解集是
D．对于函数，当时，随的增大而减小
二、填空题
11．在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣7上有A(﹣4，y1)，B(2，y2)两点，若抛物线开口向下，则y1、y2的大小关系为y1__________y2（填“>”，“＝”，或“<”）
12．如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是_______________________．
13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段上，与轴相交于，两点，设点，的横坐标分别为，，且．若是-1，则的最大值是_______________________．
14．二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过(1，m)，且mc＜0，下列结论：①c＞0；②a＜﹣；③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．其中一定正确的有_______．（填序号即可）
15．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________．
16．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是_________．
17．关于的代数式有最大值2，则______，取得最大值时______．
18．若抛物线（a，b，c是常数，）与直线1都经过y轴上的一点P，且抛物线1的顶点Q在直线1上，则称此直线1与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线1叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线1的“路线”若直线与抛物线具有“一带一路”关系，则___________，____________．
三、解答题
19．已知二次函数的图像经过、，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点和点在函数图像上，那么当时，请直接写出与的大小关系：_____．
20．已知抛物线y＝x2+x+与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）试判断AOC与BOC是否相似，并说明理由．
21．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．
22．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积；
（3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标．
23．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点为直线下方抛物线上一点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；
（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．
25．如图，将抛物线平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是．
（1）求点的坐标；
（2）设点在新抛物线上，联结，如果平分，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当和相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．
26．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
答案
一、单选题
1．C
【分析】
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可；
【解析】
∵，
∴，
∵，
∴时，y随x的增大而减小，
∵，
∴；
故选C．
2．B
【分析】
根据二次函数的性质求解即可．
【解析】
解：，
，开口向下，顶点，
当时，有最大值，
图象与轴没交点，
对称轴是直线，
当时，随的增大而增大．
故选：B．
3．D
【分析】
根据二次函数的性质逐一判断即可得．
【解析】
解：A、由a=1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确，不符合题意；
B、该函数图象可由函数y=x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确，不符合题意；
C、∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确，不符合题意；
D、∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项描述错误，符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】
将和，及和分别代入二次函数解析式，将用含的式子表示出来，然后将选项中的值分别代入求解即可.
【解析】
解：将和，及和分别代入得，
，
解得；
当时，，故A错误；
当时，，故B错误；
当时，，故C正确；
当时，，故D错误；
5．C
【分析】
根据图象，直接代入计算即可解答
【解析】
解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y最小值=-2×16+3=-29．
故选：C．
6．D
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3﹣m或m≤﹣1，解得即可．
【解析】
解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0），
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，
∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1
解得m＜1，
故选：D．
7．D
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【解析】
解：∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，
∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，1），
∴x=-1和x=5对应的函数值相等，
∵当-1≤x≤m时，此函数的最小值为-8，最大值为1，
当x=-1时，y=-8，
∴2≤m≤5，
故选：D．
8．C
【分析】
利用表格中的数据，先求出抛物线的解析式，然后逐一判断即可.
【解析】
解：∵抛物线经过点（0，-8）
∴设抛物线解析式为：
∴
解得
抛物线解析式为：y=x2-2x -8=（x-1）2 -9
①函数的对称轴为，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，抛物线的开口向上，正确；
②由①知，抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；
③当x＝﹣2时，y＝0，根据函数的对称性，则x＝4时，y＝0，故当﹣2＜x＜4时，y＜0，故③正确；
④由①知，函数的对称轴为x＝1，抛物线开口向上，故当x＞1时，y随x的增大而增大，正确；
⑤由抛物线解析式可知，抛物线的顶点坐标为（1，﹣9），故若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9，正确；
故选C．
9．C
【分析】
根据二次函数解析式，画出大致函数图像，然后结合条件画出A，B，C的大致位置，进而即可判断各个选项．
【解析】
解：二次函数可知：函数图像是一个开口向上的抛物线，且对称轴为直线x=m，
∵，
∴点C离对称轴最远，点B离对称轴最近，
又∵，，
∴A，B，C的大致位置，如图所示，
∴，，，
∴，
故选C．
∴
10．D
【分析】
利用平移规律求出将该抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线的解析式为．当n=2即可直接求出的解析式，即可判断A；对于，令，即，解出x，即可知点C、D坐标，即可求出CD的长，即可判断B；，即，解出不等式即可判断C；由的解析式为，可知其对称轴为，根据抛物线开口向下，即可知当时，y随x的增大而减小，即可判断D．
【解析】
将改为顶点式为．则将该抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线的解析式为．
当n=2时，抛物线的解析式为，
整理得：，故A正确，不符合题意；
对于，令，即，
解得：．
即C(，0)、D(，0)，
∴．故B正确，不符合题意；
，即，
∴
∴
∴，故C正确，不符合题意；
∵的解析式为，
∴其对称轴为，
∵该抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小．故D错误，符合题意．
故选D．
二、填空题
11．＜
【分析】
把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得、的值，比较大小即可．
【解析】
解：、三点在抛物线上，
，，，
抛物线开口向下，
，
，
，
，
故答案是：．
12．或
【分析】
找出二次函数的图象位于一次函数的图象的上方时，的取值范围即可得．
【解析】
解：表示的是二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
，
使成立的的取值范围是或，
故答案为：或．
13．13
【分析】
由的顶点在线段上，得出当P与B点重合时，取得最大值，利用二次函数的对称性，即可求解．
【解析】
解：由的顶点在线段上，与轴相交于，两点，
当P与B点重合时，取得最大值，
根据题意知B (6，-2)是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的对称轴为：
6-（-1）=7，
∴的最大值为13，
故答案为：13．
14．①②④
【分析】
把(1，m)代入得，，①由mc＜0，a＜0讨论及两种情况即可得①成立；②由a＜0，，根据有理数的加法法则得到，且即可得②成立；③依题意可知，二次函数的图像的对称轴为，根据轴对称的性质可知抛物线过(-3，m)，方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）可化为，因为方程有整数解，借助函数图像，可得整数解为-2，-1，0，故符合条件的p值有两个，③不正确；④当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，讨论当或 或三种情况即可得解．
【解析】
解： ，
或，
把(1，m)代入得，，
， ，显然当时，不成立，
，故①成立；
根据有理数的加法法则，可知：，根据绝对值及相反数的意义，得 ，
a＜﹣，故②成立；
二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过(1，m)，且对称轴 ，
根据轴对称的性质可知抛物线必过(-3，m)，如图，
关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）可化为：，
方程的整数解有-2，-1，0，故符合条件的p值有两个，③不正确；
当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，且抛物线的对称轴为
分情况讨论：
，抛物线的开口向下，
分情况讨论：
Ⅰ），即，
当时，二次函数有最大值为，
解，得，，，
，故④成立；
Ⅱ） ，即，
当时，二次函数的最大值为，
解，得，，不合题意，舍去；
当时，时，二次函数的最大值为，
解，得 ，不合题意，舍去；
综上所述，①②④成立．
故答案为 ：①②④.
15．且
【分析】
根据二次函数的定义和根的判别式进行计算即可．
【解析】
∵二次函数的图象和轴有交点，
∴，
∴，且，
故答案为：，且．
16．﹣1＜x＜3
【分析】
利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集是函数图像在x轴下方部分对应的自变量的取值范围即可．
【解析】
解：由图象得：对称轴是直线x＝1，其中一个点的坐标为（3，0），
另一交点的横坐标为1-（3-1）=-1，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集是函数图像在x轴下方部分对应的自变量的取值范围，
∴﹣1＜x＜3．
故填：﹣1＜x＜3．
17．-2 2
【分析】
先对原代数式配方、然后利用二次函数求最值的方法列式求出m和x即可．
【解析】
解：∵
∴当x-2=0，即x=2时，代数式有最大值4+m
∵关于的代数式有最大值2
∴4+m=2，即m=-2．
故答案为-2、2．
18．-1 1
【分析】
由直线可求得与y轴的交点坐标，代入抛物线可求得n的值，再由抛物线解析式可求得其顶点坐标，代入直线解析式可求得m的值
【解析】
解：在y=mx+1中，令x=0可求得y=1，在y=x2-2x+n中，令x=0可得y=n，
∵直线与抛物线都经过y轴上的一点，
∴n=1，
∴抛物线解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
∵抛物线顶点在直线上，
∴0=m+1，解得m=-1，
故答案为：-1；1．
三、解答题
19．
（1）将、，代入中得：
，
解得：，
二次函数解析式为：；
（2）由题可知：，
二次函数开口向下，
对称轴为直线，
当时，图像y随x的增大而减小，
，
．
故答案为：．
20．
（1）抛物线y＝x2+x+与x轴交于A、B两点，A在B的右侧，与y轴交于点C，
令，解得，
，
令，
即，
解得，
；
（2），理由如下，
如图，
，；，
，
，
，
又，
．
21．
解：（1）将代入得：
，解得，
∴抛物线表达式为：，
∵，
∴顶点C的坐标为；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，如图所示：
抛物线与y轴交于，
设BC解析式为，
将，代入得：
，解得，
∴BC解析式为，
令，得，
∴F，
∴，
∵，，
∴，，∠BAO＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，设，
则平移后的新抛物线的表达式为，
且，
，，
，，
若△DCA与△ABC相似，只需三边对应成比例，但AC对应边不能是AC，
故分三种情况：
①若△ABC∽△DCA，如图所示：
，即，
解得：，
∴，
∴平移后的新抛物线的表达式为：，
②若△ABC∽△DAC，
则，即，无解，
③若△ABC∽△ACD，如图所示：
，即，
解得，
∴，
∴平移后的新抛物线的表达式；
综上所述，△DCA与△ABC相似，平移后的新抛物线的表达式为或．
22．
解：（1）∵抛物线经过点A（-2，0），B（1，0）和D（-3，n），
∴， 解得：，
∴抛物线解析式为：；
∴
∴D（-3，2）；
（2）
令 则
∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处， ，
∴E（-2，3），
过作轴交于
设为 则
则为
∴
（3）如图，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，
∵A（-2，0），B（1，0），C（-1，0），D（-3，2），
∴OB=OC，DE=CE=3，AB=3，，
∴∠ABC=∠OCD=45°，
∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，
∴分两种情况讨论：
①如图，当∠BAC=∠CDP时，△DCP∽△ABC，
∴ ，
∴，
∴PC=2， 经检验：符合题意，
∴P（0，1），
②如图，当∠BAC=∠DPC时，△PCD∽△ABC，
∴，
∴ ，
∴PC=9， 经检验：符合题意，
∴P（0，8）．
∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．
23．
（1）将两点代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）存在，理由如下：
由（1）得：，
设直线BC的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
①如图，过A点作BC的平行线，交抛物线于P1点，
此时，根据平行线间距离处处相等，可得，
∵直线AP1与直线BC平行，
∴设直线AP1的解析式为：，
将代入得：，
∴直线AP1的解析式为：y=-x+1，
此时，联立，
得：，
解得：，，
代入y=-x+1分别求得：，，
∴，；
②由①可知，将直线BC向下平移至AP1时，即向下平移2个单位，满足条件，
同理，将直线BC向上平移2个单位，与抛物线的交点也满足条件，如图所示，
此时，直线P1P2的解析式为：，
联立，
得：，
解得：，，
代入直线分别求得：，，
∴，；
综上，存在这样的P点，分别为，，，；
（3）如图所示，作MQ∥y轴，交直线BC于Q点，
设，则，
∴，
∵，
∴，
根据二次函数的性质，，抛物线开口向下，
∴当时，取得最大值，此时，，
此时，作直线CH，交x轴于H点，使得∠OCH=30°，再作NK⊥CH于K点，
则在Rt△CNK中，∠NCK=30°，
∴NK=CN，
即：求得最小值，等价于求的最小值，
显然，当M，N，K三点共线时，即MK⊥CH时，取得最小值，如图所示，
此时，延长MQ交CH于点R，则∠MRK=30°，
∵，∠OCH=30°，
∴OH=，即：，
设直线CH的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴直线CH的解析式为：，
∵直线MR∥y轴，
∴M，R的横坐标相同，
∴将代入，得：，
即：，
∴，
在Rt△MRK中，∠MRK=30°，
∴，
∴的最小值为．
24．
解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，
∴DG∥OB，
∴△ADG∽△ABO，
∴，
∵AD＝3BD，
∴AG＝3OG，
∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴OG＝1，DG＝，
∵D（1，），
由平移得：点C的横坐标为1，
当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3，
∴m＝3﹣＝；
（3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限，
∴点C在AB的上方，
如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E，
∴BE∥OA，
∴∠BAO＝∠ABE，
∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，
∴∠FBE＝∠ABE，
∵∠BEF＝∠AEB＝90°，
∴∠F＝∠BAF，
∴AB＝BF，
∴AE＝EF＝OB＝2，
∴F（4，4），
设BF的解析式为：y＝kx+n，
则，
解得：，
∴BF的解析式为：y＝x+2，
∴，
解得或，
∴C（2，3）．
25．
解：（1）∵抛物线y=-x2+4的顶点为C，
∴点C（0，4），
∴OC=4，
∵tanB=4=，∴OB=1，
∴点B（1，0）
设点D坐标（a，b）
∴新抛物线解析式为：y=-（x-a）2+b，且过点C（0，4），点B（1，0）
∴，解得：，
∴点D坐标（-1，）
（2）如图1，过点D作DH⊥OC，
∵点D坐标（-1，），
∴新抛物线解析式为：y=-（x+1）2+，
当y=0时，0=-（x+1）2+，
∴x1=-3，x2=1，
∴点A（-3，0），
∴AO=3，∴，
∵点D坐标（-1，），
∴DH=1，HO=，
∴CH=OH-OC=，
∴，
∴，且∠AOC=∠DHC=90°，
∴△AOC∽△CHD，
∴∠ACO=∠DCH，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180°
∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB，
∴EC∥AO，
∴点E纵坐标为4，
∴4=-（x+1）2+，
∴x1=-2，x2=0，
∴点E（-2，4）；
（3）如图2，
∵点E（-2，4），点C（0，4），点A（-3，0），点B（1，0），点D坐标（-1，）
∴DE=DC=，，AB=3+1=4，
∴∠DEC=∠DCE，
∵EC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
∴∠DEC=∠CAB，
∵△DEF和△ABC相似，
∴或，
又∵DE=，AC=5，AB=4，
∴EF=或，
∴点F（-，4）或（，4）
设平移后解析式为：y=-（x+1-c）2+4，
∴4=-（-+1-c）2+4或4=-（+1-c）2+4，
∴c1=，c2=
∴平移后解析式为：y=-（x+）2+4或y=-（x-）2+4，
26．
解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．
②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．