沪教版九年级数学上册试题 第四节平面向量的线性运算（含答案）

第四节平面向量的线性运算
一、单选题
1．已知非零向量，则下列说法正确的是（ ）．
A．，则∥ B．，则⊥
C．，则∥ D．以上说法都不正确
2．与的长度与方向的关系是（ ）
A．长度相等，方向相同 B．长度相等，方向相反
C．长度不等，方向相同 D．长度不等，方向相反
3．下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么A与B重合 B．若，则B是OA的中点
C．若，则 若 D．B是OA的中点则
4．对于非零向量与，下列命题是假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．以下说法错误的是（　 ）
A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等
C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量
6．如果，，而且，那么与是（ ）
A．与是相等向量； B．与是平行向量；
C．与方向相同，长度不同； D．与方向相反，长度相同．
7．在中，与相交于点，，，那么OD等于（ ）
A． B． C． D．
8．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．
①对于实数和向量、，恒有
②对于实数、和向量 ，恒有
③若（是实数）时，则有
④若（、是实数，），则有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在平行四边形中，与交于点，若设，，则下列选项与相等的向量是（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算______．
12．化简：
（1）________．
（2）_________．
（3）________．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA、OD的中点，如果=，=，那么=___________．
14．如图，D、E是△ABC边AB、AC上的两点，AD：DB=2：1，DE∥BC，记=，=，那么DE=___________（用，表示）．
15．如图，在中，点D是边BC的中点，设 ， ，用、的线性组合表示是 ____________．
16．已知平行四边形中，点、分别是边、的中点，，，那么关于、的分解式是______.
17．如图，在中，点在边上，， ，，设， ，那么________ ．（用向量，的式子表示）．
18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，BC=CD=4，AD=2 ，若，
用、表示=_____．
19．如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC＝3BE，设，，那么将下列向量表示、的分解式：
（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．
20．如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为______________．
三、解答题
21．计算： ．
22．如图，是以点O为起点的两个非零向量，且，在图中作，，并求的模长．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点M是CD中点，BM与AC相交于N，如果，，求的值，并试用表示．
24．如图，已知平行四边形ABCD，=，=．
（1）=　　　　　；（用，的式子表示）
（2）BD =　　　　　　　；（用，的式子表示）
（3）若AC⊥BD，||=4，||=6，则|+|=　　　　　　．
25．如图，已知点M、N分别是□ABCD的边CD、BC上的中点． 设，，求向量、关于、的分解式．
26．如图，O为△ABC内一点，点D、E分别在AB、AC上，且；若，，求：用向量，表示．
27．如图已知点M是△ABC边BC上一点，设=，=
（1）当=2时，=　　　　　；（用与表示）
（2）当=m（m＞0）时，=　　　　　　；（用、与m表示）
（3）当=+时，=　　　　．
28．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G．
（1）求FG的长；
（2）设，，用、的线性组合表示．
答案
一、单选题
1．A
【分析】
由向量的等式关系，可得到两个向量的方向相同，从而得到答案．
【解析】
，则与方向相同，即∥，故选项A正确，选项B错误；
，无法判断和的方向，故选项C错误；
∵选项A正确，故选项D错误
故选：A．
2．A
【分析】
根据向量的线性运算解题即可.
【解析】
与相等向量长度相等，方向相同
故选：A
3．C
【分析】
根据共线向量的倍数关系和方向判断即可．
【解析】
因为=且方向相同，所以A与B重合，此选项正确；
B、因为且方向相同，所以B是OA的中点，此选项正确，
C、因为，但方向不明确，所以或，此选项错误；
D、因为B是OA的中点，所以，此选项正确，
符合题意的选项是C，
故选：C．
4．B
【分析】
根据向量的概念可得出正确答案．
【解析】
解：根据向量的概念，知：
A、C、D正确；
B、两个向量的长度相等，但两个向量不一定方向相等，故错误．
故选：B．
5．C
【分析】
A根据平行向量定义解题；B根据单位向量定义解题；C根据平行向量定义解题；D根据平行向量定义解题．
【解析】
A.零向量与任一非零向量平行，故A.正确；
B. 零向量与单位向量的模不相等, 故B.正确；
C. 平行向量方向相同，平行向量方向可能相同也可能相反，故C错误.；
D. 平行向量一定是共线向量，满足向量共线与平行的定义，故D.正确，
故选C．
6．B
【分析】
首先根据二元一次方程组的求解方法，可以得到，，又由向量的意义，可得与方向相反，长度不同，是平行向量．
【解析】
∵，，
∴，，
∴与方向相反，长度不同，是平行向量．
故选：B．
7．D
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得，，又由，即可求得OD的值．
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD=BD，
∴，
∵，
∴=
故选：D．
8．C
【分析】
根据平面向量的性质依次判断即可.
【解析】
①对于实数和向量、，恒有，正确；
②对于实数、和向量 ，恒有，正确；
③若（是实数）时，则有，错误，当m=0时不成立；
④若（、是实数，），则有，正确；
故选C.
9．D
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.
【解析】
解:∵在平行四边形中, ，，
∴,,M分别为AC、BD的中点,
∴，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意.
故选D.
10．A
【分析】
利用三角形法则求出，再根据三角形中心的性质解决问题即可．
【解析】
解：∵，，
∴，
∵AD，BE是△ABC的中线，
∴G是△ABC的重心，
∴BG＝BE，
∴＝，
故选A．
二、填空题
11．
【分析】
根据实数与向量相乘法则依次计算即可.
【解析】
解：原式=
=
=，
故答案为.
12．；；．
13．
【分析】
根据平行四边形法则表示出，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
【解析】
解：由向量的平行四边形法则得，，
所以，，
∵，
∴，
∴，
∵点E、F分别是OA、OD的中点，
∴EF∥AD且EF=AD，
∴EF∥BC且EF=BC，
∴，
∴．
故答案为： ．
14．
【分析】
由=，=，利用三角形法则即可求得，然后由AD：DB=2：1，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可求得，继而求得答案．
【解析】
解：∵=，=，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AB，
∵AD：DB=2：1，
∴DE：BC=2：3，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】
先根据向量运算求出，再根据线段中点的定义可得，然后根据向量运算即可得．
【解析】
，，
，
点D是边BC的中点，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】
首先由点M、N分别是边DC、BC的中点，可以得到MN=BD，又由 ，代入数值即可求得结果．
【解析】
解：如图：连接BD，
∵点M、N分别是边DC、BC的中点，
∴MN=BD，即 ，
∵，
又∵，，
∴
故答案为：
17．
【分析】
根据∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，可证，则有，可得AB＝3，BD＝1，可求得，然后根据 求解即可．
【解析】
解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴，
∴，
∴
∴AB＝3，
∴BD＝1，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
18．
【分析】
过点A作AE⊥DC，利用向量知识解题.
【解析】
解：过点A作AE⊥DC于E，
∵AE⊥DC，BC⊥DC，
∴AE∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECB是矩形，
∴AB＝EC，AE＝BC＝4，
∴DE===2，
∴AB=EC=2=DC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为.
19．
【分析】
先利用平行四边形的性质求出各边之间的关系，再利用向量混合运算法则一一求出即可.
【解析】
由平行四边形ABCD可知：AD=BC，OC=AC，
因为点F是AB的中点，BC=3BE，
所以BA=2BF，BC=3BE.
(1) ；
(2)
；
(3) ；
(4) ，
.
20．
【分析】
过点A作交EF于点G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根据相似三角形对应边成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根据向量的三角形法则求出BH，即可得解．
【解析】
解：如图，过点A作交EF于点G，交BC于H
四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形
，
若，
则
故答案为：．
三、解答题
21．
．
22．
解：如图1：过点A作=，
连接OC，
则=，
即为所求；
如图2，作DO=，
过点A作=，
连接DC，
则DC=，
DC即为所求；
连接AB，
则=﹣，
∵，
∴OA=OB=AB=，
∴∠AOB=60°，
∵，
∴AC∥OB，AC=OB，
∴∠C=∠COB，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
∴∠C=∠AOC，
∴∠AOC=∠COB=∠AOB=30°，
∴OD⊥AB，
∴OD=OA cos∠AOD=×，CD=AC cos∠C==×，
∴OC=3，
∴的模长为3．
23．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∵DM=CM，
∴AB=2CM，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∵MN=MB，
∴．
24．
解：（1）=﹣+；
（2）BD==+；
（3）∵AC⊥BD，||=4，||=6，
∴|+|=．
故答案为（1）﹣+；（2）+；（3）2．
25．
解析：
∵M、N分别是□ABCD的边CD、BC上的中点
∴MN∥DB，MN=
∴
26．
解：∵
∴
∴DE∥BC
∴
∵
∴；
27．
解：（1）∵=，=，
∴=﹣=﹣，
∵=2，
∴==（﹣）=，
∴=+=+（）=
（2）∵∵=，=，
∴=﹣=﹣，
∵=m，
∴==（﹣）=﹣，
∴=+=+（﹣）=+；
（3）∵=+，
∴，
解得：m=，
∴=．
故答案为：（1）；（2）；（3）．
28．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥BC，
∵BE=EC，
∴，
∵FG∥BC，
∴，
∴FG=BC=．
（2）∵
∵BE∥AD，
∴AF：AE=DF：DB=2：3，
∴．