西藏自治区拉萨市2024届高三下学期5月月考试题 数学（文）（PDF版含解析）

绝密★启用前
2024届高三 5月大联考（全国甲卷）
文科数学
本卷满分 150分，考试时间 120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合M {x∣0 x 1 2},N {x∣ x 2 x 1 0}，则M N （ ）
A. 0,2 B. 0,3 C. 1,3 D. 1,3
2.已知 z 1 i是方程 z2 2az b 0 a,b R 的根，则 a b （ ）
A.-3 B.-1 C.2 D.3
3.空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）等级表：
空气质量等
优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
级
空气质量指
数 0,50 50,100 100,150 150,200 200,300 300,
（AQI）
以下是某市 2024年 4月 1日至 22日空气质量指数分布的散点图，下列关于这 22天空气质量的描述，不正
确的是（ ）
A.空气质量为“良”的天数最多
B.空气质量为“优”和“良”的天数超过一半
C.17日空气质量为“重度污染”
D.该市这 22天空气质量越来越差
4.已知平面向量 a 1, 3 ,b 3,1 ，且 a b a ，则实数 的值为（ ）
2 3 3 1A. B. C. D. 3
3 2 2 3
5.执行如图所示的程序框图，则输出 n的值为（ ）
A.8 B.7 C.6 D.5
6.函数 f x sinx ln 2 x 的大致图象是（ ）
2 x
A. B.
C. D.

7.已知正四面体 ABCD中，E是 AB的中点，连接DE,G是DE的中点，点F 满足 AF 3FC ，则（ ）
A. AD EF
B. EF∥平面 BCD
C. FG∥平面 BCD
D.平面 EFG 平面 ABD
8.己知 a log721,b log510,c log33 3，则（ ）
A. a b c B. a c b
C.b a c D. c a b
2
9. C : x y
2 1
已知椭圆 1(a b 0)的离心率为 ,F是椭圆C的右焦点，P为椭圆2 2 C上任意一点， PFa b 2
的最大值为3 2 .设点 A 2,1 ，则 PA PF 的最小值为（ ）
A. 4 2 3 B. 4 2 1 C. 4 2 3 D.6
10.已知等差数列 an 的公差为 d ，前 n项和为 Sn ,a1 5 .若 S1 4, S2 4, S3 4成等差数列，且
d 1,10 ，则 S4 （ ）
A.12 B.21 C.32 D.56
11.已知函数 f x 2 sinx cosx，下列关于 f x 的描述，不正确的是（ ）
f 25 2A. π
8 2
B. f x 的最小正周期为 2π
C. f x 的图象关于直线 x 3π对称
D. f x 6π,13 π 在 上单调递增
2
12.已知圆锥 SO的母线长为6, AB是底面圆的直径，C为底面圆周上一点， AOC 120 ，当圆锥 SO的
体积最大时，直线 AC和 SB所成角的余弦值为（ ）
A. 2 B. 2 C. 5 D. 3
2 3 5 4
二 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13.已知函数 f x aex x，若曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线与直线 1 2e x y 1 0平行，
则实数a __________.
1
14.已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ,a2 ,a5 4 ，则 S3 __________.2
15.某企业钳工 车工和焊工三个车间分别推荐了 1名男员工和 1名女员工，供该企业工会从中选出 2名员工
参加全国技能比赛.若这 6名员工每人被选上的机会相等，则选出的 2人恰好是 1名男员工和 1名女员工，
且他们来自不同车间的概率为__________.
x2 y2
16.设双曲线C : 1(a 0,b 0)的左 右焦点分别为 F1,F2 , A为左顶点，过点 F1的直线与双曲线2 2 Ca b

的左 右两支分别交于点 N ,M（点M 在第一象限）.若MF2 4NA，则双曲线C的离心率 e __________，
cos F1MF2 __________.（第一空 2分，第二空 3分）
三 解答题：共 0分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答.第 22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60分.
17.（12分）
已知 ABC的内角 A,B,C a,b,c,C π的对边分别为 ,ab 4b 4ccosA .
6
（1）求b；
（2）若 c 3，求 ABC的面积.
18.（12分）
为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动.该校学生会从全校学生中随机抽取 60
名男生和 60名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分（满分：100分）统计，分别绘制成频率分布直方图，如
图所示.
（1）现有 10张某戏剧的演出票送给得分在 80分以上（含 80分）的同学，根据男生组和女生组得分在 80
分以上（含 80分）的人数，按分层抽样比例分配，则男生组 女生组分别得多少张该戏剧的演出票？
（2）假定学生竞赛成绩在 80分以上（含 80分）被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成绩及性别
制成下列 2 2列联表 (x表示参加竞赛的学生成绩 )：
男生 女生 合计
x 80
x 80
合计
根据列联表，判断是否有99%的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关？
2 n(ad bc)2
参考公式：K n a b c d a b c d （其中 .a c b d
P K 2 k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19.（12分）
如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1 4, AB 2，E为棱DD1上一点（含端点），且DE DD1 .
（1）证明： AC B1E；
1（2）当 时，证明： B E 平面 ACE；
2 1
（3）设几何体 B1ACE的体积为V ，若V 3,5 ，求 的取值范围.
20.（12分）
己知函数 f x 1 x2 2lnx ax a R .
2
（1）讨论 f x 的单调性：
（2）若 f x 有两个极值点 x1, x2，求证： f x1 x2 3ln2 4 .
21.（12分）
已知抛物线C : y2 2px(p 0)，准线 l与 x轴交于点M , A x0 , y0 为抛物线C上一点，AD l交 y轴于

点D .当 y0 4 2时，MA MD MF .
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线 AM 与抛物线C的另一交点为 B（点B在点 A,M 之间），过点 F 且垂直于 x轴的直线交 AM
于点 N .是否存在实数 ，使得 AM BN BM AN ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共 10分.请考生在第 22 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计
分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）

x a tcos
π
已知直线 l 4的参数方程为 （ t为参数，a R）.以坐标原点O为极点， x轴正半轴为极轴建
y tsin π
4
立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2cos 2sin .
（1）写出直线 l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
π
（2）设 A,B是曲线C上的两点，且 AB 2 .若直线 l上存在点 P，使得 APB ，求 a的取值范围.
2
23.[选修 4-5：不等式选讲]（10分）
设函数 f x 2 x 1 x a b a,b R .
（1）若 f 3 f 1 ，求实数 a的取值范围；
（2）当 a 5时，函数 f x 有两个零点 x1, x2 x1 x2 ，且满足 x1 x2 4，求实数b的值.
2024届高三 5月大联考（全国甲卷）
文科数学·全解全析及评分标准阅卷
注意事项：
1阅卷前请各学科教研组长，组织本学科改卷老师开会，强调改卷纪律，统一标准.
2请老师改卷前务必先做一遍试题，了解自己所改试题的答案 评分细则 答题角度后，再开始
改卷.
3.请老师认真批阅，不可出现漏改 错改现象，如果不小心漏改或错改了，可以点击回评按钮
重评.
4.成绩发布后，如果有学校反馈错评乱评，平台定位阅卷老师，进行通报批评.
5解答题要在学生的答案中找寻有用的文字说明 证明过程或演算步骤，合理即可给分.
6解答题不要只看结果，结果正确，但中间的文字说明 证明过程或演算步骤无法建立有效衔
接的，不能给满分；同样，结果错误，但正确写出相应的文字说明 证明过程或演算步骤应给
分，因第（1）问中结果算错，使后面最终结果出错（过程列式正确），不宜重复扣分.
7阅卷平台出现的相关问题，如果刷新页面重新登录未能解决，请将问题反馈给学校负责技术
的老师（或考试负责人），由其统一在技术 QQ群里反馈问题并协助解决.
一 选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A D B B C C B A C D A
1.C 【解析】由题意，知M {x∣1 x 3},N {x∣ 1 x 2}，所以M N 1,3 .故选 C.
2.A 2【解析】由题意，得 (1 i) 2a 1 i b 0 ，即 2a b 2 2a i 0，所以 2a b 0，且
2 2a 0，解得a 1,b 2，所以 a b 3 .故选 A.
3.D 【解析】从该市 4月 1日至 22日空气质量指数分布的散点图可以看出，空气质量为“优”和“良”的天数
超过一半，且为“良”的天数最多；17日的空气质量指数位于 200,300 之间，属于“重度污染”，所以 A，B，
C都正确，而这 22天的空气质量有变化，不完全是越来越差，所以 D错误.故选 D.

4.B 【解析】由已知，得 a 2,a b 2 3，又 a b a ，所以 a b a 0，即 a b a2 0，
3
所以 2 3 4 0，解得 .故选 B.
2
5.B 【解析】执行程序框图，初始值 s 1,n 1，判断“否”，
第一次执行循环体： s 1,n 2，判断“否”；
第二次执行循环体： s 2,n 3，判断“否”；
第三次执行循环体： s 2,n 4，判断“否”；
第四次执行循环体： s 3,n 5，判断“否”；
第五次执行循环体： s 3,n 6，判断“否”；
第六次执行循环体： s 4,n 7，判断“是”，输出 n 7 .故选 B.
2 x
6.C 【解析】由 0，得 x 2,2 ，所以 f x 的定义域为 2,2 .又
2 x
f x sin x ln 2 x sinx ln 2 x sinx ln 2 x f x ，所以函数 f x 为偶函数，图2 x 2 x 2 x
2 x 4 2 x
象关于 y轴对称，故 B错误；因为 ln ln 1 ，所以当 x 0,2 时， ln 0,sinx 0，2 x 2 x 2 x
所以 f x 0，故 A，D错误.故选 C.

7.C 【解析】如图，连接DF，平面 EFG即平面DEF .由E是 AB的中点和 AF 3FC ，知EF与 BC相
交.对于A，因为四面体 ABCD为正四面体，所以 AD BC, DAB 60 .若 AD EF ，又 BC,EF 平
面 ABC，且 BC,EF 相交，所以 AD 平面 ABC .又 AB 平面 ABC，所以 AD AB，与 DAB 60
矛盾，所以A错误；
对于B，若 EF∥平面 BCD，由 EF 平面 ABC，平面 ABC 平面 BCD BC，得 BC∥ EF，与
BC,EF 相交矛盾，所以B错误；

对于C，由 AF 3FC ，知 A,F ,C三点共线，且 AF 3FC .取BE的中点M ，连接 FM ,GM ，所以
AM 3MB，所以MF∥ BC .又MF 平面 BCD,BC 平面 BCD，所以MF∥平面 BCD .又G 是
DE的中点，所以MG∥ BD .又MG 平面 BCD,BD 平面 BCD，所以MG∥平面 BCD .因为
MG,MF 平面MFG，且MG MF M ，所以平面MFG∥平面 BCD .因为 FG 平面MFG，所以
FG∥平面 BCD，所以C正确；
对于D，连接CE，因为 E是 AB的中点，所以DE AB .若平面EFG 平面 ABD，又平面 EFG 平
面 ABD DE，所以 AB 平面 EFG .又EF 平面 EFG，所以 AB EF，与CE AB矛盾，所以D
错误.故选 C.
8.B 【解析】由已知，得
3
c log33 3 log 32
3
3 ,a log721 log7 3 7 1 log73 1
1 3
log7 7 1 ，2 2 2
b log 1 3510 log5 2 5 1 log52 1 log5 5 1 ，所以a c b .故选 B.2 2
c 1
9.A 【解析】设椭圆C的半焦距为c，由题意，得 ,a c 3 2 ，所以 c 2,a 2 2 .设椭圆C的
a 2
左焦点为 F ，则 F 2,0 ，
所以 PA PF PA 2a PF 2a PA PF 2a AF 4 2 3 .故选 A.
10.C 【解析】因为数列 an 的公差为 d(1 d 10),S1 5,S2 10 d ,S3 15 3d，所以 S1 4 3，
S2 4 14 d , S3 4 19 3d .由题意，知 2 S2 4 S1 4 S3 4 ，即
2 14 d 3 19 3d ，整理，得 d 2 52d 100 0，解得 d 2或 d 50（舍去）.当 d 2时，
4 3 4 4 1S4 4a1 d 4 5

2 32 .故选 C.
2 2
f 25 π 2 sin 3π 1 1 π π π 211.D 【解析】 π

cos

3π π

2sin cos sin ，所以 A正
8 8 8 8 8 4 2
sin2x sinx 0确； f x 2 sinx cosx ，画出函数 f x 的部分简图，如图：
sin2x(sinx 0)
由图象，知 f x 的最小正周期为 2π，所以B正确；
又 f x 的图象关于直线 x π对称，由周期性，知 f x 的图象关于直线 x 3π对称，所以 C正确；
因为 f x 在 0,
π π π
上单调递增，在 , 上单调递减，由 f x
13
的周期性，知当 x
4 4 2
6π, π 时，f x
2

在 6π,
25 π 25 13
4
上单调递增，在 π, π 上单调递减，所以 D错误.故选 D.
4 2
12.A 【解析】如图，圆锥 SO的母线长 l 6 .设圆锥 SO的底面半径为 r，高为 h，则 r2 h2 36，圆锥
V 1 1SO的体积 πr 2h πh 36 h2 1 π 36h h33 3 3 .
令 f h 36h h3(h 0) 2，则 f h 36 3h 3 h 2 3 h 2 3 .令 f h 0，得 h 2 3或
h 2 3 .因为 h 0，所以 f h 在 0,2 3 上单调递增，在 2 3, 上单调递减，
所以当h 2 3时， f h 取得最大值，此时 r 2 24, r 2 6 .
因为 AOC 120 ，所以 AC 3r 6 2 .
延长CO交 O于点D，连接 AD,BD,SD，则四边形 ACBD是平行四边形，所以
BD∥ AC,BD AC 6 2 ，
所以直线 AC与 SB所成的角为 SBD或其补角.
在等腰三角形 SBD中， SB SD 6,BD 6 2 ，所以 cos SBD 2 ，
2
2
所以直线 AC与 SB所成角的余弦值为 .故选 A.
2
二 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13.2 【解析】因为 f x aex 1，所以 f 1 ae 1 2e 1，所以 a 2 .故填 2.
7 1 1
14. 【解析】设等比数列 an 的公比为 q 3，由 a2 ,a5 4 a2q ，得 q3 8，所以 q 2，所以 a1 ，4 2 4
a 1 q3 7
S 73
1 .故填 .
1 q 4 4
2
15. 【解析】设 3名男员工分别为 A,B,C,3名女员工分别为 X ,Y ,Z，其情况如下表：
5
钳工 车工 焊工
男员工 A B C
女员工 X Y Z
则从 6人中选出 2人的基本事件有 A,B , A,C , A, X , A,Y , A,Z , B,C , B, X , B,Y ，
B,Z , C, X , C,Y , C,Z , X ,Y , X ,Z , Y ,Z ，共 15个，其中满足条件的基本事件有 A,Y ，
A,Z , B, X , B,Z , C, X , C,Y ，共 6个，所以选出的 2人恰好是 1名男员工和 1名女员工，且他
6 2 2
们来自不同车间的概率 P .故填 .
15 5 5
7
16.2； 【解析】由题意，知 A a,0 ，设双曲线C的焦距为 2c，则 F1 c,0 ,F2 c,0 .15

由MF2 4NA，得MF2∥ NA，且 MF2 4 NA ，所以 F2A 3 AF1 , MN 3 NF1 ，所以
c a 3 c a ，即 c 2a，所以双曲线C的离心率 e 2 .
如图，连接NF2，设 MF2 m，则
MF 2a 11 m, NF1 2a m , NF 2a
1
2 2a
1
m 10a m .在 F1NF2和 F1MF2中，由余4 4 4
弦定理的推论，得
1 (2a m)2 16a2 1 (10a m)2 2 2 2
cos NFF 16 16 (2a m) 16a m 51 2 1 ，化简整理，得m a,2 (2a m) 4a 2 (2a m) 4a 2
4
所以在 F1MF2中，由余弦定理的推论，得
5 2 2 5 2
(2a m)2 m2
2a a
(4a)2 2
a (4a)
cos F 2 71MF2 .2 2a m m 2 2a 5 5 a a
15
2 2
故填 2; 7 .
15
三 解答题：共 70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答.第 22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60分.
17.（12分）
【解析】（1）由 ab 4b 4ccosA和正弦定理，
得bsinA 4sinB 4sinCcosA
4sin A C 4sinCcosA
4sinAcosC .
因为 sinA 0，所以b 4cosC .
π
因为C ，所以
6 b 2 3
.
（2 2 2 2）由余弦定理，得 c b a 2abcos
π
，
6
所以12 a2 6a 3，
即 (a 3)2 0，解得 a 3
S 1 absinC 1所以 ABC的面积 3 2 3 sin
π
2 2 6
3 3
.
2
18.（12分）
【解析】（1）由频率分布直方图，
知男生组得分在 80分以上（含 80分）的有 0.010 0.005 10 60 9（人），
女生组得分在 80分以上（含 80分）的有 0.025 0.010 10 60 21（人），
9 21
男生占比为 ，女生占比为 ，
9 21 9 21
9
所以男生组分得票数为 10 3，
9 21
21
女生组分得票数为 10 7，
9 21
所以男生组 女生组分别得 3张和 7张该戏剧的演出票.
（2）由（1），知男生组得分在 80分以上（含 80分）的有 9人，80分以下的有 51人；女生组得分在 80
分以上（含 80分）的有 21人，80分以下的有 39人，
所以得如下2 2列联表：
男生 女生 合计
x 80 9 21 30
x 80 51 39 90
合计 60 60 120
K 2 120 (9 39 21 51)
2
根据列联表中数据计算，得
60 60 30 90
32
6.4
5
6.635,
根据临界值表，知没有99%的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关.
19.（12分）
【解析】（1）如图，连接 BD,B1D1 .因为 ABCD A1B1C1D1是正四棱柱，所以底面 ABCD为正方形，
且BB1 平面 ABCD，所以 AC BD .又 AC 平面 ABCD，所以 AC BB1 .
又BD,BB1 平面 BDD1B1,BD BB1 B，所以 AC 平面 BDD1B1 .
又B1E 平面 BDD1B1，所以 AC B1E .
（2）当
1
时， E为DD
1 1
1的中点，所以D1E DE DD1 AA1 2，2 2 2
所以 AE 2 2,B1E D1E
2 D1B
2
1 2 3 .
又 AB1 2 5，所以 AE
2 B1E
2 AB21 ，所以 AE B1E .
由（1）知， AC B1E .
因为 AC, AE 平面 ACE, AC AE A，所以B1E 平面 ACE .
（3）因为 E为棱DD1上一点（含端点），且DE DD1，所以 0,1 .
又 AC 2 2，
所以
V V V V 16 8 8 8 A BDEB 1 C BDEB 1 E ACD VB ABC 2VA BDEB V V 1 1 .1 1 E ACD B1 ABC 3 3 3 3
因为V 3,5 ，所以3 8 1 5 ，
3
1 7 1 7
解得 ，即 的取值范围是 , .
8 8 8 8
20.（12分）
2
【解析】（1） f x 的定义域为 0, , f x x 2 x ax 2 a .
x x
①若 a 0，则 f x 0，所以 f x 在 0, 上单调递增；
②若 a 0，令 x2 ax 2 0，此时Δ a2 8，
i）当Δ a2 8 0，即0 a 2 2 时， f x 0，所以 f x 在 0, 上单调递增；
ii）当Δ a2 8 0，即 a 2 2时，
2 2
方程 x2 ax 2 0 x a a 8 , x a a 8的两个实数根为 ，且0 x3 x3 4，2 4 2
当 x 0, x3 或 x x4 , 时， f x 0；当 x x3 , x4 时， f x 0，
所以 f x 在 x3, x4 上单调递减，在 0, x3 , x4 , 上单调递增.
综上，当 a 2 2时， f x 在 0, 上单调递增；

f x 0, a a
2 8 a a2 8
当 a 2 2时， 在 , , 上单调递增，
2 2
a a2 8 a a2 8
在 , 2 2
上单调递减.

（2） f x 有两个极值点 x1, x2，结合（1），知 a 2 2，且 x1, x2是方程 x2 ax 2 0的两个实数根，
所以 x1 x2 a, x1x2 2，
所以 f x1 x2 f a 2lna
1
a 2 .
2
1 2
令 g a 2lna a 2(a 2 2) a 2 a 2 ，则
2 g a
2 a 2 a .
a a a
因为 a 2 2，所以 g a 0，所以 g a 在 2 2, 上单调递减，
所以 g a g 2 2 3ln2 4，即 f x1 x2 3ln2 4 .
21.（12分）

【解析】（1）因为当 y0 4 2时，MA MD MF ，所以四边形MFAD为平行四边形，
所以 AD MF p,即 x0 p,所以 A p, 4 2 ,
将 A p, 4 2 代入 y2 2px，得32 2p2，
解得 p 4,(4分 )
所以抛物线C的方程为 y2 8x .
（2）如图，由题意，得M 2,0 .设直线 AM 的方程为 x my 2 m 4 0 ,B x1, y

1 ，则 N 2,m
.

y2 8x
由 ，得 y2 8my 16 0,Δ 64m2 64 0，所以 y y
x my 2 0 1
8m, y0 y1 16 .

AM BN
假设存在实数 ，使得 AM BN BM AN ，即 .
BM AN
| AM | y0 , | BN |
2 x
1
my1 4
由题意，知 ，
| BM | y1 | AN | x0 2 my0 4
| AM | | BN | y my
0 1
4 my y
0 1
4y0
所以 .
| BM | | AN | y1 my0 4 my0y1 4y1
又 y0 y1 8m, y0 y1 16，
| AM | | BN | my0 y1 4y0 16m 4y0 16m 4y
所以
0 1
| BM | | AN | my0y1 4y1 16m 4 8m y0 4y
，
0 16m
即存在实数 1，使得 AM BN BM AN 成立.
（二）选考题：共 10分.请考生在第 22 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计
分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）

x a
π
tcos
4
【解析】（1）由 （ t为参数， a R ，消去参数 t，得直线 l的普通方程为 x y a 0 .
y π tsin
4
由 2cos 2sin ，得 2 2 cos 2 sin .
将 x cos , y sin 代入 2 2 cos 2 sin ，
得曲线C的直角坐标方程为 x2 y2 2x 2y 0，即 (x 1)2 (y 1)2 2 .
（2）由（1），知曲线C表示圆心为 1,1 ，半径为 2 的圆， l为一条直线.
设弦 AB的中点为M ，
因为 AB 2，所以 CM 1，
所以点M 在以C 1,1 为圆心，1为半径的圆上.
又 APB π ，所以 PM 1，所以点 P在以M 为圆心，1为半径的圆上.
2
依题意，直线 l上存在点 P，使得 PC 2,
a
所以点C到直线 l的距离 d 2，即 d 2，
2
所以 2 2 a 2 2 ，
所以 a的取值范围为 2 2,2 2 .
23.[选修 4-5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）若 f 3 f 1 ，则 2 3 1 3 a b 2 1 1 1 a b，
即 3 a 1 a ,
两边平方，得9 6a a2 a2 2a 1，即8a 8，
解得 a 1，所以实数 a的取值范围是 , 1 .
x 7 b x 1
（2）因为 a 5，所以函数 f x 2 x 1 x 5 b 3x 3 b( 1 x 5) .

x 7 b x 5
观察图象（图略），知函数 f x 2 x 1 x 5 b在 , 1 上单调递减，在 1,5 和 5, 上单
调递增，且 f 1 6 b, f 5 12 b，
所以①当 12 b 6时， x 7 b, x
3 b 18 2b
1 2 .由 x1 x2 4，解得b 3；3 3
②当b 12时， x1 7 b, x2 7 b，此时 x1 x2 14，与 x1 x2 4矛盾，舍去.
综上，实数b的值为 3.