课件20张PPT。九年级上册第二十四章 圆 垂直于弦的直径活动1 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论： 圆是轴对称图形，任何一条直径所
在直线都是它的对称轴.
思考：你能证明你的结论吗？ 思考
在圆形纸片上任意画一条弦AA’，作垂直于弦AA’的直径CD，把圆沿着直径CD翻折时，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
问题1：如果换一条直径，这些线段和弧的
相等关系还存在吗？
问题2： 我们得到的这些线段和弧在量上的
相等关系是由谁决定的？
思考问题3：既然线段和弧在量上的相等关系是由
其相应的对称轴即直径决定的，那
么要如何描述这条对称轴呢？
问题4：平分弦的直径一定垂直于弦吗？
思考垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径
垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧．
垂径定理∵ CD 是⊙O的直径， CD ⊥AB
∴ AP=BPＰ垂径定理推论∵ CD 是⊙O的直径， AP=BP
∴ CD ⊥ABＰ已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB 交小圆于C、D两点，两个圆
都以点O为圆心．
求证: AC=BD．例题讲解
已知：⊙O中，OA=OB ，AB 交
⊙O于C、D两点．
求证：AC=BD．
例题讲解已知：如图，AB为弦，C、D为弦AB上的点，且OC=OD．
求证: AC=BD．例题讲解如图，AB为弦，⊙O的半径OE、OF分别交
AB于C、D，且AC=BD．
求证：CE=DF．例题讲解已知：CD是⊙O的直径，CD⊥AB于E，CD=10，OE=3．
求弦AB的长．53例题讲解已知：CD是⊙O的径，CD⊥AB于E，AB=16，OE=6．
求⊙O的半径．86例题讲解已知：如图，⊙O 的半径
为5，OE⊥AB于E，弦AB=8，
求弦心距OE的长．例题讲解 根据圆的轴对称性可知：
1.图形中存在等腰三角形；
2.图形中的直角三角形的三边分别为：
半径、弦长的一半、弦心距．
根据勾股定理可知:
三者间存在数量关系,三者知二求一．课堂小结已知: CD为⊙O的直径，弦AB交CD于E，
AE=BE，AE=3，CE=1.
求ED的长．例题讲解1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2 m,求桥拱的半径(精确到0.1 m).巩固练习
复习巩固：第1，2，3题．
1.本节课你学到了什么？还有哪些困惑？
2.我们是如何得到垂径定理及其推论的？
3.你学到了哪些数学思想和方法？总结归纳教科书83页练习第1，2题．
复习巩固：第1，2，3题．布置作业《垂直于弦的直径》同步试题
一、选择题
1．下列命题中，正确的是（???? ）．
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径?
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心?
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
考查目的：考查对垂径定理及其推论的理解
答案：D．
解析：垂径定理的推论中，被平分的弦要求不是直径．圆中任意两条直径都是互相平分的．故答案应选择D．
2．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（??? ）．
A．4?????? B．6 ???????C．7??????? D．8
考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算．
答案：D．
解析：连结OA，利用垂径定理和勾股定理求出弦长的一半，进而求出弦长，故答案应选择D．
3．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（ ）．
A．2????? B．3 ?????C．4????? D．5
考查目的：
答案：B．
解析：当OM有最小值时，OM垂直于AB，可用垂径定理．故本题答案为B．
二、填空题
4．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 且CD＝l，则弦AB的长是??????? ．
?
考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算．
答案：6．?
解析：弦长的一半，半径，弦心距，弓形高，知二求二．连结OA，由CD=1，可得OD=4，再用勾股定理得到AD=3，从而得到AB=6
5．过⊙O内一点M的最长弦为10?cm，最短弦长为8cm，则OM的长为????? ．??? ?
考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算．
答案：3cm．?
解析：过M最长的弦为直径，最短的弦为和这条直径垂直的弦，可用垂径定理．故本题答案为C．
6．如图，⊙O的直径AB平分弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，
则CD＝?????? 厘米．
考查目的：考查垂径定理推论的应用，利用推论进行相关计算．
答案：cm．
解析：利用垂径定理推论，得出OE垂直于CD，由圆中半径相等，得出三角形OCD是等腰三角形，且底角为30°，再利用直角三角形中，30°角所对直角边是斜边一半，求出半径，再用勾股定理求出CE，从而得到CD的长．
三、解答题
7．如图是一个隧道的截面，如果路面宽为8米，净高为8米，求这个隧道所在圆的半径的长．
考查目的：考查垂径定理在实际问题中的应用，考察方程思想．
答案：5．
解析：设半径为R， 则OD=8-R，，OA=R，AD=4，在直角三角形OAD中利用勾股定理列方程，可求出半径为5．
8．已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，AB=6，CD=8，求AB，CD间的距离．
考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算．分类讨论思想．
答案：1或7．
解析：两条弦可在一条直径的同侧或异侧，要分两种情况讨论，再作出弦心距，连结半径，利用垂径定理求解．?
