平方根（2）

平方根（2）
●教学目标
1.了解平方根的概念、开平方的概念.
2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.
3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.
●教学重点
1.了解平方根、开平方的概念.
2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.
3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.
●教学难点
1.平方根与算术平方根的区别与联系.
2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因.
●教学过程
一.创设问题情境，引入新课
上节课我们学习了算术平方根的概念，性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作x=，而且也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是(－2)2=4，则－2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.
二.讲授新课
1.平方根、开平方的概念
请大家先思考两个问题.
(1)9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？
(2)平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？
解：（1）－3的平方也是9.
（2）的平方是，－的平方也是，即平方等于的数有两个.
问：根据上一节课的内容，我们知道了是9的算术平方根，是的算术平方根，那么－3，－叫9、的什么根呢？请大家认真看书后回答.
.根据平方根的定义，一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根(square root)，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，9的算术平方根只有一个是3.
由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？请分小组讨论后选代表回答.
（平方根的定义中是有一个数x的平方等于a，则x叫a的平方根，x没有肯定是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是有一个正数x的平方等于a，则x叫a的算术平方根，这里的x只能是正数.由此看来都有x2=a，这是它们的相同之处，而x的要求不同，这是它们的不同之处.）
教师总结：平方根与算术平方根的联系与区别
1、联系：
(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.
(3)0的平方根，算术平方根都是0.
2、区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.
(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。
什么叫开平方呢？
（求一个数a的平方根的运算，叫开平方(extraction of square root)，其中a叫被开方数.）
我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？请大家讨论后回答.
（我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.）
2.平方根的性质
请大家思考以下问题.
(1)一个正数有几个平方根.(2)0有几个平方根 (3)负数呢？
（第一个问题在前面已作过讨论，一个正数9有两个平方根3和－3；因为只有零的平方为零，所以0有一个平方根是零.因为任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，例如－3没有平方根.）
总结：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.
3.讲解例题
［例1］（书上35页例3）
［补例2］已知某数有两个平方根分别是a+3与2a－15,求这个数.
4.想一想
(1)()2等于多少？()2等于多少？(2)()2等于多少？
(3)对于正数a，()2等于多少？（4）.对于任意数a，一定等于a吗？
总结：（1）)2=a （a为非负数）；（2）=|a| (a为任意数) 即：当a≥0时，=a；当a＜0时，=－a
［补例3］.当1三.课堂练习
1.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.
(1)(－3)2；(2)0；(3)－0.01；(4)－52；(5)－a2；(6)a2－2a+2
2.求下列各数的平方根.
(1)121；(2)0.01；(3)2；(4)(－13)2；(5)－(－4)3.
四、.课时小结
1.平方根的概念. 2.平方根的性质.
3.平方根与算术平方根的区别与联系. 4.求某些非负数的算术平方根和平方根.
五、作业
习题2.4
第2、4题