2024年北京中考数学二轮专题复习 专题七 二次函数综合题 课件(共92张PPT)

(共92张PPT)
专题七　二次函数综合题　　
类型一　对称性、增减性问题
1
类型二　公共点问题
2
类型三　整点问题
3
类型一　对称性、增减性问题　
1.(2021朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y＝ax2＋bx＋a－4(a≠0)的对称轴是直线x＝1.
(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋a－4(a≠0)的顶点坐标；
综合提升
三阶
解：(1)∵对称轴是直线x＝1，
∴ ＝1，
∴b＝－2a，
∴y＝ax2－2ax＋a－4＝a(x－1)2－4，
∴顶点坐标为(1，－4)；
(2)当－2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
(2)若a＜0，则抛物线开口向下，y的最大值在对称轴处取得，从而y有最大值为－4，
∵当－2≤x≤3时，y的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴函数此时在x＝1时取得最大值5，
这与y有最大值－4矛盾，从而a＞0，
∴抛物线的顶点为图象的最低点．
∵1－(－2)＞3－1，
∴当x＝－2时，y＝5，
代入y＝a(x－1)2－4，得a(－2－1)2－4＝5，
解得a＝1；
(3)在(2)的条件下，当t≤x≤t＋1时，y的最大值是m，最小值是n，且
m－n＝3.求t的值．
(3)由(2)得，a＝1，
∴y＝(x－1)2－4.
①当t ≤ 1 ≤ t＋1时，此时0 ≤ t ≤ 1，
∴n＝－4，函数的最大值在t＋1或t处取得，即m＝t2－4或
m＝(t－1)2－4，
∴m的最大值为－3，
此时m－n＝1，
不符合题意，舍去；
②当t＋1＜1，即t＜0时，
m＝(t－1)2－4，n＝(t＋1－1)2－4＝t2－4，
∵m－n＝3，
∴(t－1)2－4－(t2－4)＝3，
∴t＝－1；
③当t＞1时，
同理可得t＝2，
综上所述，t的值为－1或2.
2. (2023北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求直线BC的表达式；
解：(1)∵抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，
∴令y＝0，则有x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴A(1，0)，B(3，0)．
∵抛物线y＝x2－4x＋3与y轴交于点C，
∴令x＝0，得y＝3，
∴C(0，3)．
设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b，得 解得
∴直线BC的表达式为y＝－x＋3；
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围．
(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)．
由题意可知，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1∴x1＋x2＝4.
如解图①，当x1＜x2且x2＝x3时，
此时N、B、Q三点重合，x3＝3，
此时x1＋x2＋x3＝1＋3＋3＝7；
第2题解图①
如解图②，当x1＝x2＜x3时，
此时点P、Q重合且在抛物线顶点处，
此时点P纵坐标为－1，
将y＝－1代入直线BC的表达式，则x3＝4，
此时x1＋x2＋x3＝2＋2＋4＝8；
第2题解图②
结合解图①，解图②，
当x1＜x2＜x3时，则3＜x3＜4，
当直线l位于x轴上方或抛物线顶点下方时，
均不满足x1∴7＜x1＋x2＋x3＜8.
第2题解图①
第2题解图②
3.(2021海淀区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2mx＋m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴.
(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；
解：(1)抛物线y＝x2－2mx＋m2的对称轴为直线x＝ ＝m；
(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G.点M(x1，y1)，N(x2，y2)为图形G上任意两点．
①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；
(2)①y1>y2，理由如下：
当m＝0时，二次函数解析式是y＝x2，对称轴为y轴；
∴图形G如解图①.
第3题解图①
∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小．
∵x1y2；
②若对于x1＝m－2，x2＝m＋2，都有y1＞y2，求m的取值范围．
②通过计算可知，抛物线翻折之前M、N对应点的坐标分别为
P(m－2，4)，Q(m＋2，4)为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：
(ⅰ)如解图②，当y轴在点P左侧时(含点P)，
第3题解图②
经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，
即y1＝y2，不符合题意；
(ⅱ)如解图③，当y轴在点Q右侧时(含点Q)，
第3题解图③
第3题解图④
(ⅲ)如解图④，当y轴在点P，Q之间时(不含点P，Q)，
点M，N分别和点P，Q重合，
y1＝y2，不符合题意；
经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，
y1>y2，符合题意．
此时有m－2<0综上所述，m的取值范围为－24.(2021朝阳区二模)在平面直角坐标系xOy中，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为抛物线y＝ax2－2ahx＋ah2＋1(a<0)上的两点．
(1)当h＝1时，求抛物线的对称轴；
解：(1)当h＝1时，抛物线的表达式为y＝ax2－2ax＋a＋1，
∴y＝a(x－1)2＋1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
(2)若对于0≤x1≤2，4－h≤x2≤5－h，都有y1≥y2，求h的取值范围．
(2)设抛物线上四个点的坐标为A(0，yA)，B(2，yB)，C(4－h，yC)，D(5－h，yD)．
∵a<0，
∴y1的最小值必为yA或yB.
抛物线的对称轴为直线x＝ ＝h.
①由a<0可知，当2≤h≤时，存在y2≥y1，不符合题意；
②当h<2时，总有4－h>2.
∵当x>h时，y随x的增大而减小，
∴yB>yC>yD.
当h≤ 时，4－h－h≥ .
∴yA≥yC>yD，符合题意．
当 ∴yA③当h> 时，
∵当x∴yC当h≥5时，5－h≤0.
∴yD≤yA，符合题意．
当 0.
∴yD>yA，不符合题意．
综上所述，h的取值范围是h≤ 或h≥5.
5. (2021房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)被x轴截得的线段长度为4.
(1)求抛物线的对称轴；
解：(1)由抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)可得，
抛物线的对称轴为直线x＝ ＝1；
(2)求c的值(用含a的式子表示)；
(2)设抛物线与x轴的交点横坐标分别为x1，x2，且x1在x2的右侧，由题意可得x1－x2＝4，
∴ax2－2ax＋c＝0，
∴x1＋x2＝2，x1·x2＝ ，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16，∴4－ ＝16，
解得c＝－3a；
(3)若点M(x1，3)，N(x2，3)为抛物线上不重合的两点(其中x1(3)由(2)及点M(x1，3)，N(x2，3)为抛物线上不重合的两点(其中x1∴b2－4ac＝4a2＋4a(3a＋3)>0，
解得a>0或a< ，
∴根据一元二次方程的公式法可得x＝1± ，
则x1·x2＝－3－ ，
①当a>0时，由x1∵x1(x2－5)≤0，即x1x2－5x1≤0，
∴－3－ －5(1－ )≤0，化简得 ≤8，
解得－1≤a≤ ，
∵a>0，
∴0②当a< 时，由x1由①可得－3－ －5(1＋ )≤0，化简得－ ≤8，
解得－1≤a≤ ，
∵a<－ ，
∴－1≤a<－ .
综上所述，a的取值范围为06. (2021大兴区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2bx＋b2－2(b>0)经过点A(m，n)．
(1)用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；
解：(1)∵y＝x2－2bx＋b2－2＝(x－b)2－2，
∴顶点坐标为(b，－2)；
(2)若抛物线经过点B(0，2)，且满足0(2)把(0，2)代入y＝x2－2bx＋b2－2(b＞0)，
得b＝2或b＝－2(舍去)，
∴b＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2－4x＋2，对称轴为直线x＝2，
∴顶点坐标为(2，－2)．
如解图①，结合函数图象可得，
第6题解图①
在顶点处n取得最小值－2；
当x＝0时，y＝2，∴当0＜m＜3时，－2≤n＜2；
(3)若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
①当3≤m≤5≤b时，ymax＝(3－b)2－2≤2，
∴1≤b≤5，矛盾，不成立．
②当3≤b≤5时，
则当x＝3时，y＝(3－b)2－2≤2，得1≤b≤5，
且当x＝5时，y＝(5－b)2－2≤2，得3≤b≤7，
∴3≤b≤5；
第6题解图②
(3)如解图②，
③当b≤3≤m≤5时，
ymax＝(5－b)2－2≤2，得3≤b≤7，矛盾，不成立．
综上所述，b的取值范围为3≤b≤5.
第6题解图②
类型二　公共点问题　
1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y＝mx2－2mx＋n(m≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B.
(1)求出抛物线的对称轴；
综合提升
三阶
考向一　定抛物线与动线段　
第1题图
解：(1)∵抛物线y＝mx2－2mx＋n，
∴抛物线的对称轴为直线x=－ ＝1；
(2)直线y＝ x－4m－n过点B，且与抛物线的另一个交点为C.
①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；
(2)①∵抛物线是轴对称图形，
∴点A、B关于直线x＝1对称．
∵点A的坐标为(－2，0)，∴点B的坐标为(4，0)．
∵抛物线y＝mx2－2mx＋n过点B，
直线y＝ x－4m－n过点B，
∴ 16m－8m＋n＝0，
2－4m－n＝0，
解得 m＝ ，
n＝4，
∴直线所对应的函数表达式为y＝ x－2，抛物线所对应的函数表达式为y＝ x2＋x＋4；
②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x＋a和
l2：y＝－x＋b组成图形G.当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．
联立 ，解得
∵点B的坐标为(4，0)，∴点C的坐标为(－3， )．
当直线l2：y＝－x＋b1过点B时，
0＝－4＋b1，解得b1＝4，
∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝－x＋4，
第1题解图
【解法提示】如解图，
当x＝1时，y＝－x＋4＝3，
∴点P1的坐标为(1，3)；
第1题解图
当直线l2：y＝－x＋b2过点C时，
＝3＋b2，解得b2＝ ，
∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝－x ，
当x＝1时，y＝－x ＝ ，∴点P2的坐标为(1， )，
∴当图形G与线段BC有公共点时，
点P的纵坐标t的取值范围为 ≤ t ≤3.
②点P的纵坐标t的取值范围为 ≤t≤3.
2. 抛物线M：y＝ax2－4ax＋a－1(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，抛物线的顶点为D.
(1)抛物线M的对称轴是直线________；
x＝2
第2题图
【解法提示】∵抛物线M：y＝ax2－4ax＋a－1(a≠0)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝2.
(2)当AB＝2时，求抛物线M的函数表达式以及顶点D的坐标；
(2)∵抛物线M：y＝ax2－4ax＋a－1(a≠0)的对称轴为直线x＝2，抛物线M与x轴的交点为点A，点B(点A在点B的左侧)，AB＝2，
∴点A，B的坐标分别为(1，0)，(3，0)．
∵点A在抛物线M上，
∴将点A的坐标代入抛物线的函数表达式，得a－4a＋a－1＝0，
解得a＝－12，
∴抛物线M的函数表达式为y＝－ x2＋2x－32＝－ (x－2)2＋12，
∴顶点D的坐标为(2， )；
(3)在(2)的条件下，直线l：y＝kx＋b(k≠0)经过抛物线的顶点D，直线y＝n与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为x1，x2，直线y＝n与直线l的交点的横坐标记为x3(x3＜4)，若当－2≤n≤－1时，总有x1－x3＜x3－x2＜0，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围．
第2题解图
由(2)知点D的坐标为(2， )．
当y＝－1时，－ (－2)2＋ ＝－2，解得x＝2± ，
当y＝－2时，－ (x－2)2＋ ＝－2，解得x＝2± .
∵直线y＝n与直线l的交点横坐标记为x3(x3＜4)，
且当－2≤n≤－1时，总有x1－x3＜x3－x2＜0，
∴可以得出
【解法提示】如解图，
∵x3＜4，∴2＜x3＜4，k<0，当直线l：y＝kx＋b(k≠0)经过抛物线的顶点D(2， )和(4，－2)时， 解得k＝ ，
∴k的取值范围为k＜ .
(3)k的取值范围为k＜ .
第2题解图
3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m－4(m≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式；
解：(1)由题意可得，m－4＝－3，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
第3题图
(2)当a－3≤x≤a时，函数有最小值为5，求a的值；
(2)∵抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，函数有最小值，最小值为－4.
∵当a－3≤x≤a时，函数有最小值为5，
∴x的取值范围一定在对称轴的左侧或右侧，
①当a≤1时，函数在x＝a处取得最小值，最小值为5，
∴(a－1)2－4＝5，
解得a1＝4，a2＝－2.
∵a≤1，
∴a＝－2；
②当a－3≥1，即a≥4时，函数在x＝a－3处取得最小值，最小值为5，
∴(a－3－1)2－4＝5，
解得a1＝7，a2＝1.
∵a≥4，
∴a＝7，
综上所述，a的值为－2或7；
(3)将抛物线在B，C之间的部分记为图象G(包含B，C两点)，若直线
y＝5x＋b与图象G有公共点，请直接写出b的取值范围．
【解法提示】当x＝0时，直线y＝5x＋b≤－3，解得b≤－3；
当直线y＝5x＋b与抛物线相切时，得x2－7x－(3＋b)＝0，49－4(－3－b)＝0，解得b＝－ ，此时x＝ >3，切点在点B的右侧，不符合题意，把(3，0)代入y＝5x＋b中，得到b＝－15，
∴符合题意的b的取值范围是－15≤b≤－3.
(3)b的取值范围是－15≤b≤－3.
1. 已知：二次函数C1：y1＝ax2＋2ax＋a－1(a≠0)．
(1)把二次函数C1的表达式化成y＝a(x－h)2＋b(a≠0)的形式，并写出顶点坐标；
综合提升
三阶
考向二　动抛物线与定线(线段、射线、直线)　
第1题图
解：(1)y1＝ax2＋2ax＋a－1＝a(x＋1)2－1，
∴二次函数C1的顶点坐标为(－1，－1)；
(2)已知二次函数C1的图象经过点A(－3，1)．
①求a的值；
(2)①∵二次函数C1的图象经过点A(－3，1)，
∴a(－3＋1)2－1＝1，
∴a＝ ；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB.二次函数C2：y2＝kx2＋kx(k≠0)的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
②∵A(－3，1)，对称轴为直线x＝－1，点A，B关于对称轴对称，
∴B(1，1)，
当k>0时，
二次函数C2：y2＝kx2＋kx(k≠0)的图象经过A(－3，1)时，
1＝9k－3k，解得k＝ ，
二次函数C2：y2＝kx2＋kx(k≠0)的图象经过B(1，1)时，
1＝k＋k，解得k＝ ，
∴ ≤ k< .
当k<0时，∵二次函数C2：y2＝kx2＋kx＝k(x＋ )2－ k，若使二次函数C2与线段AB仅有一个交点，
∴－ k＝1，
∴k＝－4，
综上所述，k的取值范围是 ≤k< 或k＝－4.
2. (2021燕山区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y＝ax2－2ax－3a(a≠0)．
(1)求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标；
第1题图
解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax－3a(a≠0)，
∴抛物线的对称轴是直线x＝－ ＝1，
令x＝0，则y＝－3a，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，－3a) ；
(2)已知点B(3，4)，将点B向左平移3个单位长度，得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
(2)y＝ax2－2ax－3a＝a(x2－2x－3)＝a(x＋1)(x－3)，
∴抛物线与x轴交于点A(－1，0)，D(3，0)，与y轴交于点E(0，－3a)，顶点坐标是(1，－4a)．
由题意得点C(0，4)，B(3，4)，
第2题解图①
当a>0时，如解图①，显然抛物线与线段BC无公共点．
第2题解图②
当a<0时，
如解图②，若抛物线的顶点在线段BC上，则顶点坐标为(1，4)，
∴－4a＝4，∴a＝－1.
如解图③，若抛物线的顶点不在线段BC上，由抛物线与线段BC恰有一个公共点，得－3a＞4，
∴a < .
综上所述，a的取值范围是a <－ 或a＝－1.
第2题解图③
综合提升
三阶
考向三　动抛物线与动线段　
1. (2021东城区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－3ax＋1与y轴交于点A.
(1)求抛物线的对称轴；
解：(1)由抛物线y＝ax2－3ax＋1，可知x＝ ＝ ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ；
(2)点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
(2)∵抛物线y＝ax2－3ax＋1与y轴交于点A，
令x＝0，y＝1，
∴点A的坐标为(0，1)．
∵点B是点A关于直线x＝ 的对称点，
∴点B的坐标为(3，1)；
(3)已知点P(0，2)，Q(a＋1，1)．若线段PQ与抛物线恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
(3)∵点A (0，1)，点B (3，1)，点 P(0，2)，点
Q(a＋1，1)，
∴点 P在点A 的上方，点Q在直线y＝1上．
①当a＞0时，a＋1＞1，点Q在点A的右侧，
第1题解图①
(i)如解图①，当a＋1＜3，即a＜2时，点Q在点B的左侧，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点；
(ii)如解图②，当a＋1≥3，即a≥2时，点Q在点B的右侧，或与点B重合，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点；
第1题解图②
②当a＜0时，a＋1＜1，点Q在点B的左侧，
(i)如解图③，当0≤a＋1＜1，即－1≤a＜0时，点Q在点A的右侧，或与点A重合，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点；
第1题解图③
(ii)如解图④，当a＋1＜0，即a＜－1时，点Q在点A的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点．
综上所述，a的取值范围是－1≤a＜0或a≥2.
第1题解图④
2. (2022朝阳区期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx经过点(3，3)．
(1)用含a的式子表示b；
解：(1)将点(3，3)代入y＝ax2＋bx中，得9a＋3b＝3.
∴b＝－3a＋1；
(2)直线y＝x＋4a＋4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标(用含a的式子表示)；
(2)令x＋4a＋4＝4，得x＝－4a.
∴B(－4a，4)；
(3)在(2)的条件下，已知点A(1，4)．若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a(a＜0)的取值范围．
【解法提示】∵a＜0，∴抛物线开口向下．∵A(1，4)，B(－4a，4)，∴点A、B所在的直线为y＝4，由(1)得b＝1－3a，则抛物线可化为
y＝ax2＋(1－3a)x，分两种情况讨论：①当抛物线y＝ax2＋(1－3a)x的顶点在线段AB上时，则1≤ ≤－4a或－4a≤ ≤1，方程
ax2＋(1－3a)x＝4的根的判别式b2－4ac＝0，即(1－3a)2＋16a＝0，解得a1＝ ，a2＝－1，当a1＝ 时， ＝6(不符合题意)，
当a2＝－1时， ＝2，则1≤ ≤－4a成立；②当抛物线经过点A时，即当x＝1，y＝4时，a＋1－3a＝4，解得a＝ ；∴a＜ 时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，综上所述，a的取值范围为a＝－1或a＜ 时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
(3)a的取值范围为a＝－1或a< .
3. (2021北师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝ax2＋bx－1(a＞1)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，已知点A的坐标为( ，0)，
(1)求b的值(用含a的代数式表示)；
解：(1)点A的坐标为( ，0)，
将点A的坐标代入抛物线表达式并整理得b＝1－a；
第3题图
(2)求点B的坐标；
(2)抛物线的表达式为y＝ax2＋(1－a)x－1，
令y＝0，则x＝1或x＝ ，
故点B的坐标为(1，0)；
(3)设抛物线F1的顶点为P1，将该抛物线平移后得到抛物线F2，抛物线F2的顶点P2满足P1P2∥BC，并且抛物线F2过点B，
①设抛物线F2与直线BC的另一个交点为D，判断线段BC与CD的数量关系(不需证明)，并直接写出点D的坐标；
【解法提示】如解图，根据平移的性质可得BC＝P1P2＝BD，∴CD＝2BC；对于y＝ax2＋bx－1，令x＝0，则y＝－1；则点C(0，－1)，因为点B是C、D的中点，点B坐标(1，0)，由中点公式得D(2，1)．
第3题解图
(3)①CD＝2BC，D(2，1)；
②求出抛物线F2与y轴的交点纵坐标的取值范围．
②设平移后抛物线表达式为y＝ax2＋b′x＋c，图象过B(1，0)，D(2，1)，
将点B、D的坐标代入抛物线表达式y＝ax2b′x＋c得
解得c＝2a－1，
∵a＞1，∴c＝2a－1＞1，
抛物线F2与y轴的交点纵坐标的取值范围为c＞1.
4. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋2mx－m2＋m的顶点为A.
(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；
解：(1)∵y＝－x2＋2mx－m2＋m＝－(x－m)2＋m，
故点A的坐标为(m，m)；
第4题图
(2)若点A在第一象限，且OA＝ ，求抛物线的解析式；
(2)∵点A在第一象限，且点A的坐标为(m，m)，
则OA＝ m＝ ，解得m＝1，
故抛物线的解析式为y＝－x2＋2x；
(3)已知点B(m－1，m－2)，点C(2，2)．若该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．
(3)将点B的坐标代入抛物线表达式得
m－2＝－(m－1)2＋2m(m－1)－m2＋m，此方程无解；
将点C的坐标代入抛物线表达式得
2＝－22＋2m×2－m2＋m，
解得m＝2或3，
如解图①，当m≤2时，抛物线和线段BC有公共点；
第4题解图①
如解图②，当2第4题解图②
如解图③，当m≥3时，抛物线和线段BC有公共点；
第4题解图③
综上所述，m的取值范围为m≤2或m≥3.
考向拓展　动抛物线与动线段　
1. (2022海淀区二模)在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2＋2mx＋3的图象与x轴交于点A(－3，0)，与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分(含A，B两点)记为F.
(1)求点B的坐标及该函数的表达式；
解：(1)∵二次函数y＝mx2＋2mx＋3的图象与x轴交于点A(－3，0)，与y轴交于点B，∴B(0，3)，
把A(－3，0)代入y＝mx2＋2mx＋3，得m＝－1，
∴函数的表达式为y＝－x2－2x＋3；
第1题图
(2)若二次函数y＝x2＋2x＋a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
由题意知F的端点为A，B，
且经过抛物线y＝－x2－2x＋3的顶点C(－1，4)，
∵二次函数y＝x2＋2x＋a的图象对称轴为x＝－1，且与F只有一个公共点，
∴分别把A、B、C三点坐标代入y＝x2＋2x＋a中，可得a的值分别为－3、3、5.
第1题解图
(2)如解图，
结合函数图象可知，二次函数y＝x2＋2x＋a的图象与F只有一个公共点时，
a的取值范围为－3≤a＜3或a＝5.
第1题解图
2. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3(m>0)与x轴分别交于A、B两点(点A在点B的左侧)．
(1)求抛物线的对称轴和顶点的坐标；
第2题图
解：(1)由题意得，抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3＝m(x＋2)2－3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝－2，
顶点坐标为(－2，－3)；
(2)对于该抛物线上的两点 P(a，y1 )，Q(a＋3，y2 )，若 y1>y2，求a的取值范围；
(2)∵m>0，
∴该函数图象开口向上，
∴抛物线上的点距离对称轴越远，y值越大．
∵点P(a，y1)，Q(a＋3，y2)在该抛物线上，且y1>y2，
∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，
分三种情况讨论：
①当P、Q两点均在对称轴左侧(点Q可以在对称轴上)时，a＋3≤－2，即a≤－5，
此时点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，
∴a≤－5；
②当点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧时，a<－2∵点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，
∴－2－a>a＋3－(－2)，
解得a< ，∴－5③当P、Q两点均在对称轴右侧(点P可以在对称轴上)时，a≥－2，
此时点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，不符合题意．
综上所述，a的取值范围为a< ；
(3)记抛物线y＝－x2－2x＋3在第二象限的部分为图形W.若抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3与图形W有且只有一个交点，结合函数图象，求m的取值范围．
(3)设抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点D，
则令y＝0，解得x1＝－3，x2＝1(舍去)，∴C(－3，0)．
令x＝0，得y＝3，∴D(0，3)．
当抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3过点C时，
将C(－3，0)代入得，0＝9m－12m＋4m－3，
解得m＝3；
第2题解图①
当抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3过点D时，
将D(0，3)代入得，3＝4m－3，
解得m＝ ；
第2题解图②
如解图①，
如解图②，
结合函数图象可得，若抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3与图形W有且只有一个交点，则m的取值范围为 图①
图②
第2题解图
类型三　整点问题
综合提升
三阶
1. (2022石景山区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y＝ax2＋4ax＋b(a>0)的顶点A在x轴上，与y轴交于点B.
(1)用含a的代数式表示b；
解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x＋2)2＋(b－4a)，
∴该抛物线顶点A的坐标为(－2，b－4a)，
∵顶点A在x轴上，
∴b－4a＝0，即b＝4a；
(2)若∠BAO＝45°，求a的值；
(2)∵b＝4a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2＋4ax＋4a(a＞0)．
∵抛物线的顶点为A(－2，0)，与y轴的交点B(0，4a)在y轴的正半轴，∠BAO＝45°，
∴OB＝OA＝2，
∴4a＝2，
∴a＝ ；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域(不含边界)内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【解法提示】∵点A(－2，0)，点B(0，4a)，
设直线AB的函数解析式为y＝mx＋n，
代入A(－2，0)，B(0，4a)，
得 ，解得
即直线AB的解析式为y＝2ax＋4a，
如解图①，当直线AB过点(－1，1)时，1＝－2a＋4a，解得a＝ ；
第1题解图①
当直线AB过点(－1，2)时，2＝－2a＋4a，解得a＝1；
抛物线的顶点固定，a越大，开口越小，点B的纵坐标越大．
结合函数图象可得，a的取值范围为0＜a≤ 或a＝1.
第1题解图②
如解图②，
(3)0＜a≤ 或a＝1.
2. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2＋2mx＋m－1沿x轴翻折得到抛物线C2.
(1)求抛物线C2的顶点坐标；
解：(1)顶点坐标为(－1，1)；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m＝1时，求抛物线C1和C2围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；
(2)①当m＝1时，C1：y＝x2＋2x，C2：y＝－x2－2x.
如解图，C1和C2围成的区域内(包括边界)整点有5个；
第2题解图
②如果抛物线C1和C2围成的封闭区域内(包括边界)恰有7个整点，求出m的取值范围．
②抛物线在C1和C2围成的区域内 (包括边界) 恰有7个整点，结合函数图象，可得抛物线与x轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1≤x＜2，
将(1，0)代入y＝mx2＋2mx＋m－1，得到 m＝ ，
将(2，0)代入y＝mx2＋2mx＋m－1，得到 m＝ ，
结合图象可得 ＜m≤ .
第2题解图
3. (2022门头沟区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y＝x2－2ax＋a2的顶点为A，直线y＝x＋3与抛物线交于点B，C(点B在点C的左侧)．
(1)求点A坐标；
第3题图
解：(1)∵y＝x2－2ax＋a2＝(x－a)2，
∴顶点A(a，0)；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．线段BC及抛物线在B，C两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为W.
①当a＝0时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；
由函数图象可知，区域W内的整点个数是4；
(2)①当a＝0时，则抛物线y＝x2，
如解图①所示，
第3题解图①
②如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．
第3题解图②
②如解图②所示：
当抛物线经过(0，2)，区域W内有1个整点，
此时a＝－ ；
当抛物线经过(0，1)，区域W内有2个整点，
此时a＝－1；
由函数图象可知，如果区域W内有2个整点，
a的取值范围为－ ＜a≤－1.