人教版数学八下 16.3 二次根式的加减（希沃课件+图片版PPT）仅适用希沃白板

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16.3 二次根式的加减/
16.3二次根式的加减
第一课时
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人教版 数学 八年级 下册
16.3 二次根式的加减/
二次根式的加减运算
第一课时
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16.3 二次根式的加减/
有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
导入新知
16.3 二次根式的加减/
1. 理解二次根式可以合并的条件.
3. 能熟练地进行二次根式的加减法运算.
素养目标
2. 类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减运算法则.
16.3 二次根式的加减/
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.
由上图，易得2a+3a=5a.
当a= 时，分别代入左右得 ;
当a= 时，分别代入左右得 ;......
知识点 1
二次根式可以合并的条件
探究新知
你发现了什么？
16.3 二次根式的加减/
因为 ，由前面知两者可以合并.
当a= ,b= 时，得2a+3b= .
a
2a+3b
b
=
+
b
b
a
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
探究新知
这两个二次根式可以合并吗？
你又有什么发现吗
16.3 二次根式的加减/
探究新知
归纳总结
将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.
注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.
2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
16.3 二次根式的加减/
1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
D
2.下列二次根式，不能与 合并的是________(填 序号）.
②
巩固练习
⑤
16.3 二次根式的加减/
例1 若最简二次根式 与 可以合并，求 的值.
解：由题意得
即
探究新知
素养考点 1
利用二次根式可以合并的条件求字母的值
提示：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2列关于字母的方程（组）求解即可.
解得
16.3 二次根式的加减/
1
（1） 与最简二次根式 能合并，则m =_____.
1
巩固练习
（2）若两个最简二次根式 与 可
以合并,则a=_____，b=_______.
3.完成下列各题：
1
16.3 二次根式的加减/
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
7.5dm
5dm
【讨论】 1. 怎样列式求两个正方形边长的和
S=8dm2
S=18dm2
知识点 2
二次根式的加减
探究新知
16.3 二次根式的加减/
【讨论】2.所列算式能直接进行加减运算吗 如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.
（化成最简二次根式）
（逆用分配律）
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
解：列式如下：
在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.
探究新知
16.3 二次根式的加减/
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
二次根
式性质
分配律
整式加
减法则
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
探究新知
16.3 二次根式的加减/
探究新知
归纳总结
二次根式的加减法法则:
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；
加减法的运算步骤：
(2)找——找出被开方数相同的二次根式；
(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
16.3 二次根式的加减/
解：
例2 计算:
素养考点 1
二次根式的加减计算
（3）
（4）
（1）
（1）
（2）
（2）
（3）
（4）
探究新知
16.3 二次根式的加减/
4.下列计算正确的是 （　　）
A. B.
C. D.
C
5.已知一个矩形的长为 ,宽为 ，则其周长为______.
巩固练习
16.3 二次根式的加减/
例3 计算:
解：
探究新知
素养考点 2
二次根式的加减混合运算
（1）
（2）
（1）
（2）
计算时，有括号，一定要先去括号！
16.3 二次根式的加减/
6.计算
(1) ；
解：原式
解：原式
（2） .
巩固练习
16.3 二次根式的加减/
例4 有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长.
解：①当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
②当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
素养考点 3
二次根式的综合性题目
探究新知
16.3 二次根式的加减/
7. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).
巩固练习
解：
答：圆环的宽度d为 cm.
R-r
16.3 二次根式的加减/
1.（2018 曲靖）下列二次根式中能与 合并的是（　　）
A． B． C． D．
巩固练习
连接中考
B
2.（2019 兰州）计算： ＝（　　）
A． B． C．3 D．
A
16.3 二次根式的加减/
D
基础巩固题
1. 与 能合并的二次根式是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是 （　　）
A. B. C. D.
C
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
3.三角形的三边长分别为 则这个三角形的周长为__________.
4.计算:
（1） =___
（2） =___
（3） =___
（4） =_________
基础巩固题
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
解：
5.计算:
(1)
(2)
(1)
(2)
基础巩固题
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
6.如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求x的取值范围.
解：由题意得3a-8=17-2a,
∴a=5，
∴
∴20-2x≥0，x-5＞0，
∴5＜x≤10.
基础巩固题
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
已知a,b,c满足 .
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出
其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 ；
(2)能.理由如下：
课堂检测
能力提升题
∵ 即a＜c＜b，
又∵ ∴a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
16.3 二次根式的加减/
已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= ，求（2*3）－（27*32）的值．
解：∵a*b= ，
∴（2*3）－（27*32）
=
=
=
拓广探索题
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
二次根式加减
法则
注意
运算顺序
运算原理
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
运算律仍然适用
与实数的运算顺序一样
课堂小结
16.3 二次根式的加减/
二次根式的混合运算
第二课时
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16.3 二次根式的加减/
如何进行单项式与多项式相乘的运算？
你能用字母表示这一结论吗？
思路：
单×多
转 化
分配律
单×单
m(a+b+c)
=
ma+mb+mc
导入新知
【讨论】若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
16.3 二次根式的加减/
2. 掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用.
1. 正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算.
素养目标
16.3 二次根式的加减/
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
例1 计算：
解：
探究新知
知识点 1
二次根式的混合运算
素养考点 1
考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力
（1）
（2）
（1）
（2）
16.3 二次根式的加减/
巩固练习
1.计算：（1） （2）
(1)原式
解：
(2)原式
16.3 二次根式的加减/
　　例2　计算：
解：
（1）原式
　　【思考】（1）中，每一步的依据是什么？
　　第一步的依据是：多项式乘多项式法则；
　　第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数
相同的二次根式；
　　第三步的依据是：合并同类项．
（1）
探究新知
素养考点 2
考查二次根式的多项式乘法运算能力
16.3 二次根式的加减/
2.计算：
巩固练习
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
16.3 二次根式的加减/
回顾提问1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2.
回顾提问2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗
探究新知
知识点 2
利用乘法公式计算二次根式
前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用.
16.3 二次根式的加减/
例3 计算：
解：
探究新知
素养考点 1
考查利用乘法公式计算二次根式的能力
（1）
（2）
（1）
（2）
16.3 二次根式的加减/
拓展计算：
解：(1)原式
(2)原式
探究新知
（1）
（2）
16.3 二次根式的加减/
3. 计算：
巩固练习
（1）
解：
（1）
（2）
（2）
16.3 二次根式的加减/
例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把 代入上式得
原式=
探究新知
有关代数式的二次根式运算
素养考点 2
16.3 二次根式的加减/
解:∵ ，
巩固练习
∴
4. 已知 ，求x3y+xy3.
x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]
∴
16.3 二次根式的加减/
在前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:
【思考】 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
知识点 3
分母有理化
探究新知
根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？
16.3 二次根式的加减/
例4 计算:
解:
探究新知
素养考点 1
分母有理化的应用
提示：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
（1）
（2）
（1）
（2）
16.3 二次根式的加减/
5. 已知 ,求 .
解:∵
巩固练习
16.3 二次根式的加减/
巩固练习
连接中考
3
1.（2018 天津）计算 的结果
等于______．
2.（2019 常州）下列各数中与 的积是有理数
的是（　　）
A． B．2 C． D．
D
16.3 二次根式的加减/
1.下列计算中正确的是（ ）
B
2.计算：
5
3.设 则a b(填“>”“ < ”或
“= ”）.
=
基础巩固题
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
4.计算：
解：
（1）
（2）
基础巩固题
课堂检测
（1）
（2）
16.3 二次根式的加减/
（4）
（3）
解：原式=
=9-3
=6
解：原式=
（5）
基础巩固题
课堂检测
解：原式
16.3 二次根式的加减/
解：(1)原式
(2)原式
5.计算：
（1）
（2）
基础巩固题
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 m ，下底宽 m，高 m 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
能力提升题
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：
答：这段路基的土石方为
能力提升题
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
1.已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.
解：
拓广探索题
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
2.阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
拓广探索题
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
解：(1)
(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：
课堂检测
拓广探索题
(2)

16.3 二次根式的加减/
二次根式混合运算
乘法公式
化简求值
分母有理化
化简已知条件和所求代数式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
课堂小结
16.3 二次根式的加减/
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习