人教版数学八下 17.2 勾股定理的逆定理（希沃课件+图片版PPT）仅适用希沃白板

(共53张PPT)
17.2 勾股定理的逆定理/
17.2勾股定理的逆定理
第一课时
第二课时
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
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17.2 勾股定理的逆定理/
勾股定理的逆定理
第一课时
返回
17.2 勾股定理的逆定理/
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
导入新知
17.2 勾股定理的逆定理/
1. 掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、互逆定理的概念、关系及勾股数.
2. 能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
素养目标
17.2 勾股定理的逆定理/
　据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
这种方法对吗？
探究新知
知识点 1
勾股定理的逆定理
17.2 勾股定理的逆定理/
3
4
5
三边分别为3，4，5，
满足关系：32+42=52，
则该三角形是直角三角形．
探究新知
17.2 勾股定理的逆定理/
问题1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
做一做：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17．
探究新知
17.2 勾股定理的逆定理/
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
探究新知
17.2 勾股定理的逆定理/
问题4 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
探究新知
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
17.2 勾股定理的逆定理/
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，
并且
A
B
b
c
a
b
证明：作 A1B1C1
在△ABC和△A1B1C 1中，
C
a
求证：∠C=90°
使∠C1=90°
根据勾股定理，则有
∠C=∠
=90°
探究新知
B
A
B1C1=a，C1A1=b
A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2
∵a2+b2=c2
∴A1B1 =c，
∴AB=A1B1
≌
∴ ABC
A1B1C1
17.2 勾股定理的逆定理/
符号语言：
在△ABC中，
若a2 + b2 = c2
则△ABC是直角三角形
探究新知
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理：
b
c
C
a
B
A
17.2 勾股定理的逆定理/
探究新知
方法点拨
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
17.2 勾股定理的逆定理/
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
探究新知
素养考点 1
利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
∴132+142≠152，
不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
17.2 勾股定理的逆定理/
1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( )
A. 1,2,3 B. 2,3,4
C. 4,5,6 D.
2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A.三个内角比为1：2：1 B. 三边之比为1：2：
C.三边之比为 D. 三个内角比为1：2：3
D
C
D
C
巩固练习
17.2 勾股定理的逆定理/
例2 若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c= ，
试说明△ABC是直角三角形.
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
探究新知
素养考点 2
勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形
17.2 勾股定理的逆定理/
3.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.
试判断△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) =0.
∴ a=3, b=4, c=5，
即 a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
巩固练习
17.2 勾股定理的逆定理/
探究新知
知识点 2
勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
17.2 勾股定理的逆定理/
4.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，6 B.6，7，8
C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13
D
巩固练习
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
17.2 勾股定理的逆定理/
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
看下边的两个命题：
探究新知
知识点 3
互逆命题和互逆定理
你发现了什么？
17.2 勾股定理的逆定理/
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
题设
结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
发现1 两个命题的条件和结论如下所示：
发现2 两个命题的条件和结论有如下联系：
探究新知
17.2 勾股定理的逆定理/
归纳总结：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
探究新知
17.2 勾股定理的逆定理/
5.说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
　　 逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平
分线上．真命题．
　 任何一个命题都有逆
命题；原命题是真命题，其
逆命题不一定是真命题．
巩固练习
17.2 勾股定理的逆定理/
1. （2019 威海模拟）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
巩固练习
连接中考
B
17.2 勾股定理的逆定理/
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
课堂检测
基础巩固题
17.2 勾股定理的逆定理/
3.写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假性.
(1)如果两个角是直角，那么它们相等.
(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
(3)如果 ，那么a≥0.
解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是直角.假命题.
(2)在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等.真命题.
(3)如果a≥0，那么 .真命题.
课堂检测
基础巩固题
17.2 勾股定理的逆定理/
4.若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
课堂检测
基础巩固题
17.2 勾股定理的逆定理/
A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
解：∵AB2+BC2＝122+52
=144+25=169，
AC2=132=169，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，
由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.
课堂检测
能力提升题
17.2 勾股定理的逆定理/
如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，
且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂检测
拓广探索题
17.2 勾股定理的逆定理/
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
课堂小结
勾股数
互逆命题和互逆定理
17.2 勾股定理的逆定理/
勾股定理的逆定理的应用
第二课时
返回
N
E
P
Q
R
1
2
17.2 勾股定理的逆定理/
工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所示：该模板中的AB、BC 相交成直角才符合规定。你能测出这个零件是否合格呢？(身边只有刻度尺)
A
B
C
导入新知
17.2 勾股定理的逆定理/
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.
导入新知
17.2 勾股定理的逆定理/
2. 进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识.
1. 应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
素养目标
3. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
17.2 勾股定理的逆定理/
1
2
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N
E
P
Q
R
探究新知
知识点 1
利用勾股定理的逆定理解答角度问题
【思考】1.认真读题，找已知是什么？
“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如下图.
17.2 勾股定理的逆定理/
1
2
N
E
P
Q
R
16×1.5=24
12×1.5=18
30
3.由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此我们想到利用什么思想？
要解决的问题是求出两艘船航向所成角.
勾股定理逆定理
探究新知
【思考】2.需要解决的问题是什么？
转化的思想
4.知道线段长度，通过线段长度来求角的度数，我们可以利用什么转化呢？
17.2 勾股定理的逆定理/
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
探究新知
方法点拨：解决实际问题的步骤：①标注有用信息,明确已知和所求；②构建几何模型(从整体到局部)；③应用数学知识求解.
17.2 勾股定理的逆定理/
1.在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B. 接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O(如图所示)向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？
巩固练习
17.2 勾股定理的逆定理/
解：由题意得，OB＝12×1.5＝18海里，
OA＝16×1.5＝24海里，
又∵AB＝30海里，
∴182＋242＝302，即OB2＋OA2＝AB2，
∴∠AOB＝90°.
∵∠DOA＝40°，
∴∠BOD＝50°.
则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°.
巩固练习
17.2 勾股定理的逆定理/
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
解：连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
∴BD=5cm.又∵ CD=12cm，BC=13cm,
∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.
∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD= BD CD－ AB AD = ×(5×12－3×4)=24 (cm2)．
C
B
A
D
探究新知
知识点 2
利用勾股定理的逆定理解答面积问题
17.2 勾股定理的逆定理/
2.如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.
∴ AC=5 cm.
又∵
∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角.
∴
D
C
B
A
巩固练习
17.2 勾股定理的逆定理/
如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，
∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.
又∵AC2＝92＝81，
∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，
∴该农民挖的不合格．
知识点 3
探究新知
利用勾股定理的逆定理解答检测问题
17.2 勾股定理的逆定理/
3. 一个零件的形状如图 所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 所示,这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图
图
巩固练习
17.2 勾股定理的逆定理/
在△BCD中，
∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
图
巩固练习
AB2+AD2=32+42=25=52=BD2
BD2+BC2=52+122=169=132=CD2
17.2 勾股定理的逆定理/
（2018 长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五
里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的
是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　）
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
巩固练习
连接中考
A
17.2 勾股定理的逆定理/
B
B
课堂检测
基础巩固题
1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　）
D
A. B.
C. D.
17.2 勾股定理的逆定理/
2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( )
A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上
C.北偏东55°的方向上 D.无法确定
B
基础巩固题
课堂检测
17.2 勾股定理的逆定理/
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，
B组行了9×2=18(km)，
又∵A，B两组相距30km，
且有242+182=302，
∴A，B两组行进的方向成直角．
基础巩固题
课堂检测
A
O
B
17.2 勾股定理的逆定理/
4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向 这辆小汽车超速了吗
车速检测仪
小汽车
30米
30°
北
60°
解：小汽车在车速检测仪的南偏东60°方向或北偏西60°方向.
25米/秒=90千米/时>70千米/时
∴小汽车超速了.
2秒后
50米
40米
基础巩固题
课堂检测
17.2 勾股定理的逆定理/
如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
能力提升题
课堂检测
17.2 勾股定理的逆定理/
解：连接AC.
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
能力提升题
课堂检测
A
D
B
C
3
4
13
12
17.2 勾股定理的逆定理/
如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.
∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，
BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得
课堂检测
拓广探索题
∴3x+4x+5x=36，
解得x=3.
P
C
B
A
Q
17.2 勾股定理的逆定理/
勾股定理的逆定理的应用
应用
航海问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
课堂小结
17.2 勾股定理的逆定理/
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习