第八章《立体几何初步》章末质量检测
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（ ）
A. 32 B. C. D.
2. 已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ）
A. B. C. 24 D. 48
4. 已知直线和两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系
A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面
6. 正方体的八个顶点中，平面经过其中的四个顶点，其余四个顶点到平面的距离都相等，则这样的平面的个数为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
7. 在空间中，下列说法错误的是（ ）
A. 过直线外一点作已知直线的垂线有无数条
B. 两条平行直线中的一条平行于一个平面，则另一条也一定平行于该平面
C. 一条直线分别与两个相交平面平行，那么该直线一定与两平面的交线平行
D. 两个平面垂直，过其中一个平面内的一点作另一个平面的垂线有且只有一条
8. 在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，M是侧面内一点，若平面DEF，则线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A. 圆锥的体积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是
C. 过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D. 圆锥侧面积是
10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则（ ）
A. 圆台的体积为
B. 圆台的侧面积为
C. 圆台母线与底面所成角
D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4
11. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱的中点，下列说法正确的有（ ）
A. 多面体是三棱柱
B. 直线与互为异面直线
C. 平面与平面的交线平行于
D. 四棱锥和四棱锥的体积之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆锥的母线长为3，底面半径为2，则圆锥的体积为________．
13. 已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______．
14. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一个动点，给出下列四个结论：①三棱锥B1-BED1的体积为定值；②存在点E使得B1C⊥平面BED1；③对于每一个点E，在棱DD1上总存在一点P，使得CP//平面BED1；④M是线段BC1上的一个动点，过点A1的截面垂直于DM，则截面的面积的最小值为.其中所有正确结论的序号是_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥）．在如图所示的堑堵中，已知，若鳖臑的体积等于12，求：
（1）求堑堵的侧棱长；
（2）求阳马的体积；
（3）求阳马的表面积．
16. 如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点．
（1）求证：；
（2）判断直线EF与直线GH的位置关系，并说明理由．
17. 如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．
（1）求证：平面
（2）若，求四棱锥的表面积．
（3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．
18. 如图，和都是边长为的等边三角形，，平面.
（1）证明：平面；
（2）若点到平面的距离为，求二面角的正切值.
19. 如图，在直棱柱中， 底面是菱形，，，，E，F分别是棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）若平面⊥平面，求a的值.第八章《立体几何初步》章末质量检测
参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B D D B C B B BCD AC BCD
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（ ）
A. 32 B. C. D.
解：若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为；
若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为.
2. 已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
解：由题图可知，此几何体为从底面半径为1，高为4的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的后剩余的部分，
所以所求几何体的体积.
3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ）
A. B. C. 24 D. 48
解：由直观图可得如下平面图形：
其中，，，轴，且，
所以.
4. 已知直线和两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
解：对于A选项，若，则可能与平行，故A错误；
对于B选项，若，则可能与平行或者在平面内，故B错误；
对于C选项，若，则可能平行或者相交，则C错误；
对于D选项，由面面平行以及线面垂直的性质可知，D正确；
5. 已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系
A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面
解：设，且与均不重合
假设：，由可得：，
又，可知，
又，可得：
因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面
若与或重合，同理可得与相交或异面
可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行
6. 正方体的八个顶点中，平面经过其中的四个顶点，其余四个顶点到平面的距离都相等，则这样的平面的个数为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
解：如图，当平面过这四个顶点时，到距离相等，因为正方体有6个面，故这样的平面有六个；
如图，当平面过时，到平面距离相等，故经过上下底面、左右两面，前后两面的平面各有2个，一共6个；
综上所述，这样的平面共有12个.
7. 在空间中，下列说法错误的是（ ）
A. 过直线外一点作已知直线的垂线有无数条
B. 两条平行直线中的一条平行于一个平面，则另一条也一定平行于该平面
C. 一条直线分别与两个相交平面平行，那么该直线一定与两平面的交线平行
D. 两个平面垂直，过其中一个平面内的一点作另一个平面的垂线有且只有一条
解：对于A，在空间中过直线外一点作已知直线的垂线有无数条，（直线平面，在平面内取一点，则过点在平面内作任意一条直线都与垂直），故选项A正确；
对于B，两条平行直线中的一条平行于一个平面，则另一条可能在该平面内，也可能平行于该平面，故选项B错误；
对于C，一条直线分别与两个相交平面平行，那么该直线一定与两平面的交线平行，证明如下：已知：，且，如图，
在平面内取一点，且使.因为，所以，故点和直线确定一平面，设，同理，在平面内取一点，且使.则点和直线确定一平面，设，因为，所以，
同理，则，又，，所以，
又因为，，所以，
又因为，所以.故选项C正确；
对于D，由面面垂直的性质可知，若两个平面垂直，则过其中一个平面内的一点作另一个平面的垂线有且只有一条，故选项D正确，
8. 在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，M是侧面内一点，若平面DEF，则线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：
如图所示，分别取的中点，连接,
因为为所在棱的中点，
所以,所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
因为
所以四边形为平行四边形，
所以又平面，平面，
所以平面；
又因为,且平面,平面,
所以平面平面，
因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在中，由余弦定理得，
所以为钝角，所以当在线段运动时，最短为，最长为，
所以线段长度的取值范围是.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A. 圆锥的体积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是
C. 过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D. 圆锥侧面积是
解：因为圆锥的底面半径，母线长，
所以圆锥的高.
对于A，因为圆锥的体积为，故A错误；
对于B，因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为，又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，故B正确；
对于C，设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为，
当时，面积有最大值，最大值为，故C正确；
对于D，圆锥的侧面积为，故D正确.
10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则（ ）
A. 圆台的体积为
B. 圆台的侧面积为
C. 圆台母线与底面所成角
D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4
解：对于A：圆台的高为，
则圆台的体积，A正确；
对于B：根据圆台的侧面积公式，可得侧面积为．故B错误；
对于C：过A作交底面于F，而底面，故底面，
∴即为母线与底面所成角．
在等腰梯形中，，∴，
∵为锐角，∴．故C正确；
对于D：设圆台侧面展开图上底面圆周对应的扇形半径为，下底面圆周对应的扇形半径为，
设扇形圆心角为，则，则，
由于，则，
即圆台的侧面展开图为半圆环，如图示，在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为CE，
由题意可得：．由为中点，∴，
∴．故D错误．
11. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱的中点，下列说法正确的有（ ）
A. 多面体是三棱柱
B. 直线与互为异面直线
C. 平面与平面的交线平行于
D. 四棱锥和四棱锥的体积之比为
解：对于A，多面体中，由直线，得平面与平面不平行，
显然多面体中不存在平行的两个面，则该多面体不是三棱柱，A错误；
对于B，由分别是棱的中点，得，平面，
平面，平面，，因此直线与互为异面直线，B正确；
对于C，由平面，平面，则平面，
令平面平面，而平面，则，C正确；
对于D，连接，令四棱锥的体积为，由分别是棱的中点，
得，，
因此四棱锥的体积，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆锥的母线长为3，底面半径为2，则圆锥的体积为________．
解：因为圆锥的母线长为，底面半径为，
则圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
13. 已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______．
解：设底面的外接圆圆心为，半径为，三棱柱的外接球的球心为半径为，
取的中点，可知，且∥，
则，，
可得，，
所以三棱柱的外接球表面积为.
14. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一个动点，给出下列四个结论：①三棱锥B1-BED1的体积为定值；②存在点E使得B1C⊥平面BED1；③对于每一个点E，在棱DD1上总存在一点P，使得CP//平面BED1；④M是线段BC1上的一个动点，过点A1的截面垂直于DM，则截面的面积的最小值为.其中所有正确结论的序号是_______.
解：对于①中，如图所示，在棱长为的正方体中，
因为平面且平面，所以平面，
又因为点在棱上的一个动点，所以点到平面的距离为，
由，
可得三棱锥的体积为（定值）所以①正确；
对于②中，如图所示，在正方体中，
因为四边形为正方形，可得，
又由平面，且平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
当点与点重合时，此时平面即为平面，
所以存在点使得平面，所以②正确；
对于③中，当点与点重合时，此时平面即为平面，如图所示，
此时在上不存在点，使得平面，所以③不正确；
对于④中，如图所示，正方体中，
可得且，平面，
所以平面，因为平面，所以，
设，则，
在中，可得，
所以，
则该截面的面积为，
因为，当时，可得，
经验证：若截面面积取得最大值时，此时点分别为的中点，
当点为的中点时，可得，
因为，所以，
又因为，且，平面，
所以平面，此时满足题意，所以④正确.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥）．在如图所示的堑堵中，已知，若鳖臑的体积等于12，求：
（1）求堑堵的侧棱长；
（2）求阳马的体积；
（3）求阳马的表面积．
解：（1）由题设，则，且面，
设，因为，所以，所以.
（2）由题意面，面，则，
又，且都在面内，故面，
所以.
（3）由（1）可知，，
则，
所以，即为直角三角形，
.
16. 如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点．
（1）求证：；
（2）判断直线EF与直线GH的位置关系，并说明理由．
解：（1）因平面，平面，平面平面，
所以.
（2）直线与直线相交，理由如下：
连接，
因为分别是棱的中点，
所以，同理可证：，
因为，所以，
所以四点共面，
因为，所以，
所以与不平行，即与相交.
17. 如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．
（1）求证：平面
（2）若，求四棱锥的表面积．
（3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．
解：（1）取中点，连，
因为点为中点，
，且，
同时因为分别是边的中点，
，且，
四边形是平行四边形，
，
又平面平面，
平面.
（2），
，
，
根据对称性有，而，
所以，
所以，
所以，
而，
四棱锥的面积.
（3）
由（1）知平面，
平面平面
，，
又，，.
18. 如图，和都是边长为的等边三角形，，平面.
（1）证明：平面；
（2）若点到平面的距离为，求二面角的正切值.
解：（1）证明：如图，取的中点，连接、，
因为和都是边长为的等边三角形，则，，
且，同理可得，
因为，所以，，则，
又因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）如图，连接、，取的中点，连接，
因为为等边三角形，为的中点，则，
取的中点，连接，因为，则，
且，
则等腰的面积为，
所以三棱锥的体积为，
因为平面，、平面，则，，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为，平面，平面，所以，平面，
则点到平面的距离等于点到平面的距离等于，
因为，则，
又，即，所以，
因为平面，平面，则，
又因为，则，
因为为的中点，所以，，
又因为，所以二面角的平面角为，
则，所以二面角的正切值为.
19. 如图，在直棱柱中， 底面是菱形，，，，E，F分别是棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）若平面⊥平面，求a的值.
解：（1）
连接.
在直棱柱中，平面，
因为平面，所以，
在菱形中，⊥，
因为，平面，
所以⊥平面．
又因为平面，
所以．
（2）取的中点，连接，．
因为是的中点，
所以，．
在直棱柱中，
，.
在菱形中，，.
所以，．
因为是的中点，所以．
所以，.
所以四边形为平行四边形.
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（3）过点作于，连接，
因为平面⊥平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，为直角三角形，
在直棱柱中，，.
在菱形中，，
所以，，
连接与相交于点，连接，则J为BD、AC中点，则，
过点作⊥于点，
由（1），，所以平面，
则，
在直棱柱中，，
所以，
由可得，解得.
