江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024届高三下学期考前热身数学试题（含解析）

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024年高三下学期考前考前热身数学试题
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若P为等边内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
6．设为等差数列的前项和，，则（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
7．如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．掷一枚质量均匀的骰子，记事件：掷出的点数为偶数；事件：掷出的点数大于2．则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正方体的棱长为3，P在棱上，为的中点，则（ ）
A．当时，到平面的距离为 B．当时，平面
C．三棱锥的体积不为定值 D．与平面所成角的正弦值的取值范围是
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知非零平面向量，向量在向量上的投影数量为，，则的夹角的大小为 ．
13．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是 .（用数字作答）
14．已知首项为的正项数列满足满足，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在斜中，角A、B、C所对的边分别为．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
16．2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024 内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
场次编号 1 2 3 4 5
观众人数 0.7 0.8 1 1.2 1.3
(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；
(2)若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
购买A等票 购买非A等票 总计
男性观众 50
女性观众 60
总计 100 200
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中．
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
17．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，平面平面.
(1)求证：平面平面；
(2)若PD与平面所成的角为30°，求平面与平面所成角的正弦值.
18．已知数列为等比数列，为等差数列，且，，.
(1)求，的通项公式；
(2)数列的前项和为，集合共有5个元素，求实数的取值范围；
(3)若数列中，，，求证：.
19．已知抛物线E的准线方程为：，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于C、D两点，直线CF与抛物线交于M、N两点，直线DF与抛物线交于P、Q两点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据给定条件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得.
【详解】由集合有6个非空真子集，得集合中有3个元素，为，
因此，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
2．C
【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数的意义及复数乘法运算计算即得.
【详解】依题意，，，
所以.
故选：C
3．C
【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据指数函数的性质证明C.
【详解】取，，满足，但是推不出，故排除A；
取，，满足，但是推不出，故排除B；
取，，满足，但是推不出，故排除D；
由，，可推出，即，即，故充分性成立.
故选：C.
4．C
【分析】设出三角形边长，再设，其它角用表示，利用图象和正弦定理求解即可.
【详解】
设的边长为2.
如图，设，在中，，
在中，由正弦定理得，即，
化为，所以．
故选:C.
5．B
【分析】根据二项分布直接求解即可.
【详解】因为随机变量，
所以.
故选：B
6．D
【分析】借助等差数列及其前项和基本性质可得数列的公差，再利用等差数列求和公式计算即可得.
【详解】依题意，，所以，
故，所以数列的公差为，
所以.
故选：D．
7．D
【分析】设内切圆与边分别相切于点，设，可得，结合椭圆和双曲线的定义可得，利用余弦定理求得，结合对勾函数的单调性分析求解.
【详解】如图，设内切圆与边分别相切于点，
由切线长定理和的对称性，可设.
由，可得.
在中，由余弦定理，.
于是根据椭圆和双曲线的定义，.
接下来确定的取值范围.
设，
在中，，
于是由余弦定理，，
整理得，于是，故，
又因为在内单调递增，可知，
可得，所以的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值；
2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
8．A
【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.
【详解】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；
由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；
由图可知，当时，，
而对于D选项，当时，，故排除D.
故选：A.
9．ABD
【分析】由古典概型可判断A，利用全概率公式可判断B，利用相互独立事件概率计算公式可判断C，利用条件概率可判断D.
【详解】由题意，，，则，，故A正确；
由全概率公式，则，故B正确；
事件表示掷出的点数为偶数且不大于2，则，事件表示掷出的点数为奇数且大于2，则，
则，故C错误；
，，则，故D正确．
故选：ABD
10．ABD
【分析】当时与重合，则为正三棱锥，求出点到平面的距离，即可判断A，设为的中点，连接、，即可证明、，从而得到平面，即可判断B，由判断C，设点到平面的距离为，与平面所成角为，则，求出的面积最值，从而求出相应的，再由判断D.
【详解】当时与重合，则为正三棱锥，，
设在平面内的投影为，则为的中心，
则，
所以，即当时，点到平面的距离为，故A正确；
由正方体的性质可得平面，平面，所以，
设为的中点，连接、，则平面，平面，所以，
当时为的中点，则，所以，
又，所以，所以，
，平面，
所以平面，平面，所以，
，平面，所以平面，故B正确；
当运动时，到平面的距离保持不变为，
又，
所以，
所以三棱锥的体积为定值，故C错误；
由C可知，三棱锥的体积为定值，设点到平面的距离为，与平面所成角为，
所以，
显然当时，的面积最大为，
则，
此时与平面所成角正弦值，
当时，的面积最小为，
则，
此时与平面所成角正弦值，
所以与平面所成角正弦值的取值范围是，故D正确.
故选：ABD．
11．ABD
【分析】推导出函数的奇偶性，设，利用导数推导出为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断A选项；推导出，令代值计算可判断B选项；由、推导可判断C选项；求出的值，结合函数的周期性可判断D选项．
【详解】对于A选项，因为函数的图象关于直线对称，
则，
即，所以，函数为偶函数，故A正确；
对于选项，因为，令，可得，即，
对等式两边求导得，即，
故，所以，故B正确；
对于选项，因为，则，
令，则，所以，为常值函数，
设，其中为常数，
当时，，故C错误；
对于D选项，因为，所以，.
，可得，
，
由，令，可得，则，
所以，
因为，则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查抽象函数的对称性与周期性，一般可根据如下规则判断：
（1）若对任意的实数，满足，则函数的周期为；
（2）若对任意的实数，满足，则函数关于直线对称；
（3）若对任意的实数，满足，则函数关于点对称．
12．
【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】因为向量在向量 上的投影数量为，可得，所以，
设的夹角为，则，
又因为，所以．
故答案为：.
13．28
【分析】分类讨论四个数的组成后，由排列数公式与计数原理求解即可．
【详解】显然均为不超过5的自然数，下面进行讨论：
最大数为5的情况：
①，此时共有种情况.
最大数为4的情况：
②，此时共有种情况.
③，此时共有种情况.
当最大数为3时，，没有满足题意的情况.
由分类加法计数原理，满足条件的有序数组的个数是.
故答案为：28．
14．
【分析】先将已知等式两边取对数后由累乘法得到通项，再分为奇数和偶数时化简不等式后结合数列的单调性解一元二次不等式即可求出.
【详解】因为，
所以，
当时，，
所以，又，所以时也成立，
所以，
因为，
当为奇数时，上式变为，
所以，因为为递减数列，所以解得；
当为偶数时，上式变为，
所以，解得；
综上，的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对已知不等式的变形，通过观察分析取对数化简后再累乘是关键.
15．(1)
(2)
【分析】（1）化简可得，结合，解方程即可求得答案；
（2）利用二倍角公式可求出，继而求得，再由正弦定理求出a，由三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由于，
故，则，
代入，得，
解得或，由于为斜三角形，故舍去；
则；
（2）由，得，
则，
即，由于，故C为锐角，
则，故，
又，故，
则，
所以.
16．(1)
(2)表格见解析，没有
【分析】（1）利用表中数据结合最小二乘法计算回归直线即可；
（2）根据题意补全列联表即可，再由卡方公式及独立性检验的思想判定结果即可.
【详解】（1）由表格可知，
，，所以，
则；
（2）根据数据补全表格如下：
购买A等票 购买非A等票 总计
男性观众 40 50 90
女性观众 60 50 110
总计 100 100 200
所以，
故没有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点M，通过证明线线垂直证明平面，继而证明结论；
（2）利用PD与平面所成的角，求出相关线段长，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面与平面的法向量，利用空间角的向量求法即可求得答案.
【详解】（1）证明：取的中点M，连接，
，
又平面平面PBC，平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
又底面是直角梯形，且，则，
而平面，
故平面，平面,
故平面平面；
（2）取中点N，连接，则，
则四边形为平行四边形，则，
故平面，则为PD与平面所成的角，即，
由于平面，平面，故，
，，故，
在中，，
则，
在中，为等边三角形，
取中点O，的中点为Q，连接，则，
以点O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，
即，取，则，
平面的一个法向量为，则，
故平面与平面所成角的正弦值为.
18．(1)，
(2).
(3)证明见解析
【分析】（1）设数列的公比为，数列的公差为，由已知易得，，可求，；
（2）设数列，可求得，，进而可得，可得，可求的取值范围为.
（3），进而计算可得不等式成立.
【详解】（1）设数列的公比为，数列的公差为，
则由，，所以，所以，
，即，所以，
所以；
（2）设数列，
则，
所以
，
，
令，
，
可得，
故当时，最大，
且，
所以，即的取值范围为.
（3）由，
则当时，
，
当时，也满足上式，
所以，
，
所以原不等式成立.
19．(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用抛物线的准线求标准方程即可；
（2）设直线方程与坐标，根据抛物线的切线方程可求得坐标，再含参表示直线，联立抛物线方程结合弦长公式可求，根据焦点弦的性质计算即可.
【详解】（1）因为抛物线E的准线方程为：，所以；
（2）设，
联立抛物线有，
下面先求抛物线过点的切线方程，
设该切线方程为，
与抛物线联立有，
则，
又，
即，则，
则，
所以抛物线E在处的切线方程为，
B处的切线方程为，所以，
则，
直线分别与抛物线方程联立有，
设，则，
由弦长公式知，
同理有，
又，所以，
则,
即，
所以存在实数，使得恒成立.
【点睛】思路点睛：设A、B坐标利用切线方程可含参表示C、D坐标，结合点斜式可表示直线，再根据弦长公式计算，计算其倒数和是否为定值即可.
答案第1页，共2页