数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1、者R上的可导函数y=树在x=处满足职6+f-3,则rk)=《)
2△x
A.6
B.
C.3
D,子
2.若随机变量X~N(2,o2),且P(Xs1)=0,29,则P(X<3)=()
A.0.29
B.0.71
c.0.79
D.0.855
3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排
列的6个爻组成，交分为阳爻“一
一”和阴爻“
”,如图
就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，记察件A=“取出的重卦中至少有
1个阴爻”，事件B=“取出的重卦中至少有3个阳爻”.则P到A)=()
A吾
B.贵
c贵
D总
4.随机变量X的分布列如右表所示，若()=片，则D3X-2)=（)
A.3
B.
C.5
D.9
5.某公司的员工中，有15%是行政人员，有35%是技术人员，有50%是研发人员，其中60%的
行政人员具有博士学历，40%的技术人员具有博士学历，80%的研发人员具有博士学历，从
具有博士学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为()
A.号
B.
c.司
D.g
6,在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的
区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有()
A.420种
B.360种
C.540种
D.300种
7.已知(2+a1+x)的展开式中x2的系数为25，则展开式中所有项的系数和
为()
A.-99
B.97
C.96
D,-98
答案第1页，共4页
口
Q夸克扫描王
极速扫描，就是高效
8,若定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(3)=0,且当x>0时，(x)>一f(x)恒成立，则函数
g(x)=对(x)+gx+的零点的个数为（)
A.1
B.2
C.3
D.4
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同
学排成一排合影留念，则下列说法正确的是()
A.若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法
B.若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有96种排法
C.若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法
D,若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这6名同学共有480种排法
10.已知f(x)=(2x-3)°(n∈N)展开式的二项式系数和为512，
f(x)=a+4(x-1)+a2(x-1)2++a,(x-1)”，下列选项正确的是（）
A.41+a2十…+a=1
B.41+242+3a3+…+nan=18
C.4=144
D.la+al+…+an=3
11.关于函数f)=2+血x,下列判断正确的是（)
A.f(x)的极大值点是x=2
B.压夕=f(x)-x在(2)上有唯一零点
C.存在实数k>0,使得f)>a成立
D.对任意两个正实数x,且>2，若f(x)=f(),则+2>4
第亚卷（非选择题)
三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分)
12.已知函数()=/"x-2+x+号(()是()的导函数)，则/0)=
13.-如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落入A,B,C,已知小球从每个
叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，
若投入的小球落到A,B,C，则分别给以一、二、三等奖则某人投1次小球获得三
等奖的概率为
14.若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208,136都是
“十全十美数”，则一共有
二个“十全十美数”。
答案第2页，共4页
Q夸克扫描王
极速扫描，就是高效2023-2024 年度（下）抚松一中高二年级第二次月考数学参考答案
f x x f x f x x f x
1 1 1．A【详解】因为 lim 0 0 lim 0 0 f (x ) 3，
x 0 2 x 2 x 0 x 2 0
所以 f (x0 ) 6，故选：A.
2．B【详解】因为 X ~ N 2, 2 ，又 P X 1 0.29，所以P X 3 P X 1 0.29，
所以 P X 3 1 P X 3 0.71．故选：B．
6
3．C 2 1 63【详解】P(A) 6 ，事件 AB “取出的重卦中有 3阳 3阴或 4阳 2阴或 5阳 1阴”，2 64
C3+C4+C5 41 P(AB) 41
则 P(AB) 6 6 66 ，则P(B∣A) P(A) 63故选：C2 64
4 C 1． 【详解】 E(X ) ， 3 由随机变量 X的分布列得：
1
a b 1
a 1
6
3
，解得 ， D(X ) ( 1
1
)2 1 (0 1 )2 1 (1 1 )2 1 5
1 1 1 3 6 3 3 3 2 9
，
b b
6 3 2
D(3X 2) 9D(X ) 9 5 5
9 .故选：C．
5．C【详解】设事件 A “选出的员工是行政人员”， B “选出的员工是技术人员”，C “选出
的员工是研发人员”，D=“选出的员工具有博士学历”，
由题可知， P(A) 0.15，P(B) 0.35，P(C) 0.5，P(D | A) 0.6，P(D | B) 0.4， P(D |C) 0.8，
所以 P(D) P(D | A)P(A) P(D | B)P(B) P(D |C)P(C)
0.15 0.6 0.35 0.4 0.5 0.8 0.63，
P(D | B) P(DB) P(DB) 0.4 P(BD) 0.14 2
P(B) 0.35 ，
P(DB) 0.14，所以 P(B |D) P(D) 0.63 9 ，故选：C．
6．A【详解】选用三种颜色时，必须 1,5同色，2，4同色，此时有C3 35A3 60种；
选用四种颜色时，必须 1,5同色或 2，4同色，此时有C4C1A45 2 4 240种；
选用五种颜色时，有A 55 120种，所以一共有60 240 120 420种，故选：A.
7 5 2 3 4 5．C【详解】解法 1：因为 (2 ax)(1 x) (2 ax) 1 5x 10x 10x 5x x ，
所以 x2的系数为20 5a，所以20 5a 25，解得 a 1，
所以 (2 x)(1 x)5 a0 a1x a x
2 a x62 6 ，令 x 1，得a0 a1 a6 96 .
解法 2：由乘法分配律知 (2 ax)(1 x) 5的展开式中 x2的系数为2 C25 aC15 20 5a
所以 20 5a 25，解得 a 1，所以 (2 x)(1 x)5 a0 a1x a2x
2 a6x
6
答案第 1页，共 8页
{#{QQABLYCAogCgQJIAARgCQw3QCgCQkBECAAoOQAAIIAAAyBNABAA=}#}
令 x 1，得a0 a1 a6 96 .故选：C
8．C【详解】∵定义在R 上的奇函数 y f x 满足 f 3 0，∴ f 3 f 3 0．
∵ f x xf x ，∴ f x xf x 0．
即 xf x 0，记 p x xf x ， p x xf x 在 0, 上单调递增．
∵ p x xf x x f x xf x p x ，∴ p x xf x 是偶函数．
∴ p x xf x 在 ,0 上单调递减，且 p 0 p 3 p 3 0．
如图所示，画出 y1 xf x ， y2 lg x 1大致图象．
由图可得， g x xf x lg x 1有 3个零点．故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点
个数的判断问题，关键在于构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性，做出函数图象，将
一个函数的零点问题，转化为两个函数的交点个数问题.
9．ACD【详解】选项 A，将 3名女生捆绑在一起，再与 3名男生进行全排列，
则有A3 43A4 144（种），故 A正确，
选项 B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，则有 2A33A33 72（种），故 B不正确，
3 3
选项 C，先排 3名男生，3名女生插空，则有A3A4 144（种），故 C正确，
D 6选项 ，间接法，6人排列有A6（种）情况，男生甲在排头或排尾，则有 2A55（种），
所以男生甲不在排头也不在排尾有A66 2A
5
5 480（种），故 D正确，故选：ACD.
10．BD【详解】由 f (x) (2x 3)n展开式的二项式系数和为 512，
可得 2n 512，解得n 9，所以 f (x) (2x 3)9 .
A：在 (2x 3)9 a0 a1(x 1) a2(x 1)2 L a9(x 1)9，中，
令 x 1，得 a0 1，令 x 2，得a0 a1 a2 L a9 1，所以a1 a2 a3 L a 9 2，故 A错误；
B： (2x 3)9 a0 a1(x 1) a 2 92(x 1) L a9(x 1) ，
等式两边同时求导，得18(2x 3)8 a1 2a2 (x 1) L 9a 9(x 1)
8，
令 x 2，得a1 2a2 L 9a9 18，故 B正确；
答案第 2页，共 8页
{#{QQABLYCAogCgQJIAARgCQw3QCgCQkBECAAoOQAAIIAAAyBNABAA=}#}
C：∵ (2x 3)9 [ 1 2(x 1)]9 a0 a1(x 1) a2(x 1)2 L a9(x 1)9，∴ a2 C29 ( 1)7 27 144，故 C错；
f (0) a a a a 9
D 0 1 2 3
a8 a9 3
：
f (2)
，
a0 a1 a2 a3 a8 a9 1
1 39 1 39
两式相加得 a0 a2 a4 a6 a8 ，两式相减得 a1 a3 a5 a7 a9 .2 2
又 (2x 3)9 [ 1 2(x 1)]9展开式的通项公式为Cr r 9 r 9 r r9( 1) 2 ( x 1) ( 1) 29 rCr9( x 1) 9 r （ 0 r 9, r Z ），
则当 r为奇数时， a0 ,a2 ,a4 ,a6 ,a8 为负，当 r为偶数时， a1,a3 ,a5 ,a7 ,a9 为正，
9 9
所以 a0 a1 a2 a9 (a1 a3 a5 a a ) (a a a a a )
1 3 1 3 9
7 9 0 2 4 6 8 3 ，故 D正确.2 2
故选：BD
11．BD【分析】对于 A，直接求导，由导数与单调性、极值的关系直接判断即可；对于 B，
求导得 y f (x) x
1
单调递减，结合零点存在定理即可求解；对于 C，当 x且趋于无穷大时， x2
ln x f x
无限接近于 0， x 也无限趋于 0，从而 也趋于 0，由此即可判断；对于 D，通过分析得x
x1 x 2 2 ln x1知只需证明 0x x x ，进一步通过换元并构造函数即可得证.2 1 2
f (x) x 2【详解】因为 , (x 0) ，所以当 x (0,2)时， f (x) 0，当 x (2, )x2 时，
f (x) 0，
所以 f (x)在 (0,2)上单调递减，在 (2, )上单调递增，所以 x 2是 f (x)的极小值，所以 A错误；
2
B选项中，函数 y
2
ln x x y 1 2 1 x x 2，则 2 x 2 ，x x x
2
1 7
由于 x2 x 2 x 0，
2 4
y x
2 x 2 2
即 0在 (0, )上恒成立，所以函数 y ln x x在 (0, )
x2 x
上单调递减，
又当 x 1时， y 1 0，当 x 2时， y ln 2 1 0，所以函数 y f (x) x在 (1, 2)上有唯一零点，
即函数 y f (x) x有且只有 1个零点，B正确；
C f (x) 1 ln x选项中，由 x x 2 x ，
1 ln x
可得当 x且趋于无穷大时， x2 无限接近于 0， x 也无限趋于 0，
f (x)
故不存在实数 k 0，使得 kx 成立，即不存在实数
k 0，使得 f (x) kx成立，C错误；
D选项中，由 f
2 x1 xx f x 2 ln x11 2 得 x1x2 x2
2 x1 x2 x1 x2 x1 x1 x2 xx 1要证 1 x2 4，只要证 4lnx x x ，即证
2 ln 0
1 2 2 x2 x x
，
1 2
答案第 3页，共 8页
{#{QQABLYCAogCgQJIAARgCQw3QCgCQkBECAAoOQAAIIAAAyBNABAA=}#}
x 1 1 2 ( t 1) 2
由于 x1 x
1
2，故令 t 1x ，则 g(t) t 2ln t, g (t) 1 t t 2
0 ，
2 t t 2
x x x
故 g (t) 1 2 1在 (1, )上单调递增，则 g(t) g(1) 0，即 2 ln 0x 成立，2 x1 x2
故 x1 x2 4成立，所以 D正确．故选：BD．
1 1
12. 1 2【详解】由函数 f x 3 f 1 x x lnx ，可得 f x 3 f 1 2x ，2 x
令 x 1，可得 f 1 3 f 1 1，解得 f 1 1 ，
2
3 2 1
则 f x x x lnx ，所以 f 1 3 1 1 0 1 .
2 2 2 2
13 7． 【详解】投 1次小球获得三等奖有三条线路，又因为小球从每个叉口落入两个管道的
16
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7
可能性相等，所以投 1次小球获得三等奖得概率为 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8 16 16
14.【答案】54
【详解】“十全十美数”有 54个列举如下：①有一位数字是 0的，共有 4 4 4 4 2=18个，分别为
109,190,901,910;208, 280,802,820;307,370,730,703;406, 460,604,640;505,550；
②含有两个相同数字的，共有3 3 3 3=12 个，分别为181,118,811;226, 262,622;334,343, 433;442, 244, 424；
3
③不含 0且没有相同数字的，共有 4 A3 =24个，分别为
127,172,217,271,712,721;136,163,316,361,613,631;145,154,415,451,514,541;235,253,325,352,523,532,
15 8．【详解】（1）令 x 1，可得展开式中所有项的系数和为 1 1；
（2）二项式系数最大的项为中间项，即第 5项，
2 r 5( x )8
8 r 2 r 4 r
2 的展开式的通项为：T
r
r 1 C8 x 2 2 Crx 28 ,r 8,r N ，x x
故T5 2
4 C4x 6 1120x 68 ；
2
（3）由 ( x 2 )
8的展开式的通项为：
x
r
8 r 4 5 r
T r 2 r r 2r 1 C8 x x2 2 C8x , r 8, r N，
2rCr 2r 1Cr 1
设第 r 1项系数的绝对值最大，显然0 r 8 8 8，则
2
rCr 2r 1Cr 1 ，8 8
答案第 4页，共 8页
{#{QQABLYCAogCgQJIAARgCQw3QCgCQkBECAAoOQAAIIAAAyBNABAA=}#}
8! 2 8! r !(8 r)! (r 1)!(7 r)! r 1 16 2r
整理得 ，即 ，解得5 r 6，而 r N，则 r = 5 r 6
2 8! 8! 18
或 ，
2r r
r !(8 r)! (r 1)!(9 r)!
所以系数的绝对值最大的项是第 6项和第 7项.
C1 4
16．【详解】（1）记“从甲箱中取出的竹筒装有 A卷”为事件D，则 P D 4 C1 .9 9
3 1
（2）由题意，得从甲箱中取出的竹筒装有 B卷的概率 p1 ，9 3
2
从乙箱中取出的竹筒装有 B卷的概率 p2 9 .
随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，
则 P X 0 1
1
2 14 1 2 1 2 11
1
， P X 1
1 1 ， P X 2
1 2 2
3 9 27 3 9
，
3 9 27 3 9 27
所以 X 的分布列为
所以数学期望 E X 0 14 11 2 5 1 2 . X
27 27 27 9 0 1 2
14 11 2
P
27 27 27
（3）设事件 E为“从乙箱取出的竹筒装有 C卷”，
事件D1，D2，D3分别为“从甲箱中取出的竹筒装有 A卷、B卷、C卷”，
P E P D P E D P D P E D P D P E D 4 5 3 5 2 6 47则 1 1 2 2 3 3 9 10 9 10 9 10 90
17．【详解】（1）1500 0.00375 0.001 0.00025 80 600，
故可估计阅读速度达到 620字/分钟及以上的人数为600人；
（2）从中任取一人，其阅读速度达到 540字/分钟及以上的概率为：
0.005 0.00375 0.001 0.00025 80 0.8，
X 的可能取值为 0、1、 2、3，
P X 0 C03 0.23 0.008，P X 1 C13 0.8 0.22 0.096，
P X 2 C23 0.82 0.2 0.384，P X 3 C0 0.833 0.512，
则其分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
其期望为： E X 3 0.8 2.4；
答案第 5页，共 8页
{#{QQABLYCAogCgQJIAARgCQw3QCgCQkBECAAoOQAAIIAAAyBNABAA=}#}
（3） E X E Y ，理由如下：
这 10名学生中，阅读速度达到 540字/分钟及以上的人数为8人，
Y的可能取值为1、 2、3，
C1C2 2 1 3 0P Y 1 8 2 8 13 ， P X 2
C8C2 56 7 3 ， P X 3
C8C2 56 7
C10 120 15 C10 120 15 C
3 ，
10 120 15
则 E Y 1 1 2 7 7 3 2.4，故E X E Y 15 15 15 .
18．【详解】（1）甲 乙两名学生必选语文 数学 外语．
若另一门相同的为物理 1 历史中的一门，有C2种，
在生物 化学 思想政治 地理 4门中，甲 乙选择不同的 2门，则有C24C22 6种，共2 6 12种；
若另一门相同的为生物 化学 思想政治 地理 4门中的一门，则有A2 1 22C4A3 48种．
所以甲 乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为12 48 60．
2
（2）①设此次网络测试的成绩记为 X ，则 X N 245,55 ．
由题知 245, 55, 2 245 110 355, 245 55 190 ，
0.9545 0.6827
则 P 190 X 355 0.6827 0.8186，所以 4000 0.8186 3274.4 3274．
2
所以估计 4000名学生中成绩介于 190分到 355分之间的约有 3274人．
②不可信．
3 245 3 55 410 425 ，
1 P 3 X 3 P(X 3 ) 1 0.9973则 0.00135，
2 2
4000名学生中成绩大于 410分的约有 4000 0.00135 5.4人，
这说明 4000名考生中，只有约 5人的成绩高于 410分．
所以说“某校 200人参与此次网络测试，有 12名同学获得 425分以上的高分”的宣传语不可信．
19．【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）求导，分 a 0， a 0和 a<0三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；
（3）令 f (x) eax 1 0 ax 1
ln x
，则 e ，再分 x的正负讨论，当 x 0时，分离参数可得a
x x
，
x
ln x
则函数 f x 零点的个数即为函数 y a, y 图象交点的个数，构造函数
x
lnh x x x 0 ，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可
x
得解.
答案第 6页，共 8页
{#{QQABLYCAogCgQJIAARgCQw3QCgCQkBECAAoOQAAIIAAAyBNABAA=}#}
1
【详解】（1）当 a 0时， f (x) 1 1 ， f x x ，x2
则 f 1 1, f 1 2，
所以曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 y 2 x 1 ，即 y x 3；
ax 1
（2） f (x) ae ，则 g(x) f 2 (x) x
2 ax2eax 1 x 0
x ，
则 g x 2axeax a2x2eax ax ax 2 eax x 0 ，
当 a 0时， g x 1，此时函数 g x 无极值；
2 2
当 a 0时，令 g x 0，则 x 0或 x a，令 g
x 0，则 x 0a ，
g x , 2 , 0, 2 , 0 所以函数 在 a 上单调递增，在 上单调递减， a
所以 g x 2 4的极大值为 g 1
a
；
ae2
2 2
当 a<0时，令 g x 0，则 x 0或 x ，令 g x 0，则0 x a a，
所以函数 g x 在 , 0 , 2 ,
2
a 上单调递增，在
0,
a
上单调递减，
而函数 g x 的定义域为 ,0 0, ，
所以此时函数 g x 无极值.
综上所述，当 a 0时，函数 g x 无极大值；
当 a 0时， g x 4的极大值为 1ae2 ；
（3 1 ax 1）令 f (x) eax 0，则 e
x x
，
1
当 x 0 ax时， e 0, 0x ，
所以 x 0时，函数 f x 无零点；
eax 1 ax ln 1 ln x当 x 0时，由 x，得
x ，所以
a ，
x
f x ln xx 0 则 时，函数 零点的个数即为函数 y a, y 图象交点的个数，
x
令 h x ln x ln x 1x 0 ，则 h x
x x2
，
当 x e时，h x 0，当 e x 0时，h x 0，
所以函数 h x 在 , e 上单调递增，在 e,0 上单调递减，
答案第 7页，共 8页
{#{QQABLYCAogCgQJIAARgCQw3QCgCQkBECAAoOQAAIIAAAyBNABAA=}#}
所以 h x h e 1 max ，e
又当 x 时，h x 0且h x 0，当 x 0时，h x ，
如图，作出函数 h x 的大致图象，
又 a e
ln x
，由图可知，所以函数 y a,h x 的图象只有1个交点，
x
即当 x 0时，函数 f x 只有1个零点；
综上所述，若 a e，函数 f (x)有1个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本
性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现
了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 f x 0分离变量得出a g x ，将问题等价转化为直线 y a与函数
y g x 的图象的交点问题.
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