人教版数学八下 18.2.3正方形 （希沃课件+图片版PPT）仅适用希沃白板

(共67张PPT)
18.2 特殊的平行四边形/
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3正方形
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
18.2 特殊的平行四边形/
正方形的性质
第一课时
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18.2 特殊的平行四边形/
　除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？　　　
正方形
　怎样研究这类图形？
　想一想我们是怎样研究矩形和菱形的.
导入新知
18.2 特殊的平行四边形/
1. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概
念之间的联系和区别.
2. 能用正方形的定义、性质进行推理与计算.
素养目标
18.2 特殊的平行四边形/
平行四边形
情境一： 观察体会
探究新知
知识点 1
正方形的定义
18.2 特殊的平行四边形/
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
有一个直角
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
有一个直角
矩形
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
有一个直角
矩形
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
有一个直角
正方形
平行四边形
你能给正方形下一个定义吗？
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
问题1：图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
问题2：当CD移动到C D 位置，此时AD ＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
正方形是特殊的矩形
情景二：两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
矩 形
正方形
〃
〃
【思考】1.
探究新知
矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢
18.2 特殊的平行四边形/
菱 形
∟
∟
∟
∟
正方形
【思考】2.菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
小结：
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形叫正方形.
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正方形.
如何来给正方形下定义？
探究新知
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
18.2 特殊的平行四边形/
请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4条
A
B
C
D
探究新知
知识点 2
正方形的性质
18.2 特殊的平行四边形/
总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性
平行四边形
中心对称图形
（对角线的交点）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（四条）
探究新知
矩形
菱形
正方形
18.2 特殊的平行四边形/
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
(1)
(2)
(3)
(4)
探究新知
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
矩形
菱形
正方形
18.2 特殊的平行四边形/
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
探究新知
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
18.2 特殊的平行四边形/
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边都相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=BC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证:△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
素养考点 1
探究新知
利用正方形的性质求线段相等
18.2 特殊的平行四边形/
1.已知正方形ABCD，若E为对角线上一点，连接EA、EC. EA = EC吗？说说你的理由.
E
A
B
C
D
1
2
？
？
巩固练习
解： EA = EC .理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠1=∠2=45°，
又∵BE=BE
∴△ABE≌△CBE
∴AE=CE.
18.2 特殊的平行四边形/
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
探究新知
素养考点 2
利用正方形的性质求角度
18.2 特殊的平行四边形/
2.已知：如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
证明：∵CE⊥AF， ∴∠ADC＝∠AEM＝90°
又∵∠CMD＝∠AME，
∴∠1＝∠2
　 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC
　 ∴Rt△CDM≌Rt△ADF　(ASA)
∴DM=DF.
∴∠DMF=∠DFM
∵∠ADF=90°，∴∠MFD=45°.
巩固练习
18.2 特殊的平行四边形/
例3 如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG.
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD
又∵四边形DEFG也是正方形
∴DE=DG
又∵正方形的每个内角为90°
∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC，
∴∠ADE＝∠CDG
∴△AED≌△CGD.
∴AE=CG
A
B
C
D
E
F
G
素养考点 3
利用正方形的性质求线段相等
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
3.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．
1
2
3
巩固练习
证明：（1）∵ ABCD是正方形
∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°
在△ABF与△ADE中，AD=AB,
∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF
∴ △ABF≌△ADE（SAS）
∴ AE=AF ,∠1=∠3
（2）∵∠2+∠3=90 °
∴∠1+∠2=90 °，∴ EA⊥FA
18.2 特殊的平行四边形/
（2018 吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
巩固练习
连接中考
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF．
AB=BC
∠ABE=∠BCF
BE=CF
A
D
B
C
E
F
18.2 特殊的平行四边形/
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
B
D
课堂检测
基础巩固题
18.2 特殊的平行四边形/
3．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第3题图
第4题图
45°
课堂检测
基础巩固题
18.2 特殊的平行四边形/
5.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD＝ ，
面积为AD2＝8.
课堂检测
基础巩固题
解:
A
D
B
C
O
18.2 特殊的平行四边形/
如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°， AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
课堂检测
能力提升题
18.2 特殊的平行四边形/
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，
AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
课堂检测
拓广探索题
同理可得∠DEC＝15°.
18.2 特殊的平行四边形/
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
课堂检测
拓广探索题
18.2 特殊的平行四边形/
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
课堂小结
18.2 特殊的平行四边形/
正方形的判定
第二课时
返回
18.2 特殊的平行四边形/
宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗？
导入新知
18.2 特殊的平行四边形/
2. 能应用正方形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.
1. 理解并掌握正方形的判定方法 .
素养目标
18.2 特殊的平行四边形/
做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
【讨论】 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
或对角线相等
探究新知
知识点 1
正方形的判定
18.2 特殊的平行四边形/
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
求证：对角线相等的菱形是正方形.
探究新知
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证明：
18.2 特殊的平行四边形/
做一做：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
探究新知
矩形
18.2 特殊的平行四边形/
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴矩形ABCD是正方形.
求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
探究新知
A
B
C
D
O
18.2 特殊的平行四边形/
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
且有一个角是直角
正方形常见的判定方法
先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形
探究新知
平行四边形
18.2 特殊的平行四边形/
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
探究新知
18.2 特殊的平行四边形/
例1 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
∵∠C=90°， DE⊥BC于E，DF⊥AC于F
∴∠DEC=90°， ∠DFC=90°，
∴四边形CFDE有三个直角， 它是矩形
又∵CD平分∠ACB
∴ DE=DF
∴四边形CFDE是正方形
探究新知
素养考点 1
由矩形到正方形的识别
证明：
18.2 特殊的平行四边形/
∵ DE⊥AC，DF⊥BC ，
∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
同理得DG=DF，
∴四边形EDFC是正方形.
1.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥BC.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
巩固练习
证明：
∴ DE=DG.
∴ED=DF，
18.2 特殊的平行四边形/
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠COH=∠BOE,
∴OE=OH.
B
A
C
D
O
E
H
G
F
例2 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
探究新知
素养考点 2
由菱形到正方形的识别
∴OE=OF=OG=OH.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴△CHO ≌△BEO,
同理可证：OE=OF=OG,
又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.
∴四边形EFGH为正方形.
18.2 特殊的平行四边形/
2.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
巩固练习
解：
四边形EFMN是正方形.
理由如下：
18.2 特殊的平行四边形/
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
巩固练习
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
18.2 特殊的平行四边形/
（2019 北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形
ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是_______．
巩固练习
连接中考
①
②
③
18.2 特殊的平行四边形/
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
基础巩固题
课堂检测
18.2 特殊的平行四边形/
2.下列判断中正确的是（ ） A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D
课堂检测
基础巩固题
18.2 特殊的平行四边形/
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
课堂检测
基础巩固题
B
D
A
C
18.2 特殊的平行四边形/
4.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证： ADB= CDB;
(2) 若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
课堂检测
基础巩固题
18.2 特殊的平行四边形/
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°, 又∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
课堂检测
基础巩固题
18.2 特殊的平行四边形/
如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形ADEF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
课堂检测
能力提升题
18.2 特殊的平行四边形/
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
能力提升题
课堂检测
18.2 特殊的平行四边形/
如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
在△ABF 和△ADE中，AB＝AD ，∠BAF＝∠EAD ，AF＝AE ,
∴△ABF≌△ADE（SAS），
拓广探索题
课堂检测
∴∠BAF=∠EAD，
∴BF=DE；
18.2 特殊的平行四边形/
（2）解：当点E运动到AC的中点时,四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC，
∵AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
课堂检测
拓广探索题
∴BE=AF=AE.
∵BE=AF，
18.2 特殊的平行四边形/
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂小结
18.2 特殊的平行四边形/
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习