江苏省扬州中学、盐城中学、淮阴中学、丹阳中学四校2023-2024学年高三下学期调研测试联考数学试卷（含解析）

江苏省扬州中学、盐城中学、淮阴中学、丹阳中学四校2023-2024学年高三下学期调研测试联考数学试卷
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数在复平面内对应的点为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，正四棱台容器的高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，利用此样本数据求得的线性回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为，且，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则（ ）
A． B．
C．是与的等差中项 D．
10．下列命题恒成立的有（ ）
A．已知平面向量，，则
B．已知，，则
C．已知复数，，则
D．已知复数，，则
11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点、连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为： B．的离心率为
C．的渐近线与圆相交 D．满足的直线有条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ．
13．在中，已知边上的高等于，当角时， ；当角时，的最大值为 ．
14．已知，且，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，几何体中，和均为等边三角形，平面平面，，，，为中点.
(1)证明：、、、四点共面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
17．设各项都不为0的数列的前项积为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中），组成新的数列，记数列的前项和为，若，求的最小值.
18．已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6．
(1)求E的方程；
(2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边过F，边过原点，求直线的方程：
(3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】借助导数的几何意义可得，再利用模长公式即可得.
【详解】由题意得，所以，则.
故选：B.
2．C
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得，
所以的取值范围为.
故选：C
3．D
【分析】利用已知条件求解，的关系，即可求解离心率.
【详解】设该椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意得，则，
故选：D
4．C
【分析】先根据正弦型函数的周期计算公式得最小正周期；利用函数平移的规律及诱导公式即得.
【详解】由题意得的最小正周期为，
则所求函数为.
故选：C
5．B
【分析】考查线与面，面与面之间位置关系，关键是掌握线面、面面等的位置关系及其性质，再结合图形分析.
【详解】如图，当时，与可相交也可平行， 故A错；
当时，由平行性质可知，必有，故B对；
如图，当时，或，故C错；当时，可相交、平行，故D错.
故选：B.
6．B
【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可.
【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导，
可得，将点代入，得，
解得，故切线斜率为，得到切线方程为，
化简得方程为，故B正确.
故选：B
7．A
【分析】先计算水的体积，再计算放入球后水和球的总体积，可得铁球的体积，利用体积公式可得答案.
【详解】正四棱台容器的高为12cm，，，
正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为，
其体积为；
放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图，
其中是底面边长10 cm，是容器的高为12 cm，是水的高为9 cm，
由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4 cm，
此时水的体积为，
放入的57个球的体积为，
设小铁球的半径为，则，解得.
故选：A
8．C
【分析】由题意求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心，得到，进而得到，将点代入，即可求解.
【详解】设没剔除两对数据前的，的平均数分别为，，
剔除两对数据后的，的平均数分别为，，
因为，所以，则，
因为两对数据为和，所以，
所以，
所以，解得.
故选：C.
9．ACD
【分析】由，可推出的周期为4，由是奇函数可推出，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项.
【详解】因为，
所以，
两式相减得，
所以的周期为4.
因为是奇函数，
所以，所以，
即，
令，得.
因为，
令，得，
所以，即.
因为，
令，得，
所以，
所以，
所以，故A正确.
因为，
所以，即，所以.
因为，，所以B错误.
因为，，
所以，
所以是与的等差中项，故C正确.
因为，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性，再结合等差中项的含义以及赋值法一一分析选项即可.
10．ABD
【分析】根据平面向量数量积的运算律判断A，根据实数的运算法则判断B，利用特殊值判断C，根据复数的运算性质判断D.
【详解】对于A：
，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：令，，则，
而，，
所以，，
所以，
显然不成立，故C错误；
对于D：
，故D正确.
故选：ABD
11．AB
【分析】设P的坐标，注意由题意可得P的纵坐标不为0，求出斜率之积，整理可得P的轨迹方程，可得判断A；进而求出双曲线的离心率及渐近线的方程，可得判断B；求出圆心到渐近线的距离，可判断C；直线l与曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|，由弦长的值求出k有两个值，可判断D．
【详解】解：设P（x，y），由题意可得，
所以，整理得，故A正确；
又，所以，所以，故B正确；
渐近线的方程为：，即，
圆心到渐近线的距离，
所以直线与圆相切，故C不正确；
联立方程组 ，整理可得，
所以，
所以弦长，
由题意可得，
整理可得：，
解得：k＝0（与双曲线无交点） 或，
所以有两条直线满足条件，所以D不正确．
故选：AB．
12． 内含
【分析】先利用圆心距与两半径之差的比较得到两圆位置关系；再利用两圆内切推得，从而利用椭圆的定义即可得解.
【详解】依题意，圆心，半径，圆心，半径，
所以，则两圆内含；
设动圆的圆心，半径为，则，
，
依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中，
又，
所以的轨迹方程为.
故答案为：内含；.
13． /
【分析】第一空：由锐角三角函数结合两角和的正切公式即可得解；第二空：注意到，结合基本不等式得，由此即可进一步得到，注意取等条件是否成立.
【详解】设为边上的高，所以，
如图所示：
又因为，所以，又，
所以，，，
所以；
因为，，又，
所以垂足落在线段上，故都是锐角，所以均大于0，
因为
，
即，等号成立当且仅当，
所以；
所以，
因为，所以，所以当且仅当时，有.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：第二空的关键是发现，由此结合基本不等式以及两角和的正切公式即可得解.
14．4
【分析】先根据等式将消去，构造函数，然后讨论，研究函数的单调性求出最小值即可.
【详解】因为，
所以，
因为
所以关于对称.
当时，
因为，所以，
令，所以
所以在单调递增，
所以在单调递增，
即，故在成立，
所以在单调递增，同理，在单调递减，
所以当时，取的最小值，
故当，时，的最小值为4.
故答案为：4.
15．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）连接，由，、为等边三角形，为中点，得，，，
又平面，则平面，平面，于是；
而平面，则平面，又平面，于是；
又平面，因此平面，
设平面与直线交于点，则，显然平面，
在平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与垂直，
所以与重合，即有，，，四点共面.
（2）由（1）知，平面平面，在平面内过点作，
而平面平面，则平面，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由平面平面，平面平面，平面，平面，
而平面，则，由和均为等边三角形，
得，，由，得，
于是，
则，设平面的法向量为，
则，令，得，
设直线与平面夹角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．(1)0.4
(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.
【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解.
（2）先根据题意写出甲决定按“”的顺序猜歌名获得奖金数的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式求得每一个取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出；再同理得出甲决定按“”顺序猜歌名的数学期望；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得出答案.
【详解】（1）由题意可知甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对；猜对，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以；
甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以.
参考答案一：由于，
由于，所以应该按照“”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
其他合理答案均给分
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系得到，再检验即可得解；
（2）利用并项求和法与等比数列的求和公式求得，再依次求得，从而得解.
【详解】（1）因为，
当时，，两式相除可得，
因为，所以，
又，所以.
（2）依题意，
，
易知随着增大而增大，
当时，，
当时，，
而
综上，的最小值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在处的导数值即为切线斜率，所以对函数求导可得切线斜率，进而得切线方程；
（2）根据题意属于不等式恒成立求参数取值范围问题，可以把不等式分离参数，然后构造新函数，转化为利用导数求新函数的最值问题；也可以利用切线不等式得到即，再对分和讨论即得的取值范围.
【详解】（1），，
，
的图像在处的切线方程为，即.
（2）解法一：由题意得，因为函数，
故有，等价转化为，
即在时恒成立，所以，
令，则，
令，则，所以函数在时单调递增，
，，
，使得，
当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，
故，
由，得
在中，，当时，，
函数在上单调递增，，即与，
，
，即实数的取值范围为.
解法二：因为函数，
故有，等价转化为：，
构造，
，所以可知在上单调递减，在上单调递增，
，即成立，令，
令， 在单调递增，
又，所以存在，使得，即，
可知，
当时，可知恒成立，即此时不等式成立；
当时，又因为，
所以，与不等式矛盾；
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
19．(1)；
(2)或；
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）依题意设出双曲线方程，根据条件即可得结果；
（2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果；
（3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹可判断结果.
【详解】（1）圆锥曲线E的离心率为2，故E为双曲线，
因为E中心在原点、焦点在x轴上，所以设E的方程为，
令，解得，所以有 ①
又由离心率为2，得 ②，由①②解得，
所以双曲线E的标准方程是．
（2）设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性，
知，
联立方程，得，化简整理，得，
所以，且，
所以，解得，
所以直线的方程是或．

（3）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意，
故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得，
化简整理，得，
依题意有，因为恒成立，
所以，故，解得：，
设，，则由韦达定理，得，
设点S的坐标为，由，得，
则，变形得到，
将，代入，解得，
将代入中，解得，
消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线与双曲线切于，直线与渐近线平行时于交点为）．
因为，，且，取中点，
因为，
所以，
所以，故，
即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H，
设直线与y轴，x轴分别交于，，依次作出直线，，，，
且四条直线的斜率分别为：，，，，
因为，所以线段是线段的一部分
经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部，
因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部，
故不存在这样的点S，使得，且成立．
【点睛】直线与圆锥曲线相交，常利用“设而不求”的方法解决弦长，面积，数量积，斜率等问题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页