北京市和平街第一中学2023-2024学年高二下学期期中调研数学试卷（PDF版无答案）

和平街一中 2023—2024学年度第二学期高二年级
数学期中调研试卷
班级_________ 姓名_________ 学号_________
第 I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分）
1．函数 y = x + cosx的导数为（ ）
A． y =1+ sinx B． y =1 sinx C． y = x + sinx D． y = x sinx
2．已知随机变量 X 的分布列为：
X 1 0 1
1 1
P a
2 6
则 X 的数学期望E (X )的值是（ ）
1 1 2 2
A． B． C． D．
6 3 3 3
3． 从 1，2，3，4，5 中不放回地抽取 2 个数，则在第 1 次抽到奇数的条件下，第 2 次
又抽到奇数的概率是（ ）
2 3 1 3
A． B． C． D．
5 4 2 5
4． f ( x)是函数 f (x)的导函数， y = f (x)的图象如图所示，则 y = f (x)的图象最有可
能是下列选项中的（ ）
高二年级期中试卷 第 1 页，共 6 页
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A． B．
C． D．
6
1
5．在 2x 的展开式中，常数项为（ ）
x
A． 160 B． 120 C．120 D．160
6．已知函数 f (x)在定义域 D 内导数存在，且 x0 D，则“ f (x0 ) = 0”是“ x0 是 f (x)的
极值点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国
空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己 6 名航天员开展实验，其中天和核心舱安排 3
人，问天实验舱安排 2 人，梦天实验舱安排 1 人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做
实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．12 种 B．16 种 C．20 种 D．24 种
8．已知函数 f (x) = 2x sin x，则下列选项正确的是（ ）.
高二年级期中试卷 第 2 页，共 6 页
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A． f (2) f (π) f (e) B． f (π) f (e) f (2)
C． f (e) f (2) f (π) D． f (2) f (e) f (π)
9．放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目
不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变对程中，其
t

含量 N（单位：贝克）与时间 t（单位：天）满足函数关系N (t ) = N e 24 （e 为自然对数0
的底数），其中N0 为 t = 0时该同位素的含量，已知当 t = 48时，该放射性同位素含量的瞬
时变化率为 1，则N (48) =（ ）
A．12 贝克 B．12e贝克 C．24 贝克 D．24e贝克
10．已知函数 f (x) = ex e x ，下列命题正确的是（ ）
① f (x)是奇函数；
② f (x)在 R上是增函数；
③方程 f (x) = x2 + 2x有且仅有 1 个实数根；
④如果对任意 x (0,+ )，都有 f (x) kx，那么 k 的最大值为 2.
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30 分）

11．设函数 f (x) = sin x，则 f = .
4
12．把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B不相邻，则不同的摆法有 种.
5
13． (1+ x) 的展开式中 x2 的系数是 ，二项式系数的和是 .
14．已知函数 f (x) = lnx ax在区间 1,3 上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．
15．已知偶函数 f (x)在区间 ( ,0 上单调递减，且 f ( 2) = 0，则不等式(x 1) f (x) 0
的解集为 .
高二年级期中试卷 第 3 页，共 6 页
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16．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价 P1（单位：元）、瓶内饮
料的获利 P2（单位：元）分别与瓶子的半径 r（单位：cm， r 5）之间的关系如图甲、
乙所示.设制造商的利润为 f (r) = P2 P1 ，给出下列四个结论：
①当 r (0,r1)时， f (r) 0；
② f (r)在区间 (r1,5)上单调递减；
③ f (r)在区间 (0,r1) 上存在极小值；
④ f (r)在区间 (0,r1) 上存在极小值.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共 5小题，共 70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证
明过程。）
3 2
17．已知函数 f (x) = x + 2x 4x+1．
(1)求 f (x)的单调区间；
(2)求 f (x)在 3,1 上的最值．
高二年级期中试卷 第 4 页，共 6 页
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18．已知箱中装有 2个白球，1个红球和 3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取
到的机会均等）3个球，
(1)求取出的三个球的颜色互不相同的概率；
(2)记随机变量 X为取出 3球中白球的个数，求 X的分布列及期望．
19.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2 月 4 日在北京、张家口盛大开幕．为保障本
届冬奥会顺利运行，共招募约 2.7万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛
运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术
运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服
务．
(1)甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知
甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？
1
(2)已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是 ，设来自该中学的
10
2 名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为 ，求 的分布列与期望；
(3) 2.7万名志愿者中，18 35岁人群占比达到95%，为了解志愿者对某一活动方案是否支
持，通过分层抽样获得如下数据：
18 35岁人群 其它人群
支持 不支持 支持 不支持
方案 90人 5人 1人 4 人
假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为
p0 ，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为 p1，试比较 p0 与 p1的大小．（结
论不要求证明）
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20．已知 f (x) = x aex ， a R．
(1)求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0))处的切线；
(2)若函数 f (x)在区间 (1,+ )上存在极值，求a 的取值范围；
1
(3)若a 0, ，设 g(x) = f (2 x)，试判断函数 g(x)在区间 (1,+ )上的单调性，并说明
e
理由．
21．设函数 f (x) = x2 +m ln (x+1)(m R)．
(1)若m = 1，
①求曲线 f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
②当 x (1,+ )时，求证： f (x) x3 ．
(2)若函数 f (x)在区间 (0,1)上存在唯一零点，求实数m 的取值范围．
高二年级期中试卷 第 6 页，共 6 页
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