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《二元一次方程组》重难点题型专练
题型1：二元一次方程（组）的定义
1．（师大）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程（组）的定义是解题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐项分析即可．
【详解】解：A. ，是一元一次方程，不符合题意；B. 不是整式方程，故不是二元一次方程，不符合题意；C. ，是二元一次方程，符合题意；D. ，是二元二次方程，不符合题意．故选：C．
2．（广益）下列方程中，其中二元一次方程的个数是（ ）
① 4x+5=1；② 3x-2y=1；③；④ xy+y=14
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】直接根据二元一次方程的定义解答即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：①只含有一个未知数，不是二元一次方程；②符合二元一次方程的定义，是二元一次方程；
③分母中含未知数，不是二元一次方程；④含未知数的项最高次数为2，不是二元一次方程．所以二元一次方程的个数是1个．故选：A．
3．（长郡）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义解答即可；
【详解】A、最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义；B、整个方程组里含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义； C、符合二元一次方程组的定义；D、不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义；故选：C．
4．（中雅）若是关于，的二元一次方程，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可得，然后求解即可．
【详解】解∶根据题意，得，解得．故选：B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
5．（长郡）如果关于，y的方程是二元一次方程，那么 ．
【答案】1
【分析】二元一次方程满足的条件是：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【详解】由题意得：，解得：．故答案为：1．
题型2：告诉方程组的解，求参数
6．（青竹湖）已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】此题考查的是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程．把代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值．
【详解】解：把代入二元一次方程，得
，
解得：，
故选：D
7．（长郡）已知关于的二元一次方程组的解为，则的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】把代入方程组，得出关于、的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：把代入方程组，得：，解得：， ，
故选B．
8．（师大）如果方程组的解为那么被“★、■”遮住的两个数分别为（ ）
A．3，10 B．4，10 C．10，4 D．10，3
【答案】C
【分析】把代入先求出被“■”遮住的数，再把x，y的值代入求出被“★”遮住的数．
【详解】解：把代入得，，∴，∴被“■”遮住的数是4；
再把代入得：，∴被“★”遮住的数是10．故选C．
9．（青竹湖）解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值．
【答案】4
【分析】把把代入求出，把代入求出，然后求出值即可．
【详解】解：∵小卢由于看错了系数a，
∴把代入得：，解得：，∵小龙由于看错了系数b，
∴把代入得：，解得：，∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，解题的关键是熟练掌握方程组解的定义，准确计算．
10．（师大）解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为，
(1)求a，b，c的值；
(2)求的立方根．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
（1）将代入第二个方程，将代入第二个方程，组成方程组求出c与d的值，将正确解代入第一个方程求出a即可；
（2）由（1）知a，b，c的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：将；分别代入得： ，
解得：，将代入中得：，解得：，
则，，；
（2）解：把，，代入得，8的立方根是2，
的立方根为2．
11.（中雅）已知方程组，由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，
(1)求、的值；
(2)求原方程组的解.
【解答】解：（1）将x＝﹣1，y＝1代入方程组中的②得：﹣4﹣b＝﹣2，解得：b＝﹣2，
将x＝6，y＝﹣3代入方程组中的①得：6a﹣9＝9，解得：a＝3；
方程组为，①×2﹣②×3得：﹣6x＝24，解得：x＝﹣4，将x＝﹣4代入①得：
y＝7，则原方程组的解为．
题型3：代入消元、加减消元法解二元一次方程组
12．（长郡）在中，用含的代数式表示：
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“利用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数的方法”是解本题的关键．把二元一次方程中的未知数看作是常数，看作是未知数，解方程即可．
【详解】解： ，，，
故答案为：．
13．（麓山外国语）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ．
【答案】
【分析】把 看作是已知数，求出 即可．
【详解】解：移项得：，即 ．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，解题的关键是把 看作是已知数，求出．
14．（一中）选择适当的方法解下列方程组．
(1)； (2)．
【分析】本题考查二元一次方程组的解法．
（1）根据题意，采用代入法消元即可；
（2）先将原方程组整理后再用加减消元即可．
【详解】（1）由①得：③，将③代入②得：，解得：，
将代入①得：，∴原方程组的解为：；
（2），
将原方程组化简得：将得：，解得：，
将代入①得：，∴原方程组的解为：．
15．（麓山外国语）解二元一次方程组：
(1)（用代入法）； (2)．
【分析】（1）代入法解方程组即可；
（2）加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，由①，得：，
把③代入②，得：，解得：；
把代入③，得：；∴方程组的解为：；
（2）解：，整理，得：，
，得：，解得：；把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键．
16．（湘郡培粹）用代入消元法解二元一次方程组：
(1)； (2).
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可；
方程组整理后相加可得，再利用代入消元法求出解即可．
【详解】（1），由，得，把代入，得，
解得，把代入，得，故原方程组的解为；
（2）方程组整理，得，，得，即，，
把代入，得，解得，把代入，得，
故原方程组的解为．
【点睛】此题考查了代入消元法解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
17．（麓山国际）解方程组：
(1)； (2)．
【详解】（1）由①，得y=5-2x③，将③代入②，得3x-2(5-2x)=11，
解得x=3，将x=3代入③，得y=-1．所以原方程组的解是；
（2）将原方程组整理，得，你①-②×2，得y=1，将y=1代入①，得x=-3．
所以原方程组的解是．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法的步骤是解题的关键．
题型4：解含参数的二元一次方程组
18．（一中）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值．
【分析】将x＋y＝5与2x－y＝1组成方程组，解之可得到x、y的值，然后把x、y的值代入另外两个方程，解答即可得到结论．
【详解】由题意可将x＋y＝5与2x－y＝1组成方程组，解得：．
把代入4ax＋5by＝－22，得：8a＋15b＝－22．①
把代入ax－by－8＝0，得：2a－3b－8＝0．②
①与②组成方程组，得：，解得：．
19．（麓山国际）已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的平方根．
【答案】
【详解】解：①×2+②×3得，13x=39，x=3，把x=3代入①得，y=1，
∴此方程组的解为，把x=3，y=1，代入，，解得：，
故
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解方程组，重新组合新的方程组是解题关键．
20．（青竹湖）已知关于的方程组和有相同的解，
(1)求这两个方程组的解；
(2)求的平方根．
【分析】（1）联立两个方程组中不含参数的方程求解即可得到答案；
（2）将（1）中的解代入两个参数方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：联立得：，得：，解得：，把代入②得：，
∴方程组的解为；
（2）解：将代入得，解得：，则，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查解二元一次方程组及求一个数的平方根，解题的关键是根据同解列出新方程组解出解代入求出参数．
21．（明德）若关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】先解方程组，再把求得的解代入，即可求出k的值.
【详解】由题意得
，解之得，把代入，得k=2-3=-1.
故选A.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，由题意得到是解答本题的关键.
22．（长郡）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，将k看作已知数求出x与y，代入中计算即可得到k的值．
【详解】解：，①②得：，，
将代入①得：，，，
关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
，解得：．
故选：．
23．（长郡）若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＝3，求k的值．
【分析】先利用加减消元法解含参数的二元一次方程组，再将求出的x，y代入2x+y＝3可得关于k的方程，解方程即可求解.
【详解】解：①-②，得5y＝10k-9，解得：y＝2k ，
把y＝2k代入②，得，解得：x
把x，y＝2k代入方程2x+y＝3，得，解得：k=.
【点睛】本题主要考查含参数的二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握解含参数的二元一次方程组的方法.
24．（雅礼）关于，的二元一次方程组，若方程组的解也是二元一次方程的解，求的值．
【分析】把看作已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出的值．
【详解】解：解方程组．得，
代入，得，
解得：．
25．（中雅）若关于x、y的二元一次方程组的解满足
（1）求a的值；
（2）m为任意实数，当m为何值时，有最小值？求出这个最小值．
【分析】（1）将方程组两个方程相加，用的代数式表示，再由列方程即可求解；
（2）将代入得，，故时原式有最小值2．
【详解】解：（1），①②得：，，，
，解得；
（2）时，，
当，即时，有最小值，最小值为2．
【点睛】本题考查二元一次方程组的变形、代数式的最小值等知识，整体代入是解题的关键．
26．（广益）已知关于x、y的方程组
（1）试用含的式子表示方程组的解
（2）若该方程组的解也是方程x+y=6的解，求m的值．
【详解】试题分析：利用加减消元法得出x和y的值，然后根据x+y=6得出m的值.
试题解析：（1）①－②×2得：5y=－5m+5 解得：y=－m+1
将y=－m+1代入①得：x=3m+2
∴方程组的解为
（2）∵x+y=6 ∴3m+2－m+1=6 解得：m=.
题型5：方程组的唯一解、无数解、无解问题
27．（明德）方程组 的解的情况是（ ）
A．一组解 B．二组解 C．无解 D．无数组解
【答案】C
【详解】试题分析：将①变形可得：2x+4y=2，根据第二个方程可得：2x+4y=3，则方程组无解.
考点：方程组的解．
28．（广益）若关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值为
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】把第二个方程整理得到x=3+3y，然后利用代入消元法消掉未知数x，得到关于y的一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0，列式计算即可得解．
【详解】，由②得：x=3+3y，③，把③代入①得：a(3+3y) y=4，
整理得：(3a 1)y=4 3a，∵方程组无解，∴3a 1=0，∴a=.
29．k、b为何值时，关于x、y方程组有唯一解？无解？有无数解？
【答案】当时，方程组有唯一解；当，时，方程组无解；当，时，方程组有无数解．
【分析】两式作差，得到关于x的方程，确定此方程解得情况即可．
【详解】解：，可得：，化简可得：；
（1）当时，即，方程有唯一解，即方程组有唯一解；
（2）当，时，即，，方程无解，即方程组无解；
（3）当，时，即，，方程有无数解，即方程组有无数解；
综上，当时，方程组有唯一解；当，时，方程组无解；当，时，方程组有无数解．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解方法．
30.（雅礼）选取一组a、c值,使方程组
①有无数解；②无解；③有唯一解。
【解答】解：①当＝＝时，方程组有无数个解．∴a＝10，c＝14．
②当＝≠时，方程组无解，此时a＝10，c≠14，∴a＝10，c≠14．
③当≠，∴a≠10即可.
题型6：二元一次方程组的应用题
31．（雅礼）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，列出方程组即可．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意得：
，故选：A．
32．（雅礼）我国明代《算法统宗》一书中有如下的类似问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长10尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此题中设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．本题要注意前后两次绳和杆的数量关系．设竿长x尺，绳索长y尺，根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长10尺，第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，则可得方程组．
【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，
由题意可得：，故选：B．
33．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒)1斗，价值50钱；行酒（劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列出关于x，y的二元一次方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
利用总价＝单价×数量，结合用30钱买酒2斗，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵要买2斗酒，∴，
∵醇酒（优质酒）5斗，价格50钱；行酒（劣质酒)1斗，价值10钱，∴，
∴根据题意可列方程组，故选：A．
34．（怡雅）2023年杭州亚运会期间，吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进个玩偶，个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，利用总价单价数量，结合购进玩偶和钥匙扣数量间的关系，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣，
∴购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍，∴；
∵一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，且店家共花费5000元，∴．
根据题意可列出方程组．
故选：C．
35．（师大）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜受，一服装厂用某种布料生产玩偶与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶B，根据等量关系，列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶B，由题意得：
，故选A．
36．（中雅）把一些练习册分给学生，如果每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后一名学生只有3本．设有x名学生，y本书，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据每名学生分4本，那么多4本，可得方程：，根据每名学生分5本，那么最后一名学生只有3本，可得方程：，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：；故选D．
37．（青竹湖）有这样一首打油诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌.如果设甲有羊只，乙有羊只，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】当甲得到乙几个只羊时，乙对应的要少几只羊；当乙得到甲几个只羊时，甲对应的要少几只羊，然后根据数量关系直接列方程组即可．
【详解】由题可知，．
38．（市实验）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何 ”题目大意是；甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．间：甲，乙两人各带了多少钱 设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“甲的钱乙所有钱的一半”和“乙的钱甲所有钱的”列出方程组即可解答．
【详解】解：根据题意得：．故选：B．
39．（南雅）甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲能5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如果乙先跑10米，则甲能5秒就可追上乙，；
如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，；
即方程组为：，故选B．
40．（青竹湖）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙；如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙，求甲、乙两人的速度． 若设甲、乙两人的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题的等量关系：（1）乙先跑，甲跑就追上乙；（2）如果让乙先跑，那么甲跑就追上乙，可以列出方程组．
【详解】解：设甲、乙两人的速度分别为，，
由题意知：．故选：C．
41．（长郡）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3 5 1750元
第二周 4 10 3000元
(1)求A、B两种型号电风扇的销售单价；
(2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键．
（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元．
依题意，得 ，解得，
答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元；
（2）不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下：
设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，
解得，∵根据题意，m，n都为正整数，∴不合题意，舍去，
不能实现利润恰好为1200元的目标．
42．（麓山国际）某电器商场销售进价分别为120元、190元的两种型号的电风扇，如下表所示是近二周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 5 6 2310
第二周 8 9 3540
（1）求两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】(1)设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，根据总价=单价×数量结合近二周的销售情况统计表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设再购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇(120-m)台，根据利润=销售收入-进货成本，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，根据题意，得：，解得，
答：A种型号的电风扇的销售单价为150元/台，B种型号的电风扇的销售单价为260元/台；
(2)设再购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇(120-m)台，
依题意，得：2310+3540+150m+260(120-m)-120(5+8+m)-190[6+9+(120-m)]=8240，
解得：m=40，∴120-m=80．
答：再购进A种型号的电风扇40台，B种型号的电风扇80台，就能实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标．
43．（长郡）某中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点.活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元．
已知每种文化衫的成本和售价如下表：
白色文化衫 黑色文化衫
成本（元/件） 10 12
售价（元/件） 26 30
(1)他们购进两种文化衫各多少件？
(2)由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖出．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？
【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，准确列出方程组是解题的关键．
（1）利用题中条件以及表格，列出对应的二元一次方程组即可进行解题；
（2）根据题意列出算式计算解题即可．
【详解】（1）解：设购进白色文化衫件，黑色文化衫件，列方程组得：
，解得：，
答：购进白色文化衫件，黑色文化衫件．
（2）解：元，
答：他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款元．
44．（雅礼）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和4件B种航天载人飞船模型的进价共计140元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计130元．
(1)求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)若该超市计划正好用240元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．
（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可；
（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．
【详解】（1）解：（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，
根据题意，得，解得，
答：A种飞船模型每件进价30元，B种飞船模型每件进价20元；
（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，
得，，，b均为正整数，当时，；当时，；
当时，，所有购买方案如下：
①购进6件A型飞船模型和3件B型飞船模型；
②购进4件A型飞船模型和6件B型飞船模型；
③购进2件A型飞船模型和9件B型飞船模型．
45．（广益）已知某物流公司租用3辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨；租用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．该物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完．
（1）问租用1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）为完成运输任务，且同时租用A型与B型两种车辆，请你帮该物流公司设计租车方案．
（3）若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨；（2）共有两种租车方案：①租A型车6辆，B型车2辆；②租A型车2辆，B型车5辆；（3）最省钱的租车方案为：租A型车2辆，B型车5辆，租车费用为740元
【分析】（1）设1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货x吨、y吨，根据“租用3辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨；租用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即得结果；
（2）根据题意和（1）的结果可得关于a、b的二元一次方程，由a．b均为非负整数即可求出方程组的整数解，进而可得租车方案；
（3）根据（2）题的方案分别计算，再比较即得结果．
【详解】解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货x吨、y吨，
根据题意，得，解得，
答：1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货3吨、4吨．
（2）根据题意，得3a＋4b＝26．
∵a．b均为非负整数，
∴或，
∴共有两种租车方案：①租A型车6辆，B型车2辆；②租A型车2辆，B型车5辆．
（3）方案①的租金为：6×120＋2×100＝920（元），
方案②的租金为：2×120＋5×100＝740（元），
∵920＞740，
∴最省钱的租车方案为：租A型车2辆，B型车5辆，租车费用为740元．
46．某公司筹集了物资120吨打算运往武汉，现有甲、乙、两三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示： (假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
运载量（吨/辆） 5 8 10
运费（元/辆） 450 600 700
（1）全部物资一次性运送可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆．
（2）若全部物资仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费9600元，求甲、乙两种车型各需多少辆？
（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为14辆，且一次性运完所有物资，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的总运费为多少元？
【分析】（1）根据甲型车运载量是5吨/辆，乙型车运载量是8吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数；
（2）设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据运费9600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；
（3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，列出等式，再根据a、b、14-a-b均为正整数，求出a，b的值，从而得出答案．
【详解】解：（1）（120-5×8-5×8）÷10=4（辆）．
答：丙型车4辆．故答案为：4．
（2）设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据题意得：
，解得：．
答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆．
（3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，由题意得
5a+8b+10（14-a-b）=120，即a=4，∵a、b、14-a-b均为正整数，∴b只能等于5，∴a=2，
14-a-b=7，∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，
则需运费450×2+600×5+700×7=8800（元），
答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元．中小学教育资源及组卷应用平台
《二元一次方程组》重难点题型专练
题型1：二元一次方程（组）的定义
1．（师大）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（广益）下列方程中，其中二元一次方程的个数是（ ）
① 4x+5=1；② 3x-2y=1；③；④ xy+y=14
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（长郡）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
4．（中雅）若是关于，的二元一次方程，则（ ）
A． B． C．或 D．
5．（长郡）如果关于，y的方程是二元一次方程，那么 ．
题型2：告诉方程组的解，求参数
6．（青竹湖）已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是（ ）
A．3 B．1 C． D．
7．（长郡）已知关于的二元一次方程组的解为，则的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
8．（师大）如果方程组的解为那么被“★、■”遮住的两个数分别为（ ）
A．3，10 B．4，10 C．10，4 D．10，3
9．（青竹湖）解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值．
10．（师大）解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为，
(1)求a，b，c的值；
(2)求的立方根．
11.（中雅）已知方程组，由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，
(1)求、的值；
(2)求原方程组的解.
题型3：代入消元、加减消元法解二元一次方程组
12．（长郡）在中，用含的代数式表示：
13．（麓山外国语）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ．
14．（一中）选择适当的方法解下列方程组．
(1)； (2)．
15．（麓山外国语）解二元一次方程组：
(1)（用代入法）； (2)．
16．（湘郡培粹）用代入消元法解二元一次方程组：
(1)； (2).
17．（麓山国际）解方程组：
(1)； (2)．
题型4：解含参数的二元一次方程组
18．（一中）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值．
19．（麓山国际）已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的平方根．
20．（青竹湖）已知关于的方程组和有相同的解，
(1)求这两个方程组的解；
(2)求的平方根．
21．（明德）若关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
22．（长郡）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
23．（长郡）若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＝3，求k的值．
24．（雅礼）关于，的二元一次方程组，若方程组的解也是二元一次方程的解，求的值．
25．（中雅）若关于x、y的二元一次方程组的解满足
（1）求a的值；
（2）m为任意实数，当m为何值时，有最小值？求出这个最小值．
26．（广益）已知关于x、y的方程组
（1）试用含的式子表示方程组的解
（2）若该方程组的解也是方程x+y=6的解，求m的值．
题型5：方程组的唯一解、无数解、无解问题
27．（明德）方程组 的解的情况是（ ）
A．一组解 B．二组解 C．无解 D．无数组解
28．（广益）若关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值为
A． B．1 C． D．3
29．k、b为何值时，关于x、y方程组有唯一解？无解？有无数解？
30.（雅礼）选取一组a、c值,使方程组
①有无数解；②无解；③有唯一解。
题型6：二元一次方程组的应用题
31．（雅礼）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
32．（雅礼）我国明代《算法统宗》一书中有如下的类似问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长10尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此题中设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
33．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒)1斗，价值50钱；行酒（劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列出关于x，y的二元一次方程组（ ）
A． B． C． D．
34．（怡雅）2023年杭州亚运会期间，吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进个玩偶，个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（师大）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜受，一服装厂用某种布料生产玩偶与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
36．（中雅）把一些练习册分给学生，如果每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后一名学生只有3本．设有x名学生，y本书，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
37．（青竹湖）有这样一首打油诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌.如果设甲有羊只，乙有羊只，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
38．（市实验）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何 ”题目大意是；甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．间：甲，乙两人各带了多少钱 设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
39．（南雅）甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲能5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
40．（青竹湖）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙；如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙，求甲、乙两人的速度． 若设甲、乙两人的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
41．（长郡）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3 5 1750元
第二周 4 10 3000元
(1)求A、B两种型号电风扇的销售单价；
(2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由．
42．（麓山国际）某电器商场销售进价分别为120元、190元的两种型号的电风扇，如下表所示是近二周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 5 6 2310
第二周 8 9 3540
（1）求两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
43．（长郡）某中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点.活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元．
已知每种文化衫的成本和售价如下表：
白色文化衫 黑色文化衫
成本（元/件） 10 12
售价（元/件） 26 30
(1)他们购进两种文化衫各多少件？
(2)由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖出．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？
44．（雅礼）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和4件B种航天载人飞船模型的进价共计140元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计130元．
(1)求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)若该超市计划正好用240元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
45．（广益）已知某物流公司租用3辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨；租用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．该物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完．
（1）问租用1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）为完成运输任务，且同时租用A型与B型两种车辆，请你帮该物流公司设计租车方案．
（3）若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
46．某公司筹集了物资120吨打算运往武汉，现有甲、乙、两三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示： (假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
运载量（吨/辆） 5 8 10
运费（元/辆） 450 600 700
（1）全部物资一次性运送可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆．
（2）若全部物资仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费9600元，求甲、乙两种车型各需多少辆？
（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为14辆，且一次性运完所有物资，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的总运费为多少元？
