江苏省盐城中学2024届高三全仿真模拟考试数学试题（含解析）

江苏省盐城中学2024届高三全仿真模拟考试数学试题
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
3．已知非零数列满足，则（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
4．在平行四边形中，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．在第29个世界读书日活动到来之际，遵义市某高中学校为了了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，样本的平均数为4，方差为5；乙同学抽取一个容量为8的样本，样本的平均数为7，方差为10；将甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本方差是（结果精确到0.01）（ ）
A．5.34 B．6.78 C．9.44 D．11.46
7．在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数（为实数），若，则的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．3
10．已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（ ）
A． B．
C．D．
11．在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（ ）
A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B．的离心率为
C．旋转前的椭圆标准方程为 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
13．若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为，且该三棱台的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 .
14．已知函数满足：，则 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项.
(1)若，判断的形状;
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
16．某公司为提升款产品的核心竞争力，准备加大款产品的研发投资，为确定投入款产品的年研发费用，需了解年研发费用(单位：万元)对年利润(单位：万元)的影响.该公司统计了最近8年每年投入款产品的年研发费用与年利润的数据，得到下图所示的散点图:
经数据分析知，与正线性相关，且相关程度较高.经计算得，.
(1)建立关于的经验回归方程;
(2)若该公司对款产品欲投入的年研发费用为30万元，根据(1)得到的经验回归方程，预测年利润为多少万元
附：.
17．已知三棱柱中，，，，

(1)求证：平面平面；
(2)若，且P是AC的中点，求平面和平面的夹角的大小.
18．已知数列的前n项和为，，且点在直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
19．已知抛物线的焦点为，直线过点交于两点，在两点的切线相交于点的中点为，且交于点．当的斜率为1时，．
(1)求的方程；
(2)若点的横坐标为2，求；
(3)设在点处的切线与分别交于点，求四边形面积的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】先化简集合，再根据集合的交集定义求解即可.
【详解】因为，
，
所以.
故选：A
2．D
【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】将数据从小到大排序可得，共8个样本数据，
则上四分位数即第百分位数为，即为.
故选：D
3．D
【分析】根据题意，由条件可得，再由等比数列的定义即可得到结果.
【详解】由可得，则.
故选：D
4．B
【分析】由向量的线性运算，用表示
【详解】因为，则有，
所以.
故选：B．
5．D
【分析】根据题意过作于点N，根据双曲线的定义结合图形求解出，然后根据勾股定理求解出的关系，即可得到离心率.
【详解】过作于点N，如图，
设，
因为直线l的倾斜角为，，
所以在中，，
由双曲线的定义得,,
所以，
所以，
因为，
所以为等腰三角形，
又因为 ，
所以N为AB的中点，
所以，
可得，
因此，
在中，,
所以，即，
所以.
故选：D.
6．C
【分析】利用样本平均数和样本方差的定义列式计算即可.
【详解】由甲同学的样本的平均数，方差分别为，
乙同学的样本的平均数，方差分别为，
则合在一起后的样本平均数，
则合在一起后的样本方差
.
故选：C.
7．D
【分析】先利用正弦定理化边为角求出角，在向量化求出边，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】因为，
由正弦定理得，
即，
又，所以，
又，所以，
在中，D为的中点，则，
则，
即，解得（舍去），
所以.
故选：D.
8．D
【分析】当时，判断函数单调性，由单调性可知；当时，根据单调性的性质和复合函数单调性可知单调递增，可得，然后将原不等式转化为即可得解.
【详解】当时，，
由复合函数的单调性可知在上单调递减，
所以；
当时，，
因为在上单调递增，为增函数，
所以在上单调递增，
又在上为增函数，所以在单调递增，
所以.
综上，在上恒成立，当且仅当时取等号.
所以不等式，
解得且且，即原不等式的解集为.
故选：D
【点睛】思路点睛：解分段函数相关不等式时，需要根据自变量范围进行分类讨论，利用单调性求解即可.
9．BC
【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可.
【详解】由题意可知：，解得，
结合选项可知：BC正确；AD错误.
故选：BC.
10．AD
【分析】由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B；可化为结合的单调性可判断C.
【详解】对于A，因为，，故故A选项正确；
对于B，取，此时满足，但，B选项错误；
对于C，可得：，
则，因为，即
所以，因为函数在不单调，所以C选项错误；
对于D，由可知，，因为，
所以，故D选项正确，
故选：AD．
11．BCD
【分析】根据椭圆的对称性可联立以及与椭圆方程，进而可判断焦点所在的直线，即可判断A，根据直线与椭圆的交点间距离可求解长轴以及短轴长，即可求解BC，根据方程有解，利用判别式即可求解.
【详解】由题意可知，斜椭圆关于和对称，联立直线与，可得，联立直线与，可得，所以两焦点所在直线方程为，A选项错误；
由可知，与相交的两点之间距离等于短轴为，与相交的两点之间距离等于长轴为，故焦距为，故的离心率为，选项正确；
旋转不改变椭圆的长短轴大小，所以旋转前的椭圆焦点在轴上，曲线方程为选项正确；
因为，关于的方程有解，所以，解得，所以选项正确，
故选：BCD．
12．160
【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为（且），
所以展开式中的项为，
所以的系数为．
故答案为：
13．
【分析】设正三棱台，先考察正三棱台的一个侧面，设，求得，设三棱台的上底面中心为，下底面中心为，利用三角形重心的性质求得，设球的半径为，，利用勾股定理即可求解．
【详解】设正三棱台.如图，先考察正三梭台的一个侧面.
设，在中，由于是钝角，故中最大的边是.
若，则和的长只能取1或.此时若两边长均为1和1，则不满足两边之和大于第三边；
若一边长1，一边长，则变为直角三角形；
若两边长均为，则的长只能为1，与矛盾.
因而只能是.
设三棱台的上底面中心为，下底面中心为.
如图，在直角梯形中求球的半径，
在直角梯形中求球的半径，
利用重心的性质容易求得，
设球的半径为，，由图1 得，
解得（舍），
由图2得，解得，
故球的表面积为.
故答案为：．
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
14．
【分析】借助三角恒等变换公式可得，即可得解.
【详解】，
则，
则
.
故答案为：.
15．(1)是以为斜边的直角三角形.
(2)
【分析】（1）根据等差中项性质及三角形内角和性质得，再结合已知和余弦定理得，即可判断三角形形状；
（2）先根据锐角三角形性质得，然后化切为弦结合三角恒等变换化简目标函数，利用正弦函数性质求解范围即可.
【详解】（1）是与的等差中项，.
.
.
由余弦定理得：，即，
化简得.，即.
.，
是以为斜边的直角三角形.
（2）是锐角三角形，
，解得，
.
由得，，
，即.
的取值范围为.
16．(1)
(2)65万元
【分析】（1）根据所给数据求出，然后由求得可得回归方程；
（2）将代入回归方程即可得预测值.
【详解】（1），
.
.
关于的经验回归方程为.
（2）由(1)可得，.
当时，.
对款产品投入30万元年研发费用，年利润约为65万元.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意结合面面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量即可求解.
【详解】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，
而，则平行四边形是菱形，连接，如图，
则有，
因，，，平面，
于是得平面，
而平面，则，
由，得，，AC，平面，
从而得平面，
又平面ABC，所以平面平面

（2）在平面内过C作，
由知平面平面ABC，平面平面，平面，
则平面ABC，
以C为原点，以射线CA，CB，Cz分别为x，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，，，
则，，，，
则有，，
设平面的一个法向量，
则有，解得：.
令得，而平面的一个法向量，
依题意，，
设平面和平面的夹角的夹角是，则，
，
所以平面和平面的夹角是
18．(1)
(2)
【分析】（1）由的关系消去易得，（），检验时满足，得等比数列，即可求得其通项；
（2）将（1）结论代入得，写出，利用错位相减法，即可求得.
【详解】（1）由题意，，当时，，
因 ①，当时， ②，
由①-② 可得，，即，
又因时，，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则.
（2）由（1）可得，则，
于是，， ③
， ④
由③-④：，
，
，
，
则得.
19．(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）设直线的方程为，再联立得到韦达定理式，最后根据焦点弦公式得到，则得到抛物线方程；
（2）首先得到，再根据导数得到两条切线方程，再计算出的坐标，求出值则得到相关点坐标，即可求出；
（3）首先证明出，再计算出的表达式，从而得到其最小值.
【详解】（1）由题意，直线的斜率必存在.
设直线的方程为，
联立得，所以
当时，，
此时，
所以，即.
所以的方程为.
（2）由(1)知，，
则，代入直线得，则中点.
因为，所以，
则直线方程为，即，
同理，直线方程为，
所以，
，所以.
因为，即，此时，
所以直线的方程为，代入，得，
所以，所以.
（3）由（2）知，
所以直线方程为，
代入，得，所以，所以为的中点.
因为在处的切线斜率，
所以在处的切线平行于，
又因为为的中点，所以.
由(1)中式得，所以，
因为直线方程为，
所以.
又到直线的距离，
所以，
(当且仅当时取“”)
所以，
所以四边形的面积的最小值为3.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是找到，再结合焦点弦和点到直线距离公式得到的表达式，从而得到其最小值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页