山东省济南市重点高中2023-2024学年高一下学期5月期中考试 数学（PDF版，含解析）

2023－2024 学年度第二学
期高一期中测试
数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的
1．若复数 z 满足 z (2 i) = i ，其中 i为虚数单位，则复数 z =（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A． + i B． i C． + i D． i
5 5 5 5 5 5 5 5
cos π α 12．若 = ，则 cos π 2α =（ ）
2 3
( )

4 2 7 7A 4 2． B． C． D．
9 9 9 9

3．在 ABC 中， AD为 BC 边上的中线，3ED = 2AD，则 BE =（ ）
5 1
A． AB + AC
1 5
B． AB AC
6 6 6 6
5 1 1 5
C． AB AC D． AB + AC
6 6 6 6
4．若棱长分别为 3 ，2，3 的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
64 16
A．64π B．16π C． π D． π
3 3
5．已知水平放置的四边形 ABCD的斜二测直观图为矩形 A′B′C′D′，已知 A′B′ = 6，
B′C′ = 3，则四边形 ABCD的面积为（ ）
A． 6 2 B．12 2 C． 24 2 D．36 2
6．已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 6，顶点 P 到底面 ABC 的距离是 6 ，则这个正三
棱锥的侧面积为（ ）
A．27 B．9 3 C．9 6 D．9 2
试卷第 1 页，共 4 页
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7．一艘海轮从 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达
处，在 处有一座灯塔，海轮在 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在 处观察灯塔，其方
向是北偏东65°，那么 ， 两点间的距离是 ( )
A. 40√ 2海里 B. 40√ 3海里 C. 80√ 3海里 D. 80√ 2海里
8．在 ABC 中， a,b,c分别是角 A, B,C 所对的边，∠ BAC 的平分线交BC 于点 E, AE = 2，
(b + c a)sinB = asin∠BAC bsin∠BAC csinC，则b2 + c2 的最小值为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分
9．已知 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
1+ 2i 3 1 1
A．复数 z = 的虚部为 B．复数 z = i 在复平面内对应的点位于第四象限
1 i 2 2 2
C 2 2
1
．若 z1 = z2 ，则 z1 = z2 D．若复数 z 满足 ∈R ，则 z∈R z
10．先将函数 f (x) = sin x
π 1
的图象向右平移 个单位后，再将横坐标缩短为原来的 2 ，得到6
函数 g(x)的图象，则关于函数 g(x)，下列说法正确的是（ ）
A ．在 0,
π π π
上单调递增 B．在 , 上单调递减
4 4 2
5π
C
π
．图象关于直线 x = 对称 D．周期为π ，图象关于点 ,0 对称 6 12
11．在 ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，则下列说法正确的是（ ）
A． a = bcosC + ccosB
B．若 (a + b + c)(a + b c) = 3ab，且 2cos Asin B = sin C ，则 ABC 为等边三角形
C．若 sin 2A = sin 2B ，则 ABC 是等腰三角形
D．在 ABC 中， a =1,b = x,∠A = 30 ，则使 ABC 有两解的 x 的范围是 (1, 2)
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.

3π
12.已知 e为单位向量， a = 6，向量 a， e的夹角为 ，则 a在 e上的投影向量是 4
试卷第 2 页，共 4 页
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13．如图，长方体 1 1 1 1的体积是120， 为 1的中点，则三棱锥 的
体积是 ．
3
14．在△ABC 中， S△ABC = AB AC = 3 ， sin B = 2cos A sin C ，△ABC 的外接2

圆为圆 O，P 为圆 O 上的点，则 PA PB 的取值范围是________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
z
15．（本小题 13 分）已知 z 是复数， z + 2i 和 均为实数，其中 i 是虚数单位.
1 i
(1)求复数 z 的共轭复数 z ；
1 m
(2)记 z1 = z + i，若复数 z1 对应的点在第三象限，求实数 m 的取值范围. m m 1
16．（本小题 15 分）已知 , , 是同一平面内的三个向量，其中 = (1,2)．
(1)若| | = 2√ 5，且 // ，求 的坐标；
(2)若| | = √ 10，且2 + c 与4 3 垂直，求 与 的夹角 ．
试卷第 3 页，共 4 页
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17.（本小题 15 分）某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计
要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为 10m.
（1）已知制作这种油罐的材料单价为 1.5 万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万
元？
（2）已知该油罐的储油量为 0.95 吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？
18．（本小题 17 分）已知 ( ) = √3cos2 + 2sin 3 + sin( )， ∈ ， 2
（1）求 ( )的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角△ 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且 ( ) = √3， = 4，求 边
上的高的最大值．
19．（本小题 17 分）记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
1 sin A sin B
= ．
cos A cos B
(1)求 A+ 2B 的值；
(2)若 a2 + 2c2 ≥ λb2恒成立，求λ的最大值．
试卷第 4 页，共 4 页
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2023 2024学－年度第二学期
高一期中测试数学试卷答题卡 17. (15分)
考场/座位号：
姓名：
班级： 贴条形码区
（正面朝上，切勿贴出虚线方框）
正确填涂 缺考标记
选择题(1~8为单选题;9~11为多选题)
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
16. (15分)
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13.
14.
解答题：本题共5小题，共77分.
15. (13分)
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18. (17分)
19. (17分)
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2023-2024 学年度第二学期
高一期中测试数学详解
1．B
z i i(2+ i) 1 2 i z 1 2【详解】解：由题意， = = = + ，所以 = i .
2 i 5 5 5 5 5
故选：B.
2．B
π 1
【详解】试题分析：由 cos α = 得 ，则
2 3
，故选 B.
考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式.
3．A


1
【详解】由3ED = 2AD，可得 2AE = ED ，所以 AE = AD ， 3
1 ( 因为 AD 为 BC 边上的中线，可得 AD AB 1= + AC )，所以 AE = (AB + AC2 6 )，
1 5 1
所以 BE = AE AB = (AB + AC ) AB = AB + AC . 6 6 6
故选：A.
4.B
【详解】长方体的体对角线的长度为 3+ 4+ 9 = 4，
因为长方体的顶点都在同一球面上，故该球为长方体的外接球，故其直径为 4，
故表面积为16π .
故选：B.
5．D【详解】因为 A′B′ = 6，B′C′ = 3，取 A′B′的中点O′为坐标原点，以O′C′为 y′建立坐
标系 x′O′y′如左图，
因为斜二测直观图为矩形 A′B′C′D′， A′O′ = O′B′ = 3， B′C′ = 3 ,
则O′C′ = (O′B′)2 + (B′C′)2 = 3 2 ，
可得原图 ABCD中（右图）， AB = AO +OB = A′O′ +O′B′ = 6 ,
OC = 2O′C′ = 6 2 ,
四边形 ABCD的面积为 AB OC = 6×6 2 = 36 2 .
故选：D.
6．A
答案第 1 页，共 6 页
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1 3
【详解】由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为： × × 6 = 3 ，
3 2
所以正三棱锥的斜高为： 6 + 3 = 3，
1
所以这个正三棱锥的侧面积为： 3× × 6×3 = 27 ．
2
故选：A ．
7．A 解：如图，
在△ 中， = 80，∠ = 30 ，∠ = 45 ，

根据正弦定理得sin∠ = sin∠
sin∠ 80×
1
解得 = 2sin∠ = √ 2 = 40√ 2，
2
即 ， 两点间的距离是40√ 2海里．
故选 A．
8．B
【详解】由 (b + c a)sinB = asin∠BAC bsin∠BAC csinC及正弦定理知，
(b + c a)b = a2 ab c2 ，∴b2 + c2 a2 = bc ．
2
ABC b + c
2 a2 bc 1
在 中，由余弦定理知 cos∠BAC = = = ， 0 < ∠BAC < π，
2bc 2bc 2
∴∠BAC 2π= ，∴∠BAE = ∠CAE
π
= ．
3 3
S 1 △AEB + S△AEC = S△ABC ，∴ c× AE sin∠BAE
1
+ b× AE sin∠CAE 1= bc sin∠BAC ，
2 2 2
2 2
即2c + 2b = bc，得 + =1，
b c
2
∴b2 + c2 = (b2 + c2 ) 2 2+ = 4(b2 + c2 1 1 2 + +
b c
)
b2 c2 bc
b2 c2 b c b2 c2 b c
= 4 2+ + + 2 2 2 +

≥ 4 2+ 2 2 × 2 + 4 × = 32， c b c b c b c b
b2 c2 b c= b = c = 4 ∴(b2 2当且仅当 = 且 ，即 时，等号成立， + c ) = 32 .
c2 b2 c b min
故选：B
9．ABD
1+ 2i
z 1+ 2i ( )(1+ i) 1+ 3i= = = 3【详解】对于 A，因为 1 i (1 i)(1 i) 2 ，故复数
z 的虚部为 ，A 正确；
+ 2
答案第 2 页，共 6 页
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1 1
对于 B，复数 z
1 1
= i 在复平面内对应的点为 , ，该点位于第四象限，B 正确； 2 2 2 2
对于 C，取 z1 =1, z2 = i，则 z1 = z2 ，
z2又 1 =1, z
2 = 1 z2 22 ，故 1 ≠ z2 ，C 错误；
1 1 a bi a bi
对于 D，设 z = a + bi ，则 = = =z a + bi (a + bi) (a bi) ， a2 + b2
1
因为 ∈R ，所以b = 0，故 z∈R ，D 正确；
z
故选：ABD.
10．ACD
【详解】由题意 g(x) = sin(2x
π
)，
6
x π π π π π π∈ 0, 4
时， 2x ∈ , ,6 6 3 2 2
，A 正确；

x π π π π 5π∈ , 时， 2x ∈ , ，B 错误；
4 2 6 3 6
x 5π π 5π π 3π= 时， 2x = 2× = ，C 正确；
6 6 6 6 2
g(x) 2π π π 最小正周期周期是T = = π ， g( ) = 0，因此函数图象关于点 ,0 对称，D 正2 12 12
确．
故选：ACD．
11．ABD
【详解】对 A， a = b cosC + ccosB 即 sin A = sin B cosC + sin CcosB，即 sin A = sin (B +C )，
因为 sin (B +C ) = sin (π A) = sin A，故原式成立，故 A 正确；
2
对 B， (a + b + c)(a + b c) = 3ab则 (a + b) c2 = 3ab ，即 a2 + b2 c2 = ab，
cosC a
2 + b2 c2 ab 1 π
故 = = = ，由C∈(0,π)可得C = .
2ab 2ab 2 3
又 2cos Asin B = sin C 可得 2cos Asin B = sin (A+ B) = sin Acos B + cos Asin B，
即 sin Acos B cos Asin B = 0，故 sin (A B) = 0，由 A, B∈(0,π)可得 A = B .
π
故 A = B = C = ，则 ABC 为等边三角形，故 B 正确；
3
π π
对 C，当 A = , B = 时，满足 sin 2A = sin 2B ，则 2A = 2B或 2A+ 2B = π，
3 6
π
所以 A = B 或 A+ B = ，故 ABC 不一定为等腰三角形，故 C 错误；
2
a
对 D，要使 ABC 有两解，则需 a < b < ，故1< b < 2 ，即1< x < 2，故 D 正确.
sin A
故选：ABD


12．【详解】 e为单位向量，则 e =1，
答案第 3 页，共 6 页
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e 3π

则向量 a在向量 e上的投影向量为 a cosθ = 6cos e = 3 2ee 4
13．10
∵长方体 1 1 1 1的体积是120， 为 1的中点，
∴ 1 1 1 1 = × × 1 = 120，
∴三棱锥 的体积：
1
= 3 × △ ×
1 1
= 3 × 2 × × ×
1
= 12 × × × 1
= 10．
故答案为：10．
2
14． , 2 3
15．解：（1）设 z = a + bi (a,b∈R )，则 z + 2i = a + (b + 2)i .......................2
由 z + 2i 为实数，则b + 2 = 0，所以b = 2，......................4
z a 2i a + 2 a 2 a 2
由 = = + i 为实数，则 = 0，所以 a = 2 ...............7
1 i 1 i 2 2 2
则 z = 2 2i ，复数 z 的共轭复数 z = 2+ 2i ...............8
1 m 2m +1 3m 2
（2）由（1 z =
2+ ）可知， 1 2+ i = i ......................9
m m 1 m m 1
2m +1
< 0
z m由 1 对应的点在第三象限，得 ，..............11
3m 2 > 0
m 1
1

< m < 0
2 1
即 ，解得 < m < 0. ....................12
m 2< 或m >1 2
3
1
故实数 m 的取值范围为 ,0 ..................13
2
16.【解：(1)设 = ( , )，
因为 // ，又 = (1,2)，所以 = 2 ①，.................2
又| | = 2√ 5，所以 2 + 2 = 20②，.................4
①② = 2由 联立，解得 = 4或
= 2
= 4,......................6
所以 = (2,4)或 = ( 2, 4)；...............8
→ → → →
(2)因为(2 + ) ⊥ (4 3 )，
所以(2 + ) (4 3 ) = 8 2 3 2 2 = 0，...........10
又| | = √ 1 + 4 = √ 5, | | = √ 10，解得 = 5，............12
cos = = 5 = √ 2所以 | || | √ 5×√ 10 2 ，..............14
答案第 4 页，共 6 页
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又 ∈ [0,π]，解得 = 4，
所以 与 的夹角 = 4．..................15
1
17 1 2．（ ）由上知，组合体的表面积为： S = 2π r h +π r + 2π r l
2
= 2π ×10×5+π ×102 1+ ×2π ×10×5 5 = (200+ 50 5)π ，....................5
2
则总造价为 (200+ 50 5)π ×1.5 =（300+ 75 5）π 万元；........................7
2 1 2 2 1 2 2000π
（2）组合体的体积为：V = π r h + π r h = π ×10 ×5+ π ×10 ×5 = ，.....12
3 3 3
2000π
又储油量为0.95吨/ m3 ，则一个油罐可以储存油量为： ×0.95
1900π
= 吨......15
3 3
18 3 ．解：（1） ( ) = √3cos2 + 2sin + sin( ) 2
= √3cos2 2cos sin
= √3cos2 sin2
= 2cos 2 + ．....................................4
6
( ) 2 的最小正周期为： = | | = ；....................5 2
当2 ≤ 2 + ≤ 2 + ( ∈ )时，
6
- ≤ ≤ + 5 即当 ( ∈ )时，函数 ( )单调递减，.................7
12 12
5
所以函数 ( )单调递减区间为： - , + ( ∈ )；........................8
12 12
（2）因为 ( ) = √3，所以
√3
( ) = 2cos 2 + =
6 √
3 cos 2 + = ,
6 2
∵ ∈ 0, ，∴ 2 + ∈ , 7 ，
2 6 6 6
∴ 2 + = 5 ，..................10
6 6
∴ = ．..................11
3
设 边上的高为 1，所以有 = 1 sin = √3 ，.........................13
2 2 8
由余弦定理可知： 2 = 2 + 2 2 cos ，
∴ 16 = 2 + 2 ，..................................14
∵ 2 + 2 ≥ 2 ，
∴ ≤ 16（当用仅当 = 时，取等号），..................16
= √3所以 ≤ 2√3， 8
因此 边上的高的最大值2√3.................17
π
19．(1)
2
(2)2
1 sin A sin B
【详解】（1）因为 = ，
cos A cos B
所以 cos B sin Acos B = sin B cos A，
所以 cos B = sin (A+ B) = sin C ，.............................2
答案第 5 页，共 6 页
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sin π B

= sin C ，..................3
2
π π π
因为0 < C < π， < B < ，
2 2 2
π π
所以 B = C （舍），或 B = π C ，...............5
2 2
π
所以 A+ 2B = π C + B = ．...................6
2
a2 + 2c2
（2）要使不等式 a2 + 2c2 ≥ λb2恒成立，只需要λ ≤ 2 即可，
b min
π π
由（1）可知C = B ， A = 2B，
2 2
a2 + 2c2 sin2 A+ 2sin2 C
∴由正弦定理得 = ，...............................7
b2 sin2 B
sin2 π 2B + 2sin2 B
π

2 2 2= 2 cos 2B + 2cos B
..........................9
=
sin2 B sin2 B
( 21 2sin2 B) + 2(1 sin2 B) 3
= = 4sin2 B + 6 ，...........................11
sin2 B sin2 B
1 sin A sin B
因为 = ，
cos A cos B
所以 A，B 都为锐角，........................12
又因为 A+ 2B
π
= ，
2
所以0
π
< B < ．
4
2 1
所以0 < sin B < 时，
2
2 3 1
由对勾函数的性质知， 4sin B + 2 6在 0， 上单调递减， sin B 2
1 1 32 2 3 4× + 6 = 2
当 sin B = 时， 4sin B + 2 6取得最小值为 2 1 ，........................15 2 sin B 2
sin2由 B
1
≠ ，得 4sin2 B
3
+ 2 6 > 2 ........................................16 2 sin B
即λ ≤ 2．
所以λ的最大值为 2．..........................17
答案第 6 页，共 6 页
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