2024年黑龙江省齐齐哈尔地区中考数学预测卷（四）(含解析)

2024年齐齐哈尔地区中考数学预测卷（四）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考生注意：
考试时间120分钟
全卷共三道大题，总分120分
题号 一 二 三 总分 核分人
得分
一、单选题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．5的相反数的绝对值是（　　）
A．﹣5 B．5 C． D．
2．下列2024年巴黎奥运会和残奥会运动项目的图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．调查中央电视台开学第一课的收视率，应采用全面调查的方式
B．数据，，，，的中位数是
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖
D．甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数相等，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定
5．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要（ ）个小立方块．
A．36 B．52 C．54 D．55
（第5题图） （第6题图）
7．小李去买套装色水笔和笔记本，若购买袋笔和本笔记本，他身上的钱还差元，若改 成购买袋笔和本笔记本，他身上的钱会剩下元．若他把身上的钱都花掉，购买这两种 物品(两种都买)的方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（第8题图） （第10题图）
9．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（ ）
A．3或5 B．或5 C．或3 D．或
10．如图，拋物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在和两点之间（不包含端点）．则下列结论中：①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为，；⑤（其中）．正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（共7小题，每小题3分，共计21分）
11．新京报讯，2月15日晚，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式闭园，共计运营61天，累计接待游客万人次，将数据万用科学记数法表示为 ．
12．如图，相交于点O，，要证明，还需添加的一个条件是 ．

13．如图，从一个直径为4的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为 ．
（第12题图） （第13题图） （ 第14题图） （第16题图）
14．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴交反比例函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，则 ．
15．函数中，自变量x的取值范围为 ．
16．如图，在中，，，，为的中点，F为上的动点，将沿直线折叠得到，若与的边垂直，则的长是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧；是以点C为圆心，为半径的圆弧；是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线…称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．
三、解答题（共7小题，共计69分）
18．（1）（6分）计算：
（2）（4分）因式分解：；
19．（5分）解方程：．
20．（10分）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ；
(2)请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人；
(3)从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
21．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
22．（10分）在同一条公路上有A、B、C三地，C地在A，B两地之间．早上8点甲、乙两车同时出发匀速行驶．甲车从C地出发先到A地接人（接人时间忽略不计），然后原路原速到达B地停止行驶；乙车从B地出发经过C地到达A地后停止．如图所示，两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间函数关系．
(1)甲车速度为__________千米/时．__________；__________．
(2)求两车相遇后y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)直接写出两车相距180千米的时刻．
23．（12分）综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
思考探索
（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．
①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；
②_________；
③为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．
①面积的最大值为____________；
②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为____________．
24．（14分）如图，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点为抛物线上一点，且点与点关于对称轴对称，求四边形的面积．
(3)点为直线上方抛物线上一动点．
连接、，设直线交线段于点，求的最大值；
过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，请直接写出点的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据相反数与绝对值的性质，列出代数式进行化简即可．
【详解】解：5的相反数为：﹣5，
而﹣5的绝对值为：|﹣5|＝5，
即5的相反数的绝对值是5，
故选B．
【点睛】本题主要考查了绝对值与相反数的表示，正确用式子表示出：“+5的相反数的绝对值”，是解题关键．
2．D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、B、C选项中的图形都能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用完全平方公式，同底数 的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了概率公式、调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义等知识，解题的关键是了解统计的有关知识，难度不大．利用调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A．调查中央电视台开学第一课的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误，不符合题意；
B．数据，，，，的中位数是，故错误，不符合题意；
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，抽奖次可能有次中奖，也可能不中奖，故错误，不符合题意；
D．甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数相等，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定，正确，符合题意．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了尺规作图—作角的平分线，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．过点作于点，由作法知平分，从而可得，得到，再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
由作法知平分，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图判断小立方块的数量，再求出搭成一个大正方体需要的最少数量，即可得到答案．
【详解】解：由三视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，那么共有个几何体组成．
若要搭成一个大正方体，共需个小立方体，
所以还需个小立方体，
故选：C．
7．C
【分析】设1袋笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，根据“若购买4袋笔和6本笔记本，他身上的钱还差22元，若改成购买1袋笔和2本笔记本，他身上的钱会剩下34元”，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出结论，再设可购买a袋笔和b本笔记本，根据总价=单价×数量可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出结论．
【详解】设1袋笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，
依题意，得：4x+6y-22=x+2y+34，
∴3x+4y=56，即y=14-x．
∵x，y均为正整数，
∴，，，．
设可购买a袋笔和b本笔记本．
①当x=4，y=11时，4x+6y-22=60，
∴4a+11b=60，即a=15-b，
∵a，b均为正整数，
∴；
②当x=8，y=8时，4x+6y-22=58，
∴8a+8b=58，即a+b=，
∵a，b均为正整数，
∴方程无解；
③当x=12，y=5时，4x+6y-22=56，
∴12a+5b=56，即b=，
∵a，b均为正整数，
∴；
④当x=16，y=2时，4x+6y-22=54，
∴16a+2b=54，即b=27-8a，
∵a，b均为正整数，
∴，，．
综上所述，共有5种购进方案．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、勾股定理，当时，点在点处，此时，则，当时，，求出，由勾股定理得出，求出，再由计算即可得解．
【详解】解：当时，点在点处，此时，则，
当时，，
，
则，
，
，
，
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含m的代数式表示x，根据整数的意义可得m的值．解题的关键是将分式方程转化为整式方程，求出方程的解．
【详解】解：
去分母得：
化简得：
当时，
方程有整数根，的值是整数，
当时，，方程的根；
当时，，方程的根（增根，舍去）；
当时，，方程的根；
当时，，方程的根（增根，舍去）．
故选：A．
10．C
【分析】根据题干和图像可得，该抛物线的对称轴是，即；点的对称点坐标是；．
将代入该抛物线解析式可判断结论①；
根据和将代入抛物线解析式得到的，联立可求得 、的数量关系，根据可求的范围，以此判断结论②；
将顶点代入抛物线解析式得到，等量替换后得到与的关系再判断范围，以此判断结论③；
综合和、和的数量关系式，解一元二次方程即可判断结论④；
结合二次函数图象中可得，二次函数最小值为，则当时，有，结合、与数量关系式即可判断结论⑤．
【详解】解：依题得：该抛物线的对称轴是，即；
点的对称点坐标是；．
时，有，即，
①错误；
，
，
又将代入抛物线解析式中得，
，即，
又，
，
，
②正确；
将顶点坐标代入抛物线解析式中得，
即，
，
又，
，则，
③正确；
一元二次方程即，
即，
可解得，，
④一元二次方程的两个根分别为，正确；
时，在该抛物线中有，
，
，
，
⑤（其中）正确；
综上，②③④⑤正确，故正确的个数为个．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、解一元二次方程、不等式，解题关键是熟练掌握二次函数的图形与性质，运用数形结合思想分析问题．
11．
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可．
【详解】解：∵万
故答案为：
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，添加结合根据即可证明．
【详解】∵
添加结合根据即可证明，
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【分析】考查圆锥的计算；用的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长；难点是得到扇形的半径．
圆的半径为2，那么过圆心向引垂线，利用相应的三角函数可得的一半的长度，进而求得的长度，利用弧长公式可求得弧的长度，圆锥的底面圆的半径圆锥的弧长．
【详解】解：作于点，连接，
，，
，
，
圆锥的底面圆的半径．
故答案为：
14．
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用．相似三角形的判定和性质．过点D作于点E，则，设点C的坐标为，则，可得点A的坐标为，点B的坐标为，再求出直线的解析式，联立可得点D的横坐标为，从而得到，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点E，则，
设点C的坐标为，则，
∵轴，轴交反比例函数的图象于点，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
整理得：，
解得：，
∴点D的横坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：
15．且
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算．
【详解】解：由题意得，，
解得，且，
故答案为：且．
16．4或或
【分析】由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，分三种情况：当时，设垂足为；当时，作交于；当时，分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
，
，
是的中点，
，
如图1，当时，设垂足为，
，
由折叠可知，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
如图2，当时，
，
则，
由折叠可知：，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，，
作交于，则，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，即，
解得：，
，
在中，，，
；
如图3，当时，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
，
，
，，
，
，
，
综上所述：的长为4或或，
故答案为：4或或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
17．
【分析】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是罗列出部分点的坐标找出坐标规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现：点Ax的坐标满足“(n为正整数)，(n为自然数)，(n为自然数)，(n为自然数)”，根据这一规律即可得出点的坐标．
【详解】解：观察，找规律∶，，，，，，，，，，，，，，，…，
∴(n为正整数)，(n为自然数)，(n为自然数)，(n为自然数)．
∵，
∴的坐标为．
故答案为：．
18．（1）；(2)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：
；
19．，．
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，先将所给的一元二次方程整理后，分别找到二次项系数、一次项系数、常数项，利用一元二次方程的求根公式计算即可．
【详解】解：方程整理得：，
则，，,
∵，
∴，
解得：，．
20．(1)200；
(2)见解析；90
(3)
【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率．
（1）由选择C专业的人数除以所占百分比即可求出总数，由乘以选择A（旅游管理）专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数；
（2）求出B专业的人数，补全条形统计图即可，根据该中学选择“信息技术”专业意向的学生所占比例估计实际人数；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）本次被调查的学生有：（人），
故答案为：100；
（2）扇形统计图中，A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：200；；
（2）条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
若该中学有300名学生有培训意向，估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有（人），
故答案为：90；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
21．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵．
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
又，
即，
解得(取正值)，
．
22．(1)100；4.5；5
(2)
(3)两车相距180千米的时刻为1.5小时和3.5小时
【分析】（1）根据图形，可知设甲车速度为m千米/时, 乙车速度为n千米/时，可列出方程：m-n=20，m+n=180，可求得m、n，由此即可求出a、b；
（2）利用待定系数法进行求解析式即可，注意取值范围；
（3）分两种情况进行讨论，两车相距180千米时，出现在BC、CD两段，根据题意对两种情况进行分析求解．
【详解】（1）解：设甲车速度为m千米/时, 乙车速度为n千米/时，
由AB段可知：m>n，
则：，
即：m-n=20①，
由BC段可知：，
即：m+n=180②，
联立①、②得：m=100，n=80，
∴甲车速度为100千米/时, 乙车速度为80千米/时，
有CD段可知：，
解得：a=4.5，
由DE可知，此时甲车已到达B地，此段为乙车单独行驶，即：，
解得：b=5，
故答案为：100；4.5；5；
（2）由图可知，两车相遇时，为图中C点，相遇之后分为CD、DE两段，
设CD段函数表达式为：，DE段函数表达式为：，
将（2.5,0），（4.5,360）代入得：
，
解得：，
∴CD段函数表达式为：，
将（4.5,360）、（5,400）代入得：
，
解得：，
∴DE段函数表达式为：，
∴两车相遇后y与x之间的函数关系式为：；
（3）由图可知，两车相距180千米时，出现在BC、CD两段，
在BC段时，两车相距180千米时刻为：2.5-=1.5（小时），
在CD段时，两车相距180千米时刻为：2.5+=3.5（小时），
∴两车相距180千米的时刻为1.5小时和3.5小时．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解图象中每段所代表的意义，并结合函数进行解题．
23．（1）①；②；③等边，证明见解析；（2）①3；②．
【分析】（1）①利用圆的基本性质，即可求解；
②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；
（2）①由题意知点B'在以点E为圆心，半径长为2的圆上，△ABB'的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可，此时当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；
②当E、B′、C三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值为EC的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）根据折叠的性质知：BE=B′E，BC=B′C=3，MA=MB=NC=ND=，
∠B=∠EB′C=90，
①点B′在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②B′M=MN- B′N=
=
=；
③B′D=，
∴△DB'C为等边三角形；
故答案为：①BE，②，③等边；
（2）①∵AB=3=3AE，
∴AE=1，BE=2，
故点B'在以点E为圆心，半径长为2的圆上，
∴△ABB'的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可，
∴当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大，如图：
△ABB'的面积最大值；
②∵∠AQP=∠AB'E，
∴PQ∥B'E，
∵P为AE的中点，
∴Q为AB'的中点，
∴PQ为△AEB'的中位线，
∴PQ=EB'，即EB'=2PQ，
∴B'C+2PQ= B'C+ EB'，
当E、B′、C三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，
且最小值为EC的长，
∴EC=，
∴B'C+2PQ的最小值为．
故答案为：①；②．
【点睛】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）①当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；②当E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值，是解本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)①；②存在，
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明四边形为梯形，则四边形的面积，即可求解；
（3）①证明，则，即可求解；
证明，则，即，进而求解．
【详解】（1）解：在中，令得，令得，
，，
经过、两点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，得，
解得，，
，
点与点关于对称轴对称，点，抛物线的对称轴为，
点，
则，，
，则四边形为梯形，
则四边形的面积；
（3）解：①过作轴交于点，过作轴交于于，如图：
在中，令得，
，，
设，则，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为；
存在点，使得中的，理由如下：
过作轴，交轴于，交直线于，如图：
轴，
，
，
，
，
，
，
，即，
设，
，
，，
，，
，
，
解得，
．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
答案第1页，共2页
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