重庆市永川中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学复习卷（二）（含答案）

重庆市永川中学校2026届高一下半期考试
数学复习卷（二）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列命题正确的是（ ）
A．若都是单位向量，则
B．向量与是两平行向量
C．若，则四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同
2．设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
4．如图正方体或四面体，P，Q，R，S分别是棱的中点，这四个点不共面的图是( 　)
如图，在中，，，为上一点，
且满足，若的面积为，则的最小值为（ ）
B．
C．3 D．
6．在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b=c，且满足.若点O是ΔABC外一点，∠AOB=θ()，OA=2，OB=4，则平面四边形OACB面积的最大值（ ）
A． B． C． D．
7三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为(　　)
A. B. C．2 D．1
8．中，，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。）
9．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．的最大值为
B．若，则
C．是与共线单位向量，则
D．取得最大值时
10．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的体积是1
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．的最小值为
11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积为
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若，且，O为的内心，则的面积为
三、填空题（本大题3小题，每小题5分，共15分）
12．在复平面内，为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点所对应的复数为，若圆经过，，三点，则圆的半径为 .
13．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）.已知点，则的最大值近似等于 .（保留3位小数）（参考数据：.）
14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，是边长为的等边三角形，点分别为侧棱上的动点，
记，则的最小值的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知z是复数，与均为实数.
(1)求复数z；
(2)复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
16．已知中，角、、的对边分别是．
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，，求的面积．
17．如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点．
(1)若，求实数的值；
(2)求的最小值；
18．在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东方向上的A处，且在C岛的北偏东方向上，B市在C岛的北偏东方向上，且距离C岛此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，）
19．设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域.
(1)已知，若，求
(2)非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增.已知.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数的定义域为，如果存在实数满足：
①，都有，②，使得.
那么，我们称是二元函数的最小值.求的最大值.
重庆市永川中学校2026届高一下半期考试
数学复习卷（二）参考答案
1．B. 2．A． 3．C 4 .D　
5．【详解】
，得到，所以，结合
的面积为，得到,得到，所以
，故选D．
6．【详解】因为，可得，所以又，所以ΔABC为等边三角形．在中，
，
．，
所以，因为，所以当时，平面四边形OACB面积的最大，最大值为．故选：D．
7解∵B1B∥AA1，∴B1B∥平面ACC1A1，
∴无论P在B1B上何处，四棱锥P－ACC1A1的体积不变，故取P为B1，
∴VP－ACC1A1＝VB1－ACC1A1＝2VB1－A1C1C＝2VC－A1B1C1＝2×VABC－A1B1C1＝.
【详解】，
以为邻边作平行四边形，如下图：
所以，因此,所以平行四边形是菱形，设，，所以，在中，
，
设，所以当 时，，是增函数，故，因此本题选D.
9．【详解】∵，∴是单位向量，设，，则，当，方向相反，即时取等号，∴的最大值为，故A正确；
等价于即，即，∴，故B错误；
与共线的单位向量为，故Ｃ错误；
最大，当且仅当向量在向量上的投影最大，即向量与同向，亦即，此时，故D正确.
故选：AD
【详解】直三棱柱中，，，
，如图所示，
直三棱柱的体积为，故A选项正确；
直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半，外接球的半径为，外接球表面积是，故B选项正确；
O是与的交点，则的面积为定值，由平面，到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C选项错误；
把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，的最小值等于，故D正确. 故选：ABD
11．【详解】因为，所以由正弦定理，得，
即 ，因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ，
所以，所以的外接圆的面积为，选项A正确；
选项B：由余弦定理得，
将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，
故 ，解得b，所以选项B错误；
选项C：由正弦定理，得 ，即，因为，所以，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项D：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，
即，所以，所以，
又因为，所以，故，，解得 ，
因为，所以，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.故选：ACD.
12．.
13．【详解】设，由题意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即点在正方形的边上运动，因为，由图可知：
当取到最小值，即最大，
点有如下两种可能：
①点为点A，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，
则；因为，
所以的最大值为. 故答案为：.
14．【详解】底面为矩形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
同理可得：，又，，，
. 将侧面，，展开后，展开图如下图所示：
则的最小值的取值范围即为的取值范围.令，
，即，，.
在中，
在中，， ，，，
，，，，，即的最小值的取值范围为.
15．【详解】（1）设，,所以，
由条件得，且， 所以，所以，
（2），由条件得，
解得，所以所求实数a的取值范围是.
16．【详解】（1）由正弦定理得，
因为故，
即，即．
而，故，又因为所以．而，故．
（2）解 由知，
两边同时平方得，
即，化简得．①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，由于，得，代入②得．
所以的面积为．
17．【详解】（1）
，
所以三点共线，所以，解得；
（2）设，，
则，
，
故
，
当时，取得最小值，所以的最小值为.
18．【详解】设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则，
由题意知，，，，
在中，又
，
在中，由正弦定理可得，
即，解得，所以我军舰大约需要10小时到达C岛．
19．解（1）由已知有，；
（2），
，又，
，
故在上沿向量方向单调递增；
（3）由题意可类似的知道的最大值的含义，
，其中，（或者直接使用柯西不等式，
，当且仅当时取等号.）
故，当时取等号，（或当时取等号），
又，根据对勾函数单调性易知当或2时，函数取最大值为.