广东省东莞实验中学2023-2024学年高二（下）月考数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年广东省东莞实验中学高二（下）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算( )
A. B. C. D.
2.函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的( )
A. 在上单调递增
B. 在上单调递减
C. 在上单调递减
D. 在上单调递增
3.抛物线在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
4.用，，，，这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.如图，有两串桃子挂在树枝上，其中一串有个桃子，另外一串有个桃子，一只猴子自下而上地依次摘桃子，每次只摘一个桃子，直至把所有个桃子全部摘完，共有种不同的摘法．( )
A.
B.
C.
D.
7.将编号为，，，，的小球放入编号为，，，，的小盒中，每个小盒放一个小球，要使得恰有个小球与所在盒子编号相同，则有种不同的放球方法．( )
A. B. C. D.
8.设函数，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域报告显示，中国在其中个领域处于领先某学生是科技爱好者，打算从这个领域中选取，，，，这个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是( )
A. ，都在后天介绍的方法种数为
B. ，相隔一天介绍的方法种数为
C. 不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为
D. 在，之前介绍的方法种数为
11.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 在上单调递增
B. 恰有一个极大值
C. 当时，无实数解
D. 当时，有三个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的导函数为，且满足，则 ______．
13.某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有______种
14.牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止设函数，初始点为，若按上述过程操作，则所得的第个的面积为______用含有的代数式表示
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数为常数，曲线在点处的切线平行于直线．
求的值；
求函数的极值．
16.本小题分
已知数列的前项和为，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知椭圆：的右顶点为，离心率为．
求椭圆的方程；
设椭圆的左焦点和左顶点分别为和，过点的直线与交于，两点，直线与交于点，证明：点在定直线上．
18.本小题分
设函数，其中为实数．
当时，求的单调区间；
若函数在定义域内有两个不同的极值点，求的取值范围；
设的两个不同的极值点为，，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由组合数的定义知．
故选：．
直接利用组合数的定义求解．
本题考查组合数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
故选：．
由已知结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，曲线，即：，
且，则，
曲线在点处的切线斜率．
故选：．
先由解析式求出，再求出的值，即可得到结果．
本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线的斜率是该点处的导数值，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题可知，不同的偶数共有个．
故选：．
利用分步乘法计数原理可得答案．
本题考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除，
由得，得或，当时，，排除，
故选：．
先判断函数的奇偶性，利用当的，进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：如果将个桃子全排列有种方法，
但根据题意要摘的两列桃子顺序分别为和，
所以共有种方法，
故B正确．
故选：．
利用倍缩法解决定序问题及摘的两列桃子顺序为和，从而可求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：如果有个小球与所在的盒子的编号相同，
第一步：先从个小球里选个编号与所在的盒子相同，有种选法；
第二步：不妨设选的是、号球，则再对后面的，，进行排列，
且个小球的编号与盒子的编号都不相同，则有，两种，
所以有个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法，故D正确．
故选：．
利用分步乘法原理，分步求出恰有个小球与所在盒子编号相同的方法总数即可得解．
本题考查排列组合的应用，计数原理的应用，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：只有一个整数解，即只有一个整数解，
令，则的图象在直线的上方只有一个整数解．
作出的图象，
由图象可知的取值范围为
即，
故选：．
根据不等式分离参数，数形结合即可求解；
本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题
9.【答案】
【解析】解：对于，，选项A错误；
对于，，选项B正确；
对于，，选项C正确；
对于，，选项D错误．
故选：．
根据函数的导数公式，结合导数的运算法则和复合函数求导法则，分别进行判断即可．
本题考查了导数公式与导数的运算法则和复合函数求导法则应用问题，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，都在后天介绍，在后天中任选天，安排介绍、，剩下天任意安排即可，
有种介绍方法，A正确；
对于，若，相隔一天介绍，在、、中任选个，安排在、中间，再将其与、看成一个整体，有种情况，
再将整个整体与剩下的个全排列，有种情况，则有种介绍方法，B正确；
对于，分种情况讨论：若在最后一天介绍，有种介绍方法，
若不在最后一天介绍，有种介绍方法，
则有种介绍方法，C错误；
对于，先将安排在、之前，有种情况，
将插在、、中，有种安排方法，
最后将插在、、、中，有种安排方法，
则有种安排方法，D正确．
故选：．
根据题意，依次分析选项：对于，在后天中任选天，安排介绍、，剩下天任意安排即可，由分步计数原理分析可得A正确；对于，先在、、中任选个，安排在、中间，再将其与、看成一个整体，最后将整个整体与剩下的个全排列，由分步计数原理分析可得B正确；对于，按是否在最后一天介绍分种情况讨论，由加法原理分析可得C错误，对于，先将安排在、之前，再分析、的安排方法，由分步计数原理分析可得D正确，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．当时，，，在上单调递增，A错误；
对于，由以上讨论知是的极大值点，B正确；
对于，当时，，，，当时，，所以当时，无实数解，C正确；
对于，当时，，由以上讨论知当时，而，，作出的大致图象如图所示．如图可知，有三个实数解，所以有三个实数解，D正确．
故选：．
分类讨论去掉绝对值符号后求导数确定单调性、极值判断，利用极值判断方程的实根个数判断，利用数形结合思想判断．
本题主要考查用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，
则，
令，得，
解得．
故答案为：．
由求导计算公式求出，从而可求解．
本题考查了导数的定义与运算问题，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，凉菜可四选二，不可同款，有种选法，
饮品选择两杯，可以同款，有种选法，
则有种选法．
故答案为：．
根据题意，分别计算凉菜和饮品的选法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设，则，
因为，所以，如图，
则处切线为，
切线与轴相交得，
则，
所以，因为，
所以，
所以，
，
所以．
故答案为：．
导数求切点处切线的方程，得，，，表示出，从而可求解．
本题考查了数列与函数的综合运用，属于中档题．
15.【答案】解：由，得，
在点处的切线平行于直线，
，．
由，可得，令，解得或，
和随着的变化情况如下表所示．
极大值 极小值
的极大值为，极小值为．
【解析】对求导，求出切线的斜率，再结合条件求出的值；
由，可得，令，求出单调递减区间，令，求出单调递增区间，再根据极值的定义求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想，属中档题．
16.【答案】解：且，有，
当，时，有，
两式相减得．
当时，由适合，
所以；
由知，，
所以．
【解析】由数列的通项与前项和的关系，化简可得所求；
由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查数列的通项与前项和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：依题意可得：，
又，则，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为：；
证明：由得，
设直线的方程为，设，，
由，可得，
显然，
所以，，
故，
由题意可得，，
则直线的方程为，
直线的方程为．
设直线与的交点坐标为，
则，
故
，
解得．
故直线与的交点在直线上．
【解析】由椭圆几何性质可求、、的值；
联立直线与椭圆方程，设，，可得两根之和及两根之积，即可得到直线、的方程，设直线与的交点坐标为，求出，即可得解．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：的定义域为，当时，，
令，得或，
时，，时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
对求导得，
由在上有两个不同的极值点，，
故有两个不同的正根，则有，解得，
所以的范围为．
证明：由可知：因为
，
设，，
则，故在上单调递增，
又，
故．
【解析】求出原函数的导数，结合导数性质即可得其单调区间；
由题意可得，是函数的导数的两个不同零点，即可利用韦达定理结合题意得到的范围．
由中结论，将中的变量，替换成，再借助导数研究其单调性即可得证．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值及证明不等式，属于中档题．
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