北京市房山区2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市房山区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将化为弧度为( )
A. B. C. D.
2.已知且，则角的终边所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，，则与( )
A. 平行且同向 B. 不垂直也不平行 C. 垂直 D. 平行且反向
4.要得到函数的图象，只需要将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
5.下列函数中，最小正周期为且为奇函数的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.设，是非零向量，“”是“”的
( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
9.已知是实数，则函数的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
10.设函数在区间上是单调函数，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.______．
12.函数的定义域为______．
13.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角的余弦值为______．
14.已知向量，为单位向量，，则向量的坐标为______写出一个即可
15.在平面直角坐标系中，角的终边过点，则 ______；将射线绕原点沿逆时针方向旋转到角的终边，则 ______．
16.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音若一个复合音的数学模型是函数，给出下列四个结论：
的一个周期为；
的图象关于原点对称；
的最大值为；
在区间上有个零点．
其中所有正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，满足，且与的夹角为．
Ⅰ求；
Ⅱ求；
Ⅲ若，求实数的值．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求；
Ⅱ求函数的最小正周期和单调递增区间．
19.本小题分
设函数由下列三个条件中的两个来确定：
；
最小正周期为；
．
Ⅰ写出能确定函数的两个条件，并求出的解析式；
Ⅱ求函数在区间上的最小值及相应的的值．
20.本小题分
将图所示的摩天轮抽象成图所示的平面图形摩天轮直径为米，中心距地面米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点处登上摩天轮，分钟后第一次到达最高点．
Ⅰ游客登上摩天轮分钟后到达处，求该游客距离地面的高度；
Ⅱ求该游客距离地面的高度单位：米与他登上摩天轮的时间单位：分钟的函数关系式；
Ⅲ当该游客登上摩天轮分钟时，他的朋友在摩天轮最低点处登上摩天轮求他和他的朋友距离地面的高度之差的绝对值的最大值．
21.本小题分
已知，都是定义在上的函数，若存在实数，使对任意都成立，则称为，在上生成的函数．
Ⅰ判断函数是否为，在上生成的函数，说明理由；
Ⅱ判断函数是否为，在上生成的函数，说明理由；
Ⅲ若为，在上的一个生成函数，且，，的最小值为，，求的解析式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据角度制与弧度制的相互转化，计算即可．
本题考查了角度制化为弧度制的应用问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据三角函数的定义，
，，
，
，；
在第二象限．
故选：．
利用三角函数的定义，可确定且，进而可知所在的象限．
本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：向量，，
，
．
故选：．
利用向量垂直的性质求解．
本题考查两个平面向量的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．
4.【答案】
【解析】解：要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位，
即：
故选：．
直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换的应用，主要考察学生对函数图象的变换能力，属于基础题型．
5.【答案】
【解析】解：由于的周期为，不满足条件，排除；
由于不是奇函数，不满足条件，排除；
由于为偶函数，故不满足条件，排除；
由于为奇函数，且它的周期为，故满足条件．
故选：．
利用三角函数的周期性和奇偶性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查三角函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由图象可得，所以，
即，又，所以，
又，所以，即，
因为，所以．
故选：．
由图象可得函数的最小正周期，由周期公式可得的值，由，结合，即可求解的值．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分条件，必要条件的判断，向量的数量积，向量共线的定义，属于中档题．
分别讨论充分性和必要性，即可得到答案．
【解答】
解：，
时，，
，
，
“”是“”的充分条件；
时，的夹角为或，
，或，
即得不到，
“”不是“”的必要条件，
综上可得，“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由于，，且，
则，即有，
，
由于，
则与的夹角为．
故选A．
运用向量垂直的条件即为数量积为，再由向量夹角公式和范围，即可得到夹角．
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查夹角公式及运用，考查运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对函数而言，，
观察选项可知，选项C的最小正周期大于，即，则，
而又由选项C图象可知，，与矛盾，故选项C错误，而对比可知选项A正确．
当时，选项B正确；
对选项D而言，易知周期小于，则，由前面分析可知，符合函数图象．
故选：．
由函数的性质结合选项即可得解．
本题主要考查函数的图象及性质，考查数形结合思想，记住常见结论是解题关键，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意知，函数的最小正周期为，解得，
又因为，由知，图象的一条对称轴为，
由在上是单调函数，且，所以图象的一个对称中心为，
因为和是的对称轴与对称中心，
令，解得，所以，
由，，；
解得，；所以，
所以．
故选：．
根据题意求出的最小正周期和对称轴，对称中心，确定、和，即可求出的解析式与的值．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：
将所求式子中的角变形为，然后利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：解得，，，
原函数的定义域为：．
故答案为：．
根据正切函数的定义域，解，，即可得出原函数的定义域．
本题考查了函数定义域的定义及求法，正切函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设小正方形的边长为，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，
．
故答案为：．
可设小正方形的边长为，然后建立坐标系，得出向量的坐标，根据向量夹角的余弦公式即可得解．
本题考查了通过建立坐标系解决向量问题的方法，向量夹角的余弦公式，是基础题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：设，
因为，为单位向量，，
所以，解得或，
所以或．
故答案为：答案不唯一．
设，由题意建立方程，求解即可．
本题考查平面向量的数量积与模，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：角的终边过点，
则，，
将射线绕原点沿逆时针方向旋转到角的终边，
则，
．
故答案为：；．
结合三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，即为函数的一个周期，正确；
因为，即为奇函数，图象关于原点对称，正确；
，
因为恒成立，
故在，上单调递增，在，上单调递减，
故时，取得最大值，错误；
易得，在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
结合零点存在定理可知，在区间上有个零点，正确．
故答案为：．
结合函数的周期性检验；结合函数的奇偶性检验；结合导数与单调性及最值关系检验；结合单调性及零点存在定理检验．
本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，单调性的判断，还考查了函数的性质在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ已知向量，满足，且与的夹角为，
则；
Ⅱ；
Ⅲ因为，
则，
则，
即，
即，
即实数的值为．
【解析】Ⅰ结合平面向量数量积的运算求解；
Ⅱ结合平面向量模的运算求解；
Ⅲ结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属中档题．
18.【答案】解：依题意 分
分
分
分
设函数的最小正周期为，则分
由 ，解得 ，
函数的单调递增区间为，分
【解析】利用两角和差的正弦公式的应用，二倍角公式，化简函数的解析式为，由此求得的值．
根据函数的解析式求出周期，由，解得的范围，即得函数的单调递增区间．
本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，化简函数的解析式为，是解题的关键．
19.【答案】解：Ⅰ函数，
函数，
而，所以不能满足条件，
所以能确定的两个条件是，
由条件可得，因为，所以，
由条件可得，
因为，所以，
所以
综上，能确定函数的两个条件是，的解析式为
Ⅱ当时，，
所以当，即时，取得最小值为．
【解析】Ⅰ由两角和的正弦公式化简，确定的取值范围，从而可得不能满足条件，由条件，结合正弦函数的性质即可求解函数解析式；
Ⅱ由正弦函数的性质即可求解函数的最小值及对应的的值．
本题主要考查三角函数解析式的求法，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ游客从最低点处登上摩天轮，此时游客离地面高度为米，对应函数取得最小值，即
登上摩天轮分钟到达最高点，此时游客离地面高度为米，即，
所以分钟后到达处，该游客距离地面的高度为米；
Ⅱ由题意知，，，，所以，
所以，；
Ⅲ由，，
由，
当时，取得最大值为，
即当该游客登上摩天轮分钟时，他的朋友在摩天轮最低点处登上摩天轮，
他和他的朋友距离地面的高度之差绝对值的最大值为米．
【解析】Ⅰ游客从最低点处登上摩天轮，游客离地面高度为米，对应函数取得最小值，登上摩天轮分钟到达最高点，游客离地面高度为米，函数取得最大值，从而求出分钟该游客距离地面的高度；
Ⅱ由题意知，由周期求出即可；
Ⅲ由，求出的最大值即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了数学建模能力，是中档题．
21.【答案】解：Ⅰ函数是，在上生成的函数，
理由如下：因为，
存在实数，，使，
所以函数是，在上生成的函数．
Ⅱ函数不是，在上生成的函数．
理由如下：假设函数是，在上生成的函数，
则存在实数，使得对任意都成立．
当时，；
当时，，得；
当时，左边，右边，等式不成立，
与对任意都成立矛盾，
所以函数不是，在上生成的函数．
Ⅲ若为，在上的一个生成函数，
则存在实数，使得对任意恒成立．
因为，所以．
因为，，且，，
所以，
当时取等号当且仅当时取等号．
的最小值为，即，
由可得，
所以．
【解析】Ⅰ利用两角和的正弦公式化简，结合生成函数的定义即可判断；
Ⅱ假设函数是，在上生成的函数，则存在实数，使得对任意都成立，取，求出，的值，再由推出矛盾，判断即可；
Ⅲ由，可得，根据三角函数的有界限求出的最小值，可得，联立即可求解，的值，从而可得的解析式．
本题主要考查函数的新定义，考查运算求解能力，属于难题．
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