黑龙江省哈尔滨三十二中2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 向量的模是一个正实数 B. 零向量没有方向
C. 单位向量的模等于个单位长度 D. 零向量就是实数
2.如图，在矩形中，( )
A. B. C. D.
3.观察下面的几何体，哪些是棱柱？( )
A. B. C. D.
4.在中，点为边中点，记，，则( )
A. B. C. D.
5.棱长均为的正四面体的表面积是( )
A. B. C. D.
6.在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.直线与平面平行，且直线，则直线和直线的位置关系不可能为( )
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 没有公共点
8.已知向量，满足，且与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是( )
A. 球的半径为 B. 球的体积为 C. 球的体积为 D. 球的半径为
11.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上皆不可能
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则______．
13.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是______填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个．
14.几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为______．
四、解答题：本题共3小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，一个圆柱形的纸篓有底无盖，它的母线长为，底面的半径长为．
求纸篓的容积；
现有制作这种纸篓的塑料制品，请问最多可以做这种纸篓多少个？
假设塑料制品没有浪费．
16.本小题分
如图，已知中，，，．
求的长；
若，求的长．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求三棱锥的体积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：零向量的模长为，不是正实数，故A错误；
根据零向量的定义可知：零向量方向是任意的，故B错误；
模长为个单位长度的向量叫单位向量，故C正确；
向量是既有大小又有方向的量，不是实数，故D错误．
故选：．
由向量的模、零向量及单位向量的定义，直接判断选项即可．
本题考查向量的相关定义，属基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据向量加法法则以及向量相等的定义进行转化求解即可．
本题主要考查向量加法及其几何意义，根据向量加法的三角形法则是解决本题的关键．
【解答】
解：在矩形中，
，
则，
故选：
3.【答案】
【解析】解：由棱柱的定义可知，满足棱柱的定义．
故选：．
结合棱柱的定义，即可求解．
本题主要考查棱柱的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：中，点为边中点，记，，则，
故选：．
根据向量的加减的几何意义即可求出
本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱锥表面积的求解，属于基础题．
由题意，该正四面体每一个面均为边长等于的等边三角形，其面积等于，由此即可得到该正四面体的表面积．
【解答】
解：正四面体的棱长均为，
正四面体每一个面均为边长等于的等边三角形，
其面积，
因此正四面体的表面积是，
故选A．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，，
则．
故选：．
直接利用向量的数量积化简求解即可．
本题考查平面向量的数量积的运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量垂直的合理运用．
7.【答案】
【解析】解：直线与平面平行，与平面没有公共点，
又直线，与没有公共点，故C错误，D正确；
直线与直线没有公共点，则与可能平行，也可能异面，故A与都有可能．
故选：．
由直线与平面平行的定义可得与平面没有公共点，即可判断与；结合没有公共点的直线可能平行也可能异面判断与．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：，且与的夹角为，
，
，
故选：．
根据向量的数量积运算以及运算法则，即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积的性质与运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，故A正确，
，故B错误；
，
所以，故C正确；
，故D错误．
故选：．
根据向量数量积、平行、垂直、模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设球的半径为，，则，，
所以球的体积为，
所以选项正确，选项错误．
故选：．
根据已知条件求得球的半径，从而求得球的体积．
本题考查球的表面积及体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确；
两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确；
一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确；
故选：．
利用空间中两直线的位置关系求解．
本题主要考查空间直线的位置关系，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，且，
可得解得，
．
故答案为：．
利用向量的数量积曲线，然后求解向量的模．
本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．
13.【答案】直角三角形
【解析】解：把，代入已知等式得：，
整理得：，即，
是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
利用余弦定理表示出，把代入已知等式，整理得到，即可确定出三角形形状．
本题考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：设圆锥底面半径为，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得：
圆锥高，母线长，
圆锥的侧面积为，解得，
所以圆锥的体积为．
故答案为：．
根据直角圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积与侧面积公式求解．
本题考查圆锥的体积的求解，属基础题．
15.【答案】解：纸篓的容积为，分
一个纸篓要用的塑料的面积为 分
由，故最多可以做个这样的纸篓． 分
【解析】利用已知条件求解体积即可．
求解一个纸篓的面积，然后求解纸篓的个数．
本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
16.【答案】解：在中，，，．
由正弦定理得，
所以．
在中，，，，
由余弦定理得，
所以．
【解析】本题考查余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用，属于较易题．
由题意结合正弦定理求出的长．
由的结论结合余弦定理求出的长．
17.【答案】解：Ⅰ证明：在直三棱柱中，，，
，，分别为，，的中点，
以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，，，
平面的法向量为，
，
平面，平面；
Ⅱ，，，
点到平面的距离为，
三棱锥的体积为：
．
【解析】Ⅰ以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；
Ⅱ，，从而，点到平面的距离为，由此能求出三棱锥的体积．
本题考查线面平行的判定、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
第1页，共1页