2023-2024学年安徽省合肥八中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥八中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设为所在平面内一点，且，则( )
A. B.
C. D.
3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.内角，，的对边分别为，，，已知，则( )
A. B. C. D.
5.在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则的面积是( )
A. B. C. D.
6.已知一个圆锥的高为，底面半径为，现在用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个高为的圆台，则这个圆台的体积为( )
A. B. C. D.
7.平行四边形中，，若点，满足，则( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对应的边分别为，，，向量，且，点为边的中点，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是( )
A. 棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点
B. 四棱锥中，四边形的对角线交点为，若平面，则该四棱锥是正四棱锥
C. 任意一个棱柱的侧面都是矩形
D. 正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，且它的所有顶点在球的表面上，则球的表面积为
10.设，为复数，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知是夹角为的单位向量，，则( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数的实部为，虚部为，则 ______．
13.如图，已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为______．
14.在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，则角 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，点，若向量，且，求点的坐标；
已知向量，若与夹角为钝角，求的取值范围．
16.本小题分
“大湖名城，创新高地”的“湖”指的就是巢湖，为治理巢湖环境，拟在巢湖两岸建立，，，四个水质检测站已知，两个检测站建在巢湖的南岸，距离为，检测站，在湖的北岸，工作人员测得，，，．
求，两个检测站之间的距离；
求，两个检测站之间的距离．
17.本小题分
如图，在中，是的中点，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且．
求圆锥的表面积；
若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值．
18.本小题分
由扇形和组成的平面图形如图所示，已知，，，点在含端点上运动．
连接，求正弦值的取值范围；
设，四边形面积为，求的最大值．
19.本小题分
已知锐角，，，分别为角，，的对边，若．
求证：；
求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，，对应的点的坐标为，在复平面内位于第四象限．
故选：．
化简复数，并根据复数的几何意义求解．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，
可得
．
故选：．
根据向量的线性运算进行代换即可．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，向量垂直的判断，考查运算求解能力，属于基础题．设向量，夹角为，由得，由向量数量积即可求解．
【解答】
解：设向量，夹角为，，
由得，，
又，，．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由正弦定理，得，
所以，
又，则，
所以，
从而．
故选：．
由已知结合正弦定理先求出，然后结合三角形内角和即可求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
则，
则，
所以的面积是．
故选：．
由已知结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设截面圆的半径为，则，即，
所以，，
所以圆台的体积为．
故选：．
根据圆台的体积公式，即可求解．
本题考查圆台的体积的求解，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，由，
可得，
，
又，
则
．
故选：．
根据向量的线性运算，将，表示成，，再根据数量积进行运算即可．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：，则，即，所以，
，
在中，，即，
在中，，即，
由解得，
在中，，则．
故选：．
根据即可得出，并得出，然后在和中，由余弦定理即可得出，然后在中根据正弦定理即可得出答案．
本题考查了正余弦定理，平行向量的坐标关系，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对选项，用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的几何体就是棱台，
所以棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点，故A选项正确；
对选项，由四边形的对角线交点为，平面，无法确定四边形是正方形，
所以四棱锥不一定是正四棱锥，故B选项错误；
对选项，任意一个棱柱的侧面都是平行四边形，直棱柱的侧面都是矩形，故C选项错误；
对选项，球的直径，所以半径，
所以球的表面积为，故D选项正确．
故选：．
根据棱台的概念，正四棱锥的概念，棱柱的概念，正四棱柱的外接球的求法，针对各个选项分别求解即可．
本题考查几何体的概念，正四棱柱的外接球问题，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：设，则，而，A错误；
因为，又，则，B正确；
设，，则，而，C错误；
设，，，
，则，
从而，，即，从而，D正确．
故选：．
举反例说明，C错误；根据复数的运算，判断，D正确．
本题考查复数的运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：已知是夹角为的单位向量，
对于选项A，，
故A正确；
对于选项B，，
故B正确；
对于选项C，，，
则，
所以，
故C错误；
对于选项D，在上的投影向量为，
故D正确．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，则，
所以．
故答案为：．
化简复数，利用模长公式求解．
本题考查复数的模长，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，
得，矩形的面积为，
的面积为，
的面积为的面积为，
在中，，
则边上的高为，其面积为，
四棱锥的表面积为．
故答案为：．
由已知分别求出四棱锥的底面面积与各侧面面积，作和即可求得棱锥的表面积．
本题考查多面体表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：在中，角，，所对应的边分别为，，，
已知，
即，
即，
由正弦定理可得，
所以，
即，
又因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
即．
故答案为：．
由平面向量数量积的运算，结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
15.【答案】解：设点，由，得，
由，得，
又因为，所以，
设，则，解得或；
所以或，
所以的坐标为或；
因为，
所以，
所以，即，解得；
又因为不反向共线，所以，解得，
综上，的取值范围是且
【解析】设点，写出的坐标表示，利用得出，再由，列方程组求解即可；
根据平面向量的共线定理与夹角的坐标表示，列不等式求解即可．
本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
16.【答案】解：根据题意，可得，，
所以在中，，由正弦定理，
可得，即、两个检测站之间的距离为；
在中，，，
所以，可得，．
根据余弦定理，得
，所以舍负．
在中，由余弦定理，得
，所以，即、两个检测站之间的距离为．
【解析】在中，算出与，然后根据正弦定理列式算出的长，即可得出、两个检测站之间的距离；
在中，利用“等角对等边”算出，然后由余弦定理算出，最后在中根据余弦定理算出、两个检测站之间的距离．
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形的知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
17.【答案】解：中，
由，得．
圆锥的底面面积为，
圆锥的侧面面积为，
圆锥的表面积为；
当正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时最大，
球心在上，作于，
设球半径为，由已知可得，，
在中，可得，解得，
则，解得，
的最大值为．
【解析】由已知求解圆锥的母线长，再由圆的面积公式及圆锥的侧面积公式求解；
由题意可得，当正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时最大，再求解三角形得答案．
本题考查多面体的外接球与旋转体的内切球，考查空间想象能力与逻辑思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：在中，，
由余弦定理知，
，
故，
由正弦定理知，，
即，
所以，
又在上单调递增，故，
所以正弦值的范围是；
记四边形的面积为
则，因为，
所以，
，
所以
，
故当，即时取等号，
此时，四边形的面积取得最大值．
【解析】先由余弦定理可求，然后结合正弦定理表示，结合正弦函数的性质即可求解；
利用锐角三角函数定义及三角形面积先表示出四边形的面积，然后结合辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
19.【答案】证明：
，
根据正弦定理，
由可得，，
即，
是锐角三角形，
，，
因此有；
解：是锐角三角形，
，而，
，
由正弦定理得，，
则，
，
，
，，，
，
则的取值范围为．
【解析】由已知结合余弦定理及正弦定理，和差角公式进行化简，然后结合三角函数的性质即可证；
先求出的范围，然后结合正弦定理及和差角公式，二倍角公式进行化简，再由正弦函数性质即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求三角形中的应用，还考查了和差角公式，二倍角公式，正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．
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