(共39张PPT)
期末复习练案
第一部分 期末单元复习
复习4 圆
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
03
素养发展
1. 圆的对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴.对称
轴是任意一条过 的直线(或任意一条直径所在的
直线).
无数
圆心
2
3
4
5
6
7
8
1
2. (1)垂径定理：垂直于弦的直径 弦并且 弦
所对的两条弧.
(2)推论：①平分弦(不是直径)的直径 于弦，并
且 弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经
过 ，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对
的一条弧的直径垂直平分弦，并且 另一条弧.
平分
平分
垂直
平分
圆心
平分
2
3
4
5
6
7
8
1
3. 圆心角、弧、弦之间的关系：(1)性质：在
中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也相
等.(2)推论：①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么
它们所对的 相等，所对的 相等；②在同
圆或等圆中，如果两条 相等，那么它们所对的
相等，所对的 和 分别相等.
同圆或等圆
相等
圆心角
弦
弦
圆
心角
优弧
劣弧
2
3
4
5
6
7
8
1
4. 圆周角定理及其推论：(1)定理：一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的 .(2)推论：①同弧或等弧所对
的圆周角 ；②半圆(或直径)所对的圆周角是
；90°的圆周角所对的弦是 .
一半
相等
直
角
直径
2
3
4
5
6
7
8
1
5. 三角形的外心是三角形 的交点.外
心到三角形 的距离相等.
三条边的垂直平分线
三个顶点
2
3
4
5
6
7
8
1
6. 直线与圆的位置关系
(1)设☉ O 的半径为 r ，圆心 O 到直线 l 的距离为 d ，则直线
和圆的位置关系如下表：
2
3
4
5
6
7
8
1
位置关系 相离 相切 相交
图示
d 与 r 的关系 d ＞ r d ＝ r d ＜ r
交点个数 没有交点 1个交点 2个交点
2
3
4
5
6
7
8
1
(2)切线的判定定理：经过半径的外端并且 于这条
半径的直线是圆的切线.
(3)切线的性质定理：圆的切线 于过切点的半径.
(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的
切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切
线的夹角.
垂直
垂直
相等
平分
2
3
4
5
6
7
8
1
7. 三角形的内切圆：三角形的内心是三角形
的交点，到三角形 的距离相等.
三条角平分
线
三边
2
3
4
5
6
7
8
1
8. (1)扇形弧长公式： l ＝ ；
扇形面积公式： S扇形＝ ＝ lR .
(2)圆锥的侧面积公式： S ＝ .
lR
π rl
2
3
4
5
6
7
8
1
一、选择题(每小题5分，共30分)
1. [2023昭通期中]下列说法中，正确的是( B )
A. 过圆心的直线是圆的直径
B. 直径是圆中最长的弦
C. 相等长度的两条弧是等弧
D. 顶点在圆上的角是圆周角
B
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2. 如图， AB 是☉ O 的直径，∠ D ＝32°，则∠ AOC 等于
( D )
A. 158° B. 58°
C. 64° D. 116°
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
3. [2024盐城期末]如图， AB 为☉ O 的直径， C ， D 是☉ O 上
的两点，∠ DAC ＝25°， AD ＝ CD ，则∠ BAC 的度数是
( C )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 50°
C
点思路：连接 BD ，由 AB 为☉ O 的直径可得∠ ADB ＝90°，由 AD ＝ CD 可知∠ DCA ＝∠ DAC ＝25°，然后根据三角形内角和定理和同弧所对的圆周角相等计算∠ BAC 的度数.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
4. 如图， AB 是☉ O 的切线， A 为切点，连接 OA ，点 C 在☉
O 上， OC ⊥ OA ，连接 BC 并延长，交☉ O 于点 D ，连接
OD ，若∠ B ＝65°，则∠ DOC 的度数为( B )
A. 45° B. 50°
C. 65° D. 75°
B
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
5. 如图，已知点 O 是△ ABC 的内心，∠ BAC ＝70°， P 为平
面上一点，点 O 恰好又是△ BCP 的外心，则∠ BPC 的度
数为( C )
A. 50° B. 55°
C. 62.5° D. 65°
C
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
6. 如图， AB 是☉ O 的直径，点 C ， D ， E 在☉ O 上，若
∠ DCB ＝115°，∠ EAB ＝55°，且 AB ＝4 ，则 ED ＝
( B )
A. 2 B. 6
C. 3 D. 3
B
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
点拨：如图，连接 OE ， OD ， BE ，过 O 点作 OH ⊥ DE 于
点 H ，
∵∠ BED ＋∠ C ＝180°，∴∠ BED ＝180°－115°＝
65°.
∵ AB 为☉ O 的直径，∴∠ AEB ＝90°.
∴∠ AED ＝90°－∠ BED ＝90°－65°＝25°.
∴∠ AOD ＝2∠ AED ＝2×25°＝50°.
∵ OA ＝ OE ，∴∠ OEA ＝∠ OAE ＝55°.
∴∠ AOE ＝180°－55°－55°＝70°.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
∴∠ DOE ＝∠ AOE ＋∠ AOD ＝70°＋50°＝120°.
∵ OD ＝ OE ，∴∠ ODE ＝∠ OED ＝30°.
∵ OD ＝ AB ＝2 ，
∴在Rt△ ODH 中， OH ＝ OD ＝ ×2 ＝ .
∴ DH ＝3.
∵ OH ⊥ DE ，∴ EH ＝ DH ＝3.∴ ED ＝6.故选B.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
二、填空题(每小题5分，共30分)
7. 用半径为30 cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一
个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为 .
10 cm
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
8. [2023济南]如图，正五边形 ABCDE 的边长为2，以点 A 为
圆心，以 AB 长为半径作弧 BE ，则阴影部分的面积
为 .(结果保留π)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
9. 【情境题 生活应用】如图所示，小区内有个圆形花坛☉
O ，点 C 在弦 AB 上， AC ＝11， BC ＝21， OC ＝13，则
这个花坛的面积为 .(结果保留π)
400π
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
10. 已知点 P 是半径为4的☉ O 上一点，平面上一点 Q 到点 P
的距离为2，则线段 OQ 的长度 a 的取值范围为
.
点拨：当点 Q 在☉ O 外且 O ， Q ， P 三点共线时，线段
OQ 的长度最大，最大值为4＋2＝6；当点 Q 在☉ O 内且
O ， Q ， P 三点共线时，线段 OQ 的长度最小，最小值为
4－2＝2，所以线段 OQ 的长度 a 的取值范围为2≤ a ≤6.
2≤ a
≤6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
11. [2023凉山州模拟]如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC
＝6， AB ＝10， D 为 BC 边的中点，以 AD 上一点 O 为圆
心的☉ O 和 AB ， BC 均相切，则☉ O 的半径为 .
点思路：连接 OB ，过点 O 作 OE ⊥ AB 于点 E ， OF ⊥ BC 于点 F . 根据切线的性质，知 OE ， OF 都是☉ O 的半径.由三角形的面积间的关系( S△ ABO ＋ S△ BOD ＝ S△ ABD ＝ S△ ACD )列出关于☉ O 的半径的等式，求得☉ O 的半径.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
12. [2024鄂州期末]如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是
直角三角形，∠ ACB ＝90°，∠ ABC ＝30°，直角边 BC
在 x 轴上，其内切圆的圆心坐标为 I (0，1)，抛物线 y ＝
ax2＋2 ax ＋1的顶点为 A ，则 a ＝ .
－
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
点拨：由题知内切圆☉ I 的半径为1.设 AE ＝ x ， OB ＝ y ，
则易知 AC ＝ x ＋1， BC ＝ y ＋1.∵∠ ABC ＝30°，∴在
Rt△ ABC 中， AB ＝2 AC ，即 AB ＝2( x ＋1)，根据切线长定
理得 AB ＝ AD ＋ BD ＝ AE ＋ OB ，∴2( x ＋1)＝ x ＋ y ，化
简得 y ＝ x ＋2①，由勾股定理，得( x ＋1)2＋( y ＋1)2＝[2( x
＋1)]2，化简得3 x2＋6 x － y2－2 y ＋2＝0②，把①代入②，
得 x ＝ (负值不合题意，已舍去)，∴ AC ＝
＋1，从而求得 A (－1， ＋1).易知抛物
线 y ＝ ax2＋2 ax ＋1的顶点坐标为
(－1，1－ a )，∴ ＋1＝1－ a .∴ a ＝－ .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
三、解答题(共40分)
13. (15分)[2023江门二模]如图，点 A ， B ， C 在☉ O 上， BC
是☉ O 的直径，∠ ABC 的平分线 BD 与☉ O 交于点 D ，与
AC 交于点 M ，且 BM ＝ MD ，连接 OD ，交 AC 于点 N .
(1)证明： OD ⊥ AC ；
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(1)证明：连接 AO .
∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ ABD ＝∠ DBO .
∴∠ AOD ＝∠ DOC . ∴ ＝ .
又∵ OD 是☉ O 的半径，∴ OD ⊥ AC .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
13. (15分)[2023江门二模]如图，点 A ， B ， C 在☉ O 上， BC
是☉ O 的直径，∠ ABC 的平分线 BD 与☉ O 交于点 D ，与
AC 交于点 M ，且 BM ＝ MD ，连接 OD ，交 AC 于点 N .
(2)试猜想 AB 与 OD 之间的数量关系，并证明.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(2)解： OD ＝ AB . 证明如下：
由(1)知 OD ⊥ AC ，∴ AN ＝ NC .
∵ OB ＝ OC ，∴ ON 是△ ABC 的中位线.
∴ ON ＝ AB ， AB ∥ ON . ∴∠ ABM ＝∠ NDM .
又∵ BM ＝ MD ，∠ BMA ＝∠ DMN ，
∴△ ABM ≌△ NDM (ASA).∴ ND ＝ AB .
∴ OD ＝ ON ＋ ND ＝ AB .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
14. (25分)如图，在☉ O 中， CD 为☉ O 的直径，过点 C 作射
线 CE ，∠ AOC ＝120°，点 B 为弧 AC 的中点，连接
AB ， OB ， BC . 点 P 为弧 BC 上的一个动点(不与点 B ，
C 重合)，连接 PA ， PB ， PC ， PD .
(1)若∠ ECP ＝∠ PDC ，试判断射线 CE 与
☉ O 的位置关系，并说明理由；
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(1)解：射线 CE 与☉ O 相切.理由如下：
∵ CD 为☉ O 的直径，
∴∠ CPD ＝90°.
∴∠ PDC ＋∠ PCD ＝90°.
∵∠ ECP ＝∠ PDC ，
∴∠ ECP ＋∠ PCD ＝90°，
即∠ ECD ＝90°.
∴直径 CD ⊥ CE . ∴ CE 为☉ O 的切线.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
14. (25分)如图，在☉ O 中， CD 为☉ O 的直径，过点 C 作射
线 CE ，∠ AOC ＝120°，点 B 为弧 AC 的中点，连接
AB ， OB ， BC . 点 P 为弧 BC 上的一个动点(不与点 B ，
C 重合)，连接 PA ， PB ， PC ， PD .
(2)求证： PA ＝ PB ＋ PC .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(2)证明：如图，在 AP 上截取 AQ ＝ PC ，连接 BQ .
∵点 B 为弧 AC 的中点，∠ AOC ＝120°，
∴易知∠ AOB ＝∠ BOC ＝60°， AB ＝ BC .
又∵∠ BCP ＝∠ BAP ， AQ ＝ CP ，
∴△ BAQ ≌△ BCP (SAS).∴ BQ ＝ BP .
又∵∠ BPQ ＝ ∠ AOB ＝30°，
∴∠ BQP ＝∠ QPB ＝30°.
∴易得 PQ ＝ PB .
∵ AP ＝ PQ ＋ AQ ，∴ PA ＝ PB ＋ PC .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
[2023·安阳一模 新考向·知识情境化]如图①是两条高速公路互通立交俯瞰图，车辆从一条高速公路转到另一条高速公路，需要经过缓和曲线匝道进行过渡.如图②是一种缓和曲线过渡匝道的示意图.若把过渡匝道的缓和曲线看作是一个平面上的圆弧，汽车沿☉ O 的切线 PA 经过切点 A 驶入匝道，从☉ O 的切线 CQ 经过切点 C 驶出匝道.已知 PA ＝60 m，☉ O 的半径为80 m.
(1)若在点 P 处设置一高清广角摄像头对圆弧形过渡匝道进行监控，且高清摄像头可以有效监控200 m以内的物体，问此摄像头能否有效监控整个匝道？并说明理由.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解：(1)此摄像头能有效监控整个匝道.理由如下：
延长 PO ，交☉ O 于点 D ，连接 OA ，
则 PD 的长为点 P 到圆弧形过渡匝道的最大距离， OD ＝
OA ＝80 m.
∵ PA 是☉ O 的切线，∴ OA ⊥ PA .
∴∠ OAP ＝90°.
在Rt△ OPA 中， PA ＝60 m，
∴由勾股定理，得 OP ＝ ＝100 m.
∴ PD ＝ OP ＋ OD ＝100＋80＝180(m).
∵200 m＞180 m，∴此摄像头能有效监控整个匝道.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
[2023·安阳一模 新考向·知识情境化]如图①是两条高速公路互通立交俯瞰图，车辆从一条高速公路转到另一条高速公路，需要经过缓和曲线匝道进行过渡.如图②是一种缓和曲线过渡匝道的示意图.若把过渡匝道的缓和曲线看作是一个平面上的圆弧，汽车沿☉ O 的切线 PA 经过切点 A 驶入匝道，从☉ O 的切线 CQ 经过切点 C 驶出匝道.已知 PA ＝60 m，☉ O 的半径为80 m.
(2)在图②中，若连接 AC ，交 PO 于点 B ，且 PA ＝ PB ，请判断 QC 与 PO 的位置关系，并说明理由.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解：(2) QC ∥ PO . 理由如下：
连接 OC .
∵ OC ＝ OA ，∴∠ OCA ＝∠ OAC .
∵ CQ 是☉ O 的切线，∴ OC ⊥ CQ .
∴∠ OCQ ＝90°＝∠ OAP .
∴∠ ACQ ＝∠ CAP .
∵ PA ＝ PB ，∴∠ ABP ＝∠ CAP .
∴∠ ACQ ＝∠ ABP .
∴ QC ∥ PO .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1(共43张PPT)
期末复习练案
第一部分 期末单元复习
复习3 旋转
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
03
素养发展
1. 旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一
个角度，叫做图形的 ，点 O 叫做 ，
转动的角叫做 .
旋转
旋转中心
旋转角
2
3
4
1
2. 旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离 .(2)对
应点与旋转中心所连线段的夹角等于 .(3)旋转
前、后的图形 .
相等
旋转角
全等
2
3
4
1
3. 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 ，如果
它能够与 重合，那么就说这两个图形关于
这个点对称或中心对称.
180°
另一个图形
2
3
4
1
4. 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋
转 ，如果旋转后的图形能够与
重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
180°
原来的图形
2
3
4
1
一、选择题(每小题5分，共30分)
1. [2023日照]窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老
的传统民间艺术之一.下列窗花作品既是轴对称图形又是中
心对称图形的是( A )
A
B
C
D
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2. [2024太原期中]如图，将△ ABC 绕点 A 顺时针旋转60°得到
△ AED ，连接 BE . 若 AB ＝4， AC ＝3， BC ＝2，则 BE
的长为( B )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
B
点拨：由题意得∠ BAE ＝60°， BA ＝ AE ，
∴△ ABE 是等边三角形，∴ BE ＝ AB ＝4.故选B.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
3. 如图，该图案是由一个菱形通过多次旋转得到的，它每次
旋转的角度是( C )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
C
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
4. 若点 P ( m ，－4)与点 Q (1， n )关于原点对称，则 mn 的值
为( D )
A. －4 B. 4
C. －1 D. 1
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
5. 如图，将△ ABC 绕点 C (0，1)旋转180°得到△A'B'C，设
点 A 的坐标为( a ， b )，则点A'的坐标为( D )
A. (－ a ，－ b ) B. (－ a ，－ b －1)
C. (－ a ，－ b ＋1) D. (－ a ，－ b ＋2)
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
点拨：根据题意知，点 A ， A '关于点 C 对称，设点 A '的
坐标是( x ， y )，则 ＝0， ＝1，解得 x ＝－ a ， y
＝－ b ＋2.∴点 A '的坐标是(－ a ，－ b ＋2).故选D.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
6. 如图，将△ ABC 绕点 A 顺时针旋转60°得到△ ADE ，点 E
恰好落在 BC 边上，连接 BD ，若 BD ⊥ BC ， AC ＝2， BC
＝4，则△ BDE 的面积是( A )
A. 2 B. 4
C. 3 D. 8
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
二、填空题(每小题5分，共25分)
7. [2024邯郸期中]如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝108°，将
△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到△AB'C'.若点B'恰好落
在 BC 边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为 .
24°
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
8. [2023·枣庄 新考向·身边的数学]银杏是著名的活化石植
物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如图是一片银杏叶标本，
叶片上两点 B ， C 的坐标分别为(－3，2)，(4，3)，将银杏
叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点 A 对应点的坐标
为 .
(－3，1)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
9. [2023菏泽]如图，点 E 是正方形 ABCD 内的一点，将△ ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转90°，得到△ CBF ，连接 EF . 若
∠ ABE ＝55°，则∠ EGC ＝ .
80°
点思路：根据正方形的性质得∠ ABC ＝90°，从而可得∠ EBC ＝35°，然后根据旋转的性质，可得 BE ＝ BF ，∠ EBF ＝90°，从而可得∠ BEF ＝∠ BFE ＝45°，最后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
10. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， AC ＝
4， BD ＝16，△ BOC 与△B'O'C关于点 C 成中心对称，
连接AB'，则AB'的长为 .
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
点思路：先根据菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， AC ＝4， BD ＝16，得 OC ＝ OA ＝ AC ＝2， OB ＝ BD ＝8， AC ⊥ BD ，所以∠ BOC ＝90°，再根据△ BOC 与△B'O'C关于点 C 成中心对称，得∠CO'B'＝∠ BOC ＝90°，O'C＝ OC ＝2，O'B'＝ OB ＝8，进而求得AO'＝6，最后在Rt△AO'B'中，根据勾股定理即可求出
AB'的长.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
11. 【新视角 规律探究题】如图，在△ OAB 中，顶点 O (0，
0)， A (－3，4)， B (3，4)，将△ OAB 与正方形 ABCD 组
成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋
转结束时，点 D 的坐标为 .
(3，－10)
点思路：本题考查旋转中的坐标规律探究，根据题意可知每旋转4次为一个循环，进而得到第70次旋转的位置与第2次旋转后的位置的点的坐标相同，即可得出结果.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
三、解答题(共45分)
12. (12分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位
长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，
△ ABC 的顶点都在格点上.
(1)将△ ABC 向左平移6个单位长度得到△ A1 B1 C1，请画出△ A1 B1 C1，并写出点 A1的坐标；
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解：(1)如图，△ A1 B1 C1即为所求，点 A1的坐标为(－
5，－4).
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
12. (12分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位
长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，
△ ABC 的顶点都在格点上.
(2)画出△ A1 B1 C1关于点 O 成中心对称的
图形△ A2 B2 C2，并写出点 A2的坐标；
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解：(2)如图，△ A2 B2 C2即为所求，点 A2的坐标为(5，4).
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(3)若将△ ABC 绕某一点旋转可得到
△ A2 B2 C2，则旋转中心的坐标
为 .
(3，0)
12. (12分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位
长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，
△ ABC 的顶点都在格点上.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
13. (15分)如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ABC ＝
∠ ADC ＝45°，将△ BCD 绕点 C 顺时针旋转一定角度
后，点 B 的对应点恰好与点 A 重合，得到△ ACE ， BD
与 AE ， AC 分别相交于点 F ， G .
(1)求证： AE ⊥ BD ；
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(1)证明：由旋转的性质得 AC ＝ BC ，
∠ CAE ＝∠ CBD . ∴∠ BAC ＝∠ ABC .
∵∠ ABC ＝45°，∴∠ BAC ＝45°.
∴∠ BCA ＝90°.
∵∠ AGF ＝∠ BGC ，∠ CAE ＝∠ CBD ，
∴∠ AFG ＝∠ GCB ＝90°，即 AE ⊥ BD .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
13. (15分)如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ABC ＝
∠ ADC ＝45°，将△ BCD 绕点 C 顺时针旋转一定角度
后，点 B 的对应点恰好与点 A 重合，得到△ ACE ， BD
与 AE ， AC 分别相交于点 F ， G .
(2)若 AD ＝ BC ＝2，试求 BD2的值.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(2)解：连接 DE .
∵ AD ∥ BC ，∠ BCA ＝90°，
∴∠ CAD ＝∠ BCA ＝90°.
∵∠ ADC ＝45°，
∴∠ ACD ＝45°.
∴ AC ＝ AD ＝2.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
∴ CD ＝2 .
由旋转的性质得 CE ＝ CD ，
∠ BCD ＝∠ ACE ，
∴ CE ＝ CD ＝2 ，∠ DCE ＝∠ ACB ＝90°.
∴在Rt△ DCE 中， DE ＝4，∠ CDE ＝45°.
∴∠ ADE ＝∠ ADC ＋∠ CDE ＝90°.
∴在Rt△ ADE 中，
AE2＝ AD2＋ DE2＝22＋42＝20.
由旋转的性质得 BD ＝ AE ，
∴ BD2＝ AE2＝20.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
14. (18分)如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC
＝3 ，点 D 是斜边 AB 上一动点(点 D 与点 A ， B 不重
合)，连接 CD ，将 CD 绕点 C 顺时针旋转90°得到 CE ，连
接 AE ， DE .
(1)求△ ADE 的周长的最小值；
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解：(1)∵在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC
＝3 ，∴ AB ＝ AC ＝6.
由题意得 CE ＝ CD ，∠ ECD ＝∠ ACB ＝90°，
∴∠ ACE ＝∠ BCD .
在△ ACE 与△ BCD 中，
∴△ ACE ≌△ BCD (SAS).∴ AE ＝ BD .
∴△ ADE 的周长＝ AE ＋ AD ＋ DE ＝ BD ＋ AD ＋ DE
＝ AB ＋ DE .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
∴当 DE 最小时，△ ADE 的周长最小.
如图，过点 C 作 CF ⊥ AB 于点 F . 易知当点 D 与点 F
重合时， CD 最短，此时 CD ＝ CF ＝ AB ＝3.
∴在Rt△ ECD 中， DE ＝3 .
∴△ ADE 的周长的最小值是6＋3 .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
14. (18分)如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC
＝3 ，点 D 是斜边 AB 上一动点(点 D 与点 A ， B 不重
合)，连接 CD ，将 CD 绕点 C 顺时针旋转90°得到 CE ，连
接 AE ， DE .
(2)若 CD ＝4，求 AE 的长度.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解：(2)如图，当点 D 在 CF 的右侧时，易得 BF ＝ CF
＝3，∴ DF ＝ ＝ .
∴ AE ＝ BD ＝ BF － DF ＝3－ .当点 D 在 CF 的左侧
时，同理可得 AE ＝ BD ＝3＋ .
综上所述， AE 的长度为3－ 或3＋ .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
【新考法 阅读类比法】阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图①，等边三角形 ABC 内有一点 P ，若点 P 到顶点 A ，
B ， C 的距离分别为3，4，5，求∠ APB 的度数.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
为了解决本题，我们可以将△ ABP 绕顶点 A 旋转到
△ACP'处，此时△ACP'≌△ ABP ，这样就可以利用旋转
变换，将三条线段 PA ， PB ， PC 转化到一个三角形中，
从而求出∠ APB ＝ ；
150°
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
点拨：连接PP'.
∵△ACP'≌△ ABP ，
∴ AP '＝ AP ＝3， CP '＝ BP ＝4，∠ AP ' C ＝∠ APB .
由题意易知旋转角∠ PA P'＝60°，
∴△ AP P'为等边三角形.
∴ P P'＝ AP ＝3，∠ A P'P＝60°.
易证△ P P'C为直角三角形，∴∠ P P'C＝90°.
∴∠ APB ＝∠AP'C＝∠ A P'P＋∠ P P'C＝60°＋90°＝
150°.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(2)基本运用
请你利用第(1)题的解题方法，解答下面问题：
如图②，在△ ABC 中，∠ CAB ＝90°， AB ＝ AC ， E ， F
为 BC 上的点且∠ EAF ＝45°，求证： EF2＝ BE2＋ FC2；
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(2)证明：如图①，把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转90°得到
△ ACE '，连接 E ' F .
由旋转的性质，得AE'＝ AE ，CE'＝ BE ，∠ACE'＝
∠ B ，∠EAE'＝90°.
又∵∠ EAF ＝45°，
∴∠E'AF＝∠EAE'－∠ EAF ＝90°－45°＝45°.
∴∠ EAF ＝∠ E ' AF .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
在△ EAF 和△E'AF中，
∴△ EAF ≌△ E ' AF (SAS).∴ E ' F ＝ EF .
∵∠ CAB ＝90°， AB ＝ AC ，
∴∠ B ＝∠ ACB ＝45°.
∴∠ACE'＝45°，∴∠E'CF＝45°＋45°＝90°.
∴由勾股定理，得E'F2＝CE'2＋ FC2.
∴ EF2＝ BE2＋ FC2.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(3)能力提升
如图③，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝1，∠ ABC ＝30°，点 O 为Rt△ ABC 内一点，连接 AO ， BO ， CO ，且∠ AOC ＝∠ COB ＝∠ BOA ＝120°，求 OA ＋ OB ＋ OC 的值.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(3)解：如图②，将△ AOB 绕点 B 顺时针旋转60°至
△A'O'B处，连接OO'.
∵在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝1，∠ ABC ＝30°，
∴ AB ＝2.∴ BC ＝ ＝ .
∵△ AOB 绕点 B 顺时针旋转60°得到△A'O'B，
∴∠ABA'＝60°.
∴∠A'BC＝∠ ABC ＋∠ABA'＝30°＋60°＝90°.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
由旋转的性质，得A'B＝ AB ＝2， BO ＝BO'，A'O'＝
AO ，∠OBO'＝60°，∠BO'A'＝∠ BOA ＝120°.
∴△BOO'是等边三角形.
∴ BO ＝OO'，∠BOO'＝∠BO'O＝60°.
∴∠ COB ＋∠BOO'＝∠BO'A'＋∠BO'O＝
120°＋60°＝180°.∴ C ， O ，O'，A'四点共线.
∴在Rt△A'BC中，A'C＝ ＝ ＝
，∴ OA ＋ OB ＋ OC ＝A'O'＋OO'＋ OC ＝A'C＝ .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1(共41张PPT)
期末复习练案
第一部分 期末单元复习
复习1 一元二次方程
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
03
素养发展
1. 一元二次方程的定义：等号两边都是 ，只
含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方
程，叫做一元二次方程.
整式
一
2
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2. 一元二次方程的一般形式是 ( a ≠0)，
其中 是二次项， 是二次项系数， 是
一次项， 是一次项系数， 是常数项.
ax2＋ bx ＋ c ＝0
ax2
a
bx
b
c
2
3
4
5
6
7
8
9
1
3. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的 的
值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做
一元二次方程的 .
未知数
根
2
3
4
5
6
7
8
9
1
4. 解一元二次方程的基本策略是把一元二次方程“ 降次”，
转化为两个 方程.
一元一次
2
3
4
5
6
7
8
9
1
5. 通过配成 的形式来解一元二次方程的方
法，叫做配方法.配方的目的是使方程能用
来解.
完全平方
直接开平
方
2
3
4
5
6
7
8
9
1
6. 一般地，式子 叫做一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c
＝0根的判别式，通常用希腊字母“ ”表示它，
即 .
(1)当Δ 0时，方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)有两个不等
的实数根；
b2－4 ac
Δ
Δ＝ b2－4 ac
＞
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(2)当Δ 0时，方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)有两个相等
的实数根；
(3)当Δ 0时，方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)无实数根.
＝
＜
2
3
4
5
6
7
8
9
1
7. 当Δ 0时，方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)的实数根可写
为 x ＝ 的形式.这个式子叫做一元二次方程
ax2＋ bx ＋ c ＝0的求根公式.解一个具体的一元二次方程
时，把各系数直接代入 ，可以避免配方过程
而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
≥
求根公式
2
3
4
5
6
7
8
9
1
8. 先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 的形
式，再使这两个一次式分别等于 ，从而实现降次.这
种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
0
0
2
3
4
5
6
7
8
9
1
9. 一般地，若一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)的两个根
为 x1， x2，则 x1＋ x2＝ － ， x1 x2＝ .
－
2
3
4
5
6
7
8
9
1
一、选择题(每小题5分，共25分)
1. [2023湖南师大附中期末]一元二次方程 x2－4 x ＝5的二次
项系数、一次项系数和常数项分别是( D )
A. 1，4，5 B. 0，－4，－5
C. 1，－4，5 D. 1，－4，－5
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2. [2024宣城期末]用配方法解一元二次方程 x2－6 x ＋8＝0，
配方后得到的方程是( D )
A. ( x ＋6)2＝28 B. ( x －6)2＝28
C. ( x ＋3)2＝1 D. ( x －3)2＝1
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
3. [2023佛山三模]若矩形的长和宽是关于 x 的方程2 x2－8 x ＋
m ＝0的两根，则矩形的周长为( A )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 6
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
4. 关于 x 的一元二次方程 ax2＋ ax － a ＝0的根的情况是
( A )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有一个实数根
C. 没有实数根
D. 有两个实数根，可能相等也可能不相等
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
5. 【新考向 数学文化】《九章算术》中有一题：“今有二人
同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东
北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人
同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一
直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一
段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数
是( C )
C
A. 36 B. 26
C. 24 D. 10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
点拨：设甲、乙两人相遇的时间为 t ，则乙走了4 t 步，甲
斜向北偏东方向走了(6 t －10)步.
根据题意得102＋(4 t )2＝(6 t －10)2，
整理得20 t2－120 t ＝0，
解得 t1＝6， t2＝0(不合题意，舍去)，∴4 t ＝4×6＝24.
故乙走的步数是24.故选C.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
二、填空题(每小题5分，共25分)
6. 若一元二次方程 x2＋ mx －3＝0的一个根为2，则另一个根
为 .
－
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
7. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程 x2－6 x
＋8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 .
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
8. 若关于 x 的一元二次方程( k －2) x2－2 kx ＋
k ＝6有实数根，则 k 的最小整数值为 .
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
9. 【新考法 降次法】已知方程 x2－2 x －2＝0的两根分别为
a ， b ，则2 a2－ b2＋6 b 的值为 .
点拨：∵方程 x2－2 x －2＝0的两根分别为 a ， b ，
∴ a2－2 a －2＝0， b2－2 b －2＝0， a ＋ b ＝2.
∴ a2＝2 a ＋2， b2＝2 b ＋2.
∴2 a2－ b2＋6 b ＝4 a ＋4－2 b －2＋6 b ＝4 a ＋4 b ＋2＝4( a
＋ b )＋2＝4×2＋2＝10.
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
10. [2024绍兴月考]有2人患了流感，经过两轮传染后共
有50人患了流感，则每轮传染中平均每人传染的人数
是 人.
4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
三、解答题(共50分)
11. (15分)解下列方程：
(1)2 x2－4 x －3＝0；
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解：移项，得2 x2－4 x ＝3.
二次项系数化为1，得 x2－2 x ＝ .
配方，得 x2－2 x ＋1＝ ＋1，
即( x －1)2＝ .
直接开平方，得 x －1＝± .
∴ x1＝1＋ ， x2＝1－ .
(2)3 x2＝4 x ＋1；
解：原方程可化为3 x2－4 x －1＝0.
∵Δ＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，
∴ x ＝ ＝ ，即 x1＝ ， x2＝ .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(3)(2 y ＋3)2－2 y －3＝0.
解：因式分解，得(2 y ＋3)(2 y ＋3－1)＝0.
∴2 y ＋3＝0或2 y ＋2＝0.
∴ y1＝－ ， y2＝－1.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
12. (10分)[2023重庆南开中学模拟]要在一块长52 m、宽48 m
的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路.如图分
别是小亮和小颖的设计方案.
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度；
解：(1)根据小亮的设计方案列方程得(52－ x )·(48－ x )
＝2 300，
解得 x ＝2或 x ＝98(舍去).
答：小亮设计方案中甬路的宽度为2 m.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
12. (10分)[2023重庆南开中学模拟]要在一块长52 m、宽48 m
的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路.如图分
别是小亮和小颖的设计方案.
(2)求小颖设计方案中四块
绿地的总面积.(友情提示：
小颖设计方案中的 x 与小
亮设计方案中的 x 的取值相同)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解：(2)过点 A 作 AI ⊥ CD ，垂足为点 I .
∵ AB ∥ CD ，∠1＝60°，∴∠ ADI ＝60°.
∴∠ IAD ＝30°.
∵ BC ∥ AD ， AB ∥ CD ，
∴四边形 ADCB 为平行四边形.
∴ BC ＝ AD .
由(1)得 x ＝2，∴ BC ＝ HE ＝2 m＝ AD .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
在Rt△ ADI 中， AD ＝2 m，∠ IAD ＝30°，
∴ ID ＝1 m.
∴ AI ＝ AD2－ ID2＝ ＝ m.
∴小颖设计方案中四块绿地
的总面积为52×48－52×2
－48×2＋( )2＝2 299(m2).
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
13. (10分)[2023南充]已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2 m －
1) x －3 m2＋ m ＝0.
(1)求证：无论 m 为何值，方程总有实数根；
(1)证明：∵Δ＝[－(2 m －1)]2－4×1×(－3 m2＋ m )＝4
m2－4 m ＋1＋12 m2－4 m ＝16 m2－8 m ＋1＝(4 m －
1)2≥0，∴方程总有实数根.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
13. (10分)[2023南充]已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2 m －
1) x －3 m2＋ m ＝0.
(2)若 x1， x2是方程的两个实数根，且 ＋ ＝－ ，求
m 的值.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(2)解：由题意知 x1＋ x2＝2 m －1， x1 x2＝－3 m2＋ m .
∵ ＋ ＝ ＝ －2＝－ ，
∴ －2＝－ ，
解得 m1＝1， m2＝ .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
14. (15分)某种商品的标价为200元/件，由于换季的影响，销
量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两
次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率.
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为 x ，
根据题意，得200(1－ x )2＝128，
解得 x1＝0.2＝20％， x2＝1.8(不合题意，舍去).
答：该种商品每次降价的百分率为20％.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
14. (15分)某种商品的标价为200元/件，由于换季的影响，销
量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两
次降价的百分率相同.
(2)该种商品进价为80元/件，以128元/件售出，平均每天
能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在
每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，
则每天可多售出5件，如果每天盈利1 475元，每件应
降价多少元？
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解：(2)设每件应降价 a 元，根据题意，得
(128－80－ a )·(20＋5 a )－100＝1 475，解得 a1＝41，
a2＝3.
∵每件降价幅度不超过10元，
∴ a ＝41不合题意，舍去. ∴ a ＝3.
答：每件应降价3元.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
[2023·武汉 新视角·动点探究题]如图，在矩形 ABCD 中，
AB ＝16 cm， BC ＝6 cm，动点 P ， Q 分别以3 cm/s，2 cm/s
的速度从点 A ， C 同时出发，沿规定路线移动.
(1)若点 P 从点 A 移动到点 B 停止，点 Q 随点 P 的停
止而停止移动，问经过多长时间 P ， Q 两点之间
的距离是10 cm？
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解：(1)过点 P 作 PE ⊥ CD 于点 E ，
设 x s后，点 P 和点 Q 的距离是10 cm.
根据题意得(16－2 x －3 x )2＋62＝102，解得 x1＝
， x2＝ .
∴经过 s或 s， P ， Q 两点之间的距离是10 cm.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
[2023·武汉 新视角·动点探究题]如图，在矩形 ABCD 中，
AB ＝16 cm， BC ＝6 cm，动点 P ， Q 分别以3 cm/s，2 cm/s
的速度从点 A ， C 同时出发，沿规定路线移动.
(2)若点 P 沿着 AB → BC → CD 移动，当点 Q 从点 C
移动到点 D 停止时，点 P 随点 Q 的停止而停止移
动，试探求经过多长时间△ PBQ 的面积为12 cm2？
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解：(2)设经过 y s后△ PBQ 的面积为12 cm2.
①当0≤ y ≤ 时， PB ＝16－3 y ，
∵ PB · BC ＝12，∴ ×(16－3 y )×6＝12，解得
y ＝4；
②当 ＜ y ≤ 时， BP ＝3 y －16， QC ＝2 y ，
则 BP · CQ ＝ ×(3 y －16)×2 y ＝12，
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
解得 y1＝6， y2＝－ (舍去)；
③当 ＜ y ≤8时， CP ＝3 y －22， CQ ＝2 y ，
∴ QP ＝ CQ － PC ＝22－ y .
∴ × QP · CB ＝ (22－ y )×6＝12，
解得 y ＝18(舍去).
综上所述，经过4 s或6 s，△ PBQ 的面积为12 cm2.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1(共42张PPT)
期末复习练案
第一部分 期末单元复习
复习5 概率初步
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
03
素养发展
1. 在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称
为 事件；有些事件必然不会发生，这样的事件称
为 事件；有些事件可能发生也可能不会发生，
这样的事件称为 事件.
必然
不可能
随机
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2. 必然事件与不可能事件统称 事件.
确定性
2
3
4
5
6
7
8
9
1
3. 一般地，对于一个随机事件 A ，我们把刻画其发生可能性
大小的数值，称为随机事件 A 发生的 ，记为 P
( A ).
概率
A
2
3
4
5
6
7
8
9
1
4. (1)必然事件 A 的概率 P ( A )＝ ；
(2)不可能事件 A 的概率 P ( A )＝ ；
(3)随机事件 A 的概率 P ( A )满足 .
1
0
0＜ P ( A )＜1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
5. 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它
们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那
么事件 A 发生的概率 P ( A )＝ .
2
3
4
5
6
7
8
9
1
6. 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种
结果出现的可能性大小 ，我们可以通过
法列举所有可能的结果，进而求出随机事件发生的概率.
相等
列举
2
3
4
5
6
7
8
9
1
7. 当一个事件要涉及的因素有两个(我们常称为两步操作试
验)，我们常选用 法列举所有可能的结果，再利
用公式求概率.
列表
2
3
4
5
6
7
8
9
1
8. 当一个事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，通
常选用 法求概率.
画树状图
2
3
4
5
6
7
8
9
1
9. 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 稳
定在某个常数 p 附近，那么事件 A 发生的概率 P ( A )
＝ ， ≤ P ( A )≤ .
p
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
一、选择题(每小题5分，共35分)
1. 在七年级(1)班与七年级(2)班举行拔河比赛前，根据双方的
实力，环环预测：“七年级(1)班获胜的机会是80％”，那
么下面四个说法正确的是( D )
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
A. 七年级(2)班肯定会输掉这场比赛
B. 七年级(1)班肯定会赢得这场比赛
C. 若比赛10次，则七年级(1)班会赢得8次
D. 七年级(2)班也有可能会赢得这场比赛
2. [2023青岛期末]下列说法正确的有( A )
(1)任意取两个整数，它们的和是整数是必然事件；
(2)一副去掉大小王的普通扑克牌(52张，四种花色)洗匀
后，从中任抽一张牌，花色是梅花是随机事件；
(3)不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都
相同，从中任取一球是白球的可能性大；
A
(4)任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6是必
然事件.
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
3. [2023·丽水 新考向·知识情境化]某校准备组织红色研学活
动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地
中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是
( B )
A. B. C. D.
B
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
4. 在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它
们除颜色外，其余完全相同.在不倒出球的情况下，要估计
袋中各种颜色球的个数.同学们通过大量的摸球试验后，发
现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20％，40％和
40％.由此，推测该口袋中黄色球的个数是( D )
A. 15个 B. 20个
C. 21个 D. 24个
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
5. 用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：
分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝
色即可配成紫色，则可配成紫色的概率是( C )
A. B. C. D. 1
C
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
6. 如果从1，2，3，4中随机选取一个数，记为 n ，再从这四
个数中随机选取一个数，记为 m ，则关于 y 的一元二次方
程 ny2＋4 y ＋ m ＝0没有实数根的概率为( A )
A. B. C. D.
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
点拨：画树状图如下.
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中满足Δ＝16
－4 mn ＜0，即 mn ＞4的结果有(2，3)，(2，4)，(3，
2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)这8种，则
关于 y 的一元二次方程 ny2＋4 y ＋ m ＝0没有实数根的概
率为 ＝ .故选A.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
7. 三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一
个出场，乙第二个出场，丙第三个出场.现由于某种原因，
要求这三名运动员用抽签的方式重新确定出场顺序，则抽
签后每名运动员的出场顺序都发生变化的概率为( B )
A. B. C. D.
B
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
由树状图可知，共有6种等可能的结果，抽签后每名运动
员的出场顺序都发生变化的情况有2种，∴抽签后每名运
动员的出场顺序都发生变化的概率为 .故选B.
点拨：画树状图如下.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
二、填空题(每小题5分，共20分)
8. [2024宿迁期末]如图，等边三角形 ABC 是由9个大小相等
的等边三角形构成，随机地往△ ABC 内投一粒米，落在阴
影区域的概率为 .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
9. 如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，从入口处进，先
经过凉亭A(已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留)，
则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为 .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
点拨：根据题意画树状图如下.
由树状图可知，共有4种等可能的情况，其中最后一次参观
的凉亭为凉亭D的情况有2种，则最后一次参观的凉亭为凉亭
D的概率为 ＝ .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
10. 盒中有 x 枚黑棋和 y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.
从盒中随机取出一枚棋子，如果是黑棋的概率是 ，则 y
和 x 满足的关系式为 .
y ＝ x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
11. 如图，在半径为5的☉ O 中，圆心 O 与平面直角坐标系的
原点重合.有四张不透明的卡片，分别标有数字－4，0，
3，5，它们除了正面上的数字不同外，其他均相同，将
这四张卡片背面向上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取
两张卡片，将上面的数字分别记为 m ， n ，
则点 P ( m ， n )在☉ O 内部的概率为 .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
点拨：列表如下.
n m －4 0 3 5
－4 (－4，0) (－4，3) (－4，5)
0 (0，－4) (0，3) (0，5)
3 (3，－4) (3，0) (3，5)
n
－4
0
3
5
－4
(－4，0)
(－4，3)
(－4，5)
0
(0，－4)
(0，3)
(0，5)
3
(3，－4)
(3，0)
(3，5)
m
5
(5，－4)
(5，0)
(5，3)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
由表可知，点 P ( m ， n )的坐标有12种等可能得结果，其中
满足 ＜5的点为(－4，0)，(0，－4)，(0，3)，(3，
0)，共4种，∴点 P ( m ， n )在☉ O 内部的概率为 ＝ .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
三、解答题(共45分)
12. (13分)为丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，
组建了四个社团供学生选择： A (合唱社团)， B (硬笔书
法社团)， C (街舞社团)， D (面点社团).学生从中任意选
择两个社团参加活动.
(1)小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社
团，请列举出所有可能的结果；
解：(1)所有可能的结果共有6种，分别为 AB ， AC ，
AD ， BC ， BD ， CD .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
12. (13分)为丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择： A (合唱社团)， B (硬笔书法社团)， C (街舞社团)， D (面点社团).学生从中任意选择两个社团参加活动.
(2)小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团 C (街舞社
团)，第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或画
图法求他俩选到相同社团的概率.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小宇和小
江选到相同社团的结果有3种，∴他俩选到相同社团的
概率为 ＝ .
解：(2)画树状图如下.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
13. (15分)[2023·青岛二模 新考向·数学文化]圆周率π是无限
不循环小数.历史上，中国数学家祖冲之、刘徽，外国数
学家韦达、欧拉等都对π有过深入的研究.目前，超级计算
机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现，随
着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋
于稳定，接近相同.
(1)从π的小数部分随机取出一个数字，该数字是偶数的概
率为 ；
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(2)某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中
随机选用2幅.请用列表或画树状图的方法，求选中的
画像正好是一中一外两位数学家的概率.
13. (15分)[2023·青岛二模 新考向·数学文化]圆周率π是无限
不循环小数.历史上，中国数学家祖冲之、刘徽，外国数
学家韦达、欧拉等都对π有过深入的研究.目前，超级计算
机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现，随
着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋
于稳定，接近相同.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
甲 乙 丙 丁
甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲)
乙 (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙)
丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙)
丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁)
解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记
作甲、乙、丙、丁，列表如下.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
由表可知，共有12种等可能的结果，其中画像正好是
一中一外两位数学家的结果有8种，∴其中画像正好是
一中一外两位数学家的概率为 ＝ .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
14. (17分)[2023昆明模拟]如图，有四张反面完全相同的纸牌
A ， B ， C ， D ，其正面分别画有四个不同的几何图形，
将四张纸牌洗匀后，正面朝下随机放在桌面上.
(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心
对称图形的概率是 .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张纸牌的正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜.这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图法)说明理由.若不公平，请你帮忙修改游戏规则，使游戏公平.
14. (17分)[2023昆明模拟]如图，有四张反面完全相同的纸牌 A ， B ， C ， D ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀后，正面朝下随机放在桌面上.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
A B C D
A ( A ， B ) ( A ， C ) ( A ， D )
B ( B ， A ) ( B ， C ) ( B ， D )
C ( C ， A ) ( C ， B ) ( C ， D )
D ( D ， A ) ( D ， B ) ( D ， C )
解：游戏不公平.理由如下：
列表如下.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
由表可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张纸牌的正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即( A ， C )，( C ， A )，∴ P (摸出的两张纸牌的正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)＝ ＝ .∴小亮获胜的概率为 .∴小明获胜的概率为 .∴游戏不公平.
修改规则：若摸出的两张纸牌的正面图形都是中心对称图形(或若摸出的两张纸牌的正面图形都是轴对称图形)，则小明获胜，否则小亮获胜.(规则不唯一)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
1. 如图，☉ O 为菱形 ABCD 的内切圆，∠ A ＝60°，若随机在
菱形及其内部投针，则针尖扎在圆形区域的概率
为 .
2
1
点拨：设圆与 AB 边的切点为 E ，连接 OE ， OA ， OB ，则
OE ⊥ AB ， OA ⊥ OB . ∵∠ BAD ＝60°，∴∠ OAE ＝30°.
∴∠ ABO ＝60°.∴∠ BOE ＝30°.
设☉ O 的半径 OE ＝ r ，
则 OA ＝2 OE ＝2 r ，内切圆区域的面积为π r2，由勾股定理
可得 OB ＝ r ，∴菱形的面积为4× ×2 r × r ＝ r2.
∴针尖扎在圆形区域的概率为 ＝ .
2
1
2. 如图是一个竖直放置的钉板.其中，黑色圆面表示钉板上的
钉子， A1， B1， B2，…， D3， D4分别表示相邻两颗钉子
之间的空隙，这些空隙大小均匀相等，从入口 A1处投放一
个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程
中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相
邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入
下面的某个槽内，则圆球落入③号槽内的概
率是 .
2
1
点拨：画树状图如下.
由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中圆球落入③号
槽内的结果有( A1， B1， C2， D3)，( A1， B2， C2， D3)，
( A1， B2， C3， D3)，共3种，∴圆球落入③号槽内的概率是 .
2
1(共46张PPT)
期末复习练案
第一部分 期末单元复习
复习2 二次函数
目 录
CONTENTS
01
考点梳理
02
达标训练
03
素养发展
1. 二次函数的定义：一般地，形如 y ＝
( a ， b ， c 为常数， a ≠0)的函数叫做二次函数，其中
x 是 ， a ， b ， c 分别是函数解析式的二次项系
数、一次项系数和 .
ax2＋ bx ＋
c
自变量
常数项
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2. 二次函数 y ＝ ax2的图象和性质
a ＞0 a ＜0
开口 方向 向上
大小 ｜ a ｜越大， 顶点 原点 对称轴 或直线 x ＝0 向下
开口越小
y 轴
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
a ＞0 a ＜0
增减
性 x ＜0 y 随 x 增大而 y 随 x 增大而
x ＞0 y 随 x 增大而 y 随 x 增大而
减小
增
大
增大
减
小
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3. 抛物线 y ＝ ax2＋ k 与 y ＝ ax2开口方向 ，形状
，只是位置不同.它可以由抛物线 y ＝ ax2上下平移得
到，顶点坐标是 ，对称轴是 .
相同
相
同
(0， k )
y 轴
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
4. 抛物线 y ＝ a ( x － h )2与抛物线 y ＝ ax2的形状相同，只
是 不同；它的对称轴是直线 ，顶点坐
标是 .抛物线 y ＝ a ( x － h )2可以看成由抛物线 y
＝ ax2沿 x 轴左右平移得到，当 h ＞0时，向 平移
｜ h ｜个单位长度；当 h ＜0时，向 平移｜ h ｜个单位长度.
位置
x ＝ h
( h ，0)
右
左
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
5. 一般地，抛物线 y ＝ a ( x － h )2＋ k 与 y ＝ ax2形状
，位置 .抛物线 y ＝ a ( x － h )2＋ k 可以由抛物
线 y ＝ ax2上下左右平移得到，平移的方向、距离要根
据 的值来决定.
相
同
不同
h ， k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
6. 抛物线 y ＝ a ( x － h )2＋ k 有如下特点：(1)顶点坐标
是 ，对称轴是 ；(2)当 a ＞0
时，开口向 ，顶点是最 点；当 a ＜0时，开口
向 ，顶点是最 点.
( h ， k )
直线 x ＝ h
上
低
下
高
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
7. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)通过配方可以化为 y ＝ a
＋ 的形式，它的图象的对称轴是直线
＝－ ，顶点坐标是 .
x
＝－
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
8. 求二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴的交点的横坐
标，就是求一元二次方程 的两个根；
一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( b2－4 ac ≥0)的根就是二次
函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴交点的 坐标.
ax2＋ bx ＋ c ＝0
横
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
9. 抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 与 x 轴的交点个数与一元二次方程
ax2＋ bx ＋ c ＝0的根的判别式的关系：当 b2－4 ac ＜0时，
抛物线与 x 轴 交点；当 b2－4 ac ＝0时，抛物线与
x 轴有 个交点；当 b2－4 ac ＞0时，抛物线与 x 轴
有 个交点.
没有
一
两
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
10. 二次函数的应用——最值问题：建立二次函数模型 y ＝
ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)，再配方成 y ＝ a ( x － h )2＋ k 的形
式，当 x ＝ 时， y 有最大(小)值 .
h
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
一、选择题(每小题6分，共30分)
1. 若 y ＝(1＋ m ) 是二次函数，且图象的开口向下，则
m 的值为( B )
A. ±3 B. －3
C. ＋3 D. 0
B
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2. [2023昆明期中]在平面直角坐标系中，将二次函数 y ＝ x2
－2的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位
长度，所得函数的解析式为( B )
A. y ＝( x －1)2＋1 B. y ＝( x ＋1)2＋1
C. y ＝( x －1)2－5 D. y ＝( x ＋1)2－5
B
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
3. [2024新乡月考]下列关于二次函数 y ＝( x －2)2－3的说法正
确的是( D )
A. 图象是一条开口向下的抛物线
B. 图象与 x 轴没有交点
C. 当 x ＜2时， y 随 x 增大而增大
D. 图象的顶点坐标是(2，－3)
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
4. 如图，二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴的一个交点
为(3，0)，对称轴是直线 x ＝1，下列结论正确的是( B )
A. abc ＜0 B. 2 a ＋ b ＝0
C. 4 ac ＞ b2 D. 点(－2，0)在函数图象上
B
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
点拨：由二次函数的图象可知 a ＞0，－ ＞0， c ＜0，所以
b ＜0，所以 abc ＞0，故A错误；因为二次函数图象的对称轴
是直线 x ＝1，则－ ＝1，即2 a ＋ b ＝0，故B正确；因为抛
物线与 x 轴有两个交点，所以 b2－4 ac ＞0，即
4 ac ＜ b2，故C错误；因为抛物线与 x 轴的一个
交点坐标为(3，0)，且对称轴为直线 x ＝1，所
以它与 x 轴的另一个交点的坐标为(－1，0)，故
D错误.故选B.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
5. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y1＝ mx ＋ n 与抛物线 y2
＝ ax2＋ bx －3相交于点 A ， B . 结合图象，判断下列结
论：①当－2＜ x ＜3时， y1＞ y2；② x ＝3是方程 ax2＋ bx
－3＝0的一个解；③若(－1， t1)，(4， t2)是抛物线上的两
点，则 t1＜ t2；④对于抛物线 y2＝ ax2＋ bx －3，当－2＜ x
＜3时， y2的取值范围是0＜ y2＜5.其中正确结论的个数是
( B )
B
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
点拨：①∵直线 y1＝ mx ＋ n 与抛物线 y2＝ ax2＋ bx －3相交
于点 A ， B ，当－2＜ x ＜3时， y1＝ mx ＋ n 的图象在 y2＝
ax2＋ bx －3的图象的上方，∴当－2＜ x ＜3时， y1＞ y2，故
①正确；②由图象可知，抛物线 y2＝ ax2＋ bx －3与 x 轴交于点(3，0)，∴ x ＝3是方程 ax2＋ bx －3＝0的一个解，故②正确；③将点 A (－2，5)， B (3，0)的坐标分别代入 y2＝ ax2＋ bx －3，得解得
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
∴抛物线的解析式为 y2＝ x2－2 x －3，当 x ＝－1时， y2＝ t1
＝0；当 x ＝4时， y2＝ t2＝5，∴ t1＜ t2，故③正确；
④易知抛物线 y2＝ x2－2 x －3的对称轴是直线 x ＝－
＝1，
将 x ＝1代入抛物线的解析式得 y2＝－4，
∴当－2＜ x ＜3时， y2的取值范围为－4≤ y2＜5，
故④错误.
故选B.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
二、填空题(每小题5分，共25分)
6. 已知抛物线 y ＝ x2－2( k ＋1) x ＋4的顶点在 y 轴上，则 k 的
值是 .
－1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
7. 已知点(－1， y1)，(3， y2)， 都在函数 y ＝ x2＋2 x
＋4的图象上，则 y1， y2， y3的大小关系是 .
y1＜ y3＜ y2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
8. 在平面直角坐标系中，将抛物线 y ＝ x2＋2 x －1先绕原点
旋转180°，再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的
顶点坐标是 .
(1，－3)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
9. [2023朝阳期末]如图，在平面直角坐标系中，正方形
OABC 的顶点 A 在 y 轴正半轴上，顶点 C 在 x 轴正半轴
上，抛物线 y ＝ a ( x －1)2＋ c ( a ＜0)的顶点为 D ，且经过
点 A ， B . 若△ ABD 为等腰直角三角形，则 a 的值
为 .
－ 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
点拨：∵抛物线 y ＝ a ( x －1)2＋ c ( a ＜0)的顶点为 D ，且经
过正方形 ABCD 的顶点 A ， B ，∴抛物线的对称轴是直线 x
＝1， A ， B 关于直线 x ＝1对称.过 D 作 DF ⊥ x 轴于 F ，交
AB 于 E ，则 AE ＝ BE ＝1.∴ AB ＝2.
∵△ ABD 为等腰直角三角形，∴ DE ＝ AB ＝1.
∵四边形 OABC 是正方形，∴ OA ＝ BC ＝ OC ＝ AB ＝2.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
∴ A (0，2).易知 EF ＝ OA ＝2，
∴ DF ＝1＋2＝3.∴ D (1，3).
把点 A (0，2)， D (1，3)的坐标分别代入 y ＝ a ( x －1)2＋ c ，
得解得
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
10. [2023福建]已知抛物线 y ＝ ax2－2 ax ＋ b ( a ＞0)经过
A (2 n ＋3， y1)， B ( n －1， y2)两点，若 A ， B 分别位于抛物线对称轴的两侧，且 y1＜ y2，则 n 的取值范围是
.
－1＜
n ＜0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
点拨：由题意知，抛物线的对称轴为直线 x ＝－ ＝1.
∵ a ＞0，∴抛物线开口向上.当点 A 在对称轴直线 x ＝1的左
侧，点 B 在对称轴直线 x ＝1的右侧时，由题意可得
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
不等式组无解；当点 B 在对称轴直线 x ＝1的左侧，点 A 在对
称轴直线 x ＝1的右侧时，由题意可得
解得－1＜ n ＜0.综上可知， n 的取值范围为－1＜ n ＜0.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
三、解答题(共45分)
11. (20分)某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品
在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表(1≤
x ≤60， x 为整数)：
时间：第 x 天 1≤ x ≤30 31≤ x ≤60
日销售价(元/件) 0.5 x ＋35 50
日销售量(件) 124－2 x 设该商品的日销售利润为 w 元.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
(1)直接写出 w 与 x 的函数解析式为
.
(2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润
是多少？
w ＝
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
解：当1≤ x ≤30时，
w ＝－ x2＋52 x ＋620＝－( x －26)2＋1 296.
∵－1＜0，∴当 x ＝26时， w 有最大值，最大值为1 296.
当31≤ x ≤60时， w ＝－40 x ＋2 480.
∵－40＜0，∴当 x ＝31时， w 有最大值，最大值为－
40×31＋2 480＝1 240.
∵1 296元＞1 240元，∴该商品在第26天的日销售利润最
大，最大日销售利润是1 296元.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
12. (25分)[2023·武汉 新视角·探究题]某课外科技活动小组研
制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发
点的飞行水平距离 x (单位：m)、飞行高度 y (单位：m)随
飞行时间 t (单位：s)变化的数据如下表.
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
探究发现： x 与 t ， y 与 t 之间的数量关系可以用我们已学过
的函数来描述，直接写出 x 关于 t 的函数解析式和 y 关于 t 的
函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 A 处设置一个高
度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现
解决下列问题.
(1)若发射平台相对于水平安全线
的高度为0 m，求飞机落到
水平安全线时飞行的水平距离；
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
问题解决：(1)依题意，得－
t2＋12 t ＝0.
解得 t1＝0(不合题意，舍去)，
t2＝24.当 t ＝24时， x ＝120.
答：飞机落到水平安全线时
飞行的水平距离为120 m.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
(2)在水平安全线上设置回收区域 MN ， AM ＝125 m， MN
＝5 m.若飞机落到 MN 内(不包括端点 M ， N )，求发射平
台相对于水平安全线的高度的变化范围.
解：探究发现： x 关于 t 的函数解析式为 x ＝5 t ， y 关于 t
的函数解析式为 y ＝－ t2＋12 t .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
问题解决：(2)设发射平台相
对于水平安全线的高度为 n m，飞机相对于水平安全线的
飞行高度为y'＝－ t2＋12 t ＋ n .
∵125＜ x ＜130，∴125＜5 t
＜130.∴25＜ t ＜26.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
在y'＝－ t2＋12 t ＋ n 中，当 t ＝25，y'＝0时， n ＝12.5；
当 t ＝26，y'＝0时， n ＝26.
∴12.5＜ n ＜26.
答：发射平台相对于水平安全线的高度的变化范围是大于
12.5 m且小于26 m.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
【新考法 分类讨论法】如图，抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 过点 A
(－1，0)， B (5，0)，交 y 轴于点 C .
(1)求 b ， c 的值.
解：(1)∵抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 过点 A (－
1，0)， B (5，0)，
∴抛物线的解析式为 y ＝( x ＋1)( x －5)＝
x2－4 x －5.
∴ b ＝－4， c ＝－5.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
【新考法 分类讨论法】如图，抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 过点 A
(－1，0)， B (5，0)，交 y 轴于点 C .
(2)点 P ( x0， y0)(0＜ x0＜5)是抛物线上的动点.
①当 x0取何值时，△ PBC 的面积最大？
并求出△ PBC 面积的最大值.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
解：(2)①由(1)得，抛物线的解析式为 y ＝
x2－4 x －5，令 x ＝0，则 y ＝－5，∴ C (0，－5).
∴易得直线 BC 的解析式为 y ＝ x －5.
易知 P ( x0， －4 x0－5)，设△ PBC 的面积为 S .
如图①，过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 BC 于点 D ，
则 D ( x0， x0－5).
∵ B (5，0)，∴ OB ＝5.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
∴ S ＝ OB · PD ＝ ×5×( x0－5－ ＋4 x0＋5)＝－
＋ x0＝－ ＋ .
∵－ ＜0，∴当 x0＝ 时， S 取最大值，
最大值为 .
故当 x0＝ 时，△ PBC 的面积最大，最大值是 .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
②过点 P 作 PE ⊥ x 轴，交 BC 于点 E ，再过点 P
作 PF ∥ x 轴，交抛物线于点 F ，连接 EF ，问：
是否存在点 P ，使△ PEF 为等腰直角三角形？
若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【新考法 分类讨论法】如图，抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 过点 A
(－1，0)， B (5，0)，交 y 轴于点 C .
(2)点 P ( x0， y0)(0＜ x0＜5)是抛物线上的动点.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
②存在.如图②，由题易知 PE ⊥ PF .
若△ PEF 是等腰直角三角形，则 PE ＝ PF .
由①可得 PE ＝ x0－5－ ＋4 x0＋5＝－ ＋5 x0.
∵ PF ∥ x 轴，
∴ F (4－ x0， －4 x0－5).
∴ PF ＝｜2 x0－4｜.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
∴｜2 x0－4｜＝－ ＋5 x0，解得 x0＝－1(舍去)或 x0＝4
或 x0＝ － 或 x0＝ ＋ (舍去)，
综上可知，当△ PEF 是等腰直角三角形时，
点 P 的坐标为(4，－5)， .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
