(共25张PPT)
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. 下面四个图中的角，为圆心角的是( D )
A
B
C
D
D
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2. 下列命题是真命题的是( C )
A. 相等的弦所对的弧相等
B. 相等的圆心角所对的弦相等
C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等
D. 等弧所对的圆心角相等
C
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3. [教材P85练习T2变式]如图， AB ， CD 是☉ O 的直径，
＝ ，且 所对圆心角的度数是 所对圆心角度数的
一半，则∠ BOD 的度数是( D )
A. 60° B. 90°
C. 30° D. 45°
D
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4. 如图， AB 是☉ O 的直径， BC ， CD ， DA 是☉ O 的弦，
且 BC ＝ CD ＝ DA ，则∠ BCD 等于( C )
A. 100° B. 110°
C. 120° D. 135°
C
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5. [2023保定期末]如图，在☉ O 中， ＝2 ，则下列结
论正确的是( C )
A. AB ＞2 CD B. AB ＝2 CD
C. AB ＜2 CD D. 以上都不正确
C
点易错：误以为弧、弦、圆心角之间倍数关系也成立. 注
意：在同圆或等圆中，圆心角与弦长或弦长与弧长之间的
倍数关系不相等.
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6. [2024镇江期末]如图，点 A ， B ， C 都在☉ O 上， B 是
的中点，∠ B ＝50°，则∠ AOB 等于 °.
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7. [教材P89习题T3变式]如图，在☉ O 中， ＝ ，∠ A ＝
30°，则∠ B ＝ °.
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8. 如图， AB 为☉ O 的直径，半径 OC ∥弦 BD ，判断 与
是否相等，并说明理由.
解：相等.
理由：连接 OD .
∵ OC ∥ BD ，
∴∠ AOC ＝∠ B ，∠ COD ＝∠ D .
∵ OB ＝ OD ，∴∠ D ＝∠ B .
∴∠ AOC ＝∠ COD .
∴ ＝ .
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9. 如图，在☉ O 中， ＝ ，则下列结论中：① AB ＝
CD ；② AC ＝ BD ；③∠ AOC ＝∠ BOD ；④ ＝ ，
正确的是( A )
A. ①②③④ B. ①②③
C. ②③ D. ②③④
A
点拨：∵在☉ O 中， ＝ ，
∴ AB ＝ CD . ∴①正确.∵ 为公共弧，∴ ＝ .
∴ AC ＝ BD ，∠ AOC ＝∠ BOD . ∴②③④正确.故选A.
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10. [2024无锡月考]如图， AB 为☉ O 的直径，点 D 是 的中
点，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，延长 DE 交☉ O 于点 F .
若 AC ＝4 ， AE ＝2，则☉ O 的直径 AB 为( B )
A. 8 B. 8
C. 10 D. 8
B
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点拨：连接 OF .
∵ DE ⊥ AB ， AB 为☉ O 的直径，∴ DE ＝ EF ， ＝ .
∵点 D 是 的中点，∴ ＝ .
∴ ＝ .∴ DF ＝ AC ＝4 .∴ EF ＝ DF ＝2 .
设 OA ＝ OF ＝ x ，则 AB ＝2 x ， OE ＝ x －2.
在Rt△ OEF 中，有 OF2＝ EF2＋ OE2，即 x2＝(2 )2＋( x －
2)2，∴ x ＝4.∴ AB ＝2 x ＝8.故选B.
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11. 如图，已知半圆 O 的直径 AB 为3，弦 AC 与弦 BD 交于点
E ， OD ⊥ AC ，垂足为点 F ， AC ＝ BD ，则弦 AC 的长
为 .
点方法：连接 OC ，由 AC ＝ BD 知
＋ ＝ ＋ ，得 ＝ ，根据
OD ⊥ AC 知 ＝ ，从而得 ＝ ＝ ，即可
知∠ AOD ＝∠ DOC ＝∠ BOC ＝60°，利用勾股定理可求出 AF 的长，最后利用垂径定理得出 AC 的长.
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12. 如图，半径为5的☉ A 中，弦 BC ， ED 所对的圆心角分别
是∠ BAC ，∠ EAD . 已知 BC ＝6，∠ BAC ＋∠ EAD ＝
180°，则圆心 A 到 DE 的距离等于 .
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点拨：如图，过点 A 作 AH ⊥ DE 于点 H ，作直径 EF ，连接
DF .
∵∠ BAC ＋∠ EAD ＝180°，∠ DAE ＋∠ DAF ＝180°，
∴∠ BAC ＝∠ DAF . ∴ DF ＝ BC ＝6.
∵ AH ⊥ DE ，且 AH 过圆心 A ，∴ EH ＝ DH .
又∵ EA ＝ AF ，∴ AH 为△ EDF 的中位线.
∴ AH ＝ DF ＝3.
∴圆心 A 到 DE 的距离等于3.
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13. 【新视角 操作探究题】如图，点 A 是半圆上的一个三等
分点，点 B 是 的中点， P 是直径 CD 上一动点，☉ O
的半径是2，求 PB ＋ PA 的最小值.
解：如图，作点 A 关于直径 CD 的对称点A'，连接BA'交
CD 于 P ，连接 OB ，OA'.
根据轴对称的性质可知 AP ＝A'P，
∴ AP ＋ BP ＝ A ' P ＋ BP .
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∵两点之间线段最短，
∴ 此时A'P＋ BP 最小，即 AP ＋ BP 最小.
∴ AP ＋ BP 的最小值为BA'的长.
∵ A 是半圆上的一个三等分点，
∴易得∠ AOD ＝∠A'OD＝60°.
∵点 B 是 的中点，
∴∠ BOD ＝ ∠ AOD ＝ ×60°＝30°.
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∴∠A'OB＝∠A'OD＋∠ BOD ＝60°＋30°＝90°.
由题意知 OB ＝OA'＝2，∴在Rt△A'OB中，由勾股定理
得A'B＝ ＝ ＝2 ，∴ AP ＋ BP
的最小值是2 .
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14. 如图，∠ AOB ＝90°， C ， D 是以 O 为圆心的 的三等
分点，连接 AB 分别交 OC ， OD 于点 E ， F . 求证： AE
＝ BF ＝ CD .
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证明：如图，连接 AC ， BD .
∵∠ AOB ＝90°， C ， D 是以点 O 为圆心的 的三等分点，
∴∠ AOC ＝∠ BOD ＝ ∠ AOB ＝ ×90°＝30°.
∵∠ AOB ＝90°， OA ＝ OB ，
∴∠ OAB ＝∠ OBA ＝45°.
∴∠ AEC ＝∠ OAB ＋∠ AOC ＝45°＋30°＝75°.
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∴∠ ACE ＝∠ AEC . ∴ AC ＝ AE .
∵ OA ＝ OC ，∠ AOC ＝30°，∴∠ ACE ＝75°.
同理可得 BF ＝ BD .
∵ C ， D 是 的三等分点，∴ ＝ ＝ .
∴ AC ＝ CD ＝ BD . ∴ AE ＝ BF ＝ CD .
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15. 如图，已知 C ， D 是半圆 O 上的三等分点，连接 AC ，
BC ， CD ， OD ， BC 和 OD 相交于点 E ，有下列结论：
①∠ CBA ＝30°；② OD ⊥ BC ；③ OE ＝ AC ；④四边
形 AODC 是菱形.其中正确的是 (填序号)，
请写出证明过程.
①②③④
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证明：如图，连接 OC .
∵ C ， D 是半圆 O 上的三等分点，
∴∠ AOC ＝∠ COD ＝∠ BOD ＝ ×180°＝60°.
∵ OA ＝ OC ，∴△ CAO 是等边三角形.
∴∠ CAO ＝60°， AC ＝ AO .
∴∠ CAO ＝∠ BOD . ∴ AC ∥ OD .
又∵ OA ＝ OB ，∴ OE 是△ ACB 的中位线.
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∴ OE ＝ AC ， BE ＝ CE . 故③正确.
∵ BE ＝ CE ， OD 为半圆 O 的半径，
∴ OD ⊥ BC ，故②正确.
由②知∠ OEB ＝90°，∴∠ CBA ＝30°.故①正确.
∵ AC ∥ OD ， AC ＝ OA ＝ OD ，
∴四边形 AODC 是菱形.故④正确.
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1(共25张PPT)
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. [2024苏州开学考试]在半径为3的圆中，90°的圆心角所对
的弧长是( C )
A. π B. 9π
C. π D. π
C
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2. 如果一个扇形的半径是2，弧长是 ，则此扇形的圆心角的
度数为( B )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
B
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3. 圆心角为120°的扇形 AOB 中，半径 OA ＝6 cm，则扇形
OAB 的面积是( C )
A. 6π cm2 B. 8π cm2
C. 12π cm2 D. 24π cm2
C
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4. 某款“不倒翁”(如图①)从正面看到的图形是图②， PA ，
PB 分别与 所在圆相切于点 A ， B . 若该圆的半
径是9，∠ P ＝40°，则 的长是( A )
A. 11π B. 7π
C. 13π D. 9π
A
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5. [教材P116习题T10变式]家具厂利用如图所示的直径为1 m的
圆形材料加工一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角
∠ BAC ＝90°，则扇形部件的面积为( C )
A. m2 B. m2
C. m2 D. m2
C
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6. [2023·张家界 新视角·新定义题]“莱洛三角形”也称为圆
弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分
别以等边△ ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，
三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ ABC 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于 .
3π
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7. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的面积
为 .
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8. 如图，☉ A ，☉ B ，☉ C 两两不相交，且半径都等于
2，则图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和为 .(结果保留π)
2π
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9. [2024镇江期末]如图， AB 是☉ O 的直径，∠ ABC 的平分
线 BD 交☉ O 于点 D ，连接 OD ， AC . 若 AB ＝6，∠ BAC
＝20°，求弧 AD 的长和扇形 AOD 的面积.
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解：∵ AB 是☉ O 的直径，∴∠ ACB ＝90°.
∵∠ BAC ＝20°，∴∠ ABC ＝90°－20°＝70°.
∵∠ ABC 的平分线 BD 交☉ O 于点 D ，
∴∠ ABD ＝ ∠ ABC ＝ ×70°＝35°.
∴∠ AOD ＝2∠ ABD ＝2×35°＝70°.
∴ 的长＝ ＝ π， S扇形 AOD ＝ ＝ π.
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10. 如图，把Rt△ ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到
Rt△ EDC ，若点 D 恰好是边 AB 的中点， BC ＝ a ，则点 A 运动到点 E 的位置时，所经过的路线长为( A )
A. B.
C. D.
A
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11. 如图，将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转120°得到△A'B'C，已
知 AC ＝3， BC ＝2，则线段 AB 扫过的图形(阴影部分)的
面积为 .
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12. [2023福州期中]在如图所示的网格中，每个小正方形的边
长均为1，点 A ， B ， D 均在格点上，且点 B ， C 在
上，∠ BAC ＝20°，则 的长为 .
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点拨：如图，连接 OA ， OC ， OD .
∵ OA ＝ OB ＝ OD ＝5，∴ O 为 所在圆的圆心.
∴∠ BOC ＝2∠ BAC ＝40°.
∴ 的长＝ ＝ .故答案为 .
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13. 如图，△ ABC 是☉ O 的内接三角形， AE 是☉ O 的直径，
AF 是☉ O 的弦，且 AF ⊥ BC ，垂足为 D .
(1)求证： BE ＝ CF ；
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(1)证明：∵ AE 是☉ O 的直径，
∴∠ ABE ＝90°.
∴∠ BAE ＋∠ BEA ＝90°.
∵ AF ⊥ BC ，
∴∠ ADC ＝90°.∴∠ ACD ＋∠ CAD ＝90°.
又∵∠ BEA ＝∠ ACD ，∴∠ BAE ＝∠ CAD .
∴ ＝ .∴ BE ＝ CF .
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13. 如图，△ ABC 是☉ O 的内接三角形， AE 是☉ O 的直径，
AF 是☉ O 的弦，且 AF ⊥ BC ，垂足为 D .
(2)若∠ ABC ＝∠ EAC ， AC ＝4，求阴影部分的面积.
(2)解：如图，连接 OC ， EC .
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∵ ＝ ，∴∠ ABC ＝∠ AEC .
又∵∠ ABC ＝∠ EAC ，∴∠ AEC ＝∠ EAC .
∴ EC ＝ AC ＝4.
∵ AE 是☉ O 的直径，∴∠ ACE ＝90°.
∴∠ AEC ＝∠ EAC ＝45°， AE ＝ ＝4 .∴∠ AOC ＝2∠ AEC ＝90°， OC ＝ OA ＝ AE ＝2 .∴ S阴影＝
S扇形 AOC － S△ AOC ＝ π×(2 )2－ ×2 ×2 ＝2π－4.
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14. 【新考法 转化法】如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC
＝ BC ，斜边 AB ＝2， O 是 AB 的中点，以 O 为圆心，线
段 OC 的长为半径画圆心角为90°的扇形 OEF ， 经过
点 C ，求：
(1) 的长；
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解：(1)∵ CA ＝ CB ，∠ ACB ＝90°，
点 O 为 AB 的中点，
∴ OC ＝ AB ＝1.
∴ 的长为 ＝ .
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14. 【新考法 转化法】如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC
＝ BC ，斜边 AB ＝2， O 是 AB 的中点，以 O 为圆心，线
段 OC 的长为半径画圆心角为90°的扇形 OEF ， 经过
点 C ，求：
(2)阴影部分的面积.
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解：(2)如图，作 OM ⊥ BC 于点 M ， ON ⊥ AC 于点
N ，设 OE 交 AC 于点 H ， OF 交 BC 于点 G . 易得四边
形 OMCN 是正方形， OM ＝ .
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∵∠ GOH ＝∠ MON ＝90°，
∴∠ GOM ＝∠ HON . 在△ OMG 和△ ONH 中，
∴△ OMG ≌△ ONH . ∴ S四边形 OGCH ＝ S四边形 OMCN ＝ .
∵∠ EOF ＝90°，∴扇形 FOE 的面积为 ＝ .
∴阴影部分的面积是 － .
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1(共24张PPT)
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第2课时 圆锥的侧面积与全面积
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. 已知一个圆锥的底面半径是2 cm，母线长是9 cm，则该圆
锥的侧面积是( B )
A. 18 cm2 B. 18π cm2
C. 36 cm2 D. 36π cm2
B
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2. 【新考向 知识情境化】某学校组织开展手工制作实践活
动，一学生制作的圆锥母线长为30 cm，底面圆的半径为
10 cm，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是( D )
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
D
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3. 如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的
侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的高是( D )
A. 6 B. 8
C. 3 D. 4
D
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4. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm，侧面展开图为
半圆形，则它的母线长为( D )
A. 10 cm B. 20 cm
C. 5 cm D. 24 cm
D
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5. 已知圆锥底面半径为1，它的侧面展开图是一个圆心角为
90°的扇形，则圆锥的全面积为 .
5π
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6. [2024娄底月考]如图，在△ ABC 中， AC ＝3， AB ＝4，
BC 边上的高 AD ＝2，将△ ABC 绕着 BC 所在的直线旋转
一周得到的几何体的表面积为 .
14π
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7. [2024荣德原创]小浩在上化学课时，看见化学老师拿了一
个圆锥形漏斗瓶，小浩借助两把直尺对其进行了测量，测
量结果如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积
为 cm2.(结果保留π)
15π
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8. 【新考法 过程辨析法】在数学实验课上，小莹将含30°角
的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、
乙两个圆锥，并用作图软件画出如下示意图.
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小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边
AB 旋转得到，所以它们的侧面积相等.”你认同小亮的说
法吗？请说明理由.
解：不认同.理由如下：
设直角三角尺三边长分别为
BC ＝ a ， AB ＝2 a ， AC ＝
a ，
∴甲圆锥的侧面积 S甲＝π· BC · AB ＝π× a ×2 a ＝2π a2，
乙圆锥的侧面积 S乙＝π· AC · AB ＝π× a ×2 a ＝2 π
a2， S甲≠ S乙.∴不认同小亮的说法.
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9. 如图，在矩形纸片 ABCD 中， AD ＝6 cm，把它分割成正
方形纸片 ABFE 和矩形纸片 EFCD 后，分别裁出扇形 ABF
和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则
圆锥的表面积为( B )
B
A. 4π cm2
B. 5π cm2
C. 6π cm2
D. 8π cm2
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10. [2023·十堰三模 情境题·社会热点]党的二十大提出“发展
乡村特色产业，拓宽农民增收致富渠道.”王家庄村民李
兴旺看到来村游客越来越多，民宿需求大增，就扩大了
自己的农家乐经营规模，在新建大厨房时，他购买了规
格为180 cm×120 cm的长方形不锈钢铁皮(如图①)用来制
作如图②的烟囱帽(圆锥部分)，他用该铁皮裁下的最大扇
形焊成的烟囱帽的高度为 cm.
80
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点拨：裁出较大扇形有以下三种形式：如图①，扇形面积为
×π×1202＝3 600π(cm2).
如图②，扇形面积为 ×π× ＝
4 050π(cm2).
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如图③，易知 AC ＝ AD ＝ AB ＝120 cm， CE ＝60 cm， CE
⊥ AD ，
∴∠ CAE ＝30°.∴∠ CAB ＝120°.
∴扇形的面积为 ＝4 800π(cm2).
∵4 800π＞4 050π＞3 600π，
∴最大扇形焊成的弧长为 ＝80π(cm).
∴烟囱帽的底面半径为 ＝40(cm)，母线长120 cm.
∴用铁皮裁下的最大扇形的烟囱帽的高度为 ＝
80 (cm).
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11. [2023自贡]如图，小珍同学用半径为8 cm，圆心角为100°
的扇形纸片，制作一个底面半径为2 cm的圆锥侧面，则
圆锥上粘贴部分的面积是 cm2.
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点拨：由题意知，底面半径为2 cm的圆锥的底面周长为
4π cm，扇形纸片的弧长为 ＝ π(cm)，
∴粘贴部分的弧长为 π－4π＝ π(cm).
∴圆锥上粘贴部分的面积为 × π×8＝ π(cm2).故答案
为 π.
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12. 【新考向 身边的数学】如图①，某种冰激凌的外包装可
以视为圆锥，它的底面圆直径 ED 与母线 AD 的比为1∶2.
制作这种外包装需要用如图②的等腰三角形材料，其中
AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，从中裁取扇形 AEF 围成圆锥.
(1)求这种等腰三角形材料的顶角∠ BAC 的大小；
解：(1)设∠ BAC ＝ n °，
由题意得π· DE ＝ ，
AD ＝2 DE ，
∴ n ＝90.∴∠ BAC ＝90°.
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12. 【新考向 身边的数学】如图①，某种冰激凌的外包装可
以视为圆锥，它的底面圆直径 ED 与母线 AD 的比为1∶2.
制作这种外包装需要用如图②的等腰三角形材料，其中
AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，从中裁取扇形 AEF 围成圆锥.
(2)若圆锥底面圆的直径 ED 为5 cm，求加工材料的剩余
部分(图②中阴影部分)的面积.(结果保留π)
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解：(2)∵ AD ＝2 DE ＝10 cm，∠ BAC ＝90°，
∴ BC ＝2 AD ＝20 cm.
∴ S阴影＝ BC · AD － S扇形 AEF ＝ ×10×20－
＝(100－25π)cm2，即加工材料剩余部分的面积为(100
－25π)cm2.
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13. 如图，圆锥底面半径为 r ，母线长为3 r ，底面圆周上有
一蚂蚁位于 A 点，它从 A 点出发沿圆锥面爬行一周后又
回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并
求出最短路径.
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解：把圆锥沿过点 A 的母线剪开，展成如图所示的扇形，连接AA'，过点 O 作 OC ⊥AA'于点 C ，设∠AOA'＝ n °，
则蚂蚁运动的最短路径为AA'.
由题意知 OA ＝OA'＝3 r ， 的长即为圆锥的底面圆的
周长为2π r .
∴2π r ＝ ，解得 n ＝120，
即∠AOA'＝120°.
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∵ OA ＝OA'，∴∠ OAC ＝∠OA'C＝30°.
∴ OC ＝ OA ＝ r .
∴ AC ＝ ＝ r .
∴AA'＝2 AC ＝3 r ，
即蚂蚁运动的最短路径是3 r .
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点技巧：“化曲为直法”求最短路径：“化曲为直”是把曲
面(圆锥的侧面)展开成平面(扇形，即圆锥的侧面展开图
形)，利用“两点之间线段最短”来解决距离最短问题.
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1(共29张PPT)
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
第2课时 圆内接四边形的性质
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. 如图，四边形 ABCD 内接于☉ O ，若∠ A ＝40°，则∠ C ＝
( D )
A. 110° B. 120°
C. 135° D. 140°
D
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2. 如图，四边形 ABCD 是☉ O 的内接四边形，若∠ AOC ＝
160°，则∠ ABC 的度数是( B )
A. 80° B. 100°
C. 140° D. 160°
B
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3. 四边形 ABCD 内接于圆，∠ A ，∠ B ，∠ C ，∠ D 的度数
比可能是( C )
A. 1∶3∶2∶4 B. 7∶5∶10∶8
C. 13∶1∶5∶17 D. 1∶2∶3∶4
点方法：根据圆内接四边形对角互补可以得到∠ A 与∠ C
的份数和等于∠ B 与∠ D 的份数和.
C
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4. [2024盐城月考]如图，圆内接四边形 ABCD 中，∠ BCD ＝
105°，连接 OB ， OC ， OD ， BD ，∠ BOC ＝2∠ COD ，
则∠ CBD 的度数是( A )
A. 25° B. 30°
C. 35° D. 40°
A
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5. [教材P88练习T5变式]如图，∠ DCE 是☉ O 的内接四边形
ABCD 的一个外角，若∠ DCE ＝72°，则∠ BOD 的度数
为 .
144°
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6. [2023北京模拟]如图，点 A ， B ， C ， D 在☉ O 上，∠ CAD ＝30°，∠ ABD ＝50°，则∠ ADC ＝ .
100°
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7. [2023龙港一模]如图，四边形 ABCD 是☉ O 的内接四边
形， BE 是☉ O 的直径，连接 CE ，若∠ BAD ＝110°，则
∠ DCE ＝ 度.
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8. [2023·南京期中 新考法·分类讨论法]已知☉ O 的半径为4，弦 AB 的长为4 ，则弦 AB 所对的圆周角的度数
为 .
45°或135°
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∵ OA ＝ OB ， OF ⊥ AB ，∴ AF ＝ AB ，∠ AOF ＝ ∠ AOB .
∵☉ O 的半径为4， AB ＝4 ，
点拨：如图，连接 OA ， OB ，过点 O 作 OF ⊥ AB ，垂足为 F .
∴ OA ＝4， AF ＝ AB ＝2 .
∴在Rt△ AOF 中， OF ＝ ＝2 ＝ AF .
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∴△ AOF 是等腰直角三角形.
∴∠ AOF ＝45°.∴∠ AOB ＝2∠ AOF ＝90°.
如图，在劣弧 AB 上取点 E ，连接 AE ， EB ，在优弧 AB 上
取点 G ，连接 AG ， BG ，则∠ AGB ＝ ∠ AOB ＝45°.
∵四边形 AEBG 是☉ O 的内接四边形，
∴∠ AEB ＝180°－∠ AGB ＝135°.
∴弦 AB 所对的圆周角的度数为45°或135°.
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9. [2023南宁二模]如图，四边形 ABDC 是☉ O 的内接四边
形， AD 是对角线，过点 A 作 AE ⊥ AD 交 DB 的延长线于
点 E ， AB ＝ AC .
(1)求证：∠ ABE ＝∠ ACD ；
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证明：(1)∵四边形 ABDC 是☉ O 的内
接四边形，
∴∠ ABD ＋∠ ACD ＝180°.
又∵∠ ABE ＋∠ ABD ＝180°，
∴∠ ABE ＝∠ ACD .
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9. [2023南宁二模]如图，四边形 ABDC 是☉ O 的内接四边
形， AD 是对角线，过点 A 作 AE ⊥ AD 交 DB 的延长线于
点 E ， AB ＝ AC .
(2)连接 BC ，若 BC 为☉ O 的直径，求证： BE ＝ CD .
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证明：(2)∵ BC 为☉ O 的直径，∴∠ BAC ＝90°.
∵ AE ⊥ AD ，∴∠ EAD ＝90°.
∴∠ EAB ＋∠ BAD ＝∠ CAD ＋∠ BAD ＝90°.
∴∠ EAB ＝∠ DAC .
在△ ABE 与△ ACD 中，
∴△ ABE ≌△ ACD (ASA).∴ BE ＝ CD .
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10. [2023青岛三模]如图，四边形 ABCD 内接于☉ O ， DA ＝
DC ，∠ CBE ＝50°，∠ AOD 的大小为( A )
A. 130° B. 100°
C. 120° D. 110°
A
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11. [2024丽水月考]如图，四边形 ABCD 内接于☉ O ， AD ，
BC 的延长线相交于点 E ， AB ， DC 的延长线相交于点
F . 若∠ F ＝36°，∠ E ＝50°，则∠ A 的度数为 .
47°
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12. [2023北京]如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC ，
BD 交于点 E ， BD 平分∠ ABC ，∠ BAC ＝∠ ADB .
(1)试说明 DB 平分∠ ADC ，并求∠ BAD 的大小；
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解：(1)∵∠ BAC ＝∠ ADB ，∠ BAC
＝∠ CDB ，
∴∠ ADB ＝∠ CDB . ∴ DB 平分∠ ADC .
∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ ABD ＝∠ CBD .
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，
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∴∠ ABC ＋∠ ADC ＝180°.
∴∠ ABD ＋∠ CBD ＋∠ ADB ＋∠ CDB ＝180°.
∴2(∠ ABD ＋∠ ADB )＝180°.
∴∠ ABD ＋∠ ADB ＝90°.
∴∠ BAD ＝180°－90°＝90°.
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12. [2023北京]如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC ，
BD 交于点 E ， BD 平分∠ ABC ，∠ BAC ＝∠ ADB .
(2)过点 C 作 CF ∥ AD 交 AB 的延长线于点 F ，若 AC ＝
AD ， BF ＝2，求此圆半径的长.
解：(2)∵∠ BAD ＝90°，∴∠ BAE ＋∠ DAE ＝90°.
又∵∠ BAE ＝∠ ADE ，∴∠ ADE ＋∠ DAE ＝90°.
∴∠ AED ＝90°.∴ AE ⊥ BD .
∵∠ BAD ＝90°，∴ BD 是圆的直径.
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又∵ AE ⊥ BD ，∴ BD 是 AC 的垂直平分线.∴ AD ＝ CD .
又∵ AC ＝ AD ，∴ AC ＝ AD ＝ CD .
∴△ ACD 是等边三角形.∴∠ ADC ＝60°.
由(1)知∠ ADB ＝∠ BDC ，∴∠ BDC ＝ ∠ ADC ＝30°.
∵ CF ∥ AD ，∴∠ F ＋∠ BAD ＝180°.∴∠ F ＝90°.
∵∠ ADC ＋∠ ABC ＝180°，
∠ FBC ＋∠ ABC ＝180°，∴∠ FBC ＝∠ ADC ＝60°.
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∴∠ FCB ＝30°.
∴ BC ＝2 BF ＝4.
∵ BD 是圆的直径，∴∠ BCD ＝90°.
又∵∠ BDC ＝30°，
∴ BD ＝2 BC ＝8.
∵ BD 是圆的直径，∴圆的半径长是4.
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13. 【新考法 特征变式法】定义：三角形一个内角的平分线
和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为
该三角形第三个内角的遥望角.
(1)如图①，∠ E 是△ ABC 中∠ A 的遥望角，
若∠ A ＝α，请用含α的代数式表示∠ E .
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(1)解：∵∠ E 是△ ABC 中∠ A 的遥望角，
∴∠ EBC ＝ ∠ ABC ，∠ ECD ＝ ∠ ACD .
∴∠ E ＝∠ ECD －∠ EBC ＝ (∠ ACD －∠ ABC )＝
∠ A . ∵∠ A ＝α，∴∠ E ＝ α.
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13. 【新考法 特征变式法】定义：三角形一个内角的平分线
和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为
该三角形第三个内角的遥望角.
(2)如图②，四边形 ABCD 内接于☉ O ， ＝ ，四边
形 ABCD 的外角平分线 DF 交☉ O 于点 F ，
连接 BF 并延长交 CD 的延长线于点 E ，
连接 AC . 求证：∠ BEC 是△ ABC 中
∠ BAC 的遥望角.
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(2)证明：如图，延长 BC 到点 T . ∵四边形 FBCD 内接
于☉ O ，∴∠ FDC ＋∠ FBC ＝180°.
又∵∠ FDE ＋∠ FDC ＝180°，∴∠ FDE ＝∠ FBC .
∵ DF 平分∠ ADE ，∴∠ ADF ＝∠ FDE .
∴∠ ADF ＝∠ FBC .
又∵∠ ADF ＝∠ ABF ，
∴∠ ABF ＝∠ FBC . ∴ BE 是∠ ABC 的平分线.
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∵ ＝ ，∴∠ ACD ＝∠ BFD .
∵四边形 FBCD 内接于☉ O ，
∴∠ BFD ＋∠ BCD ＝180°.
又∵∠ DCT ＋∠ BCD ＝180°，
∴∠ DCT ＝∠ BFD . ∴∠ ACD ＝∠ DCT .
∴ CE 是△ ABC 的外角平分线.
∴∠ BEC 是△ ABC 中∠ BAC 的遥望角.
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1(共26张PPT)
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. 下列各图中的角，为圆周角的是( B )
A
B
C
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B
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2. 如图，在∠1～∠5这5个角中， 所对的圆周角是
( C )
A. ∠5 B. ∠1和∠2
C. ∠3和∠4 D. ∠1和∠3
C
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3. [2023河南]如图，点 A ， B ， C 在☉ O 上，若∠ C ＝55°，
则∠ AOB 的度数为( D )
A. 95° B. 100°
C. 105° D. 110°
D
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4. 如图， AB 为☉ O 的直径， C ， D 为☉ O 上的两点，若
∠ ACD ＝46°，则∠ DAB 的度数为( D )
A. 43° B. 46°
C. 45° D. 44°
D
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5. 【情境题 生活应用】如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部
分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺进行测
量，测得 AB ＝8 cm， BC ＝6 cm，则圆形镜面的半径
为 5 cm.
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6. 如图，点 A ， B ， C ， D 在☉ O 上， CB ＝ CD ，∠ CAD
＝30°，∠ ACD ＝50°，则∠ ADB ＝ 70° .
70°
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7. [2023长沙]如图，点 A ， B ， C 在半径为2的☉ O 上，∠ ACB ＝60°， OD ⊥ AB ，垂足为 E ，交☉ O 于点 D ，连接 OA ，则 OE 的长度为 1 .
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8. 已知☉ O 的直径为10，点 A ， B ， C 在☉ O 上，∠ CAB 的
平分线交☉ O 于点 D .
(1)如图①，若 BC 为☉ O 的直径， AB ＝6，求 AC ， BD ，
CD 的长；
解：(1)∵ BC 是☉ O 的直径，
∴∠ CAB ＝∠ BDC ＝90°.
∵在Rt△ CAB 中， BC ＝10， AB ＝6，
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∴由勾股定理得 AC ＝ ＝ ＝8.
∵ AD 平分∠ CAB ，∴∠ CAD ＝∠ DAB .
∴ ＝ .∴ CD ＝ BD .
∵在Rt△ BDC 中， BC ＝10， CD2＋ BD2＝ BC2，
∴ BD ＝ CD ＝5 .
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8. 已知☉ O 的直径为10，点 A ， B ， C 在☉ O 上，∠ CAB 的
平分线交☉ O 于点 D .
(2)如图②，若∠ CAB ＝60°，求 BD 的长.
解：(2)连接 OB ， OD .
∵ AD 平分∠ CAB ，且∠ CAB ＝60°，
∴∠ DAB ＝ ∠ CAB ＝30°.
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∴∠ DOB ＝2∠ DAB ＝60°.
又∵ OB ＝ OD ，∴△ OBD 是等边三角形.
∴ BD ＝ OB .
∵☉ O 的直径为10，∴ OB ＝5.∴ BD ＝5.
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9. [2024聊城月考]如图， AB 为☉ O 的直径，点 C ， D ， E 在
☉ O 上，且 ＝ ，∠ E ＝70°，则∠ ABC 的度数为
( B )
A. 30° B. 40°
C. 35° D. 50°
B
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10. 如图，已知点 A ， B ， C 依次在☉ O 上，∠ B －∠ A ＝
40°，则∠ AOB 的度数为( B )
A. 84° B. 80°
C. 72° D. 70°
B
点思路：连接 OC ，先根据等腰三角形的性质得出∠ A ＝
∠ ACO ，∠ B ＝∠ BCO ＝∠ ACO ＋∠ ACB ，从而求出
∠ ACB ＝∠ B －∠ A ＝40°，再根据圆周角定理得出
∠ AOB ＝2∠ ACB ＝80°
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11. [2023南充]如图， AB 是☉ O 的直径，点 D ， M 分别是弦
AC ， 的中点， AC ＝12， BC ＝5，则 MD 的长
是 4 .
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12. [2024苏州期末]如图，☉ C 经过原点 O ，并与两坐标轴交
于 A ， D 两点，已知∠ OBA ＝30°，点 D 的坐标为(0，
)，则点 A 的坐标是 (1，0) ，圆心 C 的坐标
是 .
(1，0)
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点拨：连接 AD . ∵∠ DOA ＝90°，
∴ AD 为☉ C 的直径.∴点 C 在 AD 上.
∵∠ D ＝∠ OBA ＝30°，∴ AD ＝2 OA .
∵点 D 的坐标为 ，
∴ OD ＝ .在Rt△ AOD 中，(2 OA )2－ OA2＝ OD2，即
(2 OA )2－ OA2＝3，解得 OA ＝1(负值已舍去).
∴ A (1，0).
易知点 C 是线段 AD 的中点，∴ C .
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13. 如图，☉ O 是△ ABC 的外接圆， AB 是☉ O 的直径，半径
OD ⊥ AC ，垂足为点 E ，连接 BD .
(1)求证： BD 平分∠ ABC ；
(1)证明：∵半径 OD ⊥ AC ，
∴ ＝ .
∴∠ ABD ＝∠ CBD .
∴ BD 平分∠ ABC .
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13. 如图，☉ O 是△ ABC 的外接圆， AB 是☉ O 的直径，半径
OD ⊥ AC ，垂足为点 E ，连接 BD .
(2)若 AC ＝8， DE ＝2，求线段 BD 的长.
(2)解：如图，过 D 作 DF
⊥ BC ，交 BC 的延长线
于点 F ，则∠ F ＝90°.
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∵ OD ⊥ AC ， OD 是☉ O 的半径，
∴ CE ＝ AE ＝ AC ＝4.
∵ AB 是☉ O 的直径，∴∠ ACB ＝90°.
∴∠ ECF ＝180°－∠ ACB ＝90°.
∵ OD ⊥ AC ，∴∠ CED ＝90°.
∴四边形 CEDF 是矩形.∴ DF ＝ CE ＝4， CF ＝
DE ＝2.
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设 OD ＝ OA ＝ r ，则 OE ＝ r －2，
在Rt△ AOE 中，由勾股定理得 OA2＝ OE2＋
AE2，即 r2＝( r －2)2＋42，解得 r ＝5，∴ OE ＝3.
∵ CE ＝ AE ， OA ＝ OB ，∴ OE 是△ ABC 的中位线.
∴ BC ＝2 OE ＝6.∴ BF ＝8.
∴在Rt△ BFD 中，由勾股定理得 BD ＝
＝4 .
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14. 【新趋势 学科内综合】如图，以 AB 为直径的☉ O 经过
△ ABC 的顶点 C ， AE ， BE 分别平分∠ BAC 和∠ ABC ，
AE 的延长线交☉ O 于点 D ，连接 BD .
(1)判断△ BDE 的形状，并证明你的结论；
解：(1)△ BDE 为等腰直角三角形.
证明：∵ AE 平分∠ BAC ， BE 平分∠ ABC ，∠ CAD ＝∠ CBD ，
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∴∠ BAE ＝∠ CAD ＝∠ CBD ，∠ ABE ＝∠ EBC .
又∵∠ BED ＝∠ BAE ＋∠ ABE ，∠ DBE ＝∠ DBC
＋∠ CBE ，∴∠ BED ＝∠ DBE .
∴ BD ＝ ED .
∵ AB 为☉ O 的直径，∴∠ ADB ＝90°.
∴△ BDE 是等腰直角三角形.
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(2)若 AB ＝10， BE ＝2 ，求 BC 的长.
解：(2)如图，连接 OC ， CD ， OD ， OD 交 BC 于点 F .
14. 【新趋势 学科内综合】如图，以 AB 为直径的☉ O 经过
△ ABC 的顶点 C ， AE ， BE 分别平分∠ BAC 和∠ ABC ，
AE 的延长线交☉ O 于点 D ，连接 BD .
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∵∠ BAE ＝∠ CAD ，∴ ＝ ，
∴ BD ＝ DC .
又∵ OB ＝ OC ，∴ OD ⊥ BC ， BF ＝ CF .
∵△ BDE 是等腰直角三角形， BE ＝2 ，
∴ BD ＝2 .
∵ AB ＝10，∴ OB ＝ OD ＝5.设 OF ＝ t ，则 DF ＝5－ t .
由勾股定理易得52－ t2＝(2 )2－(5－ t )2，
解得 t ＝3，∴ BF ＝ ＝4.
∴ BC ＝2 BF ＝8.
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第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. 【新考法 概念辨析法】下列说法中不正确的是( D )
A. 正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B. 各边相等且各内角相等的多边形是正多边形
C. 正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D
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2. 一个正多边形的中心角为45°，则这个正多边形的边数是
( C )
A. 3 B. 5 C. 8 D. 10
C
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3. [2024常州期末]如图，正五边形 ABCDE 内接于☉ O ，连接
OC ， OD ，则∠ COD ＝( A )
A. 72° B. 54°
C. 48° D. 36°
A
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4. 如图，若正方形 ABCD 的边长为6，则其外接圆半径 OA 与
内切圆半径 OE 的比值为( B )
A. B. C. 2 D. 3
B
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5. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于☉ O ，若☉ O 的边心距 d
＝ ，则正六边形的边长是( A )
A. 2 B. 3
C. 6 D. 2
A
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6. 正三角形的边心距、外接圆半径、边长之比为
.
1∶2∶
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7. [教材P109习题T8变式]如图，有一个☉ O 和两个正六边形
T1， T2. T1的六个顶点都在圆周上， T2的六条边都和☉ O
相切(我们称 T1， T2分别为☉ O 的内接正六边形和外切正
六边形).
(1)请你在备用图中画出☉ O 的内接正六边形(不写作法，保留作图痕迹)；
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解：(1)如图备用图正六边形 ABCDEF 即为所求.
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(2)设☉ O 的半径为 R ，求 T1， T2的边长(用含 R 的式子表示).
7. [教材P109习题T8变式]如图，有一个☉ O 和两个正六边形
T1， T2. T1的六个顶点都在圆周上， T2的六条边都和☉ O
相切(我们称 T1， T2分别为☉ O 的内接正六边形和外切正
六边形).
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解：(2)如图，连接 OA ， OB ， OG .
易知△ AOB 为等边三角形，
∴ T1的边长为半径 R .
易知Rt△ OGB ≌Rt△ OGA ，
∴∠ BOG ＝30°.∴ BG ＝ OG .
设 BG ＝ x ，由勾股定理，得 x2＋ R2＝(2 x )2，解得 x ＝ R .
∴ T2的边长为 R .
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8. [2023临沂期中]如图，正六边形 ABCDEF 内接于☉ O ，点
P 在 上，点 Q 是 的中点，则∠ CPQ 的度数为
( B )
A. 30° B. 45°
C. 36° D. 60°
B
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9. 如图，△ ABC 是☉ O 的内接正三角形， BD 是☉ O 的内接
正四边形的一边，连接 CD ，则 CD 是☉ O 的内接正 n 边形
的一边，则 n 为( D )
A. 六 B. 八
C. 十 D. 十二
D
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10. [2024淮安月考]如图，点 O 是正方形AB'C'D'和正五边形
ABCDE 的中心，连接 AD ，CD'交于点 P ，则∠APD'＝
( B )
A. 72° B. 81°
C. 76° D. 80°
B
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点拨：如图，连接 AC ， OA ， OC ， OD ，OD'.
作☉ O ，使正方形AB'C'D'与正五边形 ABCDE 内接于☉ O ，
则∠ACD'＝ ∠AOD'＝ × ＝45°，
∠ CAD ＝ ∠ COD ＝ × ＝36°.
∴∠APD'＝∠ CAD ＋∠ACD'＝36°＋45°＝81°.
故选B.
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11. 若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的
边长为 .
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12. 【新考向 数学文化】刘徽是我国魏晋时期卓越的数学
家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的
内接正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积.设半径
为1的圆的面积与其内接正 n 边形的面积差为△ n ，如图
①，图②，若用圆的内接正八
边形和内接正十二边形逼近半
径为1的圆，求△8－△12的值.
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解：如图①，作 AC ⊥ BO ，易知∠ AOB ＝ ＝45°，∴ OC ＝ AC .
设 OC ＝ AC ＝ x ，根据勾股定理得 x2＋ x2＝12，解得 x ＝
(负值已舍去).
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∴ S△ AOB ＝ ×1× ＝ .如图②，作 EH ⊥ OF ，易知
∠ EOF ＝ ＝30°，
∴ EH ＝ OE ＝ .∴ S△ EOF ＝ ×1× ＝ .
∴△8－△12＝( S圆－ S正八边形)－( S圆－ S正十二边形)＝ S正十二边形－ S正八边形＝12× －8× ＝3－2 .
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13. 如图①，正五边形 ABCDE 内接于☉ O ，阅读以下作图过
程，并回答下列问题.如图②，(ⅰ)作直径 AF ；(ⅱ)以点 F
为圆心， FO 为半径作圆弧，与☉ O 交于点 M ， N ；(ⅲ)
连接 AM ， MN ， NA .
(1)求∠ ABC 的度数.
解：(1)∵五边形 ABCDE 是正五
边形，∴∠ ABC ＝ ＝108°.
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(2)△ AMN 是正三角形吗？
请说明理由.
13. 如图①，正五边形 ABCDE 内接于☉ O ，阅读以下作图过
程，并回答下列问题.如图②，(ⅰ)作直径 AF ；(ⅱ)以点 F
为圆心， FO 为半径作圆弧，与☉ O 交于点 M ， N ；(ⅲ)
连接 AM ， MN ， NA .
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解：(2)△ AMN 是正三角形.
理由：如图②，连接 ON ， NF ，由题意可得， FN ＝ ON ＝ OF ，
∴△ FON 是等边三角形.
∴∠ NFA ＝60°.∴∠ NMA ＝60°.
同理可得∠ ANM ＝60°.
∴∠ MAN ＝60°.∴△ MAN 是正三角形.
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(3)从点 A 开始，以 DN 长为边长，在☉ O 上依次截取点，
再依次连接这些分点，得到正 n 边形，求 n 的值.
13. 如图①，正五边形 ABCDE 内接于☉ O ，阅读以下作图过
程，并回答下列问题.如图②，(ⅰ)作直径 AF ；(ⅱ)以点 F
为圆心， FO 为半径作圆弧，与☉ O 交于点 M ， N ；(ⅲ)
连接 AM ， MN ， NA .
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解：(3)如图②，连接 OD ，
∵∠ AMN ＝60°，∴∠ AON ＝120°.
∵∠ AOD ＝ ×2＝144°，
∴∠ NOD ＝∠ AOD －∠ AON ＝144°－120°＝24°.
∵360°÷24°＝15，∴ n 的值是15.
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第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定和性质
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. 【新考法 概念辨析法】下列说法中，正确的是( D )
A. 经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的
切线
B. 和圆有公共点的直线是圆的切线
C. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是这个圆的
切线
D
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2. [2023重庆B卷]如图， AB 为☉ O 的直径，直线 CD 与☉ O
相切于点 C ，连接 AC ，若∠ ACD ＝50°，则∠ BAC 的度
数为( B )
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
B
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3. 如图，已知☉ O 的半径为5，直线 AB 经过☉ O 上一点 P ，
下列条件不能判定直线 AB 与☉ O 相切的是( A )
A. OP ＝5
B. ∠ APO ＝∠ BPO
C. 点 O 到直线 AB 的距离是5
D. OP ⊥ AB
A
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4. 如图， PB 与☉ O 相切于点 B ， OP 与☉ O 相交于点 A ，∠ P ＝30°，若☉ O 的半径为2，则 OP 的长为 .
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5. [2024重庆月考]如图，已知 AB 与☉ O 相切于点 A ， AC 是
☉ O 的直径，连接 BC 交☉ O 于点 D ， E 为☉ O 上一点，当
∠ CED ＝58°时，∠ B 的度数是 .
58°
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6. [2023哈尔滨期末] 如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ，以 AB
上一点 O 为圆心， OA 为半径的圆与 BC 相切于点 C ，若
BC ＝4 ，则☉ O 的半径为 .
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7. [2023商丘期中]如图， A ， B 是☉ O 上的两点，过点 O 作
OB 的垂线交 AB 于点 C ，交☉ O 于点 E ，交☉ O 的切线
AD 于点 D .
(1)求证： DA ＝ DC ；
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(1)证明：∵ OB ⊥ OC ， AD 是☉ O 的切线，
∴∠ BOC ＝90°，∠ OAD ＝90°.
∴∠ BCO ＋∠ OBC ＝∠ OAC ＋∠ CAD ＝90°.
∵ OB ＝ OA ，∴∠ OBC ＝∠ OAC .
∴∠ BCO ＝∠ CAD .
∵∠ BCO ＝∠ ACD ，∴∠ ACD ＝∠ CAD .
∴ DA ＝ DC .
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7. [2023商丘期中]如图， A ， B 是☉ O 上的两点，过点 O 作
OB 的垂线交 AB 于点 C ，交☉ O 于点 E ，交☉ O 的切线
AD 于点 D .
(2)当 OA ＝5， OC ＝1时，求 DA 及 DE 的长.
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(2)解：∵ DA ＝ DC ，
∴设 DA ＝ x ，则 OD ＝ x ＋1，∴在Rt△ OAD 中， OA2＋ AD2＝ OD2，即52＋ x2＝( x ＋1)2，解得 x ＝12，∴ DA ＝12.∴ OD ＝13.
∵ OE ＝ OA ，∴ OE ＝5.∴ DE ＝ OD － OE ＝13－5＝8.
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8. [2023·保定期中 新视角·开放型问题]在黑板上有如下内
容：“如图，半圆 O 的直径 AB ＝2，点 C 在半圆上，过点
C 的直线交 AB 的延长线于点 D . ”王老师要求添加条件
后，编制一道题目，下列判断正确的是( D )
D
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嘉嘉：若给出∠ DCB ＝∠ BAC ，则可证明直线 CD 是半
圆 O 的切线；
淇淇：若给出直线 CD 是☉ O 的切线，且 BC ＝ BD ，则可
求出△ ADC 的面积.
A. 只有嘉嘉的正确
B. 只有淇淇的正确
C. 嘉嘉和淇淇的都不正确
D. 嘉嘉和淇淇的都正确
【答案】D
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点拨：如图，连接 OC .
∵ AB 是半圆 O 所在圆的直径，∴∠ ACB ＝90°.
∵ OA ， OC 是半径，∴∠ OAC ＝∠ OCA .
∵∠ OCA ＋∠ OCB ＝90°，∴∠ OAC ＋∠ OCB ＝90°.
嘉嘉给出的条件是∠ DCB ＝∠ BAC ，即∠ DCB ＝∠ OAC .
∴∠ DCB ＋∠ OCB ＝90°，即 OC ⊥ CD ，且 OC 是半圆 O 的半径.
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∴直线 CD 是半圆 O 的切线，故嘉嘉给出的条件正确.
淇淇给出的条件是直线 CD 是☉ O 的切线，且 BC ＝ BD ，
则 OC ⊥ CD ，且△ BCD 是等腰三角形.
∴∠ DCB ＋∠ BCO ＝∠ ACO ＋∠ BCO ＝90°.
∴∠ ACO ＝∠ DCB .
易知∠ COB ＝2∠ ACO ，∠ CBO ＝2∠ DCB ，
∴∠ COB ＝∠ CBO . ∴ CO ＝ CB .
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∵ CO ＝ BO ，∴△ OBC 是等边三角形.
∴∠ COB ＝∠ CBO ＝60°.
∴∠ CAB ＝∠ ACO ＝∠ BCD ＝∠ D ＝30°.
∵ AB ＝2，∴ OA ＝ OC ＝ OB ＝ BC ＝ BD ＝1，∴ AD ＝3.
如图，过点 C 作 CE ⊥ OB 于点 E ，
∵△ OBC 是等边三角形，∴ CE ＝ .∴ S△ ADC ＝ AD · CE
＝ ×3× ＝ ，故淇淇给出的条件正确.故选D.
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9. [2024淮安月考]如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6， BC ＝
9， M 是 AB 的中点， P 是 BC 边上的动点，连接 PM ，以
点 P 为圆心， PM 长为半径作☉ P . 当☉ P 与矩形 ABCD 的
边 CD 所在直线相切时， BP 的长为 .
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10. [2023扬州一模]如图，以点 O 为圆心， AB 长为直径作
圆，在☉ O 上取一点 C ，延长 AB 至点 D ，连接 DC ，其
中∠ DCB ＝∠ DAC ，过点 A 作 AE ⊥ AD 交 DC 的延长线
于点 E .
(1)求证： CD 是☉ O 的切线；
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(1)证明：连接 OC ，如图.
∵ AB 为直径，
∴∠ ACB ＝90°，即∠ BCO ＋∠ OCA ＝90°.
又∵∠ DCB ＝∠ DAC ，∠ DAC ＝∠ OCA ，
∴∠ OCA ＝∠ DCB .
∴∠ DCB ＋∠ BCO ＝90°，即∠ DCO ＝90°.
∵ OC 是☉ O 的半径，∴ CD 是☉ O 的切线.
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10. [2023扬州一模]如图，以点 O 为圆心， AB 长为直径作
圆，在☉ O 上取一点 C ，延长 AB 至点 D ，连接 DC ，其
中∠ DCB ＝∠ DAC ，过点 A 作 AE ⊥ AD 交 DC 的延长线
于点 E .
(2)若 CD ＝4， DB ＝2，求 AE 的长.
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(2)解：连接 OE ，如图.
∵∠ DCO ＝90°， OC ＝ OB ，
∴ OC2＋ CD2＝ OD2.∴ OB2＋42＝( OB ＋2)2.
∴ OB ＝3.∴ AB ＝6.
易得Rt△ OCE ≌Rt△ OAE ，∴ CE ＝ AE .
∵ AD2＋ AE2＝ DE2，
∴(6＋2)2＋ AE2＝(4＋ AE )2，
解得 AE ＝6.∴ AE 的长为6.
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11. [2023南昌期中]如图，在平面直角坐标系中， AB ∥
OC ， A (0，2 )， C (－4，0)，且 AB ＝2.以 BC 为直径
作☉ O1交 OC 于点 D ，过点 D 作直线 DE 交线段 OA 于点
E ，且∠ EDO ＝30°.
(1)求证： DE 是☉ O1的切线；
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(1)证明：连接 O1 D ， BD ，如图①，
∵ A (0，2 )， C (－4，0)，∴ OA ＝2 ， OC ＝4.
∵以 BC 为直径作☉ O1交 OC 于点 D ，
∴∠ BDC ＝90°.
∵ AB ∥ OC ， OC ⊥ OA ，
∴ AB ⊥ OA . ∴四边形 ABDO 为矩形.
∴ OD ＝ AB ＝2， BD ＝ OA ＝2 .
∴ CD ＝ OC － OD ＝4－2＝2.
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∴ BC ＝ ＝4.∴ O1 C ＝ O1 D ＝2.
∴△ O1 CD 为等边三角形.
∴∠ O1 CD ＝∠ O1 DC ＝60°.
∵∠ EDO ＝30°，∴∠ O1 DE ＝180°－
∠ O1 DC －∠ EDO ＝90°.∴ O1 D ⊥ DE .
∵ O1 D 为☉ O1的半径，∴ DE 是☉ O1的切线.
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11. [2023南昌期中]如图，在平面直角坐标系中， AB ∥
OC ， A (0，2 )， C (－4，0)，且 AB ＝2.以 BC 为直径
作☉ O1交 OC 于点 D ，过点 D 作直线 DE 交线段 OA 于点
E ，且∠ EDO ＝30°.
(2)若线段 BC 上存在一点 P ，使以点 P 为圆心， PC 为半径的☉ P 与 y 轴相切，求点 P 的坐标.
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(2)解：∵线段 BC 上存在一点 P ，使以点 P 为圆心， PC 为半径的☉ P 与 y 轴相切，∴点 P 到 y 轴的距离等于 PC .
过点 P 作 PF ⊥ y 轴于点 F ， PH ⊥ x 轴于点 H ，如图
②，则 PF ＝ PC .
由(1)知：∠ BCO ＝60°，∴∠ CPH ＝30°.
∴ CH ＝ PC .
由勾股定理，得 PH ＝ PC .
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∵ PF ⊥ y 轴， PH ⊥ x 轴， OA ⊥ OC ，
∴四边形 PHOF 为矩形.
∴ OH ＝ PF ＝ PC .
∴ OC ＝ CH ＋ OH ＝ PC ＋ PC ＝4.∴ PC ＝ .
∴ PF ＝ OH ＝ ， PH ＝ × ＝ .
∴点 P 的坐标为 .
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1(共23张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. 如图，已知 PA ， PB 是☉ O 的两条切线， A ， B 为切点，
线段 OP 交☉ O 于点 M . 则下列说法不正确的是( D )
A. PA ＝ PB B. OP ⊥ AB
C. ∠ APO ＝∠ BPO D. OM ＝ MP
D
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2. 【新考法 性质辨析法】已知☉ O 是△ ABC 的内切圆，则
点 O 是△ ABC 的( B )
A. 三条边的垂直平分线的交点
B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点
D. 三条高的交点
B
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3. [2024连云港月考]如图， AB ， AC ， BD 是☉ O 的切线，
切点分别是 P ， C ， D . 若 AB ＝10， AC ＝6，则 BD 的长
是( B )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
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4. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝70°，点 O 是△ ABC 的内心，
则∠ BOC 的度数是( C )
A. 140° B. 135°
C. 125° D. 110°
C
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5. 如图， PA ， PB 是☉ O 的切线， AC 是☉ O 的直径，∠ P
＝62°，则∠ BOC 的度数为( B )
A. 60° B. 62°
C. 31° D. 70°
B
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6. [2023·广州期末 教材P100例2变式]如图，四边形 ABCD 是
☉ O 的外切四边形，且 AB ＝8， CD ＝15，则四边形
ABCD 的周长为 .
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7. 【新考向 数学文化】《九章算术》是我国古代内容极为丰
富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五
步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角
形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该
直角三角形内能容纳的最大圆的直径是 步.
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8. 已知： PA ， PB ， CD 分别切☉ O 于 A ， B ， E 三点， PA
＝6.
(1)求△ PCD 的周长；
解：(1)∵ PA ， PB 切☉ O 于点 A ， B ，
CD 切☉ O 于点 E ，
∴ PA ＝ PB ＝6， ED ＝ BD ， CE ＝ AC .
∴△ PCD 的周长＝ PD ＋ DE ＋ PC ＋ CE ＝2 PA ＝12.
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8. 已知： PA ， PB ， CD 分别切☉ O 于 A ， B ， E 三点， PA
＝6.
(2)若∠ P ＝50°，求∠ COD 的度数.
解：(2)连接 OE .
由切线的性质，得∠ OAC ＝∠ OEC ＝
∠ OED ＝∠ OBD ＝90°，
∴∠ AOB ＋∠ P ＝360°－180°＝180°.
∴∠ AOB ＝180°－∠ P ＝130°.
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∵ AC ＝ CE ， CO ＝ CO ，
∴Rt△ ACO ≌Rt△ ECO .
∴∠ AOC ＝∠ EOC .
同理可得∠ EOD ＝∠ BOD ，
∴∠ COD ＝ ∠ AOB ＝ ×130°＝65°.
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9. [2023聊城]如图，点 O 是△ ABC 外接圆的圆心，点 I 是
△ ABC 的内心，连接 OB ， IA . 若∠ CAI ＝35°，则∠ OBC
的度数为( C )
A. 15° B. 17.5°
C. 20° D. 25°
C
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点拨：连接 OC ，∵点 I 是△ ABC 的内心，
∴ AI 平分∠ BAC .
∵∠ CAI ＝35°，∴∠ BAC ＝2∠ CAI ＝70°.
∵点 O 是△ ABC 外接圆的圆心，
∴∠ BOC ＝2∠ BAC ＝140°.
∵ OB ＝ OC ，
∴∠ OBC ＝∠ OCB ＝ ×(180°－∠ BOC )＝ ×(180°－
140°)＝20°，故选C.
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10. 如图，等边△ ABC 内切的图形来自我国古代的太极图，
该图形中的黑色部分和白色部分关于等边△ ABC 的内心
成中心对称，则图中黑色部分的面积与△ ABC 的面积之
比是( A )
A. B.
C. D.
A
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11. 已知△ ABC 的周长为14 cm，面积为9.1 cm2，则△ ABC
的内切圆半径是 cm.
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12. 如图，在直角坐标系中，点 B (－7，0)， C (7，0)， AB
－ AC ＝2，则△ ABC 的内切圆圆心 M 的横坐标为 .
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点拨：如图，设△ ABC 的内切圆的各切点分别为 D ， E ，
F ，连接 DM ，
则 DM ⊥ BC ， AF ＝ AE ， BF ＝ BD ， CE ＝ CD .
∵ AB － AC ＝2，即( AF ＋ BF )－( AE ＋ CE )＝2，
∴ BF － CE ＝2.∴ BD － CD ＝2.①
∵ B (－7，0)， C (7，0)，∴ OB ＝7， OC ＝7.
∴ BC ＝14，即 BD ＋ CD ＝14.②
联立①，②，解得 BD ＝8， CD ＝6.∴ OD ＝ OC － CD ＝1.
∴圆心 M 的横坐标为1.故答案为1.
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13. [2023·昆明二模 新考向·数学文化]
【问题引入】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦
九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海
伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 a ，
b ， c ，记 p ＝ ，那么三角形的面积为 S ＝
，在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，
∠ C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，若 a ＝3， b ＝4， c ＝
5，则△ ABC 的面积为6.
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【问题探索】如图，在△ ABC 中，设 BC ＝ a ， AC ＝ b ，
AB ＝ c ， p ＝ ，☉ M 是△ ABC 的内切圆，☉ N 分别
与 AC 的延长线、 AB 的延长线以及线段 BC 均只有一个公共
点，☉ M 的半径为 m ，☉ N 的半径为 n .
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(1)分析与证明：连接 MA ， MB ， MC ，则△ ABC 被划
分为三个小三角形，用 S 表示△ ABC 的面积，即 S ＝
S△ MBC ＋ S△ MCA ＋ S△ MAB ，那么 S ＝ p · m 是否成
立？请证明你的结论.
解：(1) S ＝ p · m 成立.
证明：∵ S ＝ S△ MBC ＋ S△ MCA ＋ S△ MAB ＝ ＋ ＋ ＝ × m ，且 p ＝ ，∴ S ＝ p · m .
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(2)理解与应用：当∠ A ＝60°， m ＝2， n ＝6时，求△ ABC
的面积.
解：(2)∵☉ N 分别与 AC 的延长线、 AB 的延长线以及线
段 BC 均只有一个公共点，
∴ AB ， AC ， BC 与☉ N 分别相
切于点 D ， F ， E .
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如图，连接 ND ， NF ， AN .
则 AD ＝ AF ， CF ＝ CE ， BE ＝ BD .
∴ AD ＝ AF ＝ ( AB ＋ BD ＋ AC ＋ CF )＝ ( AB ＋ BE ＋
AC ＋ CE )＝ ( AB ＋ BC ＋ CA )＝ p .
∵ ND ⊥ AB ， NF ⊥ AC ， ND ＝ NF ，∴ AN 平分∠ CAB .
∴∠ NAD ＝ ∠ CAB ＝30°.
∵在Rt△ ADN 中， DN ＝ n ＝6，∴ AN ＝12，
根据勾股定理，得 AD ＝6 ＝ p .
∴ S△ ABC ＝ p · m ＝6 ×2＝12 .
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1(共27张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. 下列说法中，不正确的是( B )
A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 圆的任一直径都是圆的对称轴
C. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合
D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
B
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2. 如图，已知☉ O 的直径 AB ⊥ CD 于点 E ，则下列结论不一
定成立的是( B )
A. CE ＝ DE B. AE ＝ OE
C. ＝ D. △ OCE ≌△ ODE
B
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3. 【新考法 性质辨析题】下列说法正确的是( D )
A. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
D. 平分弦所对的两条弧的直径平分弦
D
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4. 如图，在☉ O 中，弦 AB 的长为24 cm，圆心 O 到 AB 的距
离是5 cm，则☉ O 的半径是( B )
A. 8 cm B. 13 cm
C. 15 cm D. 18 cm
B
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5. [2024扬州月考]如图，☉ O 的直径 AB ＝10 cm， C 是☉ O
上一点，点 D 平分 ， DE ＝2 cm，则弦 AC ＝ .
6 cm
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6. 如图，☉ O 的直径 CD ＝10 cm， AB 是☉ O 的弦， AM ＝
BM ， OM ∶ OC ＝3∶5，则 AB ＝ .
8 cm
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7. 如图， A ， B ， C 是☉ O 上的点， OC ⊥ AB ，垂足为点
D ，且 D 为 OC 的中点，若 OA ＝7，则 BC ＝ .
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8. 【新视角 动点探究题】如图，☉ O 的直径为10 cm，弦 AB
＝8 cm， P 是弦 AB 上的一个动点，则 OP 长的取值范围
是 .
3 cm≤ OP ≤5 cm
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9. [2023杭州期末]如图， OA ＝ OB ， AB 交☉ O 于点 C ，
D ， OE 是☉ O 的半径，且 OE ⊥ AB 于点 F .
(1)求证： AC ＝ BD .
(1)证明：∵ OE ⊥ AB ， OE 是☉ O 的半径，
∴ CF ＝ DF . ∵ OA ＝ OB ， OE ⊥ AB ，
∴ AF ＝ BF . ∴ AF － CF ＝ BF － DF .
∴ AC ＝ BD .
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9. [2023杭州期末]如图， OA ＝ OB ， AB 交☉ O 于点 C ，
D ， OE 是☉ O 的半径，且 OE ⊥ AB 于点 F .
(2)若 CD ＝8， EF ＝2，求☉ O 的半径.
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∵在Rt△ OCF 中， CO2＝ CF2＋ OF2，
∴ r2＝42＋( r －2)2.∴ r ＝5.∴☉ O 的半径是5.
(2)解：连接 OC ，设☉ O 的半径是 r ，
则 OC ＝ OE ＝ r .
∵ EF ＝2，∴ OF ＝ r －2.
∵ OE ⊥ AB ，∴∠ OFC ＝90°.
∵ CF ＝ DF ， CD ＝8，
∴ CF ＝ CD ＝4.
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10. 如图，☉ O 的弦 AB 垂直于 CD ， E 为垂足， AE ＝3， BE
＝7，且 AB ＝ CD ，则圆心 O 到 CD 的距离是( A )
A. 2 B. 2
C. D.
A
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11. 【新考向 数学文化】“圆材埋壁”是我国古代数学名著
《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几
何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图， CD 为☉ O 的直径，弦 AB ⊥ CD ，垂足为 E ， CE ＝1寸， AB ＝
10寸，则直径 CD ＝( B )
B
A. 25寸 B. 26寸
C. 27寸 D. 28寸
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12. 【新考法 分类讨论法】☉ O 的半径为5 cm， AB ， CD 是
☉ O 的两条弦， AB ∥ CD ， AB ＝8 cm， CD ＝6 cm，则
弦 AB 和 CD 之间的距离为 .
1 cm或7 cm
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点拨：如图①，当 AB 和 CD 在圆心 O 的同侧时，连接 OB ，
OD ，作 OM ⊥ AB 于点 M ，延长 OM 交 CD 于点 N ，则 BM
＝ AM .
∵ AB ∥ CD ，∴ ON ⊥ CD . ∴ DN ＝ CN .
∵ AB ＝8 cm， CD ＝6 cm，∴ BM ＝4 cm， DN ＝3 cm.
∵☉ O 的半径为5 cm，∴ OB ＝ OD ＝5 cm.
∴由勾股定理得 OM ＝3 cm， ON ＝4 cm.
∴ MN ＝1 cm.
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如图②，当 AB 和 CD 在圆心 O 的两侧时，连接 OB ， OD ，
作 OM ⊥ AB 于点 M ，延长 MO 交 CD 于点 N ，则 ON ⊥ CD .
同理可得 OM ＝3 cm， ON ＝4 cm.
∴ MN ＝7 cm.
综上，弦 AB 与 CD 之间的距离为1 cm或7 cm.
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13. 如图，在☉ O 中，弦 AB ＝9，点 C 在 AB 上移动，连接
OC ，过点 C 作 CD ⊥ OC 交☉ O 于点 D ，则 CD 的最大值
为 .
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点拨： 连接 OD . ∵ OC ⊥ CD ，∴∠ OCD ＝90°.
∴ CD ＝ .∵ OD 为半径是定值，
∴要使 CD 最大， OC 必须最小.∵ C 是弦 AB 上一点，
∴当 OC ⊥ AB 时， OC 最短.此时点 D 与点 B 重合，点 C
在 AB 的中点处.∴ CD 的最大值是 AB ＝ ×9＝ .
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14. [2023·太原一模 情境题·生活应用]如图，一座拱桥的截面
是圆弧形，它的跨度 AB ＝60米，拱高 PD ＝18米.
(1)求圆弧所在的圆的半径；
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解：(1)如图，连接 OA ，设圆弧所在圆的半径为 r 米，
则 OD ＝( r －18)米.
由题意易得 OD ⊥ AB ，∴ AD ＝ AB ＝30米.
在Rt△ ADO 中，由勾股定理得 r2＝302＋( r －18)2，
解得 r ＝34.∴圆弧所在圆的半径为34米.
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(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施.
若拱顶离水面只有4米，即 PE ＝4米时，是否要采
取紧急措施？
14. [2023·太原一模 情境题·生活应用]如图，一座拱桥的截面
是圆弧形，它的跨度 AB ＝60米，拱高 PD ＝18米.
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解：(2)如图，连接OA'.由(1)知A'O＝ OP ＝34米，
∴ OE ＝ OP － PE ＝30米.
易知 OE ⊥A'B'，
∴A'E＝B'E，∠A'EO＝90°.
∴在Rt△A'EO中，由勾股定理得A'E2＝A'O2－ OE2，
即A'E2＝342－302，
∴A'E＝16米.
∴A'B'＝32米.
∵32米＞30米，∴不需要采取紧急措施.
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15. 如图，已知☉ O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E ，连接 CO
并延长交 AD 于点 F ，且 CF ⊥ AD .
(1)求证：点 E 是 OB 的中点；
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(1)证明：如图，连接 AC .
∵直径 AB ⊥弦 CD 于点 E ，∴∠ AEC ＝∠ AED ＝90°， CE ＝ DE .
在△ ACE 和△ ADE 中，
∴△ ACE ≌△ ADE (SAS).∴ AC ＝ AD .
同理可得 CA ＝ CD ，∴ AC ＝ CD ＝ AD .
∴△ ACD 是等边三角形.∴易得∠ OCE ＝30°.∴ OE ＝ OC .
∵ OB ＝ OC ，∴ OE ＝ OB .
∴ E 是 OB 的中点.
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(2)若 AB ＝12，求 CD 的长.
(2)解：∵直径 AB ＝12，∴ OC ＝6.
∴ OE ＝ OC ＝3.
∴在Rt△ OCE 中， CE ＝ ＝ ＝3 .
∴ CD ＝2 CE ＝6 .
15. 如图，已知☉ O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E ，连接 CO
并延长交 AD 于点 F ，且 CF ⊥ AD .
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1(共20张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. [2024绍兴月考]下列条件中，能确定一个圆的是( C )
A. 以点 O 为圆心
B. 以3 cm长为半径
C. 以点 O 为圆心，以3 cm长为半径
D. 经过已知点 A
C
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2. 已知☉ O 的半径是3 cm，则☉ O 中最长的弦长是( B )
A. 3 cm B. 6 cm
C. 1.5 cm D. cm
B
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3. 如图，在☉ O 中，弦的条数是( C )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
C
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4. 如图，以坐标原点 O 为圆心的圆与 y 轴交于点 A ， B ，且
AB ＝2，则点 B 的坐标是( B )
A. (0，1) B. (0，－1)
C. ( 1，0) D. (－1，0)
B
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5. [2023泰州模拟]如图， MN 为☉ O 的弦，∠ N ＝52°，则∠ MON 的度数为( C )
A. 38° B. 52°
C. 76° D. 104°
C
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6. [2024泰州月考]下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；
②直径是弦；
③弦是直径；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆；
⑤等弧所在的圆一定是等圆或同圆；
⑥优弧大于劣弧.
其中错误的说法有( C )
A. 1种 B. 2种
C. 3种 D. 4种
C
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7. [教材P80例1变式]下列各组图形中，四个顶点一定在同一
个圆上的是( B )
A. 矩形，菱形 B. 矩形，正方形
C. 菱形，正方形 D. 平行四边形，菱形
B
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8. [2023宁波期中]如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A
＝40°，以点 C 为圆心， CB 为半径的圆交 AB 于点 D ，则
∠ ACD ＝ .
10°
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9. 如图，在☉ O 中， C ， D 分别是半径 AO ， BO 的中点，求
证： AD ＝ BC .
证明：∵ AO ， BO 是☉ O 的半径，∴ AO ＝ BO .
∵ C ， D 分别是半径 AO ， BO 的中点，
∴ OC ＝ OA ， OD ＝ OB . ∴ OC ＝ OD .
在△ ODA 和△ OCB 中，
∴△ ODA ≌△ OCB (SAS).∴ AD ＝ BC .
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10. 如图，将大小不同的两块量角器的零刻度线对齐，且小
量角器的中心 O2恰好在大量角器的圆周上，设两圆周的
交点为 P ，且点 P 在小量角器上对应的刻度为63°，那么
点 P 在大量角器上对应的刻度为 .(只考虑小于
90°的角)
54°
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11. 如图，∠ ABC ＝60°，点 D 为 BA 边上一点， BD ＝10，
点 O 为线段 BD 的中点，以点 O 为圆心，线段 OB 的长为
半径作弧，交 BC 于点 E ，连接 DE ，则 BE 的长为 .
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12. 【新考向 数学文化 教材P81练习T3变式】我国古代的数
学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”(即直角
形状的曲尺，如图①)的使用之道，其中就有“环矩以为
圆”的方法.我国许多数学家对该方法作了如下更具体的
描述：如图②，在平面内固定两个钉子 A ， B ，保持
“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则
“矩”的顶点 C 的
运动路线将会是一个圆.
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请你用学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种
方法的道理，并说明理由.
解：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合.
理由：连接 AB ，取 AB 的中点 O ，连接 CO ，则 AO ＝ BO
＝ CO ，即点 A ， B ， C 到点 O 的距离相等，所以“环矩以
为圆”这种方法的道理是“圆是
平面内到定点的距离等于定长的
所有点的集合”.
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13. 已知☉ O 的直径 AB ＝12，点 C 是圆上一点，且∠ ABC ＝
30°，点 P 是弦 BC 上一动点，过点 P 作 PD ⊥ OP 交☉ O
于点 D .
(1)如图①，当 PD ∥ AB 时，求 PD 的长；
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解：(1)连接 OD .
∵直径 AB ＝12，∴ OB ＝ OD ＝6.
∵ PD ⊥ OP ，∴∠ DPO ＝90°.
∵ PD ∥ AB ，∴∠ DPO ＋∠ POB ＝180°.
∴∠ POB ＝90°.∵∠ ABC ＝30°，
∴ BP ＝2 OP . 设 OP ＝ x ，则 BP ＝2 x .
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在Rt△ BOP 中， OP2＋ OB2＝ PB2， 即 x2＋62＝(2 x )2，
∴ x ＝2 ，即 OP ＝2 .
∵在Rt△ POD 中， PO2＋ PD2＝ OD2，
∴ (2 )2＋ PD2＝62.
∴ PD ＝2 .
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13. 已知☉ O 的直径 AB ＝12，点 C 是圆上一点，且∠ ABC ＝
30°，点 P 是弦 BC 上一动点，过点 P 作 PD ⊥ OP 交☉ O
于点 D .
(2)如图②，当 PB 平分∠ OPD 时，求 PC 的长.
解：(2)过点 O 作 OH ⊥ BC ，垂足为 H ，连接
OC . ∵ OH ⊥ BC ，∴∠ OHB ＝∠ OHP ＝90°.
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∵∠ ABC ＝30°， OB ＝6，
∴ OH ＝ OB ＝3.∴易得 BH ＝3 .
∵ OH ⊥ BC ， OC ＝ OB ，∴ CH ＝ BH ＝3 .
∵ PB 平分∠ OPD ，∠ OPD ＝90°，
∴ ∠ BPO ＝ ∠ DPO ＝45°.∴易得 PH ＝ OH ＝3.
∴ PC ＝ CH － PH ＝3 －3.
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1(共23张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. [2023长沙期末]已知☉ O 的半径为3， OA ＝5，则点 A 在
( C )
A. ☉ O 内 B. ☉ O 上
C. ☉ O 外 D. 无法确定
C
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2. 下列说法不正确的是( A )
A. 三点确定一个圆
B. 三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点
C. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
D. 三角形有且只有一个外接圆
A
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3. [教材P101习题T2变式]如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，
AB ＝5， BC ＝4.以点 A 为圆心， r 为半径作圆，当点 C 在
☉ A 内且点 B 在☉ A 外时， r 的值可能是( C )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
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4. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点
与圆的位置关系只能是( D )
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内
D
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5. [2024南京月考]如图，点 A ， B ， C ， D 均在直线 l 上，点
P 在直线 l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的
个数为( D )
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
D
点易错：经过三点确定一个圆的条件是“三个点不在同一
条直线上”.
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6. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝4， BC ＝3，则△ ABC
的外心在△ ABC 的 (填“内部”“外部”或“边
上”)；其外接圆的半径为 .
边上
2.5
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7. [2023广安]如图，△ ABC 内接于☉ O ，圆的半径为7，
∠ BAC ＝60°，则弦 BC 的长度为 .
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8. [2023·江苏宿迁二模 新视角·操作实践题]如图，在平面直
角坐标系中，点 A ， B ， C 都在格点上，过 A ， B ， C 三
点作一段圆弧，则圆心的坐标是 .
(2，1)
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9. 用反证法证明：对角互补的四边形共圆.
已知：四边形 ABCD 中，∠ B ＋∠ ADC ＝180°.
求证：四边形 ABCD 内接于同一个圆( A ， B ， C ， D 四点
共圆).
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证明：如图①，假设 A ， B ， C ， D 四点不共圆，过 A ，
B ， C 三点作圆， D 点在圆内，延长 AD 与圆交于点 E ，
连接 CE .
则∠ B ＋∠ E ＝180°.
∵∠ ADC ＞∠ E ，∴∠ B ＋∠ ADC ＞180°.
这与已知条件∠ B ＋∠ ADC ＝180°矛盾，故假设不成
立，原结论正确，即 A ， B ， C ， D 四点共圆.
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如图②，假设 A ， B ， C ， D 四点不共圆，过 A ， B ， C 三
点作圆， D 点在圆外，令 CD 与圆交于点 E ，连接 AE ，则
∠ B ＋∠ AEC ＝180°.
∵∠ ADC ＜∠ AEC ，∴∠ B ＋∠ ADC ＜180°.
这与已知条件∠ B ＋∠ ADC ＝180°矛盾，故假设不成立，原结论正确，即 A ， B ， C ， D 四点共圆.
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10. 已知☉ O 的半径是一元二次方程 x2－3 x －4＝0的一个
根，圆心 O 到点 A 的距离 d ＝6，则点 A 与☉ O 的位置关
系是( B )
A. 点 A 在☉ O 上
B. 点 A 在☉ O 外
C. 点 A 在☉ O 内
D. 无法判断
B
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11. 【新考法 分类讨论法】平面内一点 P 与☉ O 上的点的最
小距离是2，最大距离是8，则☉ O 的直径是( A )
A. 6或10 B. 3或5
C. 6 D. 5
点易错：因为点与圆的位置关系不能确定，故应当分两
种情况讨论：①点在圆内；②点在圆外.
A
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12. [2024盐城期末]如图，在5×7网格中，各小正方形边长均
为1，点 O ， A ， B ， C ， D ， E 均在格点上，点 O 是
△ ABC 的外心，在不添加其他字母的情况下，除△ ABC
外，外心也是 O 的三角形有
.
△ ABD ，△ ACD ，
△BCD
点思路：结合网格利用勾股定理分别求解 OA ， OB ， OC ， OD ， OE ，根据三角形的外心到三角形顶点的距离相等可求解.
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13. 如图，已知∠ AOB ＝30°， C 是射线 OB 上一点，且 OC
＝4.若以点 C 为圆心， r 为半径的圆与射线 OA 有两个不
同的交点，则 r 的取值范围是 .
2＜ r ≤4
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14. 如图，要把残破的圆片修复完整，已知圆上的三点 A ，
B ， C .
(1)用直尺和圆规作出过点 A ，
B ， C 的圆(保留作图痕
迹，不写作法)；
解：(1)作图如图.
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14. 如图，要把残破的圆片修复完整，已知圆上的三点 A ，
B ， C .
(2)若△ ABC 是等腰三角形，底边 BC ＝8，腰 AB ＝5，求
圆片的半径 R .
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解：(2)如图，连接 OB ， OA ， OA 交 BC 于点 E .
∵ AB ＝ AC ，∴ ＝ .
∴ AE ⊥ BC ， BE ＝ BC ＝4.
∵在Rt△ ABE 中， AB ＝5， BE ＝4，
∴ AE ＝ ＝ ＝3.
在Rt△ OBE 中， R2＝42＋( R －3)2，解得 R ＝ .
即圆片的半径 R 为 .
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15. 【新视角 探究题】如图， AD 为△ ABC 外接圆的直径，
AD ⊥ BC ，垂足为点 F ，∠ ABC 的平分线交 AD 于点
E ，连接 BD ， CD .
(1)求证： BD ＝ CD .
(1)证明：∵ AD 为直径， AD ⊥ BC ，
∴ ＝ .∴ BD ＝ CD .
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15. 【新视角 探究题】如图， AD 为△ ABC 外接圆的直径，
AD ⊥ BC ，垂足为点 F ，∠ ABC 的平分线交 AD 于点
E ，连接 BD ， CD .
(2)请判断 B ， E ， C 三点是否在以 D 为圆
心，以 DB 为半径的圆上？并说明理由.
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(2)解： B ， E ， C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上.理由：如图.
由(1)知， ＝ ，∴∠1＝∠2.
又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.
∵ BE 是∠ ABC 的平分线，∴∠4＝∠5.
∵∠ DBE ＝∠3＋∠4，∠ DEB ＝∠1＋∠5.
∴∠ DBE ＝∠ DEB ，∴ DB ＝ DE .
由(1)知， BD ＝ CD ，∴ DB ＝ DE ＝ DC .
∴ B ， E ， C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上.
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1(共22张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
目 录
CONTENTS
01
1星题 落实四基
02
2星题 提升四能
03
3星题 发展素养
1. 【新考向 知识情境化】如图是“光盘行动”的宣传海报，
图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是( B )
A. 相切 B. 相交
C. 相离 D. 平行
B
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2. [2024聊城月考]已知☉ O 的半径为5，点 O 到直线 a 的距离
为4，则直线 a 与☉ O 的公共点有( B )
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 0个
B
点方法：判断直线与圆的位置关系有两种方法：(1)根据直
线与圆的公共点的个数判断；(2)将圆心与直线的距离 d 与
圆的半径 r 相比较，在没有给出 d 与 r 的情况下，可先利用
图形条件及性质求出 d 与 r 的值，再通过比较大小判定位
置关系.
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3. 已知等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为12 cm，以等腰
三角形底边所对的顶点为圆心，5 cm为半径画圆，那么该
圆与底边的位置关系是( C )
A. 相切 B. 相交
C. 相离 D. 无法确定
C
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4. 已知☉ O 的半径为 R ，点 O 到直线 m 的距离为 d . R ， d 是
方程 x2－4 x ＋ a ＝0的两根，当直线 m 与☉ O 相切时， a
的值是( B )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 无法确定
B
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5. 已知☉ O 的半径为10，直线 l 上有一点 P 满足 PO ＝10，则
直线 l 与☉ O 的位置关系是( D )
A. 相切 B. 相离
C. 相离或相切 D. 相切或相交
D
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6. 在平面直角坐标系中，点 P 的坐标是(2， )，☉ P 的半
径为2，下列说法正确的是( D )
A. ☉ P 与 x 轴相交，与 y 轴相交
B. ☉ P 与 x 轴相离，与 y 轴相离
C. ☉ P 与 x 轴相切，与 y 轴相交
D. ☉ P 与 x 轴相交，与 y 轴相切
D
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7. [2023唐山期中]如图，在矩形 ABCD 中， BC ＝5， AB ＝
2，☉ O 是以 BC 为直径的圆，则直线 AD 与☉ O 的位置关
系是 .
相交
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8. 如图，△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝3， AB ＝5，以 C 为
圆心画圆.
(1)当☉ C 的半径为3.5时，点 B 与☉ C 有怎样的位置关系？
解：(1)点 B 在☉ C 外.
∵在Rt△ ABC 中， AC ＝3， AB ＝5，
∴ BC ＝ ＝ ＝4.
∵ BC ＞3.5，即点 B 到圆心 C 的距离大于☉ C 的半径，∴点 B 在☉ C 外.
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8. 如图，△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝3， AB ＝5，以 C 为
圆心画圆.
(2)当☉ C 与直线 AB 相交时，求☉ C 的半径 r 的范围.
解：(2)过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ，则
CD ＝ ＝ ＝2.4，
∴当☉ C 与直线 AB 相交时， r ＞2.4.
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9. 【新考法 数形结合法】已知☉ O 的半径 r ＝3，设圆心 O
到一条直线的距离为 d ，圆上到这条直线的距离为2的点的
个数为 m ，给出下列命题：
①若 d ＞5，则 m ＝0；②若 d ＝5，则 m ＝1；
③若1＜ d ＜5，则 m ＝2；
④若 d ＝1，则 m ＝3；⑤若 d ＜1，则 m ＝4.
其中正确命题的个数是( D )
A. 4 B. 2 C. 3 D. 5
D
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10. [2024菏泽月考]已知在直角坐标系中，以点 A (0，3)为圆
心，以3为半径作☉ A ，则直线 y ＝ kx ＋2与☉ A 的位置关
系是 (填“相切”“相交”或“相离”).
相交
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11. 如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，
若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范围
是 .
8≤ AB ≤10
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12. 在平面直角坐标系中，以点 A (－2，3)为圆心、 r 为半径
的圆与坐标轴恰好有三个公共点，那么 r 的值为
.
3或
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13. 如图，已知半径为2的☉ P 的圆心 P 在直线 y ＝2 x －1上.
(1)当☉ P 与 x 轴相切时，求 P 点的坐标.
解：(1)设 P 点坐标为( t ，2 t －1).
∵☉ P 与 x 轴相切，
∴｜2 t －1｜＝2，解得 t ＝ 或 t ＝－ .
∴点 P 的坐标为 或 .
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13. 如图，已知半径为2的☉ P 的圆心 P 在直线 y ＝2 x －1上.
(2)当☉ P 与 y 轴相切时，求 P 点的坐标.
解：(2)设 P 点的坐标为( m ，2 m －1)，
∵☉ P 与 y 轴相切，
∴｜ m ｜＝2，解得 m ＝2或 m ＝－2，
∴点 P 的坐标为(2，3)或(－2，－5).
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13. 如图，已知半径为2的☉ P 的圆心 P 在直线 y ＝2 x －1上.
(3)☉ P 是否能同时与 x 轴和 y 轴相切？若能，写出点 P 的
坐标，若不能，请说明理由.
解：(3)不能.理由：由(1)和(2)可知，没有同时满足使☉ P 与 x 轴， y 轴相切的点坐标，
∴☉ P 不能同时与 x 轴和 y 轴相切.
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14. 【新视角 动点探究题】如图，形如量角器的半圆 O 的直
径 DE ＝12 cm，形如三角板的△ ABC 中，∠ ACB ＝
90°，∠ ABC ＝30°， BC ＝12 cm，半圆 O 以2 cm/s的速
度从左向右运动，在运动过程中，点 D ， E 始终在直线
BC 上.设运动时间为 t (s)，当 t ＝0 s时，半圆 O 在△ ABC
的左侧， OC ＝8 cm.当 t 为何值时，△ ABC 的一边所在
直线与半圆 O 所在的圆相切？
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解：①当点 E 与点 C 重合时， AC ⊥ OE ， OC ＝ OE ＝6
cm，所以 AC 边与半圆 O 所在的圆相切，此时半圆 O 运
动了2 cm，运动时间 t ＝ ＝1(s).
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②当点 O 运动到点 C 时，如图①，过点 O 作 OF ⊥ AB ，
垂足为点 F . 在Rt△ FOB 中，∠ FBO ＝30°， OB ＝12
cm，则 OF ＝6 cm，即 OF 等于半圆 O 的半径，所以 AB
与半圆 O 所在的圆相切.此时半圆 O 运动了8 cm，运动时
间为 t ＝ ＝4(s).
③当点 D 与 C 重合时， AC ⊥ OD ， OC ＝ OD ＝6 cm，所以 AC 与半圆 O 所在的圆相切.此时半圆 O 运动了14 cm，运动时间为 t ＝ ＝7(s).
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④当点 O 运动到 B 点的右侧，且 OB ＝12 cm时，如图
②，过点 O 作 OQ ⊥ AB ，垂足为点 Q . 在Rt△ QOB 中，
∠ OBQ ＝30°，则 OQ ＝6 cm，即 OQ 等于半圆 O 所在
圆的半径，所以直线 AB 与半圆 O 所在的圆相切.此时半
圆 O 运动了32 cm，运动时间为 t ＝ ＝16(s).
综上所述，当 t ＝1 s，4 s，7 s或16 s时，△ ABC 的一边所在直线与半圆 O 所在的圆相切.
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