(共33张PPT)
期末复习练案
第二部分 期末专题复习
专题4 问题解决与探究专题
题型一 二次函数中的问题解决与探究
1. 综合与探究
【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一
个长 AD ＝4 m，宽 AB ＝1 m的长方形水池 ABCD 进行加
长改造(如图①，改造后的水池 ABNM 仍为长
方形，以下简称水池1).同时，再建
造一个周长为12 m的
长方形水池 EFGH (如
图②，以下简称水池2).
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【建立模型】
如果设水池 ABCD 的边 AD 加长的长度 DM 为 x1(m)( x1＞0)，加长后水池1的总面积为 y1(m2)，则 y1关于 x1的函数解析式为 y1＝ x1＋4( x1＞0)；设水池2的边 EF 的长为 x2(m)(0＜ x2＜6)，面积为 y2(m2)，则 y2关于 x2的函数解析式为 y2＝－ ＋6 x2(0＜ x2＜6).上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③.
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【问题解决】
(1)若水池2的面积随 EF 长度的增加而减小，则 EF 长度的取
值范围是 (可省略单位)，水池2面积的最大值
是 m2；
3≤ x2＜6
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(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点
是 ，此时 x (m)的值是 ；
C ， E
1，4
(3)当水池1的面积大于水池2的面积时， x (m)的取值范围
是 ；
0＜ x ＜1或4＜ x ＜6
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(4)在1＜ x ＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时 x
的值；
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解：(4)如图，在抛物线上的 CE 段上任取一点 F ，过点 F
作 FG ∥ y 轴交线段 CE 于点 G .
设 F ( m ，－ m2＋6 m )，
则 G ( m ， m ＋4)，
∴ FG ＝(－ m2＋6 m )－( m ＋4)＝－ m2＋5 m －4＝－( m － )2＋ .
∵－1＜0，
∴当 m ＝ 时， FG 有最大值为 .
∴在1＜ x ＜4范围内，两个水池面积差的最大值为 m2，
此时 x 的值为 .
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(5)假设水池1的边 AD 的长度为 b (m)，其他条件不变(这个加
长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积 y3(m2)关
于 x1(m)( x1＞0)的函数解析式为 y3＝ x1＋ b ( x1＞0).若水池
3与水池2的面积相等时， x (m)有唯一值，求 b 的值.
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解：(5)∵水池3与水池2的面积相等，
∴ y3＝ y2，即 x ＋ b ＝－ x2＋6 x .
∴ x2－5 x ＋ b ＝0.
∵当水池3与水池2的面积相等时， x (m)有唯一值，
∴Δ＝(－5)2－4×1× b ＝0，解得 b ＝ .
∴ b 的值为 .
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题型二 旋转中的问题解决与探究
2. 综合与探究
【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘.老师
出示了一个问题：如图①，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，
∠ BAC ＝90°，点 D 是边 BC 上一点
，连接 AD ，将△ ABD
绕着点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与 AC
重合，得到△ ACE .
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【操作探究】
(1)试判断△ ADE 的形状，并说明理由；
解：(1)△ ADE 为等腰直角三角形.理由如下：
由旋转的性质，得∠ DAE ＝∠ BAC ， AD ＝ AE .
∵∠ BAC ＝90°，∴∠ DAE ＝90°.
∴△ ADE 为等腰直角三角形.
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【深入探究】
(2)希望小组受此启发，如图②，在线段 CD 上取一点 F ，使
得∠ DAF ＝45°，连接 EF ，发现 EF 和 DF 有一定的关
系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
解：(2) EF ＝ DF . 理由：
∵∠ DAE ＝90°，∠ DAF ＝45°，
∴∠ EAF ＝∠ DAE －∠ DAF ＝45°.
∴∠ EAF ＝∠ DAF .
又∵ AF ＝ AF ， AD ＝ AE ，
∴△ AFE ≌△ AFD (SAS).∴ EF ＝ DF .
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(3)智慧小组在图②的基础上继续探究，发现 CF ， FD ， DB
三条线段也有一定的数量关系，请写出并计算当 CF ＝3，
BD ＝2时， DF 的长.
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解：(3)∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝90°，∴∠ B ＝∠ ACB ＝45°.
由旋转的性质，得∠ ACE ＝∠ B ＝45°， CE ＝ BD ＝2，
∴∠ FCE ＝90°.∴ EF2＝ CE2＋ CF2，由(2)知 EF ＝
DF ，∴ DF2＝ DB2＋ CF2＝22＋32＝13.
∴ DF ＝ .
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3. 【问题情境】如图①，点 E 为正方形 ABCD 内一点， AE
＝ ， BE ＝2 ，∠ AEB ＝90°，将直角三角形 ABE 绕
点 A 逆时针方向旋转α(0°≤α≤180°)，点 B ， E 的对应点
分别为点B'，E'.
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【问题解决】
(1)如图②，在旋转的过程中，点B'落在了 AC 上，则CB'
＝ ；
5 －5
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(2)若α＝90°，如图③，得到△ ADE '(此时 B '与 D 重合)，延
长 BE 交 DE '于点 F .
①试判断四边形AEFE'的形状，并说明理由；
解：(2)①四边形AEFE'是正方形.理由如下：
由旋转的性质得AE'＝ AE ，
∠EAE'＝90°，∠AE'D
＝∠ AEB ＝90°.
∵∠ AEF ＝180°－∠ AEB ＝90°，
∴四边形AEFE'是矩形.
又∵AE'＝ AE ，∴四边形AEFE'是正方形.
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②连接 CE ，求 CE 的长；
解：(2) ②过点 C 作 CG ⊥ BE 于点 G ，则∠ EAC ＝∠ BGC ＝90°＝∠ AEB ，
∵四边形 ABCD 为正方形，∴ BC ＝ AB ，∠ ABC ＝
90°.
∴∠ CBG ＋∠ BCG ＝∠ CBG ＋
∠ ABE ＝90°.
∴∠ BCG ＝∠ ABE .
∴△ BCG ≌△ ABE (AAS).
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∴ CG ＝ BE ＝2 ， BG ＝ AE ＝ .
∴ EG ＝ BE － BG ＝2 － ＝ .
∴ CE ＝ ＝ ＝5.
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(3)在直角三角形 ABE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，连
接CE'，直接写出线段CE'长度的取值范围.
解：(3)线段CE'长度的取值范围是
5≤CE'≤5 ＋ .
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题型三 圆中的问题解决与探究
4. 综合与实践
【问题提出】(1)如图①，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 MN 进攻，当甲带球冲到 A 点时，乙已跟随冲到 B 点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进.请结合你所学知识，求证：∠ MBN ＞∠ MAN .
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(1)证明：设 AM 与☉ O 交于点 C ，连接 CN .
∵ ＝ ，∴∠ MBN ＝∠ MCN .
∵∠ MCN ＝∠ MAN ＋∠ ANC ＞∠ MAN ，
∴∠ MBN ＞∠ MAN .
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【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问
题的一般描述是：如图②，已知点 A ， B 是∠ MON 的边
OM 上的两个定点， C 是 ON 边上的一个动点，当且仅当
△ ABC 的外接圆与 ON 边相切于点 C 时，∠ ACB 最大.人们称
这一命题为米勒定理.
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【问题解决】(2)如图③，已知点 A ， B 的坐标分别是(0，
1)，(0，3)， C 是 x 轴正半轴上的一个动点，当△ ABC 的外
接圆☉ D 与 x 轴相切于点 C 时，∠ ACB 最大.当∠ ACB 最大
时，求点 C 的坐标.
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(2)解：如图，
连接 DC ，过点 D 作 DE ⊥ AB 交 y 轴于点 E ，连接 BD ，
则 AE ＝ BE ＝ AB ，∠ DEO ＝90°.
∵☉ D 与 x 轴相切于点 C ，∴ DC ⊥ x 轴.∴∠ DCO ＝90°.
易得四边形 COED 是矩形.∴ CD ＝ OE ， DE ＝ OC .
∵ A (0，1)， B (0，3)，∴ OA ＝1， OB ＝3.
∴ AB ＝2，∴ AE ＝ BE ＝1.∴ OE ＝2.
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∴ BD ＝ CD ＝ OE ＝2.
∴ OC ＝ DE ＝ ＝ ＝ .∴ C ( ，0).
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5. 【问题提出】(1)如图①，在等腰直角三角形 ABC 中，
∠ ACB ＝90°， D 是 AB 边上一点，以 CD 为腰作等腰直角三
角形 CDE ，连接 BE ，则 AD 与 BE 的数量关系是
，位置关系是 ；
相
等
垂直
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【问题探究】(2)如图②， AB 是半圆 O 的直径， C ， D
是半圆 O 上两点，且 AC ＝ BC ，若 BD ＝3， AD ＝9，
求 CD 的长；
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解：(2)过点 C 作 CE ⊥ CD 交 AD 于点 E ，如图②.
∵ AB 是半圆 O 的直径，∴∠ ACB ＝90°.
∵ BC ＝ AC ，∴∠ ABC ＝45°.∴∠ ADC ＝∠ ABC ＝45°.
易得△ DCE 是等腰直角三角形.
∵ CE ⊥ CD ，∴∠ BCD ＋∠ BCE ＝90°.
又∵∠ ACE ＋∠ BCE ＝90°，∴∠ ACE ＝∠ BCD .
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又∵∠ CAE ＝∠ CBD ， AC ＝ BC ，∴△ ACE ≌△ BCD
(ASA).
∴ AE ＝ BD ＝3.∴ DE ＝ AD － AE ＝9－3＝6.
∴在等腰直角三角形 DCE 中，由勾股定理可得 CD ＝3 .
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【问题解决】(3)如图③是某公园的一个面积为36π m2的圆形
广场示意图，点 O 为圆心，公园开发部门计划在该广场内设
计一个四边形运动区域 ABDC ，连接 BC ， AD ，其中等边
三角形 ABC 为球类运动区域，△ BCD 为散步区域，按照设
计要求，发现当点 D 为 的中点时，布局设计
最佳，求此时四边形运动区域 ABDC 的面积.
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解：(3)如图③，连接 OC ， BO ，当点 D 为 的中点时， ＝ .∴∠ CAD ＝∠ BAD .
∵△ ABC 是等边三角形，
∴ AB ＝ AC ＝ BC ，∠ ABC ＝∠ CAB ＝60°.
∴∠ CAD ＝ ∠ CAB ＝30°.
易知∠ ADC ＝∠ ABC ＝60°，∴∠ ACD ＝90°.
∴ AD 是☉ O 的直径，∴ CD ＝ AD ＝ OA .
又∵ CB ＝ AB ，∠ BCD ＝∠ BAO ，
∴△ BCD ≌△ BAO (SAS).∴ S△ BCD ＝ S△ BAO .
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∵ AC ＝ AB ， OA ＝ OA ， OC ＝ OB ，
∴△ CAO ≌△ BAO (SSS).∴ S△ BAO ＝ S△ CAO .
同理可证△ BAO ≌△ BCO ，
∴ S△ BAO ＝ S△ BCO . ∴ S△ BAO ＝ S△ BCO ＝ S△ CAO .
∴ S△ ABC ＝3 S△ ABO ＝3 S△ BCD .
又∵圆 O 的面积为36π m2，∴ OA ＝ OB ＝6 m.
易得 AB ＝6 m.
∴ S四边形 ABDC ＝ S△ ABC ＋ S△ BCD ＝ S△ ABC ＝ × AB2＝36 m2.
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1(共37张PPT)
期末复习练案
第二部分 期末专题复习
专题2 图形与几何专题
题型一 图形的旋转变化
1. [2023·深圳期末 新趋势·跨学科]“琴棋书画”的棋是指围
棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史.下列由
黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是( B )
A
B
C
D
B
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2. [2023天津]如图，把△ ABC 以点 A 为中心逆时针旋转得到
△ ADE ，点 B ， C 的对应点分别是点 D ， E ，且点 E 在
BC 的延长线上，连接 BD ，则下列结论一定正确的是
( A )
A. ∠ CAE ＝∠ BED B. AB ＝ AE
C. ∠ ACE ＝∠ ADE D. CE ＝ BD
A
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3. [2024马鞍山期末]如图，在平面直角坐标系中，△ OAB 为
等腰三角形， OA ＝ AB ＝5，点 B 到 x 轴的距离为4.若将
△ OAB 绕点 O 逆时针旋转90°得到△OA'B'，则点B'的坐标
为 .
(－4，8)
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4. 如图，在边长为6的正方形 ABCD 内作∠ EAF ＝45°， AE
交 BC 于点 E ， AF 交 CD 于点 F ，连接 EF ，将△ ADF 绕
点 A 顺时针旋转90°得到△ ABG . 若 DF ＝3，则 BE 的长
为 .
2
点思路：根据旋转的性质可得 AG ＝ AF ， GB ＝ DF ，∠ BAG ＝∠ DAF ，然后可得∠ GAE ＝∠ EAF ，进而可根据SAS证明△ EAG ≌
△ EAF ，则可得 GE ＝ EF ，设 BE ＝ x ，则 CE 与 EF 可用含 x 的代数式表示，在
Rt△ ECF 中，由勾股定理可得关于 x 的方程，解方程即可.
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5. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ ABC 的顶点
均在小正方形的格点上.
(1)将△ ABC 向下平移3个单位长度得到△ A1 B1 C1，画出△ A1 B1 C1；
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解：(1)如图所示，△ A1 B1 C1即为所求.
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(2)将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转90度得到△ A2 B2 C2，画出
△ A2 B2 C2；
解：(2)如图所示，△ A2 B2 C2即为所求.
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(3)在(2)的运动过程中，请计算出△ ABC 扫过的面积.
解：(3)∵ AC ＝ ＝ ，
∴在(2)的运动过程中△ ABC 扫过的面积＝2×3－ ×2×1－ ×2×1－ ×3×1＋ ＝ ＋ π.
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题型二 与圆有关的性质
6. [2023东营期末]如图，☉ O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，垂
足为点 D ，若 CD ＝ ，则 AB 的长为( D )
A. B.
C. D.
D
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7. [2024宜城期中]如图， AB ， AC 是☉ O 的两条弦， OD ⊥
AB 于点 D ， OE ⊥ AC 于点 E ，连接 OB ， OC . 若∠ BOC
＝100°，则∠ DOE 的度数为( D )
A. 95° B. 100°
C. 105° D. 130°
D
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8. [2023石家庄期末]如图，☉ C 过原点 O ，且与两坐标轴分
别交于点 A ， B ，连接 AB ，点 A 的坐标为(0，5)，点 M
是第三象限内 上一点，∠ BMO ＝120°，则☉ C 的半径
为( B )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 2
B
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点拨：∵四边形 ABMO 是圆内接四边形，
∴∠ BAO ＋∠ BMO ＝180°.
∵∠ BMO ＝120°，∴∠ BAO ＝60°.
∵∠ AOB ＝90°，
∴ AB 是☉ C 的直径，∠ ABO ＝90°－∠ BAO ＝30°.
∴ AO ＝ AB .
∵点 A 的坐标是(0，5)，∴ OA ＝5.
∴ AB ＝10.∴☉ C 的半径为5.故选B.
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9. 如图，☉ O 的直径 AB ＝10 cm，弦 AC ＝6 cm，∠ ACB 的
平分线交☉ O 于点 D ，连接 AD ， BD .
(1)判断△ ABD 的形状，并说明理由；
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解：(1)△ ABD 是等腰直角三角形.理由如下：
∵ AB 是☉ O 的直径，∴∠ ADB ＝90°.
∵∠ ACB 的平分线交☉ O 于点 D ，
∴∠ ACD ＝∠ BCD .
∴ ＝ .∴ AD ＝ BD . ∴△ ABD
是等腰直角三角形.
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9. 如图，☉ O 的直径 AB ＝10 cm，弦 AC ＝6 cm，∠ ACB 的
平分线交☉ O 于点 D ，连接 AD ， BD .
(2)求点 O 到弦 BD 的距离.
解：(2)过点 O 作 OE ⊥ DB 于点 E ，则∠ OEB ＝90°.
∵ AB ＝10 cm，∴ OB ＝ AB ＝5 cm.
由(1)知△ ABD 是等腰直角三角形，
∴∠ ABD ＝45°.
∴易得 OE ＝ BE . ∴ OE ＝ OB ＝ cm，
即点 O 到弦 BD 的距离为 cm.
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10. 【新考向 知识情境化】牂牁江“佘月郎山，西陵晚渡”
的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐
天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮
洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面
示意图.
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽 CD 是28 m，
洞高 AB 是12 m，通过计算截面所在圆的
半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径
OC 的长(结果精确到0.1 m)；
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解：(1)设 OA ＝ OC ＝ R m.
∵ AB ＝12 m，∴ OB ＝( R －12)m.
易知 OA ⊥ CD ，∴ CB ＝ BD ＝ CD ＝14 m.
在Rt△ COB 中， OC2＝ OB2＋ CB2，
即 R2＝( R －12)2＋142，解得 R ＝ .
∴ OC ＝ m≈14.2 m.
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10. 【新考向 知识情境化】牂牁江“佘月郎山，西陵晚渡”
的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐
天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮
洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面
示意图.
(2)若∠ COD ＝162°，点 M 在 上，
连接 CM ， DM ，求∠ CMD 的度数，
并用数学知识解释为什么“齐天大圣”
(点 M )在洞顶 上巡视时总能看
清洞口 CD 的情况.
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解：(2)如图，补全☉ O ，在 CD 的下
方取一点 N ，连接 CN ， DN .
则∠ N ＝ ∠ COD ＝81°，∠ CMD ＋∠ N ＝180°，
∴∠ CMD ＝99°.
∵∠ CMD ＝99°不变，是定值，
∴“齐天大圣”(点 M )在洞顶 上巡
视时总能看清洞口 CD 的情况.
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题型三 与圆有关的位置关系
11. [2023商丘模拟]已知☉ O 的圆心到直线 l 的距离是一元二
次方程 x2－ x －20＝0的一个根，若☉ O 与直线 l 相离，☉ O 的半径可取的值为( A )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
A
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12. [2023上海浦东新区模拟]在平面直角坐标系中，以点 A
(4，3)为圆心、以 R 为半径作☉ A 与 x 轴相交，且原点 O
在☉ A 的外部，那么半径 R 的取值范围是( C )
A. 0＜ R ＜5 B. 3＜ R ＜4
C. 3＜ R ＜5 D. 4＜ R ＜5
C
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13. 如图，☉ O 内切于正方形 ABCD ， O 为圆心，作∠ MON
＝90°，其两边分别交 BC ， CD 于点 N ， M ，若 CM ＋
CN ＝4，则☉ O 的面积为( C )
A. π B. 2π
C. 4π D. 0.5π
C
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14. 如图，☉ O 与△ OAB 的边 AB 相切，切点为 B . 将△ OAB
绕点 B 按顺时针方向旋转得到△ O ' A ' B ，使点 O '落在☉ O 上，边 A ' B 交线段 AO 于点 C . 若∠ A '＝25°，则∠ OCB ＝ °.
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15. 如图， AB 为☉ O 的直径， E 为☉ O 上一点，点 C 为
的中点，连接 AC ，过点 C 作 CD ⊥ AE ，交 AE 的延长线
于点 D ，延长 DC 交 AB 的延长线于点 F .
(1)求证： CD 是☉ O 的切线；
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(1)证明：如图，连接 OC . ∵点 C 为 的中点，∴ ＝ .
∴ EC ＝ BC ，∠ EAC ＝∠ BAC .
∵ OA ＝ OC ，∴∠ BAC ＝∠ OCA .
∴∠ EAC ＝∠ OCA . ∴ AE ∥ OC .
∴∠ ADC ＝∠ OCF .
∵ CD ⊥ AE ，即∠ ADC ＝90°，
∴∠ OCF ＝90°，即 OC ⊥ DF .
又∵ OC 为☉ O 的半径，∴ CD 是☉ O 的切线.
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(2)若 DE ＝1， DC ＝2， AD ＝4，求☉ O 的半径长.
15. 如图， AB 为☉ O 的直径， E 为☉ O 上一点，点 C 为
的中点，连接 AC ，过点 C 作 CD ⊥ AE ，交 AE 的延长线
于点 D ，延长 DC 交 AB 的延长线于点 F .
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(2)解：如图，连接 CE ， BC .
在Rt△ ADC 中，由勾股定理得 AC ＝ ＝
＝2 ，
在Rt△ DCE 中，由勾股定理得 CE ＝ ＝
＝ ，∴ BC ＝ EC ＝ .
∵ AB 为☉ O 的直径，∴∠ ACB ＝90°.
在Rt△ ABC 中，由勾股定理得 AB ＝ ＝ ＝5.
∴☉ O 的半径长是2.5.
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题型四 圆的有关计算
16. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于☉ O ，若☉ O 的周长是
12π，则正六边形的边长是( C )
A. 2 B. 3
C. 6 D. 3
C
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17. 如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，伞骨(面
料下方能够把面料撑起来的支架)末端各点所在圆的直径
AC 长为12分米，伞骨 AB 长为10分米，则制作这样的一
把雨伞至少需要绸布面料为 平方分米.
60π
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18. 如图，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB ＝90°， AC ＝
BC ＝4，点 D 是斜边 AB 上一点，且 BD ＝ AB ，将
△ ABC 绕点 D 逆时针旋转90°，得到△ A ' B ' C '， B ' C '交
AB 于点 E . 其中点 C 的运动路径为 ，则 的长度为
( A )
A
A.
C.
B.
D.
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点拨：过点 C 作 CF ⊥ AB 于点 F ，连接 CD ， C ' D .
∵∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ＝4，
∴ AB ＝ ＝4 .
∵ CF ⊥ AB ，∴ CF ＝ BF ＝ AB ＝2 .
∵ BD ＝ AB ，∴ BD ＝ .∴ DF ＝ BF － BD ＝ .
∴在Rt△ CFD 中， CD ＝ ＝ .
由旋转的性质得∠CDC'＝90°.
∴ '的长度为 ＝ .故选A
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19. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，
∠ BAO ＝30°， AC ＝8，过点 O 作 OH ⊥ AB 于点 H ，以点 O 为圆心， OH 为半径的半圆交 AC 于点 M .
(1)求图中阴影部分的面积；
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解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC ⊥ BD ， OA ＝
OC ＝ AC ＝4.
∵ OH ⊥ AB ，
∴∠ AHO ＝90°.
又∵∠ BAO ＝30°，∴∠ AOH ＝60°， OH ＝ OA ＝2.
∴由勾股定理，得 AH ＝2 .∴ S阴＝ S△ AOH － S扇形 OMH ＝
×2×2 － ＝2 － π.
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(2)点 P 是 BD 上的一个动点(点 P 不与点 B ， D 重合)，当
PH ＋ PM 的值最小时，求 PD 的长度.
19. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，
∠ BAO ＝30°， AC ＝8，过点 O 作 OH ⊥ AB 于点 H ，以点 O 为圆心， OH 为半径的半圆交 AC 于点 M .
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此时 PH ＋ PM 的值最小.
易知 OM '＝ OM ＝ OH ＝2，∴∠ OHM '＝∠ OM ' H .
∵∠ AOH ＝∠OHM'＋∠OM'H＝60°，
∴∠OM'H＝30°.
设 OP ＝ m ，则易得 PM ＝2 m .
解：(2)如图，作点 M 关于 BD 的对称点M'，连接HM'
交 BD 于点 P ，连接 PM ，
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∵在Rt△ POM 中， PM2＝ OM2＋ OP2，
∴4 m2＝22＋ m2.∴ m ＝ ，即 OP ＝ .
易得 OD ＝ OB ＝ ，
∴ PD ＝ OD ＋ OP ＝ ＋ ＝2 .
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19(共39张PPT)
期末复习练案
第二部分 期末专题复习
专题1 方程与函数专题
题型一 一元二次方程的解法
1. 下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是
( B )
A. ( x －2)( x ＋5)＝2 B. ( x －2)2＝ x －2
C. x2＋5 x －2＝0 D. 12(1－ x )2＝3
B
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2. 用配方法解方程时，下列配方错误的是( A )
A. x2＋6 x －7＝0化为( x ＋3)2＝0
B. x2－5 x －4＝0化为 ＝
C. x2＋2 x －99＝0化为( x ＋1)2＝100
D. 3 x2－4 x －2＝0化为 ＝
A
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3. 利用公式法可得一元二次方程3 x2－11 x －1＝0 的两解为
a ， b ，且 a ＞ b ，则 a 的值为( D )
A. B.
C. D.
D
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4. [2023烟台期中]用指定的方法解方程：
(1) x2－2 x －5＝0(配方法)；
解：移项，得 x2－2 x ＝5.
二次项系数化为1，得 x2－4 x ＝10.
配方，得 x2－4 x ＋4＝14，即( x －2)2＝14.
直接开平方，得 x －2＝± ，
∴ x1＝2＋ ， x2＝2－ .
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(2) x2＝8 x ＋20(公式法)；
解：方程化为一般形式为 x2－8 x －20＝0.
∵Δ＝(－8)2－4×1×(－20)＝144＞0，
∴ x ＝ ＝ ，即 x1＝10， x2＝－2.
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(3)( x －3)2＋4 x ( x －3)＝0(因式分解法).
解：因式分解，得( x －3)( x －3＋4 x )＝0，于是得 x －3
＝0或 x －3＋4 x ＝0，∴ x1＝3， x2＝ .
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题型二 根的判别式和根与系数的关系
5. [2023广元]关于 x 的一元二次方程2 x2－3 x ＋ ＝0的根的
情况，下列说法中正确的是( C )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
C
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6. [2023菏泽]一元二次方程 x2＋3 x －1＝0的两根为 x1， x2，
则 ＋ 的值为( C )
A. B. －3
C. 3 D. －
C
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7. [2024杭州期中]关于 x 的方程( k －1) x2－2( k －2) x ＋ k ＋1
＝0有实数根，则实数 k 的取值范围是 .
点易错：形如 ax2＋ bx ＋ c ＝0的方程，当未指明方程是一
元二次方程或方程根的个数时，需要对 a 的取值分 a ＝0和
a ≠0两种情况进行讨论.
k ≤
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8. 一元二次方程 x2－3 x ＋1＝0的两个根为 x1， x2，则 ＋3 x2＋ x1 x2－2的值是 .
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9. [2023北京海淀区二模]已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 x
＋ m ＝0( m ＜0).
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
解：(1)方程有两个不相等的实数根.
理由：∵关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＋ m ＝0中， a
＝1， b ＝－2， c ＝ m ，∴ b2－4 ac ＝(－2)2－4×1× m
＝4－4 m .∵ m ＜0，∴4－4 m ＞0.∴方程有两个不相等
的实数根.
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9. [2023北京海淀区二模]已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 x
＋ m ＝0( m ＜0).
(2)若方程的一个根为－1，求 m 的值和方程的另一个根.
解：(2)∵－1是方程的一个根，
∴(－1)2－2×(－1)＋ m ＝0.∴ m ＝－3.
设方程的另一个根为 x2，
由根与系数的关系，得－1＋ x2＝2，∴ x2＝3.∴ m 的值
为－3，方程的另一个根为3.
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10. [2023福州期末]已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ ax ＋ a －
1＝0.
(1)求证：无论 a 取任何实数，此方程总有实数根；
(1)证明：∵Δ＝ a2－4×1×( a －1)＝ a2－4 a ＋4＝( a －2)2≥0，
∴无论 a 取任何实数，此方程总有实数根.
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10. [2023福州期末]已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ ax ＋ a －
1＝0.
(2)若方程有一个根大于3，求 a 的取值范围.
(2)解： x2＋ ax ＋ a －1＝0，即( x ＋1)[ x ＋( a －1)]＝
0，解得 x1＝－1， x2＝1－ a .
∵方程有一个根大于3，
∴1－ a ＞3，
解得 a ＜－2.
∴ a 的取值范围为 a ＜－2.
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11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－2( k ＋1) x ＋ k2＋ k ＋3＝
0( k 为常数).
(1)若方程的两根为菱形相邻两边长，求 k 的值；
解：(1)∵方程的两根为菱形相邻两边长，
∴此方程有两个相等的实数根.
∴Δ＝0，即[－2( k ＋1)]2－4( k2＋ k ＋3)＝0，
则4( k2＋2 k ＋1)－4 k2－4 k －12＝0，
整理，得4 k －8＝0，
解得 k ＝2.
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11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－2( k ＋1) x ＋ k2＋ k ＋3＝
0( k 为常数).
(2)是否存在满足条件的常数 k ，使该方程的两个解等于
边长为2的菱形的两条对角线的长，若存在，求 k 的
值；若不存在，请说明理由.
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解：(2)不存在. 理由如下：
∵该方程的两个解是菱形的两条对角线的长，∴设
菱形的两条对角线的长分别为 a ， b ，则 a ＋ b ＝
2( k ＋1)， ab ＝ k2＋ k ＋3.
∵菱形的两条对角线互相垂直平分，且菱形的边长
为2，
∴由勾股定理，得 ＋ ＝4，
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则 ＋ ＝4，∴ b2＋ a2＝16.∴ b2＋2 ab ＋ a2－2
ab ＝16，
即( a ＋ b )2－2 ab ＝16.
∴[2( k ＋1)]2－2( k2＋ k ＋3)＝16，整理，得 k2＋
3 k － p ＝0，解得 k ＝ .
由题意知Δ≥0，即4 k －8≥0，解得 k ≥2.
∵ k ＝ ＜2，∴不存在满足条件的常数 k .
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题型三 二次函数图象与几何变换
12. [2023南宁模拟]将抛物线 y ＝2( x －1)2＋3绕原点旋转
180°，旋转后的抛物线解析式为( C )
A. y ＝－2( x －1)2＋3 B. y ＝2( x ＋1)2－3
C. y ＝－2( x ＋1)2－3 D. y ＝2( x －1)2－3
C
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13. 与抛物线 y ＝ x2－2 x －4关于 x 轴对称的抛物线的解析式
为( A )
A. y ＝－ x2＋2 x ＋4 B. y ＝－ x2＋2 x －4
C. y ＝ x2－2 x ＋4 D. y ＝－ x2－2 x －4
A
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14. 【新考法 过程辨析法】小嘉说：将二次函数 y ＝ x2的图
象平移或翻折后经过点(2，0)有4种方法：
①向右平移2个单位长度；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；
③向下平移4个单位长度；
④先沿 x 轴翻折，再向上平移4个单位长度.
你认为小嘉说的方法中正确的有( D )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
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15. 抛物线 y ＝( x ＋3)2－4关于 y 轴对称的抛物线的解析式
为 .
y ＝( x －3)2－4
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16. [2023宜昌模拟]抛物线的解析式为 y ＝3( x －1)2＋1，若将
x 轴向下平移1个单位长度，将 y 轴向左平移2个单位长
度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为
.
y
＝3( x －3)2＋2
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17. 已知二次函数 y ＝ ax2＋ bx － c ( a ≠0)，其中 b ＞0， c ＞
0，则该函数的图象可能为( C )
A
B
C
D
C
题型四 二次函数图象与字母系数的关系
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18. [2024无锡月考]如图，在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐
标原点，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的对称轴为直线
x ＝1，与 x 轴的一个交点位于点(2，0)，(3，0)之间.下列
结论：①2 a ＋ b ＞0；② bc ＜0；③ a ＜－ c ；④若 x1，
x2为方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个根，则
－3＜ x1 x2＜0.其中正确的有( B )
B
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
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点拨：∵抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的对称轴为直线 x ＝
1，∴－ ＝1.∴ b ＝－2 a ，即2 a ＋ b ＝0，故①错误；
∵抛物线开口向下，与 y 轴交于正半轴，∴ a ＜0， c ＞0.
∴ b ＝－2 a ＞0，∴ bc ＞0，故②错误；
∵抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的对称轴为直线 x ＝1，当 x ＝3时， y ＜0，∴当 x ＝－1时， y ＜0，即 a － b ＋ c ＜0.
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∴ a －(－2 a )＋ c ＜0，即 a ＜－ c ，故③正确；
若 x1， x2为方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个根，则易得－1＜ x1
＜0，2＜ x2＜3，∴－3＜ x1 x2＜0，故④正确.
∴正确的有③④，共2个.故选B.
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19. [2023青岛]如图，二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与正
比例函数 y ＝ kx 的图象相交于 A ， B 两点，已知点 A 的
横坐标为－3，点 B 的横坐标为2，二次函数图象的对称
轴是直线 x ＝－1.下列结论：① abc ＜0；②3 b ＋2 c ＞
0；③关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ kx
的两根为 x1＝－3， x2＝2；④ k ＝ a .
其中正确的是 .(只填写序号)
①③
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点拨：由图象可得 a ＞0， c ＜0.
又∵－ ＝－1，∴ b ＝2 a .∴ b ＞0.
∴ abc ＜0，故①正确.令 ax2＋ bx ＋ c ＝ kx ，
则 ax2＋( b － k ) x ＋ c ＝0.由题意知 ax2＋( b － k ) x ＋ c ＝0的
两根之和为－3＋2＝－1，两根之积为－3×2＝－6.
∴－ ＝－1， ＝－6.∴6 a ＋ c ＝0.
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又∵ b ＝2 a ，∴ a ＝ ，∴3 b ＋ c ＝0.∴3 b ＋2 c ＝ c ＜0，
故②错误.∵－ ＝－1， b ＝2 a ，
∴ k ＝ a ，故④错误.由图象可知③正确.
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题型五 一元二次方程和二次函数的实际应用
20. 如图，用一根长60 cm的铁丝制作一个“日”字型框架
ABCD ，铁丝恰好全部用完.
(1)若所围成的矩形框架 ABCD 的面积为144 cm2，则 AB
的长为多少厘米？
解：(1)设矩形框架的边 AB 为 x cm，则
AD 为 cm.
由题意，得 x · ＝144，解得 x1＝12， x2＝8.
∴ AB 的长为12 cm或8 cm.
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20. 如图，用一根长60 cm的铁丝制作一个“日”字型框架
ABCD ，铁丝恰好全部用完.
(2)求矩形框架 ABCD 面积的最大值.
解：(2)设矩形框架 ABCD 的面积为 S cm2.
由(1)知 S ＝ x · ＝－ x2＋30 x ＝－
( x －10)2＋150.
∵－ ＜0，∴当 x ＝10时，矩形框架
ABCD 的面积最大，最大面积为150 cm2.
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21. [2023·益阳 情境题·社会热点]某企业准备对 A ， B 两个生
产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素
进行分析得知：投资 A 项目一年后的收益 yA (万元)与投
入资金 x (万元)的函数解析式为 yA ＝ x ，投资 B 项目一
年后的收益 yB (万元)与投入资金 x (万元)的函数解析式为
yB ＝－ x2＋2 x .
(1)若将10万元资金投入 A 项目，则一年后获得的收益是
多少？
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解：(1)当 x ＝10时， yA ＝ ×10＝4.
答：若将10万元资金投入 A 项目，则一年后获得的收
益是4万元.
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(2)若对 A ， B 两个项目投入相同的资金 m ( m ＞0)万元，
一年后两者获得的收益相等，则 m 的值是多少？
21. [2023·益阳 情境题·社会热点]某企业准备对 A ， B 两个生
产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素
进行分析得知：投资 A 项目一年后的收益 yA (万元)与投
入资金 x (万元)的函数解析式为 yA ＝ x ，投资 B 项目一
年后的收益 yB (万元)与投入资金 x (万元)的函数解析式为
yB ＝－ x2＋2 x .
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解：(2)由题意得，当 x ＝ m 时， yA ＝ yB ，
即 m ＝－ m2＋2 m ，解得 m1＝8， m2＝0(不合题
意，舍去).
∴ m ＝8.
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(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到 A ， B 两个项目中，当 A ， B 两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
21. [2023·益阳 情境题·社会热点]某企业准备对 A ， B 两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资 A 项目一年后的收益 yA (万元)与投入资金 x (万元)的函数解析式为 yA ＝ x ，投资 B 项目一年后的收益 yB (万元)与投入资金 x (万元)的函数解析式为 yB ＝－ x2＋2 x .
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解：(3)设投入 B 项目的资金是 t 万元，一年后获得的
收益之和为 W 万元，则投入 A 项目的资金是(32－ t )万
元，根据题意，得 W ＝－ t2＋2 t ＋ (32－ t )＝－ ( t
－4)2＋16.
∵－ ＜0，
∴当 t ＝4时， W最大＝16，此时32－ t ＝28.
∴当投入 A 项目的资金是28万元，投入 B 项目的资金是4万
元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元.
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21(共42张PPT)
期末复习练案
第二部分 期末专题复习
专题3 统计与概率专题
题型一 事件的分类
1. 下列说法正确的是( D )
A. 将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B. 抛出的篮球会下落是随机事件
C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式
D. 若甲、乙两组数据的平均数相同， ＝2， ＝2.5，
则甲组数据较稳定
D
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2. 下列事件为随机事件的是( C )
A. 一个图形旋转后所得的图形与原图形全等
B. 直径是圆中最长的弦
C. 经过任意三点画一个圆
D. 任意画一个三角形，其内角和为360°
C
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3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( D )
A. 瓮中捉鳖 B. 杀鸡取卵
C. 不期而遇 D. 水中捞月
D
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4. 下列事件：①打雷后会下雨；②明天是晴天；③1小时等
于60分钟；④从装有2个红球，2个白球的袋子中摸出一个
蓝球.其中是确定性事件的是 .(填序号)
③④
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5. 【新考向 地域文化2023阜新】某中学举办“传承红色精
神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精
神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每名选手随机
选取一个主题参赛.如果小明和小宇都参加比赛，他们同时
选中主题“海州矿精神”的概率是( D )
A. B. C. D.
D
题型二 概率的计算
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6. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学
和三名女同学表现优异.若从以上四名同学中随机抽取两名
同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的
概率是( A )
A. B. C. D.
A
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7. [2023威海]一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，
每个球除颜色外都相同.晓君同学从袋中任意摸出1个球(不
放回)后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球.两人都摸到红
球的概率是( A )
A. B. C. D.
A
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8. [2024·遂宁月考 情境题·游戏活动型]为增强班级凝聚力，
吴老师组织开展了一次主题班会.班会上，他设计了一个如
图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10
cm，大圆半径为20 cm，每个扇形的圆心角为60度.如果用
飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷
飞镖1次(击中边界或没有击中靶盘，则重投1次)，投中
“免一次作业”的概率是( B )
B
A. B. C. D.
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9. [2024益阳期末]从1～10这10个整数中随机抽取1个数，抽
到3的倍数的概率是 .
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10. 一天晚上，小张帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖
茶杯，突然停电了，小张只好把杯盖和茶杯随机搭配在
一起，则颜色搭配正确的概率是 .
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11. 在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4，从中随
机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，那
么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上
的数字的概率是 .
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12. 【情境题 教育政策】新高考“3＋1＋2”选科模式是指，
除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理
2门首选科目中选择1门，在思想政治、地理、化学、生
物4门再选科目中选择2门.某同学从4门再选科目中随机选
择2门，恰好选择地理和化学的概率为 .
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13. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角
形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并
洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后(不放
回)，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形
都是中心对称图形的概率为 .
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14. [2024聊城月考]在一个不透明的袋子中，装有五个分别标
有数字－ ， ，0，2，π的小球，这些小球除数字外
其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数
字之积恰好是有理数的概率为 .
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15. 不透明的盒中有 x 枚黑棋和 y 枚白棋，这些棋子除颜色外
无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率
是 ，放回后，往盒中再放进10枚黑棋，搅匀后从盒中随
机取出一枚棋子，取得黑棋的概率为 ，求原来黑棋，白
棋各有多少枚？
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解：∵盒中有 x 枚黑棋和 y 枚白棋，
∴盒中共有( x ＋ y )枚棋子.
∵取得黑棋的概率是 ，∴ ＝ .
∵往盒中再放进10枚黑棋，搅匀后从盒中随机取出一枚
棋子，取得黑棋的概率为 ，
∴ ＝ .
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联立整理得
解得
∴原来黑棋有15枚，白棋有25枚.
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16. [2023青岛]为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章
算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A，B，C表示)
三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一
本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本.请用列表或画
树状图的方法表示所有可能出现的结果.并求抽取的两本
书中有《九章算术》的概率.
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解：画树状图如下.
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中抽取的两本
书中有《九章算术》的结果有4种，所以抽取的两本书中
有《九章算术》的概率＝ ＝ .
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17. 某校社团将《西游记》中的四位人物(唐僧，孙悟空，猪八戒，沙僧)的肖像制成编号为A，B，C，D的四张卡片(如图，除编号和人物肖像外其余完全相同)，活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事.游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的三张卡片洗匀后，背面朝上放好，小华再从三张卡片中随机抽取一张.若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲.
(1)请用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果；
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解：(1)列表如下.
A B C D
A — (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) — (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) — (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) —
由表可知，共有12种等可能的结果.
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17. 某校社团将《西游记》中的四位人物(唐僧，孙悟空，猪八戒，沙僧)的肖像制成编号为A，B，C，D的四张卡片(如图，除编号和人物肖像外其余完全相同)，活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事.游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的三张卡片洗匀后，背面朝上放好，小华再从三张卡片中随机抽取一张.若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲.
(2)你认为这个游戏规则
是否公平？请说明理由.
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解：(2)这个游戏规则公平，理由如下：
由表可知，他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒
关系的结果有6种，∴由小东讲的概率为 ＝ ，则由
小华讲的概率为1－ ＝ .∵ ＝ ，∴这个游戏规则
公平.
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题型三 统计与概率的综合应用
18. [2023黄石节选]健康医疗大数据蕴藏了丰富的居民健康状
况、卫生服务利用等海量信息，是人民健康保障的数据
金矿和证据源泉.目前，体质健康测试已成为中学生的必
测项目之一.某校某班学生针对该班体质健康测试数据开
展调查活动，先收集本班学生八年级的《体质健康标准
登记表》，再算出每名学生的最后得分，最后得分记为
x ，得到下表：
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成绩 频数 频率
不及格(0≤ x ≤59) 6
及格(60≤ x ≤74) 20％
良好(75≤ x ≤89) 18 40％
优秀(90≤ x ≤100) 12
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解：(1)由表格可知，成绩为良好的频数为18，频率为
40％，
所以该班总人数为18÷40％＝45(人).
(1)求出该班总人数；
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解：(2)将68，88，91进行随机排列得，68，88，91；
68，91，88；88，68，91；88，91，68；91，68，
88；91，88，68.得到的每一组数据是等可能的，所以
恰好得到的表格是889168的概率是 .
(2)该班有三名学生的最后得分分别是68，88，91，将他
们的成绩随机填入表格 ，求恰好得到的表格
是 的概率.
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19. [2023南充]为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某
校在五月第二周开展了劳动教育实践周活动.七(1)班提供
了四类活动：A. 物品整理；B. 环境美化；C. 植物栽培；
D. 工具制作.要求每名学生选择其中一类活动参加，该班
数学课代表对全班学生参与四类活动情况进
行了统计，并绘制成统计图(如图).
(1)已知该班有15人参加A类活动，则参加C类活动的有多少人？
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解：(1)该班总人数为15÷30％＝50(人)，
∴参加C类活动的有50×(1－30％－28％－22％)＝
50×20％＝10(人).
答：参加C类活动的有10人.
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(2)该班参加D类活动的学生中有2名女生和2名男生获得一等奖，其中1名女生叫王丽，若从获得一等奖的学生中随机抽取2名学生参加学校“工具制作”比赛，求刚好抽中王丽和1名男生的概率.
19. [2023南充]为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某
校在五月第二周开展了劳动教育实践周活动.七(1)班提供
了四类活动：A. 物品整理；B. 环境美化；C. 植物栽培；
D. 工具制作.要求每名学生选择其中一类活动参加，该班
数学课代表对全班学生参与四类活动情况进
行了统计，并绘制成统计图(如图).
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(2)把2名女生分别记为a，b(其中a为王丽)，2名男生分
别记为c，d.
画树状图如下.
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中刚好抽
中王丽和1名男生的结果有4种，∴刚好抽中王丽和1名
男生的概率为 ＝ .
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20. 2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋.为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九(1)班团支部组织了一场手抄报比赛.要求该班每名同学从 A ：“北斗”； B ：“5G时代”； C ：“东风快递”； D ：“智轨快运”四个主题中任选
一个自己喜爱的主题.比赛结
束后，该班团支部统计了同
学们所选主题的频数，绘制
成如图两种不完整的统计图，
请根据统计图中的信息解答下
列问题.
(1)九(1)班共有 名同学；补全图①折线统计图；
50
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解：(1)补全折线统计图如图.
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(2)请根据图②，求出 D 所对应的扇形圆心角的度数；
解：(2)∵360°× ＝108°，
∴ D 所对应的扇形圆心角的度数为108°.
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(3)若小林和小峰分别从 A ， B ， C ， D 四个主题中任选
一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择
相同主题的概率.
解：(3)画树状图如下.
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小林和
小峰选择相同主题的结果有4种，∴小林和小峰选择相
同主题的概率为 ＝ .
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21. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严
重落后的状态，而且还在持续下降.为了引起社会、学校
和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学
生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成
如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀.
根据上述所给的统计图中的信息，解决下列问题.
(1)本次抽查了 名九年级学生，α＝ ，本次
成绩的中位数位于 组.
300
108°
C
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(2)若该地区有2.4万名九年级学生，则身体素质测试成绩优秀的学生约有多少人？
21. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严
重落后的状态，而且还在持续下降.为了引起社会、学校
和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学
生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成
如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀.
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解：(2)E组的圆心角为360°－36°－72°－90°－108°
＝54°，
∴身体素质测试成绩优秀的学生约有
×24 000＝3 600(人).
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(3)在本次抽查的优秀学生中按1∶9的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生.若从中随机抽取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率.
21. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严
重落后的状态，而且还在持续下降.为了引起社会、学校
和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学
生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成
如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀.
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解：(3) 优秀学生人数＝ ×300＝45(人)，
按1∶9的比例抽取部分学生，则抽取了5名学生.
∵抽取的学生中有2名女生，∴抽取的学生中有3名男生，
根据题意列表如下.
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男1 男2 男3 女1 女2
男1 — 男2，男1 男3，男1 女1，男1 女2，男1
男2 男1，男2 — 男3，男2 女1，男2 女2，男2
男3 男1，男3 男2，男3 — 女1，男3 女2，男3
女1 男1，女1 男2，女1 男3，女1 — 女2，女1
女2 男1，女2 男2，女2 男3，女2 女1，女2 —
由表可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女的结果
有12种，∴恰好抽取一男一女的概率＝ ＝ .
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