人教版2024年七年级下册9.3 一元一次不等式组 同步讲练
知识点
1．一元一次不等式组：
把两个「或两个以上的」一元一次不等式合起来，组成一个 一元一次不等式组．
「注意」：在判断是不是一元一次不等式组的时候，要注意以下两点。
① 一元一次不等式组中的不等式所含未知数必须相同；
② 一个一元一次不等式组中可以有不止两个一元一次不等式.
2．不等式组的解集：
一般地，几个不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的不等式组的解集；当几个不等式 的解集没有公共部分时，不等式组无解．
3．解不等式组：
求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．
4．解一元一次不等式组的一般步骤：
先求出不等式组中各个不等式的解集，再把它们分别表示在数轴上，然后利用数轴确定不等式组的解集．不等式组求解的一个小诀窍:同大取大,同小取小,大小小大取中间,大大小小是无解。
习题训练
一．选择题
1．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：x≥3，
数轴上表示，如图所示：
．
故选：C．
2．在平面直角坐标系内，若点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＞3 C．m＜1 D．1＜m＜3
【分析】由第二象限点的横坐标为负数、纵坐标为正数得出关于m的不等式组，解之可得答案．
【解答】解：∵点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，
∴，
解不等式①，得：m＞3，
解不等式②，得：m＞1，
则m＞3，
故选：B．
3．若不等式组的整数解只有四个，则m的取值范围是（ ）
A．2＜m≤6 B．2≤m＜6 C．5≤m＜6 D．5≤m≤6
【分析】根据不等式组有4个整数解，构建关于m的不等式即可．
【解答】解：，
由①得，x＞，
∵不等式组有4个整数解，
∴5≤m＜6，
故选：C．
4．已知a，b为非零有理数，下面四个不等式组中，解集有可能为﹣2＜x＜2的不等式组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据﹣2＜x＜2，可化为，由此即可作出判断．注意逆向思维．
【解答】解：∵不等式组的解集有可能为﹣2＜x＜2，即，
∴，
与四个选项中的不等式组比较知，B选项的不等式组符合题意；
故选：B．
5．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
【分析】先解不等式组，根据不等式组无解可得a﹣4≥3a+2，然后进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜2a﹣4，
解不等式②得：x＞a﹣1，
∵不等式组无解，
∴a﹣1≥2a﹣4，
∴a≤3，
故选：A．
6．甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为120元，则x的取值范围是（ ）
A．56≤x＜76 B．56≤x＜80 C．60≤x＜76 D．60≤x＜80
【分析】根据“甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券”列不等式组求解．
【解答】解：由题意得：，
解得：60≤x＜76，
故选：C．
7．若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】解不等式组中两个不等式结合其整数解的情况可得a≤16，再解方程得x＝，由其解为正整数解得出a＞0，最后根据方程的解必须为正整数解得a的取值情况．
【解答】解：解不等式2x﹣a≥0，得x≥，
解不等式，得x＜12，
∵不等式组至少有4个整数解，
∴≤8，
解得a≤16，
解关于x的一元一次方程，得x＝，
∵方程有正整数解，
∴＞0，
则a＞0，
∴0＜a≤16，
其中能使为正整数的a值有1，3，5，15共4个，
故选：B．
8．已知关于x的不等式组，给出下列推断：
①当m＝﹣3时，则不等式组的解集是﹣3≤x＜2；
②若不等式组的解集是0≤x＜2，则m＝0；
③若不等式组无解，则m≥2；
④若不等式组的整数解只有﹣2，﹣1，0，1，则m＝﹣2．
其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据不等式组解集的定义一一判断即可．
【解答】解：关于x的不等式组，给出下列推断：
①当m＝﹣3时，则不等式组的解集是﹣3≤x＜2，正确；
②若不等式组的解集是0≤x＜2，则m＝0，正确，
③若不等式组无解，则m≥2，正确；
④若不等式组的整数解只有﹣2，﹣1，0，1，则m＝﹣2．正确．
故选：D．
二．填空题
9．已知不等式组的解集如图所示，这个不等式组的整数解为 ﹣1、0 ．
【分析】由不等式组解集在数轴上的表示方法即可求解．
【解答】解：由数轴可知，此不等式组的整数解为﹣1、0．
故答案为：﹣1、0．
10．不等式组的所有整数解的和为 5 ．
【分析】首先，求出不等式组的解集；然后确定出其整数解，再把所有整数解相加求和即可．
【解答】解：，
解得＜4．
∴所有整数解为：2，3，
∴所有整数的和为：2+3＝5，
故答案为：5．
11．若不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 m≤2 ．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于m的不等式，解之即可得出答案．
【解答】解：解不等式组，得，
∵不等式组的解集是x＞2，
∴m≤2．
故答案为：m≤2．
12．已知关于x的不等式组，下列说法正确的有 ①②③ ．
①如果它的解集是2＜x≤5，那么a＝5；②当a＝2时，它无解；③如果它的整数解只有3，4，5，那么5≤a＜6；④如果它有解，那么a≥3．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a的取值情况逐一判断即可．
【解答】解：由x﹣2＞0得x＞2，
由﹣x+a≥0得x≤a，
①如果它的解集是2＜x≤5，那么a＝5，此结论正确；
②当a＝2时，它无解，此结论正确；
③如果它的整数解只有3，4，5，那么5≤a＜6，此结论正确；
④如果它有解，那么a＞2，此结论错误；
故答案为：①②③．
三．解答题
13．解不等式组，请结合题填空，完成本题的解答：
（1）解不等式①，得 x＞1 ；
（2）解不等式②，得 x≤3 ；
（3）在同一条数轴上表示不符式①和②的解集，如图；
（4）原不等式组的解集为 1＜x≤3 ．
【分析】出每一个不等式解集是基础，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得x＞1；
故答案为：x＞1；
（2）解不等式②，得x≤3；
故答案为：x≤3；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为1＜x≤3．
故答案为：1＜x≤3．
14．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
15．解不等式组并把该不等式组的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由①得：x≤3，
由②得：x＞﹣4，
原不等式组的解集为：﹣4＜x≤3，
在数轴上表示如下：
．
16．解不等式组，并写出它的所有正整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集为1≤x＜4，
∴不等式组的所有正整数解有1，2，3．
17．如果不等式组的解集是x＞3．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解为x＞1．
【分析】（1）求出不等式组各不等式的解集，再与已知解集相比较即可得出m的取值范围；
（2）根据不等式的基本性质得出m的取值范围，再结合（1）中m的取值范围即可得出结论．
【解答】解：（1），
由①得，x＞3，
∵不等式组的解集是x＞3，
∴m≤3；
（2）∵不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解为x＞1，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
由（1）知，m≤3，
∴1＜m≤3，
∴m为2或3时不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解为x＞1．
18．已知方程组的解满足x为非负数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣5|+|m﹣2|＝ 3 ；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式mx+4＜4x+m的解集为x＞1？
【分析】（1）解方程组得出x、y，由x为非负数，y为负数得出关于m的不等式组，解之可得；
（2）由m的取值范围，结合绝对值的性质化简可得；
（3）先根据不等式的性质得出m﹣4＜0，解得m＜4，结合以上求出m的范围可得答案．
【解答】解：（1）解方程组得，
由题意知，
解得2＜m≤5；
（2）|m﹣5|+|m﹣2|
＝（5﹣m）+（m﹣2）
＝5﹣m+m﹣2
＝3；
故答案为：3；
（3）由mx+4＜4x+m得（m﹣4）x＜m﹣4，
∵不等式的解集为x＞1，
∴m﹣4＜0，
解得m＜4，
则2＜m＜4，
∴符合条件的整数m的值为3．
19．已知关于x、y的方程组的解满足x≤0，y＜0．
（1）用含m的代数式分别表示x和y；
（2）求m的取值范围；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1？
【分析】（1）首先对方程组进行化简即可求得含m的表示x和y得代数式；
（2）根据方程的解满足的解满足x≤0，y＜0得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，然后求得m的值；
（3）根据不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1，求出m的取值范围，即可解答．
【解答】解：（1），
①+②得2x＝2m﹣6，
所以，x＝m﹣3；
①﹣②得2y＝﹣4m﹣8，
所以，y＝﹣2m﹣4，
故含m的代数式分别表示x和y为；
（2）∵x≤0，y＜0
∴，
解，得﹣2＜m≤3；
（3）（2m+1）x＜2m+1，
∵原不等式的解集是x＞1，
∴2m+1＜0，
∴，
又∵﹣2＜m≤3
∴﹣2＜m＜﹣，
∵m为整数，
∴m＝﹣1．
20．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的相伴方程．
（1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组的相伴方程？请说明理由；
（2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围；
（3）若方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程，求k的取值范围．
【分析】（1）先求解方程和不等式组，判断一元一次方程的解是不是一元一次不等式组的解即可；
（2）先求解方程和不等式组，再将含有a的方程的解代入一元一次不等式组的解中，即可求出a的取值范围；
（3）分别求出两个方程的解，再根据k≠﹣2分为两种情况：①当k＜﹣2时，求出不等式组的解集，再进行判断即可；②当k＞﹣2时，求出不等式组的解集，再进行判断即可．
【解答】解：（1）方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组的相伴方程．
理由如下：
解不等式组，得：x≤﹣2，
解方程2（x﹣1）+9＝1，得：x＝﹣3，
∵﹣3＜﹣2，
∴方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组的相伴方程．
（2）解不等式组，得：＜x≤3，
解方程2x﹣a＝1，得：x＝，
∵关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，
∴＜≤3，
解得：0＜a≤5，
即a的取值范围是0＜a≤5．
（3）解方程5x+10＝0，得：x＝﹣2，
解方程，得：x＝﹣1，
∵方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程，
∴分为两种情况：
①当k＜﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：x＞1，不符合题意，舍去；
②当k＞﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：k﹣3≤x＜1，
∴根据题意，得：，
解得：﹣2＜k≤1，
即k的取值范围为﹣2＜k≤1．人教版2024年七年级下册9.3 一元一次不等式组 同步讲练
知识点
1．一元一次不等式组：
把两个「或两个以上的」一元一次不等式合起来，组成一个 一元一次不等式组．
「注意」：在判断是不是一元一次不等式组的时候，要注意以下两点。
① 一元一次不等式组中的不等式所含未知数必须相同；
② 一个一元一次不等式组中可以有不止两个一元一次不等式.
2．不等式组的解集：
一般地，几个不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的不等式组的解集；当几个不等式 的解集没有公共部分时，不等式组无解．
3．解不等式组：
求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．
4．解一元一次不等式组的一般步骤：
先求出不等式组中各个不等式的解集，再把它们分别表示在数轴上，然后利用数轴确定不等式组的解集．不等式组求解的一个小诀窍:同大取大,同小取小,大小小大取中间,大大小小是无解。
习题训练
一．选择题
1．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系内，若点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＞3 C．m＜1 D．1＜m＜3
3．若不等式组的整数解只有四个，则m的取值范围是（ ）
A．2＜m≤6 B．2≤m＜6 C．5≤m＜6 D．5≤m≤6
4．已知a，b为非零有理数，下面四个不等式组中，解集有可能为﹣2＜x＜2的不等式组是（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
6．甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为120元，则x的取值范围是（ ）
A．56≤x＜76 B．56≤x＜80 C．60≤x＜76 D．60≤x＜80
7．若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知关于x的不等式组，给出下列推断：
①当m＝﹣3时，则不等式组的解集是﹣3≤x＜2；
②若不等式组的解集是0≤x＜2，则m＝0；
③若不等式组无解，则m≥2；
④若不等式组的整数解只有﹣2，﹣1，0，1，则m＝﹣2．
其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题
9．已知不等式组的解集如图所示，这个不等式组的整数解为 ．
10．不等式组的所有整数解的和为 ．
11．若不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 ．
12．已知关于x的不等式组，下列说法正确的有 ．
①如果它的解集是2＜x≤5，那么a＝5；②当a＝2时，它无解；③如果它的整数解只有3，4，5，那么5≤a＜6；④如果它有解，那么a≥3．
三．解答题
13．解不等式组，请结合题填空，完成本题的解答：
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）在同一条数轴上表示不符式①和②的解集，如图；
（4）原不等式组的解集为 ．
14．解不等式组：．
15．解不等式组并把该不等式组的解集在数轴上表示出来．
16．解不等式组，并写出它的所有正整数解．
17．如果不等式组的解集是x＞3．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解为x＞1．
18．已知方程组的解满足x为非负数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣5|+|m﹣2|＝ ；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式mx+4＜4x+m的解集为x＞1？
19．已知关于x、y的方程组的解满足x≤0，y＜0．
（1）用含m的代数式分别表示x和y；
（2）求m的取值范围；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1？
20．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的相伴方程．
（1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组的相伴方程？请说明理由；
（2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围；
（3）若方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程，求k的取值范围．
