湘教版七年级上学期数学知识总结学案
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第一章 有理数
一、有理数
1．我们学过的数：1， 2， 3，0.6， 这些都是正数。
2．负数：与正数的意义相反。如：赚了5元钱用+5元表示，而正号通常省略，写成5元。
而亏了5元钱用-5元表示，写成-5.
3.在正数前面加“-”号就是负数。如：5 ( http: / / www.21cnjy.com )是正数，-5是负数； 是正数，- 是负数。0既不是正数也不是负数（0没有正、负之分）。如：+0=-0=0
4.现在数的范围就扩大了，整数包括：正整数、零 、负整数。分数包括：正分数、负分数。
5.整数和分数统称有理数。
正整数：1,2,3…
整数 0
负整数：-1，-2，-3…
有理数
正分数： ， …
分数
负分数：- ，- …
正整数：1,2,3…
正有理数
正分数： ， …
有理数 0
负整数：-1，-2，-3…
负有理数
负分数：- ，- …
6.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。
如图：
所有的有理数都可以用数轴上的点来表示
原点表示0，原点右边叫正半轴，表示正数。原点左边叫负半轴，表示负数。
右边的数总比左边的数大。
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 ( http: / / www.21cnjy.com )
7.相反数
（1）只有符号不同的两个数叫互为相反数。如：2和-2互为相反数（2的相反数是-2，
-2的相反数是2）。0的相反数是0.
（2）数轴上表示相反数的两个点在原点的两边，并且到原点的距离相等。
（3）一个数的相反数就是在这个数前面加“- ( http: / / www.21cnjy.com )”号。如：5的相反数是-5，（-5）的相反数是 -（-5）即：-（-5）=5 a的相反数是 –a
8.绝对值
（1）一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。如：︱5︱=5 ，︱-5︱=5
︱0︱=0（互为相反数的两个数的绝对值相等）。
（2）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
如：当a≥0时，︱a︱=a；当a＜0时，︱a︱= -a
两个负数，绝对值大的反而小。如：︱-5︱＞︱-3︱，但是 -5＜-3
二、有理数的运算
1.加法
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
如：（+5）+（+3）=+（︱+5︱+︱+3︱）=+（5+3）=8
（-5）+（-3）=-（︱-5︱+︱-3︱）=-（5+3）= -8
（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并较大的绝对值减去较小的绝对值。
如：（+5）+（-3）=+（︱+5︱-︱-3︱）=+（5-3）=2
（+5）+（-7）=-（︱-7︱-︱+5︱）=-（7-5）= -2
（3）互为相反数的两个数相加得0 如：（+2）+（-2）=0, 5+（-5）=0
（4）任何数同0相加，仍得这个数。 如：0+（+2）=2 0+（-2）= -2
2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
如：5-（-3）=5+3=8， （-5）-（-3）=（-5）+3=-2，
（-5）-（+3）=（-5）+（-3）= -8， （-5）-0=-5， 0-（-5）=0+5=5
3.加、减混合运算
（-11）-7+（-9）-（-6）
=（-11）+（-7）+（-9）+（+6）【减法变加法】
= -11-7-9+6 【省略了加号的代数和的形式，把加号和它后面的括号一起省略】
= -28+6
= -21
省略了加号的代数和的形式：-11-7-9+6可以读作：-11，-7，-9，+6的和。也可以读作：负11减7减9加6.
4.加法交换律：a+b=b+a 2+3=3+2 2+(-3)=(-3)+2
加法结合律：（a+b）+c = a+（b+c） （2+3）+ 4 = 2 +（3+4）
(+9)-(+10)-(-2)-(+8)
= (+9)+(-10)+(+2)+(-8) 【减法变加法】
= 9-10+2-8 【省略了加号的代数和的形式】
= 9+2-10-8 【利用加法交换律，带着符号一起移动位置】
= 11-18 【利用加法结合律，把正数加在一起，把负数加在一起】
= -7
5.乘法
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
如：（+3）×（+5）= +（︱+3︱×︱+5︱）= +(3×5) =15
（-3）×（-2）= +（︱-3︱×︱-2︱）= +(3×2）=6
（-3）×（+2）= -（︱-3︱×︱+2︱）= -(3×2）= -6
（2）任何数同0相乘都得0 如：2×0=0 （-2）×0=0
（3）在连乘的式子中，有奇数个负因数时，积为负。有偶数个负因数时，积为正。
如：2×(-3)×6×(-2)×(-7)=负数 2×(-3)×6×(-2)×(-7)×(-1)=正数
6.乘法交换律：ab=ba 2×(-3)=(-3)×2
乘法结合律：(ab)c=a(bc) [2×(-3)]×4=2×[(-3)×4]
乘法分配律：a(b+c)=ab+ac a(b-c)=ab-ac
如：2×(3+4)=2×3 + 2×4
(-2)·(3+4)=(-2)×3 + (-2)×4
(-2)·(3-4)=(-2)×3 - (-2)×4
(-2)·[3+(-4)]=(-2)×3 + (-2)×(-4)
(-2)·[(-3)-(-4)]=(-2)×(-3) - (-2)×(-4)
7.除法
（1）倒数：① 分子、分母互相颠倒的数叫互为倒数。如：与互为倒数；与互为倒数；5与互为倒数；a与互为倒数（0没有倒数）。
② 乘积为1的两个数互为倒数（互为倒数的两个数乘积为1）。如：×=1
5×=1 （-）×（-）=1 × =1
（2）除以一个数等于乘以它的倒数
如：15÷(-)=15×(-)= - 42 (-)÷(-)=(-)×(-)=
（3）两数相除，同号得正、异号得负，并把绝对值相除。
如：（-36）÷ 9 = -4 =3 =
（4）0除以任何一个不等于0的数，都得0 0÷5=0 =0 =0（a≠0）
8.乘方
（1）求n个相同因数的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幂。
a·a·a·…·a= 读作：a的n次方，也可读作：a的n次幂。
n个 指数
幂
底数
如：2中，2是底数，3是指数。 2=2×2×2=8
（-2） 中，（-2）是底数，4是指数。（-2） =（-2）·（-2）·（-2）·（-2）= 16
注意：-2= -（2×2×2×2）= -16 （-2中2是底数，4是指数。在没有括号时，指数4管不到那个“-”号）。
（2）正数的任何次幂都是正数：2=8 2=16
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数：（-2） = -8 （-2）= 16
（注意：0=0 0=0）
三、科学记数法
1.把一个数写成a×10的形式，叫科学记数法。其中1≤︱a︱＜10，n是比原数的整数位数少1的数。
如：69600=6.96×10 282.31=2.8231×10 -3763.5=-3.7635×10
10000=1×10=10 （10=10000 1后面4个0）
2. 科学记数法还原
7.04×10=704000（小数点向右移动5位） 4×10=4000（小数点向右移动3位）
四、近似数和有效数字
1.把一个数四舍五入后得到的数叫近似数，四舍五入到哪一位就说精确到哪一位。
如：≈3.3【精确到十分位】 ≈3.33【精确到百分位】
1.804≈1.8【精确到0.1】 1.804≈1.80【精确到0.01】
304.35精确到个位的近似数为304
2.695精确到百分位为2.70
近似数2.4万精确到千位
2. 科学记数法的精确
2.03×10【精确到千位】 2.03×10=203000
千位
2.030×10【精确到百位】 2.030×10=203000
百位
3．有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是有效数字。
43.2 有三个有效数字：4 ，3 ，2 1.80 三个有效数字：1 ,8 ,0
0.012050 五个有效数字：1 ,2 ,0 ,5 ,0 2.4万 两个有效数字：2 ,4
2.6×10 两个有效数字：2 ,6 3.04×10 三个有效数字：3 ，0 ，4
2.60×10 三个有效数字：2 ，6 ，0
整式的加减
整式
单项式：（1）数字与字母的积叫做单项式。如：5x,-2.5x,xy,ab,-a
（2）单独的一个数或单独的一个字母也是单项式如：5，-3，a
（3）单项式中的数字因数叫做单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
如：单项式5x的系数是5，次数是1 单项式-2.5x的系数是-2.5，次数是2
单项式xy的系数是，次数是3 单项式ab的系数是1，次数是2
单项式-a的系数是-1，次数是1 单项式a的系数是1，次数是1
单项式5的系数是5，次数是0
单项式的系数是，次数是3 单项式系数是，次数是2
多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
① 多项式x+2x+18中，x，+2x，+18是它的项，其中x是二次项，2x 是一次项，18是常数项。
【多项式x+2x+18是x，+2x，+18省略了加号的代数和的形式】
② 多项式4x-5中，4x，-5是它的项，其中4x 是一次项，-5是常数项。
【多项式4x-5是4x，-5省略了加号的代数和的形式】
③ 多项式6x-7x-2中，6x，-7x，-2是它的项，其中6x是二次项，-7x 是一次项，-2是常数项。【多项式6x-7x-2是6x，-7x，-2省略了加号的代数和的形式】
（2）多项式里次数最高的项叫“最高次项”， 最高次项的次数就是这个多项式的次数。
① 多项式x-2x+18有三项：x是二次项，-2x 是一次项，18是常数项（常数项的次数
是0）。最高次项：x（二次项），这个多项式的次数就是2
【多项式x-2x+18是二次三项式】
② 多项式3xy-4xy+2xy -12有四项：3xy是三次项，-4xy是四次项，+2xy是二次项， -12是常数项（常数项的次数是0）。最高次项：-4xy（四次项），这个多项式的次数就是4【多项式3xy-4xy+2xy -12是四次四项式】
③ 多项式-5a-3ab + ba -2b有四项：-5a和-2b是二次项，-3ab 和+ ba是三次项。最高次项：-3ab 和+ ba（三次项），这个多项式的次数就是3
【多项式-5a-3ab + ba -2b是三次四项式】
3.多项式的排列
① 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列。
把多项式3xy - 4xy+ x-5y按x的降幂排列：x+3xy - 4xy-5y【最后一项-5y 中不含x,意味着-5y中x的指数是0】 若按y的降幂排列：-5y- 4xy+3xy + x【最后一项x中不含y意味着x中y的指数是0】
② 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。
把多项式2xy- xy + xy-7按x的升幂排列：-7 + 2xy- xy + xy
按y的升幂排列：-7 - xy + 2xy+ xy
【-7这一项中既不含x也不含y意味着-7中x的指数是0，y的指数也是0】
4.单项式和多项式统称为整式
二、整式的运算
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。常数项和常数项都是同类项。
-3a和2a是同类项， 2ab和-ab是同类项， ab和2ba和-3ab是同类项，
125和-26是同类项
xy和xy不是同类项， 4abc和4ab不是同类项
2.合并同类项：系数相加减，字母和字母的指数不变。
(1) 3a+2a=(3+2)a=5a 3a-2a=(3-2)=a -3abc+abc=(-3+2)abc= -abc
12xy - 20xy =(12-20)xy= - 8xy -4ab-3ab=(-4-3)ab=-7ab
(2) 3 x+ x=4 x 10 y-5 y=5 y -6xy + yx = -5xy
3.去括号
（1）括号前面是“+”号时，把括号和它前面的“+”号一起去掉后，括号里面的各项都不变号。 a+（-b+c-d）=a-b+c-d
（2）括号前面是“-”号时，把括号和它前面的“-”号一起去掉后，括号里面的各项都改变符号。 a-(-b+c-d)=a+b-c+d
（3）合并同类项时，若有括号，要先去括号，再合并。
-5a+（-3a+2）-（-3a+6） （x- y）- 4（2x-3y）
= -5a-3a+2+3a-6 =（x- y）-（8x-12y）【乘法分配律】
= -5a-4 = x- y- 8x+ 12y【去括号】
= -7x+11y【合并同类项】
4.添括号
（1）添上前面带“+”号的括号时，括到括号里的各项都不变号。
a+b+c-d=a +（+b+c-d） a-b-c-d=a-b +（-c-d）
（2）添上前面带“-”号的括号时，括到括号里的各项都改变符号。
a+b+c-d=a -（-b-c+d） a-b-c-d=a-b -（+c+d）
5.整式的加减：（1）去括号 （2）合并同类项
3x-[7x -（4x-3）-2x]
= 3x-[7x -4x+3-2x] 【先去小括号】
= 3x-[3x+3-2x]
= 3x-3x-3+2x 【再去中括号】
= 5x-3x-3
a -（a-4b-6c）+ 3（-2c + 2b）
= a -a + 4b+ 6c +（-6c + 6b）
= a -a + 4b+ 6c -6c + 6b
= -a + 10b
一元一次方程
方程
含有未知数的等式叫方程。
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程叫一元一次方程。如:2x+3=7
使方程左、右两边的相等的未知数的值，叫做方程的解。
如：等于方程 5x-7=8来说，当x=3时， 左边=5×3-7=8 右边=8
左边=右边 所以x=3是方程5x-7=8的解
（注：只有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。如：x=3是方程5x-7的根）
二、等式的性质
1.等式性质1
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数，结果仍是等式。
2x-7 =9 3x+9 =28
2x-7+7=9+7 3x+9-9=28-9
（2）等式两边都加上（或减去）同一个式子，结果仍是等式。
3x-6 =2x+3 3x-6 =2x+3
（3x-6）+（2x-1）=（2x+3）+（2x-1） （3x-6）-（2x-1）=（2x+3）-（2x-1）
2.等式性质2
（1）等式两边都乘以（或除以）同一个数，结果仍是等式。（除数不能为0）
x-2=6 6x+4=16
3×(x-2)=3×6
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个式子，结果仍是等式。
2x-3=7 2x-3=7
（2x-3）·（x+1）=7（x+1）
3．用等式的性质解一元一次方程
3x+7=28
3x+7-7=28-7【两边都减去7】
3 x=21
=【两边都除以3】 （求方程的解的过程叫解方程）
x=7
三、解一元一次方程
1.移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫移项。
【注意：移项要变号】
2.解方程
（1）6x-7=4x-3 （2）3x-7（x-1）=3-2（x+3）
解：移项，得 解：去括号，得
6x-4x = -3+7 3x-7x+7=3-2x-6
合并同类项，得 移项，得 系数化为1（两边都除
2x=4 3x-7x+2x=3-6-7 以-2）
系数化为1（两边都除以2）得 合并同类项，得 x=5
x=2 -2x=-10
（3）5x+2=6x-4
解：移项，得
5x-6x =-4-2
合并同类项，得
-x=-6
系数化为1（两边都乘以-1）得
x=6
（4） ― = ―1
解：去分母（方程两边都乘以各分母的最小公倍数12）
12（ ― ）= 12（ ―1）
12× ― 12× = 12× ― 12×1【方程两边的每一项都要乘以12】
4(2x-1)-2(10x+1)=3(2x+1)-12
去括号，得
8x-4-20x-2=6x+3-12
移项，得
8x-20x-6x=3-12+4+2
合并同类项，得
-18x=-3
系数化为1（两边都除以-18）得
x=
3.解一元一次方程的一般步骤
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
列一元一次方程解应用题（多看例题，多做题）
看题：弄清题目的意思和各个数量间的关系
设未知数，列出方程
解方程
答
第四章 图形认识初步
一、几何图形
1.从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。如：长方体、圆柱、长方形、线段、圆。
2.有些几何图形的各部分不都在同一平面上，它们叫立体图形。如：长方体、圆柱、圆柱。
3.有些几何图形的各部分都在同一平面上，它们叫平面图形。如线段、角、三角形、长方形。
4.立体图形的三视图
主视图（正视图）：从正面看 左视图：从左面看 俯视图：从上面看
如：圆锥 的三视图为：
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左视图 主视图 俯视图
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将这些立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形叫立体图形的平面展开图。
二、点、线、面、体
1.几何体简称为体。如：长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱等。
2.面围成体。面有平面和曲面。
3.面与面相交成线。
4.线与线相交为点。
5.点动成线，线动成面，面围成体。
三、直线、射线、线段
1.直线：笔直的，可向两方无限延伸（不可延长），没有端点，不可度量。
2.直线的表示法
· · a
A B
用两个大写字母表示：直线AB（或直线BA） 用一个小写字母表示：直线a
如图
·P l （1）点A在直线l上（直线l经过A点）
· （2）点P在直线l外（直线l不经过P点）
A
当两条直线有一个公共点时，叫两条直线相交。 a
如图：直线a、b相交于O点。 b
O
（点O叫交点）
5.直线公理：经过两点画直线，能画出一条并且只能画出一条。(简述为:两点确定一条直线）
6.射线：直线上一点和它一旁的部分叫射线。
7.射线的表示法
如图： m
· · 叫射线OA（O是端点）或叫射线m【注意：射线是有方向性
O A 的，如果用两个字母表示射线，表示端点的字母一定要写在前面。如：射线OA不能叫射线AO】
8.射线的性质：不可度量，有一个端点，可向一方无限延伸。
注意：射线不能延长，但可反向延长。
如图： -------· ·
O A
不能说“延长射线OA”，因为从O到A的反向是无限延伸的，不需要延长。但可以说：“反向延长射线OA”
9.线段：直线上两点以及它们之间的部分叫线段。
如图： a
A B 叫线段AB或叫线段BA或叫线段a
10.线段的性质：有两个端点，可度量，不可延伸，可向两方延长。
如图：延长线段AB到C点
A B C
延长线段BA到C点 （即：反向延长线段AB到C点）
11.如图，点M把线段AB分成了两条相等的线段AM与BM。则点M叫线段AB的中点。
即：AM=BM=AB
A M B
如图，点M、N把线段AB分成了三条相等的线段AM、MN、NB。则点M、N叫线段AB的三等分点。（注意：线段的三等分点有两个）
即：AM=MN=NB=AB
A M N B
同样，线段还有四等分点、五等分点…等。
12.线段公理：两点之间线段最短。
连接两点之间的线段的长度，叫做这两点间的距离。
四、尺规作图：（只用直尺和圆规画图）线段和、差
a
1.已知：线段a · ·
求作：线段AB=a
作法：1.作射线AM
2.在射线AM上截取AB=a · ·
则线段AB为所求。 A B M
2.已知：线段a、b a b
求作：线段AB=a+b · · · ·
作法：1.作射线AM
2.在射线AM上顺次截取 · ·
AC=a, CB ( http: / / www.21cnjy.com )=b A C B M
则线段AB为所求。
3. 已知：线段a、b a b
求作：线段AB=a-b · · · ·
作法：1.作射线AM
2.在射线AM上截取AC=a · ·
3.在线段AC上截取CB=b A B C M
则线段AB为所求。
4. 已知：线段a、b a b
求作：线段AB=2a-b · · · ·
作法：1.作射线AM
2.在射线AM上顺次截取AC=CD=a · ·
3.在线段AD上截取DB=b A B C D M
4. 则线段AB为所求。
五、角
1.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两边。
如图： A 顶点：点O
边：射线OA、OB
O B
2.角的表示法
如图： A 记为： A 记为：
∠AOB ∠AOB
α ∠O 1 ∠O
O B ∠α O B ∠1
3.一条射线绕着它的端点旋转前后组成的图形叫做角。
如图：
A 射线OB绕它的端点O旋转到OA的位置，形成∠AOB
终边 OB叫始边，OA叫终边。
O B
始边
4. 周角=360°
直角=90° 平角=180° （B）
· O·
A O B A
1°
5.把一个平角分成180等份，每份就是1°的角。 ·
A O B
把1°的角分成60等份，每份就是1′的角。（1′就是1分，1度=60分）
把1′的角分成60等份，每份就是1″的角。（1″就是1秒，1分=60秒）
6.尺规作图 作一个角等于已知角
已知：∠ABC
求作：∠DEF =∠ABC
作法：1.画射线EG
2.以B为圆心，任意长为半径作弧
交BC于H点，交BA于M点
3.以E为圆心，BH为半径作弧
交EG于F点
4.以F为圆心，HM 为半径作弧，
交前弧与 D点
5.作射线ED
则∠DEF为所求。
7.比较两个角的大小
（1）用量角器
（2）把两个角重叠 A 比较∠AOB和∠COB的大小
如图： C
1 ∠AOB＞∠COB
O 2 B 【∠1+∠2=∠AOB
∠AOB -∠1=∠2】
8. 角平分线：把一个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
如图：OC是∠AOB的平分线，则有：∠1=∠2=∠AOB
A ∠AOB=2∠1=2∠2
1 C
2
O B
9.角的三等分线：把一个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线。
如图： A
C
1
2 D
O 3 B OC、OD是∠AOB的三等分线，则有：
∠1=∠2=∠3=∠AOB
∠AOB=3∠1=3∠2=3∠3
（注意：角的三等分线有两条。同样：角有三条四等分线，有四条五等分线…）
六、角的计算
1.角的单位：度、分、秒。它们之间是60进制的。
2.把下列用度、分、秒表示的角改成用度表示的角。
87°17′24″=87.29° 67°02′06″= 67.035°
24″÷ 60=0.4′ 6″÷ 60 = 0.1′
17′+ 0.4′= 17.4′ 2′+ 0.1′= 2.1′
17.4′÷ 60 = 0.29° 2.1′÷ 60 = 0.035°
3. 把下列用度表示的角改成用度、分、秒表示的角。
5.36°= 5°21′36″ 45.48°= 45°28′48″
0.36°× 60 = 21.6′ 0.48°× 60 = 28.8′
0.6′× 60 = 36″ 0.8′× 60 = 48″
4.加法
（1）32°36′+ 85°41′= 117°77′= 118°17′
32°36′
+ 85°41′
117°77′
（2）53°28′19″+ 47°31′41″= 100°59′60″= 101°
53°28′19″
+ 47°31′41″
100°59′60″
（3）48°39′+ 67°41′24″= 115°80′24″= 116°20′24″
48°39′
+ 67°41′24″
115°80′24″
5.减法
（1）58°27′－ 23°8′29″= 35°18′31″ （3）90°－ 78°19′40″=11°40′20″
58°26′60″ 89°59′60″
－ 23° 8′29″ － 78°19′40″
35°18′31″ 11°40′20″
（2）1070′－ 3°27′30″ = 17°50′－ 3°27′30″= 14°22′30″
17°49′60″
60 － 3°27′30″
470 14°22′30″
420
50
6.乘法
（1）31°43′× 4 = 124°172′= 126°52′
31°43′
× 4
124°172′
（2）15°24′20″× 5 = 75°120′100″= 75°121′40″= 77°1′40″
15°24′20″
× 5
75°120′100″
7.除法
（1）175°43′÷ 5 = 35°8′36″
15 40 15
25 3 30
25 【 3′× 60 = 180″】 30
0 0
（2）31°42′30″÷ 5 = 6°20′30″
30 10 15
1 2 0
【 1°= 60′】 【2′= 120″】
【60′+ 42′= 102′】 【120″+ 30″=150″】
（3）176°52′÷ 3 = 58°57′20″
15 15 6
26 22 0
24 21
2 1
【2°= 120′】 【1′= 60″】
【120′+ 52′= 172′】
（4）360°÷ 7 = 51°25′42″≈51°25′42″
35 14 28
10 40 20
7 35 14
3 5 6
【3°= 180′】 【5′= 300″】
（注：51°25′42″精确到分为51°26′ 51°26′精确到度为51°）
七、余角、补角
1.如果两个角的和是90°（直角），那么这两个角叫互为余角。
如图：
若∠1+∠2=90°,则∠1和∠2互为余角,简称∠1和∠2互余
1 即：∠1是∠2的余角，∠2是∠1余角。
2
2.如果两个角的和是180°（平角），那么这两个叫互为补角。
如图： 若∠1+∠2=180°,则∠1和∠2互为补角,
简称∠1和∠2互补
1 2 即：∠1是∠2的补角，∠2是∠1补角。
特别的，如图：点A、O、B在同一条直线上（∠AOB是平角为180°）则∠1和∠2
C 不仅互补，而且相邻，有一条公共边OC，这时
1 2 ∠1和∠2叫做互为邻补角。
A O B
3.定理： 同角（或等角）的余角相等
（1）如图： 当∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°时，可得∠2=∠3
即：若∠2和∠3是同一个角（∠1）的余角，则∠2=∠3
3 【同角的余角相等】
1
2
（2）如图：
3 4
1 2
当∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，并且∠1=∠2时，可得∠3=∠4
即：若∠3和∠4分别是两个相等的角（∠1和∠2）余角，则∠3=∠4
【等角的余角相等】
4.定理： 同角（或等角）的补角相等
（1）如图：
2 3
1
当∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°时，可得∠2=∠3
即：∠2和∠3是同一个角（∠1）的补角，则∠2=∠3
【同角的补角相等】
（2）如图：
3 4
1 2
当∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，并且∠1=∠2时，可得∠3=∠4
即：若∠3和∠4分别是两个相等的角（∠1和∠2）的补角，则∠3=∠4
综上所述：同角（或等角）的余角相等。同角（或等角）的补角相等
例：① 已知∠1的补角是105°，则∠1的余角是（ ）度
② 一个角比它的余角大20°，这个角等于（ ）度
③ 一个角是它的补角的2倍，则这个角等于（ ）度
④ 若一个角的补角是它的余角的2倍，则这个角是（ ）度
八、方位角
在地图上有：上北下南，左西右东。
如图： 北
A
37°
西 东
45° O
B
南
射线OA的方向为：北偏西37°，（也是西偏北53°）
射线OB的方向为：南偏西45°，当然射线OB的方向也是西偏南45°
【射线OB是正西、正南两个方向夹角平分线，则射线OB的方向叫西南方向。同理，有：东南方向、东北方向、西北方向】
第五章 相交线与平行线
一、相交线
1.如图：直线AB、CD相交于O点
A 2 B ∠1+∠2=180°，并且∠1与∠2有一条公共边，
1 3 则∠1与∠2互为邻补角。
C 4 D ∠1与∠3叫对顶角。∠1=∠3
【定理：对顶角相等】
2.垂直：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
（垂直是相交的特殊情况）
如图： （1）当∠1=90°时，叫AB垂直于CD。记作：AB⊥CD，点O叫垂足。
A （2）当AB⊥CD时，直线AB与CD相交成的四个角都是直角。
1 （3）AB叫CD的垂线，CD也叫AB的垂线。
C O D
B
3.
（1）如图：过直线m上一点A作m的垂线只能作出一条
· m
（2）如图：过直线m外一点B作m的垂线只能作出一条 A
·B
m
定理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（不论点在直线上还是在直线外）
4.画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线。
（1）如图：过点P作线段AB的垂线时，需要先延长线段AB，
这时，垂足C在线段AB的延长线上。 P
· ·---------
A B C
（2）如图：过点P作射线OA的垂线时，需要先反向延长射线OA，
这时，垂足B在射线OA的反向延长线上。 P
--------· ·
B O A
5.如图：点P是直线m外一点，PO⊥m于O点。线段PO叫做点P到
直线m的垂线段。从点P向直线m连接线段PA、 PB 、PC …等。 P
所有的线段中，垂线段PO最短（PA、 PB 、PC叫斜线段）。
定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简单地说就是：垂线段最短。 m
6.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， A B O C
叫做点到直线的距离。 <19>
7.三线八角：如图，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截。 E
（1）看图中的∠1和∠5，这两个角在两条被截直线AB与CD的 2 1
同一方（上方），并且都在第三条直线EF的同一侧(右侧)，A 3 4 B
这样的一对角叫同位角。 6 5
（图中同位角还有：∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8） C 7 8 D
F
（2）看∠3和∠5，它们都夹在两 ( http: / / www.21cnjy.com )条被截直线AB、CD之间，并且分别在第三条直线EF两侧（∠3在EF左侧，∠5在EF右侧）这样的一对角叫内错角。
（图中内错角还有：∠4和∠6）
（3）看∠4和∠5，它们都夹在两条被截直线AB、CD之间，并且都在第三条直线EF的同一旁（EF的右侧）这样的一对角叫同旁内角。
（图中同旁内角还有：∠3和∠6）
例：如图①：
D C
1 2 图①
A B E
<1> ∠2和∠C是直线 和 被直线 所截而成的 角。
<2> ∠1和∠C是直线 和 被直线 所截而成的 角。
<3> 和 是AD和BC被 所截得的同位角。
如图②：
D C
1
2
A B
3
E
<1> ∠1和∠2是 和 被 所截而成的 角。
<2> ∠1和∠3是 和 被 所截而成的 角。
<3> ∠2和∠C是 和 被 所截而成的 角。
二、平行线
1.在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
如图：直线AB平行于直线CD A B
记作：AB∥CD C D
2.如图：经过直线AB外的一点P，画AB的平行线，能画出一条，并且只能画出一条。
P
·
A B
定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（平行公理）
3.如图：若a∥b，b∥c，则a∥c a
定理：如果两条直线都与第三条直线平行， b
那么这两条直线也互相平行。 c
（平行线的传递性） E
4.平行线的判定 A 1 B
（1）如图：若同位角∠1=∠2，则可得AB∥CD
定理：同位角相等，两直线平行。 2
C D
F c
（2）如图：若内错角∠1=∠2，则可得a∥b a
定理：内错角相等，两直线平行。 1
2 b
c
（3）如图：若同旁内角∠1+∠2=180°，则可得a∥b a
定理：同旁内角互补，两直线平行。 1
2
b
5.如图：由a⊥c，b⊥c，可得a∥b a b
定理：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
c
6.平行线的性质 E
（1）如图：若AB∥CD，则可得同位角∠1=∠2 1
定理：两直线平行，同位角相等。
2
C D
F
（2）如图：若a∥b，则可得内错角∠1=∠2 c
定理：两直线平行，内错角相等。 a
1
2
b
（3）如图：若a∥b，则可得同旁内角∠1+∠2=180° c
定理：两直线平行，同旁内角互补。 a
1
2 b
7.空间里的平行关系。 如图长方体中
（1）棱A′A ∥ B′B ∥ C′C ∥ D′D
（2）棱A′B′∥ AB ∥ CD ∥C′D′
（3）棱A′A ∥平面B′B C C′
（4）棱A′A ∥平面C C′D′D
（5）棱A′A ⊥ A′B′
（6）棱A′A ⊥ 平面ABCD
三、命题、定理
1.判断一件事情的句子角命题。
2.命题由题设和结论两部分组成。如，命题：同位角相等，两直线平行。
题设 结论
3.有些命题的题设和结论不明显，可以把它写成“如果…，那么…”的形式。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。
如：命题：“对顶角相等”可以写成
“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。”
题设 结论
命题：“同角的余角相等” 可以写成
“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。”
题设 结论
4.正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。
5.经过推理证实是真命题的，叫做定理。
四、平移
1.一个图形整体沿某一方向平行移动叫做平移。
2.例：如图，平移△ABC，使点A平移到A′的位置。画出平移后的△A′B′C′
画法： A
（1）连接A A′
（2）过点B画直线m∥AA′， 1 A′
过点C画直线n∥AA′
（3）在直线m上截取BB′= AA′， B ·P C 2
在直线n上截取CC′= AA′
（4）顺次连接A′、B′、C′ ·P′ C′
则△A′B′C′为所求。 B′
3.平移的性质
（1）图形上每一点平移的方向和距离 ( http: / / www.21cnjy.com )都相同。（如图中，BC上的一点P平移到
B′C上的P′时，平移的方向和距离与点A平移到点A′时平移的方向和距离相同）
（2）平移前后两个图形的形状与大小不变。
（如图中，△ABC和△A′B′C′的形状与大小不变）
（3）平移前后两个图形中的对应线段平行且相等，对应角相等。
（如图中,AB∥A′B′且AB =A′B′,BC∥B′C′且BC=B′C′,CA∥C′A′且CA=C′A′
∠1=∠2，∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB= ∠A′C ′B′）
（4）对应点连接而成的线段平行且相等
（AA′∥ BB′∥ CC′∥ PP′ , AA′= BB′= CC′= PP′）
第六章 平面直角坐标系
一、平面直角坐标系
1.互相垂直且有公共原点的两条数轴就组成了
平面直角坐标系。水平的数轴叫横轴，也叫 第二象限 第一象限
x轴，取向右为正方向。竖直的数轴叫纵轴，
也叫y轴，取向上为正方向。横轴和纵轴统
称为坐标轴。 第三象限 第四象限
2.建立了平面直角坐标系的平面叫坐标平面。坐标轴将坐标平面分成了四个部分，依次叫
第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。【注意：坐标轴不属于任何象限】
3.点的坐标
（1）如图，坐标平面内有一点A,过A点作x轴的垂线
垂足落在x轴上3这一点,就说A点的横坐标3,
过A点作y轴的垂线，垂足落在y轴上2这一点, A(3,2)
就说A点的纵坐标是2，A点的横坐标和纵坐标
合称A点的坐标。记为：A（3,2）。点的坐标是
一对有顺序的数对。横坐标要写在前面，纵坐标
写在后面，用逗号间隔，并用括号括起来。
（2）如图，找出坐标为（2,3）的点： (2,3)
过x轴上2这一点作x轴的垂线
过y轴上3这一点作y轴的垂线
这两条垂线的交点就是坐标为（2,3）的点。
（注意：坐标为（3,2）的点和
坐标为（2,3）的点是不同的两个点）。
4.各类点的坐标 C
（1）各象限内的点 （-，+） （+，+）
第一象限内的点：横坐标和纵坐标都是正的 B A
第二象限内的点：横坐标为负,纵坐标为正
第三象限内的点：横坐标和纵坐标都是负的 D
第四象限内的点：横坐标为正,纵坐标为负 （-，-） （+，-）
（2）坐标轴上的点
x轴上的点的纵坐标为0 如：A（3，0） B（-2，0）
y轴上的点的横坐标为0 如：C（0，4） D（0，-2）
原点的坐标为（0，0）
（3）对称的点
点P(4,3)关于x轴对称的点是Q ( http: / / www.21cnjy.com )(4,-3)(关于x轴对称:横坐标不变,纵坐标互为相反数)点P(4,3)关于y轴对称的点是M(-4,3)(关于y轴对称:纵坐标不变,横坐标互为相反数)
【总结：关于哪条轴对称，哪个坐标就不变，另一个坐标互为相反数】
点P（4，3）关于原点对称的点是N(-4，-3）【关于原点对称：两个坐标都互为相反数】
y
4
M· ·P(4,3)
2
-
0 x
N· ·Q(4,-3)
（4）坐标轴夹角平分线上的点
一、三象限坐标轴夹角平分线上的点：横坐标与纵坐标相等。
如图中，点A（3,3）和点B（-2，-2）
二、四象限坐标轴夹角平分线上的点：横坐标与纵坐标互为相反数
如图中，点C（-3,3）和点D（4，-4）
y
4
·C ·A
2
0 x
·B
·D
（5）与坐标轴垂直的直线上的点 y
如图：直线m过y轴上“2”这一点垂直于y轴，
（也就是直线m∥x轴） m
则直线m上所有的点的纵坐标都是2
直线n过x轴上“-3”这一点垂直于x轴，
（也就是直线n∥y轴）
则直线n上所有的点的横坐标都是-3
n
5.点的坐标与点到坐标轴的距离 P
如图：P点的坐标为（-2,3），P点到x轴的 B
距离PA=3；P点到x轴的距离PB=2
A
二、用坐标表示位置
如图：已知教学楼（-1,2） 图书馆
建立坐标系，并写出其余 教学楼
各处的坐标。
校门 旗杆
实验楼
三、坐标与平移的关系
1.左右平移时：纵坐标不变。向右平移，横坐标加；向左平移，横坐标减。
2.上下平移时：横坐标不变。向上平移，纵坐标加，向下平移，纵坐标减。
3.如图，△ABC内的一点P随△ABC一起平移后的对应点为P
写出点A、B、C平移前后的坐标。
Y
A
P
B
C 0
x
P
第七章 三角形
一、认识三角形 A
1.三条线段首尾顺次相接组成是图形叫三角形。
（1）如图，线段AB、BC、CA首尾顺次相接构成了三角形 c b
记作：△ABC B C
顶点：A、B、C a
边：AB、BC、CA （点A所对的边也叫a边，点B所对的边也叫b边，
点C所对的边也叫c边）
内角（角）：∠A、∠B、∠C （相邻两边的夹角）
（2） 三角形按角分类 三角形按边分类
锐角三角形 不等边三角形
三角形 直角三角形 三角形 等腰三角形
钝角三角形 等边三角形
（3）有一个角是直角的三角形叫直角三角形 A
如图，△ABC中，∠C=90°这就是一个直角三角形
互相垂直的两条边AC、BC叫直角边，AB叫斜边。
【定理：直角三角形两锐角互余】 B C
（3）有两条边相等的三角形叫等腰三角形 A
如图：△ABC中，AB=AC这就是一个等腰三角形
腰：AB、AC （相等的两边叫腰）
底边：BC
顶角：∠A （两腰的夹角）
底角：∠B、∠C （腰和底边的夹角） B C
（注：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形）
（4）三条边都相等的三角形叫等边三角形 A
（等边三角形是特殊的等腰三角形）
如图：△ABC中，AB=BC=CA
这就是一个等边三角形 B C
2.如图,△ABC中,有b+c ( http: / / www.21cnjy.com )＞a（因为点B和点C两点之间，线段a最短） A
同理:c + a ＞b , a + b ＞c (定理:三角形两边之和大于第三边) c b
又：由b + c ＞a可得b＞a–c
由c + a ＞b可得c＞b–a B a C
由a + b ＞c可得a＞c–b (定理:三角形两边之差小于第三边)
二、三角形的高、中线、角平分线（三角形的三线）
1.从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
（1）如图，锐角△ABC中： A
AD⊥BC，则AD叫BC边上的高 E
BE⊥AC，则BE叫AC边上的高 F 2
CF⊥AB，则CF叫AB边上的高 3
① AD、BE、CF是△ABC的三条高，则∠1=∠2=∠3=90° 1
② 锐角三角形的三条高交于三角形内一点 B D C
（2）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，则AC是BC边上的高，
同时，BC也是AC边上的高。 A
CD⊥AB，则CD是Rt△ABC斜边AB上的高 D
Rt△ABC的三条高AC、BC、CD交于直角顶点，其中两条
高AC、BC是Rt△ABC的两条直角边。
B C
（3）如图，作钝角△ABC三条边上的高 A
AB边上的高是CF， F
BC边上的高是AD (AD⊥直线BC,垂足D在BC边的延长线上)
AC边上的高是BE (BE⊥直线AC, B C D
垂足E在AC边的延长线上)
E
①钝角△ABC的三条高AD、BE、CF中有两条高AD、BE在
三角形外面
②钝角三角形的三条高本身不相交，但是三条高的延长线交于三角形外一点。
2.在三角形中，连接顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（1）如图①，锐角△ABC中：
D为BC边的中点，则AD是△ABC中BC边上的中线。BD=CD=BC
E为AC边的中点，则BE是△ABC中AC边上的中线。AE=CE=AC
F为AB边的中点，则CF是△ABC中AB边上的中线。AF=BF=AB
A A A
F E F E F E
B D C B D C B D C
图① 图② 图③
（2）如图②，Rt△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AC、AB的中点。
则AD、BE、CF为Rt△ABC的三条中线。
（3）如图③，钝角△ABC中，AD、BE、CF为钝角△ABC的三条中线。
（三角形的三条中线交于三角形内一点，这一点叫三角形的重心）
3.三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的
线段叫三角形的角平分线。
（1）如图①，锐角△ABC中
AD平分∠BAC，则AD是△ABC的一条角平分线。有∠1=∠2=∠BAC
BE平分∠ABC，则BE是△ABC的一条角平分线。有∠3=∠4=∠ABC
CF平分∠ACB，则CF是△ABC的一条角平分线。有∠5=∠6=∠ACB
A A
A
F 2 1
E F E F E
3 6
B D C B D C B D C
图① 图② 图③
（2）如图②，AD、BE、CF为Rt△ABC的三条角平分线。
（3）如图③，AD、BE、CF为钝角△ABC的三条角平分线。
（三角形的三条角平分线交于三角形内一点）
三、三角形的内角和 A
1．定理：三角形三个内角的和等于180°
即：如图，△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
B C
2.定理的证明
已知：△ABC D A E
求证：∠α+∠B+∠C=180° 1 2
证明：过A作DE∥BC α
∴∠B=∠1，∠C=∠2
∵∠1+∠α+∠2=180°
∴∠B+∠α+∠C=180° B C
四、三角形的外角
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角。 A
如图，延长BC到D，则∠ACD叫△ABC的一个外角。
（实际上，在三角形的每个顶点处有两个外角
我们只取一个） ( http: / / www.21cnjy.com ) B C D
2.定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
定理的证明：
如图，已知：∠ACD是△ABC的一个外角 A
求证：∠ACD=∠A+∠B
证明：∵∠A+∠B+∠1=180°
又∵∠ACD+∠1=180° 1
∴∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )D=∠A+∠B B C D
定理：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
（如图，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B）
3.定理：三角形三个外角的和等于360°
定理的证明：如图
已知：∠α、∠β、∠γ为△ABC的三个外角
求证：∠α+∠β+∠γ=360° α A
证明：∵∠α+∠1=180°∠β+∠2=180°∠γ+∠3=180° 1
∴（∠α+∠β+∠γ）+（∠1+∠2+∠3）=540°
又∵∠1+∠2+∠3=180° B 2 3 γ
∴∠α+∠β+∠γ=360° β C
五、多边形
1.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。三角形是最简单的多边形，
还有四边形、五边形、六边形 … n边形。 A
2.如图（以五边形为例）五边形ABCDE中
线段AB、BC、CD、DE、EA叫边 B E
点A、B、C、D、E叫顶点
∠A、∠B、∠C、∠D、∠E叫内角（简称角） C D
3.如图，五边形ABCDE中
∠1、∠2、∠3、∠4、∠5叫外角
1 A
B E
2
4
C 3 D
4.如图
画出四边形ABCD的任一条边（例如CD）所在的直线，若整个四边形都在
这条直线的同一侧，这样的四边形叫凸四边形（如图①）。
若四边形分布在这条直线的两侧，这样的四边形叫凹四边形（如图②）。
B A
A
C
C D B D
图① 图②
5.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形。
A A D A A F
B E
B E
B C B C
正△ABC 正四边形ABCD C D C D
（等边△ABC） （正方形ABCD） 正五边形ABCDE 正六边形ABCDEF
6.多边形的对角线 A
（1）连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
如图，AC、AD是五边形ABCDE中从点A出发的两条对角线。 B E
（2）从n边形的一个顶点出发可以画（n-3）条对角线
n（n-3）
（3）一个n边形一共有 条对角线。 C D
2
六、多边形的内角和
1.如图，四边形ABCD中，从一个顶点A出发的对角线AC把它分成了（4-2）个三角形。
而四边形ABCD的内角和刚好等于这两个三角形的内角和。 D
即：四边形ABCD的内角和=（4-2）·180°=360° A
B C
2. 如图,五边形ABCDE中,从一个顶点A出发的对角线AC、AD把它分成了(5-2)个三角形。
即：五边形ABCDE的内角和=(5-2)·180°=540° A
B E
C D
3. 从n边形的一个顶点出发的对角线把n边形分成了（n-2）个三角形
即：n边形的内角和=（n-2）·180°
七、多边形的外角和 1 A
4 D
A B E
1 2
3 4
B C D
2 C 3
四边形中： 五边形中：
4个外角 + 4个内角=4个平角 5个外角 + 5个内角=5个平角
外角和 + 内角和=180°× 4 外角和 + 内角和=180°× 5
外角和 = 180°× 4 - 内角和 外角和 = 180°× 5 - 内角和
= 180°× 4 -（4-2）·180° = 180°× 5 -（5-2）·180°
= 180°× 4 - 2×180° = 180°× 5 - 3×180°
= 180°×2 = 180°×2
= 360° = 360°
n边形中：
n个外角 + n个内角= n个平角
外角和 + 内角和=180°·n
外角和 = 180°·n - 内角和
= 180°·n -（n -2）·180°
= 180°·n - 180°·n + 180°× 2
= 180°×2
= 360°
【定理：任意多边形的外角和都是360°】
八、镶嵌
1. 镶嵌（密铺）：用多边形把一个平面既无缝隙又不重叠地全部覆盖。
2. 镶嵌的本质：围绕一个点拼成一个360°的周角。
3.只用一种多边形可以镶嵌的有：
（1）正三角形 （2）正方形 （3）正六边形 （4）任意三角形 （5）任意四边形
4.用两种（或两种以上）的多边形可以密铺举例：
（1）正三角形和正方形
（2）正三角形和正六边形
（3）正三角形和正方形和正六边形
第八章 二元一次方程组
一、二元一次方程组
1.方程2x + y = 40中，含有两个未知数x和y，并且含有未知数的项的次数都是1，
这样的方程叫做二元一次方程。
2.当x=1,y=38时，方程2x + y = 40左、右两边的值相等，则：
x=1
y=38 叫二元一次方程2x + y = 40的一个解。
如：
x=2 x=3 x=4
y=36 y=34 y=32 … 都是方程2x + y = 40的解
即：二元一次方程2x + y = 40有无数个解。
3.两个具有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，如：
x + y = 5
2x – y = 1 就是一个二元一次方程组
其中方程x + y = 5的解是： x=1 x=2 x=3 x=2
y=4 y=3 y=2 y=3 …
方程2x – y = 1的解是： x=1 x=2 x=3 x=4
y=1 y=3 y=5 y=7 …
可以发现 x=2
y=3 是两个方程的公共解。
则： x=2 x + y = 5
y=3 就是二元一次方程组 2x – y = 1 的解。
二、解二元一次方程组：主要的手段就是消元，即把两个未知数消去一个，剩下一个。
得到一元一次方程，这就好算了。
1.代入消元法（简称代入法）
（1） x – y = 3 ①
3x – 8y = 14 ②
解：由①得x = 3 + y ③ 【即：用含y的式子表示x】
把③代入②，得 3(3 + y) - 8y = 14 【消元：消去了一个未知数x，只剩下y】
解得：y = -1
把y = -1代入③，得x = 3 +（-1）= 2
∴原方程组的解是 x = 2
y = -1
（2） y = 1 – x ①
3x + 2y = 5 ②
解：把①代入②，得
3x + 2(1-x)=5
3x + 2 - 2x=5 ∴ x=3
x=3 y = -2
把x=3代入①，得
y = 1 – 3 = -2
（3） 2x – 7y = 8 ①
3x – 8y = 10 ②
解：由①得2x = 8 + 7y
x = ③ y = -
把③代入②，得
3×– 8y = 10 把y = - 代入③，得
– 8y = 10 x = =
24 + 21 y - 16y = 20 ∴ x =
5y = -4 y = -
2.加减消元法（简称加减法）
（1） 5x - 3y = 17 ① (2) 3x + 2y = 9 ①
2x + 3y = 11 ② 3x - 5y = 2 ②
解：① + ②， 得 解：① - ②， 得
7x = 28 7y = 7
x = 4 y = 1
把x = 4代入①，得 把y = 1代入②，得
5 × 4 - 3y = 17 3x - 5 = 2
- 3y = -3 x =
y = 1
∴ x = 4 ∴ x =
y = 1 y = 1
(3) 6x + 5y = 25 ① (4) 8x + 3y +2 = 0 ①
3x + 4y = 20 ② 6x + 5y +7 = 0 ②
解：②×2 - ① ， 得 解：①×3 - ②×4 ， 得
3y = 15 -11y = 22
y = 5 y = -2
把y = 5代入②，得 把y = 2代入①，得
3x + 20 = 20 8x - 6 + 2 = 0
3x = 0 8x = 4
x = 0 x =
∴ x = 0 ∴ x =
y = 5 y = -2
(5) 3(x – 4) = 4y + 3 ① ③ - ④×3得
- = -1 ② 17y = 51
解：整理得 y = 3
3x – 4y = 15 ③ 把y = 3代入③，得
x – 7y = -12 ④ 3x – 12 = 15
x = 9
∴ x = 9
y = 3
三、三元一次方程组
1.含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫三元一次方程。
如：x + 2y – 5z = 22
2.看方程组：
x-y+z=0 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数
4x+2y+z=3 的项的次数都是1，这样的方程组叫三元一次方程组。
25x+5y+z=60
3.解三元一次方程组
3x – y + ( http: / / www.21cnjy.com ) z = 4 ① 5x - 3y + 4z = 13 ①
（1） 2x + 3y - z = 12 ② （2） 2x + 7y - 3z = 19 ②
x + y + z = 6 ③ 3x + 2y – z = 18 ③
解：① + ②， 得 解：③×4 + ① ， 得
5x + 2y = 16 ④ 17x + 5y = 85 ④
① - ③， 得 ③×3 - ② ,得
2x – 2y = -2 7x – y = 35 ⑤
x – y = -1 ⑤ ∴ 17x + 5y = 85 ④
∴ 5x + 2y = 16 ④ 7x – y = 35 ⑤
x – y = -1 ⑤ 解得:
④ + ⑤×2得 x = 5
7x = 14 y = 0
x = 2 把 x = 5
把x = 2代入⑤，得 y = 0
2 - y = -1 代入③，得
y = 3 z = -3
把 x = 2 ∴ x = 5
y = 3 y = 0
代入③，得 z = -3
2 + 3 + z = 6
z = 1
∴ x = 2
y = 3
z = 1
2x + 3y - 5z = 8 ① x + y + z = 12 ①
(3) 3x - 2y + 4z ( http: / / www.21cnjy.com ) = 4 ② (4) x + 2y + 5z = 22 ②
4x - 5y + 3z = -4 ③ x = 4y ③
解： ②×3 + ①×2 ， 得 解： 把③代入①，得
13x + 2z = 28 ④ 4y + y + z = 12
②×5 - ③×2 ， 得 5y + z = 12 ④
7x + 14z = 28 把③代入②，得
x + 2z = 4 ⑤ 4y + 2y + 5z = 22
∴ 13x + 2z = 28 ④ 6y + 5z = 22 ⑤
x + 2z = 4 ⑤ ∴ 5y + z = 12 ④
解得: 6y + 5z = 22 ⑤
x = 2 解得:
z = 1 y = 2
把 x = 2 z = 2
z = 1 把 y = 2
代入①，得y = 3 z = 2
代入①，得 x = 8
∴ x = 2 ∴ x = 8
y = 3 y = 2
z = 1 z = 2
4x + 9y = 12 ① x∶y = 3∶2 ①
(5) 3y - 2z = 1 ② (6) y∶z = 5∶4 ②
7x + 5z = ③ x + y + z = 66 ③
解：① - ②×3 得 解：整理得
4x + 9y = 12 2x - 3y = 0 ④
9y - 6z = 3 4y - 5z = 0 ⑤
4x + 6z = 9 ④ x + y + z = 66 ③
∴ 7x + 5z = ③ 由x∶y = 3∶2得=
4x + 6z = 9 ④ 去分母,两边乘以2y得2x = 3y
解得: x = - ③×2 - ④ 得
z = 2 5y + 2z = 132 ⑥
把z = 2代入②得y = ∴ 4y - 5z = 0 ⑤ 把y = 20代入④得
∴ x = - 5y + 2z = 132 ⑥ x = 30
y = 解得 y = 20 ∴ x = 30
z = 2 z = 16 y = 20
z = 16
第九章 一元一次不等式
一、不等式
1.用不等号“＞，＜，≠”表示不等关系的式子叫不等式。
如：7＞5，-2＜0, 2x+1＞5, x≥2, x+1≤2x
2.含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式。
如：2x+1＞5, 2x-3≤x+1, x＜2
3.在x+3＞6中，x=4,5,6，… 时，不等式都成立。则4,5,6，… 都叫不等式x+3＞6的解。
一个不等式的所有的解合在一起，叫做不等式的解集。
二、不等式的性质
1.性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
如： 7＞5 2x+5≥5 x+2≤2x+1
7+3＞5+3 2x+5-3≥5-3 x+2+(x-1)≤2x+1+(x-1)
2.性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
如： x -2 ＜ 1 4x - 1＞3
3（x -2）＜ 1×3 ＞
3.性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如： - x ＞ 2 -4x ≤ - 3
(-1)（- x）＜ 2×(-1) -4x÷（-4）≥ - 3÷（-4）
三、解不等式，并把解集在数轴上表示出来。
1. 3x + 1＜ 2x - 5 2. 2 - 5x ≥ 8 + 6x
解：移项，得 解：移项，得
3x - 2x ＜- 5 - 1 - 5x - 6x ≥ 8 - 2
合并同类项，得 合并同类项，得
x ＜ - 6 - 11x ≥ 6
系数化为1（两边除以-11）
· · x ≤ -
-6 0
· ·
- 0
3. 3(1-x) ＜2(x+9)
解：去括号，得
3 - 3x ＜ 2x + 18 系数化为1（两边除以-5）
移项，得 x ＞ -3
- 3x - 2x ＜ 18 - 3
合并同类项，得 · ·
- 5x ＜ 15 -3 0
4. 1 + ≥ 5 -
解：去分母（两边乘以6） 合并同类项
6 + 2x≥30 - 3(x - 2) 5x ≥ 30
去括号 系数化为1（两边除以5）
6 + 2x≥30 - 3x + 6 x ≥ 6
移项
2x + 3x≥30 + 6 - 6 · ·
0 6
四、不等式组
1. 两个或几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。
2. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
（1） 2x - 1 ＞ x + 1 ① (2) 2x - 1 ＞0 ①
x + 8 ＞ 4x - 1 ② 4 - x ≥ 0 ②
解:由① 得 解:由① 得x ＞
2x - x ＞1 + 1 由② 得x ≤ 4
x ＞ 2
由② 得
x - 4x ＞- 1 - 8
-3x ＞ -9
x ＜ 3 · · ·
0 4
· · ·
0 2 3 ∴ ＜ x ≤ 4
∴ 2 ＜ x ＜ 3
(3) 2x ＜ 7 + x ① (4) -3(x-3) ≤ 4-x ①
x - 2 ＜ -3 ② ＜ x - 1 ②
解:由① 得x ＜ 7 解:由① 得x ≥ 1
由② 得x ＜ -1 由② 得x ＞ 4
· · · · · ·
-1 0 7 0 1 4
∴ x ＜ -1 ∴ x ＞ 4
(5) 2x + 3 ≥ x + 11 ① （6） x - 4＜ 0 ①
- 1＜ 2 - x ② 3 + x＞ 0 ②
解:由① 得x ≥ 8 1 - x＞ 0 ③
由② 得x ＜ 解:由① 得x ＜ 4
由② 得x ＞ -3
由③ 得x ＜ 1
· · ·
0 8
∴原不等式组无解 · · · ·
-3 0 1 4
∴ -3 ＜ x ＜ 1
3.求下列不等式的正整数解
（1）3x - 9 ≤ 0 (2) 10(x + 4) + x ≤ 84
解: 3x ≤ 9 解: 10x + 40 + x ≤ 84
x ≤ 3 11x ≤ 44
正整数解为：1，2，3 x ≤ 4
正整数解为：1，2，3，4
五、列不等式（组）解应用题
第十章 数据的收集、整理与描述
一、统计调查
1. 统计调查的步骤：
（1）收集数据（如问卷调查） （2）整理数据（统计表）
（3）描述数据（折线统计图、条形统计图、扇形统计图）
2．全面调查：考察全体对象的调查。
3．抽象调查：抽取全体对象中的一部分进行调查。
（然后根据调查数据推断全体对象的情况）。
4．总体：要考察的全体对象。
5．个体：组成总体的每一个考察对象。
6．样本：从总体中抽取的一部分个体组成总体的一个样本。
7．样本容量：样本中个体的数目。
8. 简单随机抽样：使总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到。
二、直方图
1.第一步：计算极差（最大值减去最小值的差）。
2.第二步：决定组距和组数。
3.第三步：列频数分布表（各小组内数据的个数叫频数）。
4.第四步：画直方图
（1）第一种画法：小长方形的高=（频数÷组距）此时，小长方形的面积=频数。
（2）第二种画法：用频数当做小长方形的高。
5.频率 = （小组内数据的个数）÷数据总数。
6.频率之和=1
三、各种统计图的优点
1. 折线统计图：能够显示数据的变化趋势。
2. 条形统计图：能够显示每组中的具体数据。
3. 扇形统计图：能够显示每部分在总体中所占的百分比。
4. 直方图：能够显示数据的分布情况。
0
1
-5
-4
-3
-2
-1
2
3
4
5
A
B
C
M
H
D
E
F
G
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4 xxxxxxx
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
(-4,3)
2
4
-2
-4
-2
(-4,-3)
-4
2
4
-4
-2
-2
-4
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
4
5
5
一、有理数
1．我们学过的数：1， 2， 3，0.6， 这些都是正数。
2．负数：与正数的意义相反。如：赚了5元钱用+5元表示，而正号通常省略，写成5元。
而亏了5元钱用-5元表示，写成-5.
3.在正数前面加“-”号就是负数。如：5 ( http: / / www.21cnjy.com )是正数，-5是负数； 是正数，- 是负数。0既不是正数也不是负数（0没有正、负之分）。如：+0=-0=0
4.现在数的范围就扩大了，整数包括：正整数、零 、负整数。分数包括：正分数、负分数。
5.整数和分数统称有理数。
正整数：1,2,3…
整数 0
负整数：-1，-2，-3…
有理数
正分数： ， …
分数
负分数：- ，- …
正整数：1,2,3…
正有理数
正分数： ， …
有理数 0
负整数：-1，-2，-3…
负有理数
负分数：- ，- …
6.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。
如图：
所有的有理数都可以用数轴上的点来表示
原点表示0，原点右边叫正半轴，表示正数。原点左边叫负半轴，表示负数。
右边的数总比左边的数大。
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 ( http: / / www.21cnjy.com )
7.相反数
（1）只有符号不同的两个数叫互为相反数。如：2和-2互为相反数（2的相反数是-2，
-2的相反数是2）。0的相反数是0.
（2）数轴上表示相反数的两个点在原点的两边，并且到原点的距离相等。
（3）一个数的相反数就是在这个数前面加“- ( http: / / www.21cnjy.com )”号。如：5的相反数是-5，（-5）的相反数是 -（-5）即：-（-5）=5 a的相反数是 –a
8.绝对值
（1）一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。如：︱5︱=5 ，︱-5︱=5
︱0︱=0（互为相反数的两个数的绝对值相等）。
（2）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
如：当a≥0时，︱a︱=a；当a＜0时，︱a︱= -a
两个负数，绝对值大的反而小。如：︱-5︱＞︱-3︱，但是 -5＜-3
二、有理数的运算
1.加法
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
如：（+5）+（+3）=+（︱+5︱+︱+3︱）=+（5+3）=8
（-5）+（-3）=-（︱-5︱+︱-3︱）=-（5+3）= -8
（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并较大的绝对值减去较小的绝对值。
如：（+5）+（-3）=+（︱+5︱-︱-3︱）=+（5-3）=2
（+5）+（-7）=-（︱-7︱-︱+5︱）=-（7-5）= -2
（3）互为相反数的两个数相加得0 如：（+2）+（-2）=0, 5+（-5）=0
（4）任何数同0相加，仍得这个数。 如：0+（+2）=2 0+（-2）= -2
2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
如：5-（-3）=5+3=8， （-5）-（-3）=（-5）+3=-2，
（-5）-（+3）=（-5）+（-3）= -8， （-5）-0=-5， 0-（-5）=0+5=5
3.加、减混合运算
（-11）-7+（-9）-（-6）
=（-11）+（-7）+（-9）+（+6）【减法变加法】
= -11-7-9+6 【省略了加号的代数和的形式，把加号和它后面的括号一起省略】
= -28+6
= -21
省略了加号的代数和的形式：-11-7-9+6可以读作：-11，-7，-9，+6的和。也可以读作：负11减7减9加6.
4.加法交换律：a+b=b+a 2+3=3+2 2+(-3)=(-3)+2
加法结合律：（a+b）+c = a+（b+c） （2+3）+ 4 = 2 +（3+4）
(+9)-(+10)-(-2)-(+8)
= (+9)+(-10)+(+2)+(-8) 【减法变加法】
= 9-10+2-8 【省略了加号的代数和的形式】
= 9+2-10-8 【利用加法交换律，带着符号一起移动位置】
= 11-18 【利用加法结合律，把正数加在一起，把负数加在一起】
= -7
5.乘法
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
如：（+3）×（+5）= +（︱+3︱×︱+5︱）= +(3×5) =15
（-3）×（-2）= +（︱-3︱×︱-2︱）= +(3×2）=6
（-3）×（+2）= -（︱-3︱×︱+2︱）= -(3×2）= -6
（2）任何数同0相乘都得0 如：2×0=0 （-2）×0=0
（3）在连乘的式子中，有奇数个负因数时，积为负。有偶数个负因数时，积为正。
如：2×(-3)×6×(-2)×(-7)=负数 2×(-3)×6×(-2)×(-7)×(-1)=正数
6.乘法交换律：ab=ba 2×(-3)=(-3)×2
乘法结合律：(ab)c=a(bc) [2×(-3)]×4=2×[(-3)×4]
乘法分配律：a(b+c)=ab+ac a(b-c)=ab-ac
如：2×(3+4)=2×3 + 2×4
(-2)·(3+4)=(-2)×3 + (-2)×4
(-2)·(3-4)=(-2)×3 - (-2)×4
(-2)·[3+(-4)]=(-2)×3 + (-2)×(-4)
(-2)·[(-3)-(-4)]=(-2)×(-3) - (-2)×(-4)
7.除法
（1）倒数：① 分子、分母互相颠倒的数叫互为倒数。如：与互为倒数；与互为倒数；5与互为倒数；a与互为倒数（0没有倒数）。
② 乘积为1的两个数互为倒数（互为倒数的两个数乘积为1）。如：×=1
5×=1 （-）×（-）=1 × =1
（2）除以一个数等于乘以它的倒数
如：15÷(-)=15×(-)= - 42 (-)÷(-)=(-)×(-)=
（3）两数相除，同号得正、异号得负，并把绝对值相除。
如：（-36）÷ 9 = -4 =3 =
（4）0除以任何一个不等于0的数，都得0 0÷5=0 =0 =0（a≠0）
8.乘方
（1）求n个相同因数的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幂。
a·a·a·…·a= 读作：a的n次方，也可读作：a的n次幂。
n个 指数
幂
底数
如：2中，2是底数，3是指数。 2=2×2×2=8
（-2） 中，（-2）是底数，4是指数。（-2） =（-2）·（-2）·（-2）·（-2）= 16
注意：-2= -（2×2×2×2）= -16 （-2中2是底数，4是指数。在没有括号时，指数4管不到那个“-”号）。
（2）正数的任何次幂都是正数：2=8 2=16
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数：（-2） = -8 （-2）= 16
（注意：0=0 0=0）
三、科学记数法
1.把一个数写成a×10的形式，叫科学记数法。其中1≤︱a︱＜10，n是比原数的整数位数少1的数。
如：69600=6.96×10 282.31=2.8231×10 -3763.5=-3.7635×10
10000=1×10=10 （10=10000 1后面4个0）
2. 科学记数法还原
7.04×10=704000（小数点向右移动5位） 4×10=4000（小数点向右移动3位）
四、近似数和有效数字
1.把一个数四舍五入后得到的数叫近似数，四舍五入到哪一位就说精确到哪一位。
如：≈3.3【精确到十分位】 ≈3.33【精确到百分位】
1.804≈1.8【精确到0.1】 1.804≈1.80【精确到0.01】
304.35精确到个位的近似数为304
2.695精确到百分位为2.70
近似数2.4万精确到千位
2. 科学记数法的精确
2.03×10【精确到千位】 2.03×10=203000
千位
2.030×10【精确到百位】 2.030×10=203000
百位
3．有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是有效数字。
43.2 有三个有效数字：4 ，3 ，2 1.80 三个有效数字：1 ,8 ,0
0.012050 五个有效数字：1 ,2 ,0 ,5 ,0 2.4万 两个有效数字：2 ,4
2.6×10 两个有效数字：2 ,6 3.04×10 三个有效数字：3 ，0 ，4
2.60×10 三个有效数字：2 ，6 ，0
整式的加减
整式
单项式：（1）数字与字母的积叫做单项式。如：5x,-2.5x,xy,ab,-a
（2）单独的一个数或单独的一个字母也是单项式如：5，-3，a
（3）单项式中的数字因数叫做单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
如：单项式5x的系数是5，次数是1 单项式-2.5x的系数是-2.5，次数是2
单项式xy的系数是，次数是3 单项式ab的系数是1，次数是2
单项式-a的系数是-1，次数是1 单项式a的系数是1，次数是1
单项式5的系数是5，次数是0
单项式的系数是，次数是3 单项式系数是，次数是2
多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
① 多项式x+2x+18中，x，+2x，+18是它的项，其中x是二次项，2x 是一次项，18是常数项。
【多项式x+2x+18是x，+2x，+18省略了加号的代数和的形式】
② 多项式4x-5中，4x，-5是它的项，其中4x 是一次项，-5是常数项。
【多项式4x-5是4x，-5省略了加号的代数和的形式】
③ 多项式6x-7x-2中，6x，-7x，-2是它的项，其中6x是二次项，-7x 是一次项，-2是常数项。【多项式6x-7x-2是6x，-7x，-2省略了加号的代数和的形式】
（2）多项式里次数最高的项叫“最高次项”， 最高次项的次数就是这个多项式的次数。
① 多项式x-2x+18有三项：x是二次项，-2x 是一次项，18是常数项（常数项的次数
是0）。最高次项：x（二次项），这个多项式的次数就是2
【多项式x-2x+18是二次三项式】
② 多项式3xy-4xy+2xy -12有四项：3xy是三次项，-4xy是四次项，+2xy是二次项， -12是常数项（常数项的次数是0）。最高次项：-4xy（四次项），这个多项式的次数就是4【多项式3xy-4xy+2xy -12是四次四项式】
③ 多项式-5a-3ab + ba -2b有四项：-5a和-2b是二次项，-3ab 和+ ba是三次项。最高次项：-3ab 和+ ba（三次项），这个多项式的次数就是3
【多项式-5a-3ab + ba -2b是三次四项式】
3.多项式的排列
① 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列。
把多项式3xy - 4xy+ x-5y按x的降幂排列：x+3xy - 4xy-5y【最后一项-5y 中不含x,意味着-5y中x的指数是0】 若按y的降幂排列：-5y- 4xy+3xy + x【最后一项x中不含y意味着x中y的指数是0】
② 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。
把多项式2xy- xy + xy-7按x的升幂排列：-7 + 2xy- xy + xy
按y的升幂排列：-7 - xy + 2xy+ xy
【-7这一项中既不含x也不含y意味着-7中x的指数是0，y的指数也是0】
4.单项式和多项式统称为整式
二、整式的运算
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。常数项和常数项都是同类项。
-3a和2a是同类项， 2ab和-ab是同类项， ab和2ba和-3ab是同类项，
125和-26是同类项
xy和xy不是同类项， 4abc和4ab不是同类项
2.合并同类项：系数相加减，字母和字母的指数不变。
(1) 3a+2a=(3+2)a=5a 3a-2a=(3-2)=a -3abc+abc=(-3+2)abc= -abc
12xy - 20xy =(12-20)xy= - 8xy -4ab-3ab=(-4-3)ab=-7ab
(2) 3 x+ x=4 x 10 y-5 y=5 y -6xy + yx = -5xy
3.去括号
（1）括号前面是“+”号时，把括号和它前面的“+”号一起去掉后，括号里面的各项都不变号。 a+（-b+c-d）=a-b+c-d
（2）括号前面是“-”号时，把括号和它前面的“-”号一起去掉后，括号里面的各项都改变符号。 a-(-b+c-d)=a+b-c+d
（3）合并同类项时，若有括号，要先去括号，再合并。
-5a+（-3a+2）-（-3a+6） （x- y）- 4（2x-3y）
= -5a-3a+2+3a-6 =（x- y）-（8x-12y）【乘法分配律】
= -5a-4 = x- y- 8x+ 12y【去括号】
= -7x+11y【合并同类项】
4.添括号
（1）添上前面带“+”号的括号时，括到括号里的各项都不变号。
a+b+c-d=a +（+b+c-d） a-b-c-d=a-b +（-c-d）
（2）添上前面带“-”号的括号时，括到括号里的各项都改变符号。
a+b+c-d=a -（-b-c+d） a-b-c-d=a-b -（+c+d）
5.整式的加减：（1）去括号 （2）合并同类项
3x-[7x -（4x-3）-2x]
= 3x-[7x -4x+3-2x] 【先去小括号】
= 3x-[3x+3-2x]
= 3x-3x-3+2x 【再去中括号】
= 5x-3x-3
a -（a-4b-6c）+ 3（-2c + 2b）
= a -a + 4b+ 6c +（-6c + 6b）
= a -a + 4b+ 6c -6c + 6b
= -a + 10b
一元一次方程
方程
含有未知数的等式叫方程。
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程叫一元一次方程。如:2x+3=7
使方程左、右两边的相等的未知数的值，叫做方程的解。
如：等于方程 5x-7=8来说，当x=3时， 左边=5×3-7=8 右边=8
左边=右边 所以x=3是方程5x-7=8的解
（注：只有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。如：x=3是方程5x-7的根）
二、等式的性质
1.等式性质1
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数，结果仍是等式。
2x-7 =9 3x+9 =28
2x-7+7=9+7 3x+9-9=28-9
（2）等式两边都加上（或减去）同一个式子，结果仍是等式。
3x-6 =2x+3 3x-6 =2x+3
（3x-6）+（2x-1）=（2x+3）+（2x-1） （3x-6）-（2x-1）=（2x+3）-（2x-1）
2.等式性质2
（1）等式两边都乘以（或除以）同一个数，结果仍是等式。（除数不能为0）
x-2=6 6x+4=16
3×(x-2)=3×6
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个式子，结果仍是等式。
2x-3=7 2x-3=7
（2x-3）·（x+1）=7（x+1）
3．用等式的性质解一元一次方程
3x+7=28
3x+7-7=28-7【两边都减去7】
3 x=21
=【两边都除以3】 （求方程的解的过程叫解方程）
x=7
三、解一元一次方程
1.移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫移项。
【注意：移项要变号】
2.解方程
（1）6x-7=4x-3 （2）3x-7（x-1）=3-2（x+3）
解：移项，得 解：去括号，得
6x-4x = -3+7 3x-7x+7=3-2x-6
合并同类项，得 移项，得 系数化为1（两边都除
2x=4 3x-7x+2x=3-6-7 以-2）
系数化为1（两边都除以2）得 合并同类项，得 x=5
x=2 -2x=-10
（3）5x+2=6x-4
解：移项，得
5x-6x =-4-2
合并同类项，得
-x=-6
系数化为1（两边都乘以-1）得
x=6
（4） ― = ―1
解：去分母（方程两边都乘以各分母的最小公倍数12）
12（ ― ）= 12（ ―1）
12× ― 12× = 12× ― 12×1【方程两边的每一项都要乘以12】
4(2x-1)-2(10x+1)=3(2x+1)-12
去括号，得
8x-4-20x-2=6x+3-12
移项，得
8x-20x-6x=3-12+4+2
合并同类项，得
-18x=-3
系数化为1（两边都除以-18）得
x=
3.解一元一次方程的一般步骤
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
列一元一次方程解应用题（多看例题，多做题）
看题：弄清题目的意思和各个数量间的关系
设未知数，列出方程
解方程
答
第四章 图形认识初步
一、几何图形
1.从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。如：长方体、圆柱、长方形、线段、圆。
2.有些几何图形的各部分不都在同一平面上，它们叫立体图形。如：长方体、圆柱、圆柱。
3.有些几何图形的各部分都在同一平面上，它们叫平面图形。如线段、角、三角形、长方形。
4.立体图形的三视图
主视图（正视图）：从正面看 左视图：从左面看 俯视图：从上面看
如：圆锥 的三视图为：
( http: / / www.21cnjy.com )
左视图 主视图 俯视图
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将这些立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形叫立体图形的平面展开图。
二、点、线、面、体
1.几何体简称为体。如：长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱等。
2.面围成体。面有平面和曲面。
3.面与面相交成线。
4.线与线相交为点。
5.点动成线，线动成面，面围成体。
三、直线、射线、线段
1.直线：笔直的，可向两方无限延伸（不可延长），没有端点，不可度量。
2.直线的表示法
· · a
A B
用两个大写字母表示：直线AB（或直线BA） 用一个小写字母表示：直线a
如图
·P l （1）点A在直线l上（直线l经过A点）
· （2）点P在直线l外（直线l不经过P点）
A
当两条直线有一个公共点时，叫两条直线相交。 a
如图：直线a、b相交于O点。 b
O
（点O叫交点）
5.直线公理：经过两点画直线，能画出一条并且只能画出一条。(简述为:两点确定一条直线）
6.射线：直线上一点和它一旁的部分叫射线。
7.射线的表示法
如图： m
· · 叫射线OA（O是端点）或叫射线m【注意：射线是有方向性
O A 的，如果用两个字母表示射线，表示端点的字母一定要写在前面。如：射线OA不能叫射线AO】
8.射线的性质：不可度量，有一个端点，可向一方无限延伸。
注意：射线不能延长，但可反向延长。
如图： -------· ·
O A
不能说“延长射线OA”，因为从O到A的反向是无限延伸的，不需要延长。但可以说：“反向延长射线OA”
9.线段：直线上两点以及它们之间的部分叫线段。
如图： a
A B 叫线段AB或叫线段BA或叫线段a
10.线段的性质：有两个端点，可度量，不可延伸，可向两方延长。
如图：延长线段AB到C点
A B C
延长线段BA到C点 （即：反向延长线段AB到C点）
11.如图，点M把线段AB分成了两条相等的线段AM与BM。则点M叫线段AB的中点。
即：AM=BM=AB
A M B
如图，点M、N把线段AB分成了三条相等的线段AM、MN、NB。则点M、N叫线段AB的三等分点。（注意：线段的三等分点有两个）
即：AM=MN=NB=AB
A M N B
同样，线段还有四等分点、五等分点…等。
12.线段公理：两点之间线段最短。
连接两点之间的线段的长度，叫做这两点间的距离。
四、尺规作图：（只用直尺和圆规画图）线段和、差
a
1.已知：线段a · ·
求作：线段AB=a
作法：1.作射线AM
2.在射线AM上截取AB=a · ·
则线段AB为所求。 A B M
2.已知：线段a、b a b
求作：线段AB=a+b · · · ·
作法：1.作射线AM
2.在射线AM上顺次截取 · ·
AC=a, CB ( http: / / www.21cnjy.com )=b A C B M
则线段AB为所求。
3. 已知：线段a、b a b
求作：线段AB=a-b · · · ·
作法：1.作射线AM
2.在射线AM上截取AC=a · ·
3.在线段AC上截取CB=b A B C M
则线段AB为所求。
4. 已知：线段a、b a b
求作：线段AB=2a-b · · · ·
作法：1.作射线AM
2.在射线AM上顺次截取AC=CD=a · ·
3.在线段AD上截取DB=b A B C D M
4. 则线段AB为所求。
五、角
1.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两边。
如图： A 顶点：点O
边：射线OA、OB
O B
2.角的表示法
如图： A 记为： A 记为：
∠AOB ∠AOB
α ∠O 1 ∠O
O B ∠α O B ∠1
3.一条射线绕着它的端点旋转前后组成的图形叫做角。
如图：
A 射线OB绕它的端点O旋转到OA的位置，形成∠AOB
终边 OB叫始边，OA叫终边。
O B
始边
4. 周角=360°
直角=90° 平角=180° （B）
· O·
A O B A
1°
5.把一个平角分成180等份，每份就是1°的角。 ·
A O B
把1°的角分成60等份，每份就是1′的角。（1′就是1分，1度=60分）
把1′的角分成60等份，每份就是1″的角。（1″就是1秒，1分=60秒）
6.尺规作图 作一个角等于已知角
已知：∠ABC
求作：∠DEF =∠ABC
作法：1.画射线EG
2.以B为圆心，任意长为半径作弧
交BC于H点，交BA于M点
3.以E为圆心，BH为半径作弧
交EG于F点
4.以F为圆心，HM 为半径作弧，
交前弧与 D点
5.作射线ED
则∠DEF为所求。
7.比较两个角的大小
（1）用量角器
（2）把两个角重叠 A 比较∠AOB和∠COB的大小
如图： C
1 ∠AOB＞∠COB
O 2 B 【∠1+∠2=∠AOB
∠AOB -∠1=∠2】
8. 角平分线：把一个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
如图：OC是∠AOB的平分线，则有：∠1=∠2=∠AOB
A ∠AOB=2∠1=2∠2
1 C
2
O B
9.角的三等分线：把一个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线。
如图： A
C
1
2 D
O 3 B OC、OD是∠AOB的三等分线，则有：
∠1=∠2=∠3=∠AOB
∠AOB=3∠1=3∠2=3∠3
（注意：角的三等分线有两条。同样：角有三条四等分线，有四条五等分线…）
六、角的计算
1.角的单位：度、分、秒。它们之间是60进制的。
2.把下列用度、分、秒表示的角改成用度表示的角。
87°17′24″=87.29° 67°02′06″= 67.035°
24″÷ 60=0.4′ 6″÷ 60 = 0.1′
17′+ 0.4′= 17.4′ 2′+ 0.1′= 2.1′
17.4′÷ 60 = 0.29° 2.1′÷ 60 = 0.035°
3. 把下列用度表示的角改成用度、分、秒表示的角。
5.36°= 5°21′36″ 45.48°= 45°28′48″
0.36°× 60 = 21.6′ 0.48°× 60 = 28.8′
0.6′× 60 = 36″ 0.8′× 60 = 48″
4.加法
（1）32°36′+ 85°41′= 117°77′= 118°17′
32°36′
+ 85°41′
117°77′
（2）53°28′19″+ 47°31′41″= 100°59′60″= 101°
53°28′19″
+ 47°31′41″
100°59′60″
（3）48°39′+ 67°41′24″= 115°80′24″= 116°20′24″
48°39′
+ 67°41′24″
115°80′24″
5.减法
（1）58°27′－ 23°8′29″= 35°18′31″ （3）90°－ 78°19′40″=11°40′20″
58°26′60″ 89°59′60″
－ 23° 8′29″ － 78°19′40″
35°18′31″ 11°40′20″
（2）1070′－ 3°27′30″ = 17°50′－ 3°27′30″= 14°22′30″
17°49′60″
60 － 3°27′30″
470 14°22′30″
420
50
6.乘法
（1）31°43′× 4 = 124°172′= 126°52′
31°43′
× 4
124°172′
（2）15°24′20″× 5 = 75°120′100″= 75°121′40″= 77°1′40″
15°24′20″
× 5
75°120′100″
7.除法
（1）175°43′÷ 5 = 35°8′36″
15 40 15
25 3 30
25 【 3′× 60 = 180″】 30
0 0
（2）31°42′30″÷ 5 = 6°20′30″
30 10 15
1 2 0
【 1°= 60′】 【2′= 120″】
【60′+ 42′= 102′】 【120″+ 30″=150″】
（3）176°52′÷ 3 = 58°57′20″
15 15 6
26 22 0
24 21
2 1
【2°= 120′】 【1′= 60″】
【120′+ 52′= 172′】
（4）360°÷ 7 = 51°25′42″≈51°25′42″
35 14 28
10 40 20
7 35 14
3 5 6
【3°= 180′】 【5′= 300″】
（注：51°25′42″精确到分为51°26′ 51°26′精确到度为51°）
七、余角、补角
1.如果两个角的和是90°（直角），那么这两个角叫互为余角。
如图：
若∠1+∠2=90°,则∠1和∠2互为余角,简称∠1和∠2互余
1 即：∠1是∠2的余角，∠2是∠1余角。
2
2.如果两个角的和是180°（平角），那么这两个叫互为补角。
如图： 若∠1+∠2=180°,则∠1和∠2互为补角,
简称∠1和∠2互补
1 2 即：∠1是∠2的补角，∠2是∠1补角。
特别的，如图：点A、O、B在同一条直线上（∠AOB是平角为180°）则∠1和∠2
C 不仅互补，而且相邻，有一条公共边OC，这时
1 2 ∠1和∠2叫做互为邻补角。
A O B
3.定理： 同角（或等角）的余角相等
（1）如图： 当∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°时，可得∠2=∠3
即：若∠2和∠3是同一个角（∠1）的余角，则∠2=∠3
3 【同角的余角相等】
1
2
（2）如图：
3 4
1 2
当∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，并且∠1=∠2时，可得∠3=∠4
即：若∠3和∠4分别是两个相等的角（∠1和∠2）余角，则∠3=∠4
【等角的余角相等】
4.定理： 同角（或等角）的补角相等
（1）如图：
2 3
1
当∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°时，可得∠2=∠3
即：∠2和∠3是同一个角（∠1）的补角，则∠2=∠3
【同角的补角相等】
（2）如图：
3 4
1 2
当∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，并且∠1=∠2时，可得∠3=∠4
即：若∠3和∠4分别是两个相等的角（∠1和∠2）的补角，则∠3=∠4
综上所述：同角（或等角）的余角相等。同角（或等角）的补角相等
例：① 已知∠1的补角是105°，则∠1的余角是（ ）度
② 一个角比它的余角大20°，这个角等于（ ）度
③ 一个角是它的补角的2倍，则这个角等于（ ）度
④ 若一个角的补角是它的余角的2倍，则这个角是（ ）度
八、方位角
在地图上有：上北下南，左西右东。
如图： 北
A
37°
西 东
45° O
B
南
射线OA的方向为：北偏西37°，（也是西偏北53°）
射线OB的方向为：南偏西45°，当然射线OB的方向也是西偏南45°
【射线OB是正西、正南两个方向夹角平分线，则射线OB的方向叫西南方向。同理，有：东南方向、东北方向、西北方向】
第五章 相交线与平行线
一、相交线
1.如图：直线AB、CD相交于O点
A 2 B ∠1+∠2=180°，并且∠1与∠2有一条公共边，
1 3 则∠1与∠2互为邻补角。
C 4 D ∠1与∠3叫对顶角。∠1=∠3
【定理：对顶角相等】
2.垂直：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
（垂直是相交的特殊情况）
如图： （1）当∠1=90°时，叫AB垂直于CD。记作：AB⊥CD，点O叫垂足。
A （2）当AB⊥CD时，直线AB与CD相交成的四个角都是直角。
1 （3）AB叫CD的垂线，CD也叫AB的垂线。
C O D
B
3.
（1）如图：过直线m上一点A作m的垂线只能作出一条
· m
（2）如图：过直线m外一点B作m的垂线只能作出一条 A
·B
m
定理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（不论点在直线上还是在直线外）
4.画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线。
（1）如图：过点P作线段AB的垂线时，需要先延长线段AB，
这时，垂足C在线段AB的延长线上。 P
· ·---------
A B C
（2）如图：过点P作射线OA的垂线时，需要先反向延长射线OA，
这时，垂足B在射线OA的反向延长线上。 P
--------· ·
B O A
5.如图：点P是直线m外一点，PO⊥m于O点。线段PO叫做点P到
直线m的垂线段。从点P向直线m连接线段PA、 PB 、PC …等。 P
所有的线段中，垂线段PO最短（PA、 PB 、PC叫斜线段）。
定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简单地说就是：垂线段最短。 m
6.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， A B O C
叫做点到直线的距离。 <19>
7.三线八角：如图，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截。 E
（1）看图中的∠1和∠5，这两个角在两条被截直线AB与CD的 2 1
同一方（上方），并且都在第三条直线EF的同一侧(右侧)，A 3 4 B
这样的一对角叫同位角。 6 5
（图中同位角还有：∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8） C 7 8 D
F
（2）看∠3和∠5，它们都夹在两 ( http: / / www.21cnjy.com )条被截直线AB、CD之间，并且分别在第三条直线EF两侧（∠3在EF左侧，∠5在EF右侧）这样的一对角叫内错角。
（图中内错角还有：∠4和∠6）
（3）看∠4和∠5，它们都夹在两条被截直线AB、CD之间，并且都在第三条直线EF的同一旁（EF的右侧）这样的一对角叫同旁内角。
（图中同旁内角还有：∠3和∠6）
例：如图①：
D C
1 2 图①
A B E
<1> ∠2和∠C是直线 和 被直线 所截而成的 角。
<2> ∠1和∠C是直线 和 被直线 所截而成的 角。
<3> 和 是AD和BC被 所截得的同位角。
如图②：
D C
1
2
A B
3
E
<1> ∠1和∠2是 和 被 所截而成的 角。
<2> ∠1和∠3是 和 被 所截而成的 角。
<3> ∠2和∠C是 和 被 所截而成的 角。
二、平行线
1.在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
如图：直线AB平行于直线CD A B
记作：AB∥CD C D
2.如图：经过直线AB外的一点P，画AB的平行线，能画出一条，并且只能画出一条。
P
·
A B
定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（平行公理）
3.如图：若a∥b，b∥c，则a∥c a
定理：如果两条直线都与第三条直线平行， b
那么这两条直线也互相平行。 c
（平行线的传递性） E
4.平行线的判定 A 1 B
（1）如图：若同位角∠1=∠2，则可得AB∥CD
定理：同位角相等，两直线平行。 2
C D
F c
（2）如图：若内错角∠1=∠2，则可得a∥b a
定理：内错角相等，两直线平行。 1
2 b
c
（3）如图：若同旁内角∠1+∠2=180°，则可得a∥b a
定理：同旁内角互补，两直线平行。 1
2
b
5.如图：由a⊥c，b⊥c，可得a∥b a b
定理：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
c
6.平行线的性质 E
（1）如图：若AB∥CD，则可得同位角∠1=∠2 1
定理：两直线平行，同位角相等。
2
C D
F
（2）如图：若a∥b，则可得内错角∠1=∠2 c
定理：两直线平行，内错角相等。 a
1
2
b
（3）如图：若a∥b，则可得同旁内角∠1+∠2=180° c
定理：两直线平行，同旁内角互补。 a
1
2 b
7.空间里的平行关系。 如图长方体中
（1）棱A′A ∥ B′B ∥ C′C ∥ D′D
（2）棱A′B′∥ AB ∥ CD ∥C′D′
（3）棱A′A ∥平面B′B C C′
（4）棱A′A ∥平面C C′D′D
（5）棱A′A ⊥ A′B′
（6）棱A′A ⊥ 平面ABCD
三、命题、定理
1.判断一件事情的句子角命题。
2.命题由题设和结论两部分组成。如，命题：同位角相等，两直线平行。
题设 结论
3.有些命题的题设和结论不明显，可以把它写成“如果…，那么…”的形式。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。
如：命题：“对顶角相等”可以写成
“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。”
题设 结论
命题：“同角的余角相等” 可以写成
“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。”
题设 结论
4.正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。
5.经过推理证实是真命题的，叫做定理。
四、平移
1.一个图形整体沿某一方向平行移动叫做平移。
2.例：如图，平移△ABC，使点A平移到A′的位置。画出平移后的△A′B′C′
画法： A
（1）连接A A′
（2）过点B画直线m∥AA′， 1 A′
过点C画直线n∥AA′
（3）在直线m上截取BB′= AA′， B ·P C 2
在直线n上截取CC′= AA′
（4）顺次连接A′、B′、C′ ·P′ C′
则△A′B′C′为所求。 B′
3.平移的性质
（1）图形上每一点平移的方向和距离 ( http: / / www.21cnjy.com )都相同。（如图中，BC上的一点P平移到
B′C上的P′时，平移的方向和距离与点A平移到点A′时平移的方向和距离相同）
（2）平移前后两个图形的形状与大小不变。
（如图中，△ABC和△A′B′C′的形状与大小不变）
（3）平移前后两个图形中的对应线段平行且相等，对应角相等。
（如图中,AB∥A′B′且AB =A′B′,BC∥B′C′且BC=B′C′,CA∥C′A′且CA=C′A′
∠1=∠2，∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB= ∠A′C ′B′）
（4）对应点连接而成的线段平行且相等
（AA′∥ BB′∥ CC′∥ PP′ , AA′= BB′= CC′= PP′）
第六章 平面直角坐标系
一、平面直角坐标系
1.互相垂直且有公共原点的两条数轴就组成了
平面直角坐标系。水平的数轴叫横轴，也叫 第二象限 第一象限
x轴，取向右为正方向。竖直的数轴叫纵轴，
也叫y轴，取向上为正方向。横轴和纵轴统
称为坐标轴。 第三象限 第四象限
2.建立了平面直角坐标系的平面叫坐标平面。坐标轴将坐标平面分成了四个部分，依次叫
第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。【注意：坐标轴不属于任何象限】
3.点的坐标
（1）如图，坐标平面内有一点A,过A点作x轴的垂线
垂足落在x轴上3这一点,就说A点的横坐标3,
过A点作y轴的垂线，垂足落在y轴上2这一点, A(3,2)
就说A点的纵坐标是2，A点的横坐标和纵坐标
合称A点的坐标。记为：A（3,2）。点的坐标是
一对有顺序的数对。横坐标要写在前面，纵坐标
写在后面，用逗号间隔，并用括号括起来。
（2）如图，找出坐标为（2,3）的点： (2,3)
过x轴上2这一点作x轴的垂线
过y轴上3这一点作y轴的垂线
这两条垂线的交点就是坐标为（2,3）的点。
（注意：坐标为（3,2）的点和
坐标为（2,3）的点是不同的两个点）。
4.各类点的坐标 C
（1）各象限内的点 （-，+） （+，+）
第一象限内的点：横坐标和纵坐标都是正的 B A
第二象限内的点：横坐标为负,纵坐标为正
第三象限内的点：横坐标和纵坐标都是负的 D
第四象限内的点：横坐标为正,纵坐标为负 （-，-） （+，-）
（2）坐标轴上的点
x轴上的点的纵坐标为0 如：A（3，0） B（-2，0）
y轴上的点的横坐标为0 如：C（0，4） D（0，-2）
原点的坐标为（0，0）
（3）对称的点
点P(4,3)关于x轴对称的点是Q ( http: / / www.21cnjy.com )(4,-3)(关于x轴对称:横坐标不变,纵坐标互为相反数)点P(4,3)关于y轴对称的点是M(-4,3)(关于y轴对称:纵坐标不变,横坐标互为相反数)
【总结：关于哪条轴对称，哪个坐标就不变，另一个坐标互为相反数】
点P（4，3）关于原点对称的点是N(-4，-3）【关于原点对称：两个坐标都互为相反数】
y
4
M· ·P(4,3)
2
-
0 x
N· ·Q(4,-3)
（4）坐标轴夹角平分线上的点
一、三象限坐标轴夹角平分线上的点：横坐标与纵坐标相等。
如图中，点A（3,3）和点B（-2，-2）
二、四象限坐标轴夹角平分线上的点：横坐标与纵坐标互为相反数
如图中，点C（-3,3）和点D（4，-4）
y
4
·C ·A
2
0 x
·B
·D
（5）与坐标轴垂直的直线上的点 y
如图：直线m过y轴上“2”这一点垂直于y轴，
（也就是直线m∥x轴） m
则直线m上所有的点的纵坐标都是2
直线n过x轴上“-3”这一点垂直于x轴，
（也就是直线n∥y轴）
则直线n上所有的点的横坐标都是-3
n
5.点的坐标与点到坐标轴的距离 P
如图：P点的坐标为（-2,3），P点到x轴的 B
距离PA=3；P点到x轴的距离PB=2
A
二、用坐标表示位置
如图：已知教学楼（-1,2） 图书馆
建立坐标系，并写出其余 教学楼
各处的坐标。
校门 旗杆
实验楼
三、坐标与平移的关系
1.左右平移时：纵坐标不变。向右平移，横坐标加；向左平移，横坐标减。
2.上下平移时：横坐标不变。向上平移，纵坐标加，向下平移，纵坐标减。
3.如图，△ABC内的一点P随△ABC一起平移后的对应点为P
写出点A、B、C平移前后的坐标。
Y
A
P
B
C 0
x
P
第七章 三角形
一、认识三角形 A
1.三条线段首尾顺次相接组成是图形叫三角形。
（1）如图，线段AB、BC、CA首尾顺次相接构成了三角形 c b
记作：△ABC B C
顶点：A、B、C a
边：AB、BC、CA （点A所对的边也叫a边，点B所对的边也叫b边，
点C所对的边也叫c边）
内角（角）：∠A、∠B、∠C （相邻两边的夹角）
（2） 三角形按角分类 三角形按边分类
锐角三角形 不等边三角形
三角形 直角三角形 三角形 等腰三角形
钝角三角形 等边三角形
（3）有一个角是直角的三角形叫直角三角形 A
如图，△ABC中，∠C=90°这就是一个直角三角形
互相垂直的两条边AC、BC叫直角边，AB叫斜边。
【定理：直角三角形两锐角互余】 B C
（3）有两条边相等的三角形叫等腰三角形 A
如图：△ABC中，AB=AC这就是一个等腰三角形
腰：AB、AC （相等的两边叫腰）
底边：BC
顶角：∠A （两腰的夹角）
底角：∠B、∠C （腰和底边的夹角） B C
（注：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形）
（4）三条边都相等的三角形叫等边三角形 A
（等边三角形是特殊的等腰三角形）
如图：△ABC中，AB=BC=CA
这就是一个等边三角形 B C
2.如图,△ABC中,有b+c ( http: / / www.21cnjy.com )＞a（因为点B和点C两点之间，线段a最短） A
同理:c + a ＞b , a + b ＞c (定理:三角形两边之和大于第三边) c b
又：由b + c ＞a可得b＞a–c
由c + a ＞b可得c＞b–a B a C
由a + b ＞c可得a＞c–b (定理:三角形两边之差小于第三边)
二、三角形的高、中线、角平分线（三角形的三线）
1.从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
（1）如图，锐角△ABC中： A
AD⊥BC，则AD叫BC边上的高 E
BE⊥AC，则BE叫AC边上的高 F 2
CF⊥AB，则CF叫AB边上的高 3
① AD、BE、CF是△ABC的三条高，则∠1=∠2=∠3=90° 1
② 锐角三角形的三条高交于三角形内一点 B D C
（2）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，则AC是BC边上的高，
同时，BC也是AC边上的高。 A
CD⊥AB，则CD是Rt△ABC斜边AB上的高 D
Rt△ABC的三条高AC、BC、CD交于直角顶点，其中两条
高AC、BC是Rt△ABC的两条直角边。
B C
（3）如图，作钝角△ABC三条边上的高 A
AB边上的高是CF， F
BC边上的高是AD (AD⊥直线BC,垂足D在BC边的延长线上)
AC边上的高是BE (BE⊥直线AC, B C D
垂足E在AC边的延长线上)
E
①钝角△ABC的三条高AD、BE、CF中有两条高AD、BE在
三角形外面
②钝角三角形的三条高本身不相交，但是三条高的延长线交于三角形外一点。
2.在三角形中，连接顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（1）如图①，锐角△ABC中：
D为BC边的中点，则AD是△ABC中BC边上的中线。BD=CD=BC
E为AC边的中点，则BE是△ABC中AC边上的中线。AE=CE=AC
F为AB边的中点，则CF是△ABC中AB边上的中线。AF=BF=AB
A A A
F E F E F E
B D C B D C B D C
图① 图② 图③
（2）如图②，Rt△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AC、AB的中点。
则AD、BE、CF为Rt△ABC的三条中线。
（3）如图③，钝角△ABC中，AD、BE、CF为钝角△ABC的三条中线。
（三角形的三条中线交于三角形内一点，这一点叫三角形的重心）
3.三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的
线段叫三角形的角平分线。
（1）如图①，锐角△ABC中
AD平分∠BAC，则AD是△ABC的一条角平分线。有∠1=∠2=∠BAC
BE平分∠ABC，则BE是△ABC的一条角平分线。有∠3=∠4=∠ABC
CF平分∠ACB，则CF是△ABC的一条角平分线。有∠5=∠6=∠ACB
A A
A
F 2 1
E F E F E
3 6
B D C B D C B D C
图① 图② 图③
（2）如图②，AD、BE、CF为Rt△ABC的三条角平分线。
（3）如图③，AD、BE、CF为钝角△ABC的三条角平分线。
（三角形的三条角平分线交于三角形内一点）
三、三角形的内角和 A
1．定理：三角形三个内角的和等于180°
即：如图，△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
B C
2.定理的证明
已知：△ABC D A E
求证：∠α+∠B+∠C=180° 1 2
证明：过A作DE∥BC α
∴∠B=∠1，∠C=∠2
∵∠1+∠α+∠2=180°
∴∠B+∠α+∠C=180° B C
四、三角形的外角
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角。 A
如图，延长BC到D，则∠ACD叫△ABC的一个外角。
（实际上，在三角形的每个顶点处有两个外角
我们只取一个） ( http: / / www.21cnjy.com ) B C D
2.定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
定理的证明：
如图，已知：∠ACD是△ABC的一个外角 A
求证：∠ACD=∠A+∠B
证明：∵∠A+∠B+∠1=180°
又∵∠ACD+∠1=180° 1
∴∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )D=∠A+∠B B C D
定理：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
（如图，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B）
3.定理：三角形三个外角的和等于360°
定理的证明：如图
已知：∠α、∠β、∠γ为△ABC的三个外角
求证：∠α+∠β+∠γ=360° α A
证明：∵∠α+∠1=180°∠β+∠2=180°∠γ+∠3=180° 1
∴（∠α+∠β+∠γ）+（∠1+∠2+∠3）=540°
又∵∠1+∠2+∠3=180° B 2 3 γ
∴∠α+∠β+∠γ=360° β C
五、多边形
1.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。三角形是最简单的多边形，
还有四边形、五边形、六边形 … n边形。 A
2.如图（以五边形为例）五边形ABCDE中
线段AB、BC、CD、DE、EA叫边 B E
点A、B、C、D、E叫顶点
∠A、∠B、∠C、∠D、∠E叫内角（简称角） C D
3.如图，五边形ABCDE中
∠1、∠2、∠3、∠4、∠5叫外角
1 A
B E
2
4
C 3 D
4.如图
画出四边形ABCD的任一条边（例如CD）所在的直线，若整个四边形都在
这条直线的同一侧，这样的四边形叫凸四边形（如图①）。
若四边形分布在这条直线的两侧，这样的四边形叫凹四边形（如图②）。
B A
A
C
C D B D
图① 图②
5.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形。
A A D A A F
B E
B E
B C B C
正△ABC 正四边形ABCD C D C D
（等边△ABC） （正方形ABCD） 正五边形ABCDE 正六边形ABCDEF
6.多边形的对角线 A
（1）连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
如图，AC、AD是五边形ABCDE中从点A出发的两条对角线。 B E
（2）从n边形的一个顶点出发可以画（n-3）条对角线
n（n-3）
（3）一个n边形一共有 条对角线。 C D
2
六、多边形的内角和
1.如图，四边形ABCD中，从一个顶点A出发的对角线AC把它分成了（4-2）个三角形。
而四边形ABCD的内角和刚好等于这两个三角形的内角和。 D
即：四边形ABCD的内角和=（4-2）·180°=360° A
B C
2. 如图,五边形ABCDE中,从一个顶点A出发的对角线AC、AD把它分成了(5-2)个三角形。
即：五边形ABCDE的内角和=(5-2)·180°=540° A
B E
C D
3. 从n边形的一个顶点出发的对角线把n边形分成了（n-2）个三角形
即：n边形的内角和=（n-2）·180°
七、多边形的外角和 1 A
4 D
A B E
1 2
3 4
B C D
2 C 3
四边形中： 五边形中：
4个外角 + 4个内角=4个平角 5个外角 + 5个内角=5个平角
外角和 + 内角和=180°× 4 外角和 + 内角和=180°× 5
外角和 = 180°× 4 - 内角和 外角和 = 180°× 5 - 内角和
= 180°× 4 -（4-2）·180° = 180°× 5 -（5-2）·180°
= 180°× 4 - 2×180° = 180°× 5 - 3×180°
= 180°×2 = 180°×2
= 360° = 360°
n边形中：
n个外角 + n个内角= n个平角
外角和 + 内角和=180°·n
外角和 = 180°·n - 内角和
= 180°·n -（n -2）·180°
= 180°·n - 180°·n + 180°× 2
= 180°×2
= 360°
【定理：任意多边形的外角和都是360°】
八、镶嵌
1. 镶嵌（密铺）：用多边形把一个平面既无缝隙又不重叠地全部覆盖。
2. 镶嵌的本质：围绕一个点拼成一个360°的周角。
3.只用一种多边形可以镶嵌的有：
（1）正三角形 （2）正方形 （3）正六边形 （4）任意三角形 （5）任意四边形
4.用两种（或两种以上）的多边形可以密铺举例：
（1）正三角形和正方形
（2）正三角形和正六边形
（3）正三角形和正方形和正六边形
第八章 二元一次方程组
一、二元一次方程组
1.方程2x + y = 40中，含有两个未知数x和y，并且含有未知数的项的次数都是1，
这样的方程叫做二元一次方程。
2.当x=1,y=38时，方程2x + y = 40左、右两边的值相等，则：
x=1
y=38 叫二元一次方程2x + y = 40的一个解。
如：
x=2 x=3 x=4
y=36 y=34 y=32 … 都是方程2x + y = 40的解
即：二元一次方程2x + y = 40有无数个解。
3.两个具有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，如：
x + y = 5
2x – y = 1 就是一个二元一次方程组
其中方程x + y = 5的解是： x=1 x=2 x=3 x=2
y=4 y=3 y=2 y=3 …
方程2x – y = 1的解是： x=1 x=2 x=3 x=4
y=1 y=3 y=5 y=7 …
可以发现 x=2
y=3 是两个方程的公共解。
则： x=2 x + y = 5
y=3 就是二元一次方程组 2x – y = 1 的解。
二、解二元一次方程组：主要的手段就是消元，即把两个未知数消去一个，剩下一个。
得到一元一次方程，这就好算了。
1.代入消元法（简称代入法）
（1） x – y = 3 ①
3x – 8y = 14 ②
解：由①得x = 3 + y ③ 【即：用含y的式子表示x】
把③代入②，得 3(3 + y) - 8y = 14 【消元：消去了一个未知数x，只剩下y】
解得：y = -1
把y = -1代入③，得x = 3 +（-1）= 2
∴原方程组的解是 x = 2
y = -1
（2） y = 1 – x ①
3x + 2y = 5 ②
解：把①代入②，得
3x + 2(1-x)=5
3x + 2 - 2x=5 ∴ x=3
x=3 y = -2
把x=3代入①，得
y = 1 – 3 = -2
（3） 2x – 7y = 8 ①
3x – 8y = 10 ②
解：由①得2x = 8 + 7y
x = ③ y = -
把③代入②，得
3×– 8y = 10 把y = - 代入③，得
– 8y = 10 x = =
24 + 21 y - 16y = 20 ∴ x =
5y = -4 y = -
2.加减消元法（简称加减法）
（1） 5x - 3y = 17 ① (2) 3x + 2y = 9 ①
2x + 3y = 11 ② 3x - 5y = 2 ②
解：① + ②， 得 解：① - ②， 得
7x = 28 7y = 7
x = 4 y = 1
把x = 4代入①，得 把y = 1代入②，得
5 × 4 - 3y = 17 3x - 5 = 2
- 3y = -3 x =
y = 1
∴ x = 4 ∴ x =
y = 1 y = 1
(3) 6x + 5y = 25 ① (4) 8x + 3y +2 = 0 ①
3x + 4y = 20 ② 6x + 5y +7 = 0 ②
解：②×2 - ① ， 得 解：①×3 - ②×4 ， 得
3y = 15 -11y = 22
y = 5 y = -2
把y = 5代入②，得 把y = 2代入①，得
3x + 20 = 20 8x - 6 + 2 = 0
3x = 0 8x = 4
x = 0 x =
∴ x = 0 ∴ x =
y = 5 y = -2
(5) 3(x – 4) = 4y + 3 ① ③ - ④×3得
- = -1 ② 17y = 51
解：整理得 y = 3
3x – 4y = 15 ③ 把y = 3代入③，得
x – 7y = -12 ④ 3x – 12 = 15
x = 9
∴ x = 9
y = 3
三、三元一次方程组
1.含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫三元一次方程。
如：x + 2y – 5z = 22
2.看方程组：
x-y+z=0 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数
4x+2y+z=3 的项的次数都是1，这样的方程组叫三元一次方程组。
25x+5y+z=60
3.解三元一次方程组
3x – y + ( http: / / www.21cnjy.com ) z = 4 ① 5x - 3y + 4z = 13 ①
（1） 2x + 3y - z = 12 ② （2） 2x + 7y - 3z = 19 ②
x + y + z = 6 ③ 3x + 2y – z = 18 ③
解：① + ②， 得 解：③×4 + ① ， 得
5x + 2y = 16 ④ 17x + 5y = 85 ④
① - ③， 得 ③×3 - ② ,得
2x – 2y = -2 7x – y = 35 ⑤
x – y = -1 ⑤ ∴ 17x + 5y = 85 ④
∴ 5x + 2y = 16 ④ 7x – y = 35 ⑤
x – y = -1 ⑤ 解得:
④ + ⑤×2得 x = 5
7x = 14 y = 0
x = 2 把 x = 5
把x = 2代入⑤，得 y = 0
2 - y = -1 代入③，得
y = 3 z = -3
把 x = 2 ∴ x = 5
y = 3 y = 0
代入③，得 z = -3
2 + 3 + z = 6
z = 1
∴ x = 2
y = 3
z = 1
2x + 3y - 5z = 8 ① x + y + z = 12 ①
(3) 3x - 2y + 4z ( http: / / www.21cnjy.com ) = 4 ② (4) x + 2y + 5z = 22 ②
4x - 5y + 3z = -4 ③ x = 4y ③
解： ②×3 + ①×2 ， 得 解： 把③代入①，得
13x + 2z = 28 ④ 4y + y + z = 12
②×5 - ③×2 ， 得 5y + z = 12 ④
7x + 14z = 28 把③代入②，得
x + 2z = 4 ⑤ 4y + 2y + 5z = 22
∴ 13x + 2z = 28 ④ 6y + 5z = 22 ⑤
x + 2z = 4 ⑤ ∴ 5y + z = 12 ④
解得: 6y + 5z = 22 ⑤
x = 2 解得:
z = 1 y = 2
把 x = 2 z = 2
z = 1 把 y = 2
代入①，得y = 3 z = 2
代入①，得 x = 8
∴ x = 2 ∴ x = 8
y = 3 y = 2
z = 1 z = 2
4x + 9y = 12 ① x∶y = 3∶2 ①
(5) 3y - 2z = 1 ② (6) y∶z = 5∶4 ②
7x + 5z = ③ x + y + z = 66 ③
解：① - ②×3 得 解：整理得
4x + 9y = 12 2x - 3y = 0 ④
9y - 6z = 3 4y - 5z = 0 ⑤
4x + 6z = 9 ④ x + y + z = 66 ③
∴ 7x + 5z = ③ 由x∶y = 3∶2得=
4x + 6z = 9 ④ 去分母,两边乘以2y得2x = 3y
解得: x = - ③×2 - ④ 得
z = 2 5y + 2z = 132 ⑥
把z = 2代入②得y = ∴ 4y - 5z = 0 ⑤ 把y = 20代入④得
∴ x = - 5y + 2z = 132 ⑥ x = 30
y = 解得 y = 20 ∴ x = 30
z = 2 z = 16 y = 20
z = 16
第九章 一元一次不等式
一、不等式
1.用不等号“＞，＜，≠”表示不等关系的式子叫不等式。
如：7＞5，-2＜0, 2x+1＞5, x≥2, x+1≤2x
2.含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式。
如：2x+1＞5, 2x-3≤x+1, x＜2
3.在x+3＞6中，x=4,5,6，… 时，不等式都成立。则4,5,6，… 都叫不等式x+3＞6的解。
一个不等式的所有的解合在一起，叫做不等式的解集。
二、不等式的性质
1.性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
如： 7＞5 2x+5≥5 x+2≤2x+1
7+3＞5+3 2x+5-3≥5-3 x+2+(x-1)≤2x+1+(x-1)
2.性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
如： x -2 ＜ 1 4x - 1＞3
3（x -2）＜ 1×3 ＞
3.性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如： - x ＞ 2 -4x ≤ - 3
(-1)（- x）＜ 2×(-1) -4x÷（-4）≥ - 3÷（-4）
三、解不等式，并把解集在数轴上表示出来。
1. 3x + 1＜ 2x - 5 2. 2 - 5x ≥ 8 + 6x
解：移项，得 解：移项，得
3x - 2x ＜- 5 - 1 - 5x - 6x ≥ 8 - 2
合并同类项，得 合并同类项，得
x ＜ - 6 - 11x ≥ 6
系数化为1（两边除以-11）
· · x ≤ -
-6 0
· ·
- 0
3. 3(1-x) ＜2(x+9)
解：去括号，得
3 - 3x ＜ 2x + 18 系数化为1（两边除以-5）
移项，得 x ＞ -3
- 3x - 2x ＜ 18 - 3
合并同类项，得 · ·
- 5x ＜ 15 -3 0
4. 1 + ≥ 5 -
解：去分母（两边乘以6） 合并同类项
6 + 2x≥30 - 3(x - 2) 5x ≥ 30
去括号 系数化为1（两边除以5）
6 + 2x≥30 - 3x + 6 x ≥ 6
移项
2x + 3x≥30 + 6 - 6 · ·
0 6
四、不等式组
1. 两个或几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。
2. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
（1） 2x - 1 ＞ x + 1 ① (2) 2x - 1 ＞0 ①
x + 8 ＞ 4x - 1 ② 4 - x ≥ 0 ②
解:由① 得 解:由① 得x ＞
2x - x ＞1 + 1 由② 得x ≤ 4
x ＞ 2
由② 得
x - 4x ＞- 1 - 8
-3x ＞ -9
x ＜ 3 · · ·
0 4
· · ·
0 2 3 ∴ ＜ x ≤ 4
∴ 2 ＜ x ＜ 3
(3) 2x ＜ 7 + x ① (4) -3(x-3) ≤ 4-x ①
x - 2 ＜ -3 ② ＜ x - 1 ②
解:由① 得x ＜ 7 解:由① 得x ≥ 1
由② 得x ＜ -1 由② 得x ＞ 4
· · · · · ·
-1 0 7 0 1 4
∴ x ＜ -1 ∴ x ＞ 4
(5) 2x + 3 ≥ x + 11 ① （6） x - 4＜ 0 ①
- 1＜ 2 - x ② 3 + x＞ 0 ②
解:由① 得x ≥ 8 1 - x＞ 0 ③
由② 得x ＜ 解:由① 得x ＜ 4
由② 得x ＞ -3
由③ 得x ＜ 1
· · ·
0 8
∴原不等式组无解 · · · ·
-3 0 1 4
∴ -3 ＜ x ＜ 1
3.求下列不等式的正整数解
（1）3x - 9 ≤ 0 (2) 10(x + 4) + x ≤ 84
解: 3x ≤ 9 解: 10x + 40 + x ≤ 84
x ≤ 3 11x ≤ 44
正整数解为：1，2，3 x ≤ 4
正整数解为：1，2，3，4
五、列不等式（组）解应用题
第十章 数据的收集、整理与描述
一、统计调查
1. 统计调查的步骤：
（1）收集数据（如问卷调查） （2）整理数据（统计表）
（3）描述数据（折线统计图、条形统计图、扇形统计图）
2．全面调查：考察全体对象的调查。
3．抽象调查：抽取全体对象中的一部分进行调查。
（然后根据调查数据推断全体对象的情况）。
4．总体：要考察的全体对象。
5．个体：组成总体的每一个考察对象。
6．样本：从总体中抽取的一部分个体组成总体的一个样本。
7．样本容量：样本中个体的数目。
8. 简单随机抽样：使总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到。
二、直方图
1.第一步：计算极差（最大值减去最小值的差）。
2.第二步：决定组距和组数。
3.第三步：列频数分布表（各小组内数据的个数叫频数）。
4.第四步：画直方图
（1）第一种画法：小长方形的高=（频数÷组距）此时，小长方形的面积=频数。
（2）第二种画法：用频数当做小长方形的高。
5.频率 = （小组内数据的个数）÷数据总数。
6.频率之和=1
三、各种统计图的优点
1. 折线统计图：能够显示数据的变化趋势。
2. 条形统计图：能够显示每组中的具体数据。
3. 扇形统计图：能够显示每部分在总体中所占的百分比。
4. 直方图：能够显示数据的分布情况。
0
1
-5
-4
-3
-2
-1
2
3
4
5
A
B
C
M
H
D
E
F
G
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4 xxxxxxx
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
(-4,3)
2
4
-2
-4
-2
(-4,-3)
-4
2
4
-4
-2
-2
-4
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
4
5
5
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