湘教版七年级下学期数学知识总结学案
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第十一章 全等三角形
一、全等三角形
1.能够完全重合的两个图形叫全等形。能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
2.两个全等三角形重合在一起时，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，
重合的角叫对应角。
3.全等三角形性质定理：全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等。
4.如图，△ABC平移至△DEF，平移前后的两个三角形全等。
记作：△ABC≌△DEF 读作：△ABC全等于△DEF
A D
B C E F
对应顶点：A和D、 B和E 、C和F
对应角：∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F【∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F】
对应边：AB和DE、BC和EF、 CA和FD【AB=DE、 BC=EF、 CA=FD】
5.如图，△ABC沿BC翻折到△DEF △ABC≌△DEF
A
对应顶点：A和D、 B和B 、C和C
对应边：BC和BC、AB和DB、AC和DC
B C
（重合的边叫公共边，公共边是对应边）
对应角：∠A和∠D、∠1和∠2、∠3和∠4
D （对应边的对角是对应角）
6.如图，△ABC绕A点旋转180°到△AED △ABC≌△AED
D E 对应顶点：A和A、B和E 、C和D
2 对应角：∠1和∠2、∠B和∠E、∠C和∠D
A
1 （∠1和∠2是对顶角相等，相等的角是对应角）
B C 对应边：BC和ED、AB和AE、AC和AD
（对应角的对边是对应边）
二、三角形全等的判定
1.定理：三边对应相等的两个三角形全等（简称：“边边边”或“SSS”）
如图：△ABC和△DEF
A D
B C E F
若：AB=DE，BC=EF，CA=FD 则可得：△ABC≌△DEF
2.定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形相等（简称：“边角边”或“SAS”）
如上图:△ABC和△DEF中，若:AB=DE,∠A=∠D,AC=DF 则可得:△ABC≌△DEF
3.定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简称：“角边角”或“ASA”）
如上图：△ABC和△DEF中，若∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，则可得：△ABC≌△DEF
4.定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称：“角角边”或“AAS”）
如上图：△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则可得：△ABC≌△DEF
【三角形具有稳定性，而其它多边形都不具有稳定性】
5.定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简称:“斜边、直角边”或“HL”）【这个定理只能用于直角三角形全等的判定】
如图，Rt△ACB和 Rt△DFE中
若：AC=DF、AB=DE
则：Rt△ACB≌Rt△DEF A D
C B F E
6.定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
如图:已知OC平分∠AOB,点P在OC上并且PE⊥OA，PF⊥OB A
C
则可得：PE = PF P
O B
7.定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
如图：已知PE⊥OA，PF⊥OB并且PE = PF A
则射线OP肯定是∠AOB的平分线
P
O B
8．全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线相等。
全等三角形的周长相等，全等三角形的面积相等。
第十二章 轴对称
一、关于轴对称
1.线段的垂直平分线：经过线段中点（即：平分这条线段）并且垂直于这条线段的直线，
叫做这条线段的垂直平分线（线段的垂直平分线也叫线段的中垂线）
如图，点O线段AB中点，直线MN经过点O，并且MN⊥AB M
则直线MN是线段AB的垂直平分线
（MN⊥AB，OA=OB）
A· · · B
N
2.定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线,点C是直线MN上的任意一点
则可得：CA=CB M
C
A B
N
3.定理：到线段两个端点的距离相等的点，必在线段的垂直平分线上。
如图，如果：CA=CB
则：点C肯定在线段AB的垂直平分线上
C
A B
4.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，
那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫对称轴,折叠
后重合的对应点，叫对称点。两个图形关于直线对称叫轴对称。
如图：△ABC沿直线MN折叠后，与△DEF完全重合，
那么就说△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称。 M
直线MN是对称轴
点A与D、B与E、C与F是对称点 A D
定理：关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（△ABC≌△DEF）
定理：如果两个图形关于某条直线对称,那么 B E
对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（直线MN是线段AD的垂直平分线，同时也是线段 C F
BE、线段CF的垂直平分线） N
定理：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段 M
或延长线相交，那么交点在对称轴上。 A D
如图：△ABC与△DCB关于直线MN成轴对称，对应边 E
AC与DB相较于对称轴上的点E;对应边AB与DC
本身不相交，但它们的延长线相交于对称轴上
的点F。
N
5.如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。 M
如图：把长方形ABCD沿它一边BC的垂直平分线MN折叠， A D
直线MN两旁的部分能够互相重合，则长方形ABCD
就是一个轴对称图形。BC边的垂直平分线MN B C
就是对称轴。 N
轴对称图形中的对称轴是对应点所连线段的垂直平分线。
（直线MN不仅是BC的垂直平分线，也是AD的垂直平分线。）
6.注意：轴对称是指两个图形之间的关系。轴对称图形是一个图形。
二、轴对称作图
1.如图，已知△ABC和直线m,作出△ABC关于直线m对称的图形。
作法：（1）过点A作AO⊥m于O，并延长AO到 B
D点，使OD=AO.点D就是点A关于
直线m的对称点。 A C
（2）同理可以作出点B和点C的对称点 m
（3）顺次连接点D、E、F
△DEF为所求 D
2. 如图，已知△ABC和直线m,作出△ABC关于直线m对称的图形。 m
A
C
B
3. 如图，已知△ABC和直线m,作出△ABC关于直线m对称的图形。
m
A
B C
4.尺规作图：（作线段的垂直平分线）
已知：线段AB
求作：线段AB的垂直平分线
作法：（1）分别以A、B为圆心，以大于AB
为半径作弧，两弧交于C、D两点
（2）作直线CD
则直线CD为所求
三、用坐标表示轴对称
1. 如图，分别作出△ABC关于x轴和y轴
对称的图形。并写出对称前后三角形各
顶点的坐标。
2.如图，分别作出△PQR关于直线x = 1（记为直线m）和直线y = -1（记为直线n）
对称的图形，并写出对称前后三角形各顶点的坐标。
y
x
四、等腰三角形
1.有两条边相等的三角形是等腰三角形。 A
如图，△ABC中，若AB=AC，
则它是一个等腰三角形
B C
2.定理：等腰三角形的两个底角相等。（简称：等边对等角）
如图，△ABC中，若AB=AC A
那么AB边的对角∠C和AC边的对角∠B也相等。
（即：由AB=AC 可得 ∠B=∠C）
B C
3.定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
（简称：等腰三角形“三线合一”） A
如图，等腰△ABC中，AB=AC
线段AD只要具有以下三个身份中的一个
① 顶角∠BAC的平分线,
② 底边BC的中线
③ 底边BC上的高
那么它同时也具备剩下的那两个身份。 B D C
4.定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（简称：等角对等边） （则这个三角形就是一个等腰三角形）
如图，△ABC中，若∠B=∠C A
那么∠B的对边AC和∠C的对边AB也相等。
（即：由∠B=∠C 可得AB=AC）
B C
五、等边三角形
1.三条边都相等的三角形叫等边三角形。 A
如图，△ABC中，若AB=BC=CA
则它就是一个等边三角形，也叫正三角形
B C
2.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
3.定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 A
4.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如图，Rt△ACB中，∠C=90°
若∠A=30°，则可得BC=AB B C
第十三章 实数
一、平方根
1.因为3= 9 ，则9是3的平方。而3叫9的平方根。
又有（-3）= 9 ，则 -3也是9的平方根。
也就是说,9的平方根有两个,一个是3,另一个是 -3,它们一正一负,它们互为相反数
2.一般地,如果一个数x的平方等于a ，那么这个数x叫做a的平方根(或二次方根)。
就是说，如果x= a ，那么x叫a的平方根。
3.我们知道：正数有两个平方根。
又：因为：0= 0 所以：0的平方根是0
因为没有任何数的平方等于负数。所以：负数没有平方根
4. 一个正数a的正的平方根用+表示，读作：正的二次根号a （正号通常省略）
其中a叫被开方数，2叫根指数（根指数是2时通常省略）。如： =3
正数a的负的平方根用-表示，读作：负的二次根号a 如：-= -3
合起来：一个正数a的平方根用±表示。
如：9的平方根记为：±=±3 读作：正负根号9等于正负3
5.求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方的运算符号是“±2 ”
如：求16的平方根：±= ±4
6.正数有两个平方根，其中正的那一个平方根叫做这个正数的算术平方根。
如：9的平方根有两个,一个是3,另一个是 -3, 9的算术平方根是3
即：9的算术平方根：= 3 16的算术平方根：= 4
0的算术平方根：= 0
7.正数的算术平方根是正数；0的算术平方根0；负数没有算术平方根
a是非负数时（正数和0叫非负数），表示a的算术平方根。
8.比较大小
（1）因为：= 2 ，= 3 ，= 4 所以：＜＜
即：等于带根号的数来说，被开方数越大，它的值就越大。如：＞
（2）在哪两个整数之间？因为4=，5= 而16＜20＜25
所以在4和5之间。
二、立方根
1.如果一个数x的立方等于a ，那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根。
就是说：如果x= a ，那么x叫a的立方根。
如：2= 8 ，则2是8的立方根。 （-2）= -8 ，则-2是-8的立方根。
2.求一个数的立方根的运算叫做开立方；开立方的运算符号是:读作：三次根号
（根指数3不能省略） 如：8的立方根：= 2 读作：三次根号8等于2
-27的立方根： = 3 读作：三次根号负27等于负3
0的立方根：= 0
3.正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0
4.因为 = -2， -= -2 所以 = -
因为 = -3， -= -3 所以 = -
即： = - 如： = -， = -
三、关于逆运算
1.开平方与平方互为逆运算。如：3=9，=3
（1）所以：（）= 4（把4开平方再平方，逆运算互相抵消，相当于4没有变化）
同样：（）= 9 ，（）= 2 ，（）= 7 ， （）= 11
注意：（）是没有意义的【因为负数没有算术平方根，没有意义】
（2）还有：==3 ，=5 ，=6
但是要注意： ≠ - 5 ，而是：==5
2.开立方与立方互为逆运算。如：2= 8 ，= 2
所以：（）= 8（把8开立方再立方，逆运算互相抵消，相当于8没有变化）
同样：（）= 27 ，（）= 5 ， （）= -19
== 2 ，=4 ，= -5 ，= -6
四、实数
1.有理数包括整数和分数，而整数和分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
如：3=3.0 ， -=-0.6 ， =0.81
2. 无限不循环小数叫做无理数。如：，-，π，0.12345… ，2.1010010001…
3.有理数和无理数统称实数。
正有理数：2, 0.3，，…
有理数 0
负有理数：-3，-3.1，-…
正无理数：，π，0.12345…
负无理数：-，-π，-0.12345…
正实数：2, 0.1，，，π，0.12345…
实数 0
负实数：-2，-7.3，-，-，-π，-0.12345…
4.当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
的相反数是 -， π-3.14的相反数是 -（π-3.14） ， |-|=
五、实数运算
1. 3+2=（3+2）= 5 2. 3-2=（3-2）=
3. |- ︳+ 2 = - + 2 = +
4. （+2）= · + 2 =()+ 2 = 2 + 2
5. （+）=· +· =() + = 3 + 1 = 4
第十四章 一次函数
一、常量和变量、自变量与函数
1.汽车以60千米/小时的速度行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，
用式子表达为：s=60t 。在这个变化过程中60是不变的，叫常量；s和t
的值是变化的，叫变量。给定一个t的值，就有唯一的一个s的值与t的
值对应。我们就说t是自变量，s是t的函数。
2.一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定
的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
3.在上例中，我们是用式子s=60t来表达s与t之间的函数关系的。这种用数学式子
表示函数的方法叫做解析式法（或叫关系式法）
4. 在函数s=60t中，当t=3时，s=180，那么180叫做自变量t的值等于3时的函数值。
5. 在上例s=60t中，因为自变量t是表示时间，它不会是负数，所以t≥0
那么t≥0叫做函数s=60t中自变量t的取值范围。
例如：函数y=2x+3 自变量的取值范围是：全体实数
函数y= 自变量的取值范围是：x≠1
函数y= 自变量的取值范围是：x≥2
确定函数自变量的取值范围注意两点：① 使解析式有意义。② 使实际问题有意义。
二、一次函数
1.一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
如：y=2x ,y=-2x（右边是自变量的一次单项式）
2.画出下列正比例函数的图象
（1）y = 2x
解：列表：（在自变量x的取值范围内选取适当的值，算出对应的函数值）
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
描点：（把每组对应值都看成点的坐标，在坐标系中描出这些点）
y y = 2x
连线：（顺次连接各点） 得一条直线， ·
这条直线叫函数y=2x的图象。 ·6
·
·4
·
·2
·
· · · · · · · · · · · · · · ·
· x
·-2
·
·-4
·
·-6
所以函数y=2x的图象也叫直线y=2x
y=-2x y
·6
（2）y=-2x ·
与上面画法一样，可以得到 ·4
函数y = - 2x的图象。 ·
·2
·
· · · · · · · · · · · · · x
·
·-2
·
·-4
·
·-6
3. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx
（2）当k＞0时,直线y=kx经过第一、三象限。从左向右上升,即y随x的增大而增大。
当k＜0时,直线y=kx经过第二、四象限。从左向右下降,即y随x的增大而减小。
4.一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
当b=0时，就是正比例函数y=kx，即：正比例函数是特殊的一次函数。
5.画函数y = 2x + 1和y = -2x + 1的图像。
列表： x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 …
x … -2 -1 0 1 2 …
y=-2x+1 … 5 3 1 -1 -3 …
描点，连线
y y=2x+1 y=-2x+1 y
· ·
· ·
·4 ·4
· ·
·2 ·2
· ·
· · · · · · · · · x · · · · · · · · · x
· ·
·-2 ·-2
· ·
·-4 ·-4
· ·
· ·
6.一次函数y=kx+b（k≠0）的性质
（1）图像是一条直线。
（2）当k＞0时,从左向右上升,即y随x的增大而增大。
当k＜0时,从左向右下降,即y随x的增大而减小。
三、正比例函数与一次函数的联系
1.画函数y = 2x , y = 2x + 3 , y = 2x - 3的图象。
列表：
x -2 -1 0 1 2
y=2x -4 -2 0 2 4
y=2x+3 -1 1 3 5 7
y=2x-3
y=2x+3
y=2x
·
·6
·
·4
·
·2
·
· · · · · · · · ·
·
·-2
·
·-4
·
·-6
·
① 对于每一个确定的x的值，函数y=2x+3的值都比函数y=2x的值大3，反映在图象
上就是点的位置高3个单位。
② 即直线y=2x+3上的所有点都比直线y=2x上相应的点高3个单位。（整体来说就是
直线y=2x+3比直线y=2x高3个单位）
③ 把直线y=2x向上平移3个单位就得直线y=2x+3
④ 直线y=2x+3与直线y=2x是平行，平行的原因是k值都等于2
猜想：直线y = 2x - 3在什么地方
（在表中算出y=2x-3的值，画出图象，进行观察、总结）
2. 画函数y = -2x , y = -2x + 3 , y = -2x - 3的图象。
列表：（因为一次函数的图像是直线，所以用两个点就够了）
x 0 1
y = -2x 0 -2
y = -2x + 3 3 1
y = -2x - 3 -3 -5
y=2x+3
y=2x
y=2x-3
2.归纳
（1）对于直线y=kx与直线y=kx+b ，若k= k ，则直线y∥直线y
直线y可以通过平移直线y来得到。b＞0时，向上平移b个单位；
b＜0时，向下平移∣b∣个单位。
（2）直线y=kx+b与y轴交于点（0，b），b叫直线y=kx+b在y轴上的截距。
（b有正负，即截距有正负）
（3）对于直线y=kx+b
当k＞0 ，b＞0时，经过第 象限。
当k＞0 ，b＞0时，经过第 象限。
当k＞0 ，b＞0时，经过第 象限。
当k＞0 ，b＞0时，经过第 象限。
四、用待定系数法求函数解析式
1.先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，叫做待定系数法。
2.已知一次函数的图像过点（3,5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k、b这两个系数未知，待定）
得： 3k+b=5 解得： k=2
-4k+b=-9 b=-1
∴ 解析式为 y=2x-1
3.已知正比例函数y=kx ，当x=-2时，y=-1 。求解析式。
4.已知一次函数y=kx+b ,在x=4时，y的值为9 ，在x=6时的值为3 。求解析式。
5.已知y与x成正比例，且x=3时，y=4 ，求关系式。
6.已知y与x-1成正比例，且x=2时，y=-3 ，求y与x的函数关系式。
7.已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7 ，求y与x的函数关系式。
8.直线y=(2m-3)x+m-5与y轴交点的纵坐标为1 ，则m= 。
9.一次函数y=x+m-1的图象与x轴的交点到y轴的距离为4,则此一次函数的解析式为
五、一次函数与一元一次方程和一元一次不等式
1.函数y=2x-4的图象如图所示 y=2x-4
直线y=2x-4与x轴的交点是A（2,0）
（1）点A（2,0）在直线y=2x-4上，意味着
x=2时，可以使y=0 A（2,0)
（2）y=0就是2x-4=0 ，即x=2时，2x-4=0
就是：x=2是方程2x-4=0的解。
总结：函数y=2x-4的图象与x轴的交点A（2,0）
的横坐标x=2就是方程2x-4=0的解。
2.如图，方程mx+2=0的解是 ，m=
y
2 不等式mx+2＞0的解集是
x 不等式组0≤mx+2≤2的解集是
y=mx+2
六、用图象法解二元一次方程组
解方程组 x+2y=4 ① y=2x-3
2x-y=3 ② y=-x+2
解：把方程①化为函数形式：y=-x+2
把方程②化为函数形式：y=2x-3
在坐标系中画出直线y=-x+2和直线y=2x-3
两直线交点的坐标为（2，1）
则 x=2 是方程组 x+2y=4 ①
y=1 2x-y=3 ② 的解 （交点坐标为什么就是方程组的解）
不等式mx+2＞0的解集是 不等式-x+2＞2x-3的解集是
七、一次函数应用题
第十五章 整式的乘除与因式分解
一、幂的运算公式
1.同底数幂相乘：底数不变，指数相加。·=
2.幂的乘方：底数不变，指数相乘。=
3.积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。=
4.商的乘方：分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。=
二、整式的乘法
1. 单项式乘以单项式：系数乘以系数，相同字母乘以相同字母。对于只在
一个单项式里含有的字母，则连同它的指数保留下来。
如，(2x）·(-5xy)=8x·(-5xy)=[8×(-5)]·(xx)·y=-40xy
2. 单项式乘以多项式：用单项式分别去乘以多项式的每一项。
如，（-4x）·(2x+3x-xy)=（-4x）·(2x)+（-4x）·(3x)+（-4x）·(-xy)
= -8x-12x+4xy
-2a·(ab-b)= -ab + 2ab
3.多项式乘以多项式：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。
如，(-5m+2)(4m-3) = -20m+ 15m + 8m - 6 = -20m+ 23m - 6
4.乘法公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a-b
如，(3m+2n)(3m-2n)=(3m)-(2n)= 9m-4n
(-4a-1)(4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)-(4a)=1-16a
完全平方和公式：（a + b）= a + 2ab + b
如，(4x+3y)=(4x)+ 2×4x×3y + (3y)= 16x+ 24xy + 9y
完全平方差公式：（a - b）= a - 2ab + b
如，(-2m-1)=(-2m)- 2×(-2m)×1 + 1= 4m+ 4m + 1
三、整式的除法
1.同底数幂相除：底数不变，指数相减。÷=(a≠0)
2. =1 (≠0) = (≠0 ,p是正整数)
如，(-3)=1 3= =
3.单项式除以单项式：系数除以系数，同底数幂和同底数幂相除。
对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数保留下来。
如，-15abc÷5ab=[(-15)÷5]·(a÷a)·(b÷b)·c =-3ac
4.多项式除以单项式：用多项式的每一项去除以单项式。
如，(25x+ 15xy - 20x)÷(-5x)
=[25x÷(-5x)]+15xy÷(-5x)+(-20x)÷(-5x)
= -5 -3xy + 4x
(-4a + 12ab - 8ab)÷(-4a) = a - 3b + 2ab
四、因式分解
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解【也叫分解因式】。
2.因式分解的方法
（1）提公因式法：把多项式中各项的公因式提取出来。【提公因式就是做除法】
如，3a- 9ab中，3a和- 9ab这两项共同的因式是3a ,
从3a中提取3a就是做除法：=，即提取后剩下，同理：=-3b
∴3a- 9ab = 3a(a-3b) 【这个因式分解就完成了】
（2）运用公式法：把乘法公式反过来就是因式分解的过程。
乘法公式反过来就成了： a-b = (a+b)(a-b)
a + 2ab + b= （a + b）
a - 2ab + b= （a - b）
这三个公式从左到右就是因式分解的过程。它们可以用来进行因式分解。
如， 1-a=(1=a)(1-a) 8mn-2n=2n(4m-1)=2n(2m+1)(2m-1)
x+6x+9=(x+3) (m+n)-4(m+n)+4=[(m+n)-2]=(m+n-2)
（3）分组分解法：把多项式中能够提取公因式的项，或能够运用公式的项分成一组，
以便用提取公因式法和运用公式法进行因式分解。
如，xy-x+y-1=(xy-x)+(y-1)=x(y-1)+(y-1)=(y-1)(x+1)
-a+ 2ab + ac – bc - b= -( a-2ab+ b)+(ac-bc)
=-(a-b)+c(a-b)
=(a-b)[-(a-b)+c]
=(a-b)(-a+b+c)
（4）十字相乘法
如: 把x+5x+6因式分解：把第一项x和第三项6都分成两个因式的积：
把x分成x和x相乘，6分成2和3相乘，并且竖着写：
x 2
x 3
然后交叉相乘，再把乘得的积相加：3x+2x=5x，相加得到的5x与多项式x+5x+6
的中间项相等，说明算对了。最后横着写 ∴ x+5x+6 =(x+2)(x+3)
因式分解:① y-7y+12=(y -3)(y -4) ② 2x-x-6=(2x+3)(x-2)
y -3 2x 3
y -4 x -2
-4y - 3y = -7y -4x + 3x = - x
注意：第①题中的12不能分成-2乘以-6因为这样乘完后相加得不到-7x
第十六章 分 式
关于分式
1.一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫分式。
也就是说，分母中含有字母的式子是分式。
2.整式和分式统称为有理式。
3.分母不为0时分式才有意义。
如，当x≠0时，分式有意义。 当x≠2时，分式有意义。
当x≠-时，分式有意义。 当x≠y时，分式有意义。
4.分式的基本性质:分式的分子和分母都乘(或除以)不为0的整式,分式的值不变。
如：=（分子、分母都乘以） =（分子、分母都除以）
5.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
（1） = =
（2）==
6. 不改变分式的值，使下列各式的分子与分母都不含负号。
（1）==【分子、分母都乘以-1】
（2）=(-1)× = -【分式前面乘以-1就是乘到分子上】
（3）===
【总结：分式本身的符号、分子的符号、分母的符号，这三个符号中
任意改变其中两个，分式的值不变】
如：=【同时改变了分子和分母的符号】
=【同时改变了分子的符号和分式本身的符号】
=【同时改变了分子和分母的符号】
二、分式的乘除法
1.约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去。【即：分子、分母同时除以公因式】
如： = 【约去公因式5abc】
= = 【约去公因式（x+3）】
= = 2(x－y)【约去公因式3(x－y)】
= = 【约去公因式(x+3)】
注意：分式中出现多项式时，要先因式分解，才容易看出公因式。
【分子、分母没有公因式的分式叫最简分式。约分后的分式应该是最简分式】
2.分式乘法：分子乘分子、分母乘分母。能约分的要约分。
如：（1）· = = 又：· = · =
【先约去公因式，再乘】
（2）· =
=
=
又：· = =
【先约去公因式，再乘】
3.分式的除法：除以一个分式，等于乘以它的倒数。
如：（1）÷ = · = = －
（2）÷ = ·( = －·(
= ·
= －
（3） ÷÷（x－2y）
= ··
= ··
=
4.分式的乘方：分子、分母分别乘方。
如：() = =
÷· = ·· = －
三、分式的加减法
1.同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减。
如：+===
－===
2.异分母的分式相加减需要先通分，变成同分母的分式，再加减。
3.通分：把分母不相同的分式化成分母相同的分式。
4.通分需要先找最简公分母。找最简公分母的方法：
（1）最简公分母的的系数取各系数的最小公倍数。
（2）字母取指数大的。
（3）单独的字母参加最简公分母。
5.计算：（1）+=+=+=
（2）=
==
（3）（a+2）- =（a+2）+=+=
四、整数指数幂
1.我们以前学过幂的运算公式：
① 同底数幂相乘：底数不变，指数相加。·=
② 幂的乘方：底数不变，指数相乘。=
③ 积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。=
④ 商的乘方：分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。=
⑤ 同底数幂相除：底数不变，指数相减。÷=(a≠0)
⑥ =1 (≠0) ⑦ = (≠0 ,p是正整数)
上面公式中的指数m和n是负数时公式仍然成立。如：
( ==
2.科学记数法。
如：2300=2.3×10 420600=4.206×10 2304.23=2.30423×10
（指数＝原数的整数位数减1）
又如：0.0023=2.3×10 -0.000205 = -2.05×10 0.01=1×10
0.0001=10
（绝对值小于1的数的科学记数法：指数是负的，到底是负几呢，
是第一个不是0的数前面所有的0的个数。 ( http: / / www.21cnjy.com )包括小数点前面的那个0）
五、分式方程
1.分母中含有未知数的方程叫分式方程。
2.解分式方程：方程两边同时乘以最简公分母，达到去分母的目的，
把分式方程化为整式方程再解方程。
3.最简公分母由各个分母的所有因式组成，相同的因式取指数大的。
4.解方程组：
（1）＝ （2）=
解:方程两边同时乘以最简公分母x(x-2) 解：=
x=3(x-2) 两边乘以(x+5)(x-5)得
解这个方程 x+5=10
x=3x-6 x=5
x=3 检验：把x=5代入最简公分母(x+5)(x-5)
检验：把x=3代入原方程： 得0
左边==1 ，右边==1 ∴ 原方程无解
左边=右边 【x=5是原方程的增根】
∴ x=3是原方程的解（根）
（3） （4）+=
解：方程两边乘以(x-1)(x+2)得 解：
x(x+2) - (x-1)(x+2)=3 7(x-1)+(x+1)=6x
x+2x－(x+2x－x－2)＝３ 7x-7+x+1=6x
x+2x－(x+x－2)＝３ 2x=6
x+2x－x－x+2＝３ x=3
x+2＝３ 经检验x=3是原方程的解
x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0
∴ 原方程无解
【x=1是原方程的增根】
六、列分式方程解应用题
第十七章 反比例函数
一、反比例函数：一般地，形如（k为不等于0的常数）的函数叫反比例函数。
x是自变量，y是x的函数。自变量x的取值范围是：x≠0
二、反比例函数的图像和性质
1.画反比例函数和的图像
（1）列表
x -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6
y= -1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1
（2）描点、连线
y
·6
·
·4
·
·2
·
· · · · · · · · · · · · · x
·
·-2
·
·-4
·
·
（1）列表：
x -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6
y=- 1 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1
（2）描点、连线
y
·6
·
·4
·
·2
·
· · · · · · · · · · · · · x
·
·-2
·
·-4
·
· ·
2.反比例函数（k为不等于0的常数）的图像的性质：
（1）图像叫双曲线，有两个分支。
（2）当k＞0时，图像分别在一、三象限，在每个分支内y随x的增大而减小。
【图像从左向右呈下降趋势】
（3）当k＜0时，图像分别在二、四象限，在每个分支内y随x的增大而增大。
【图像从左向右呈上升趋势】
（4）双曲线的两个分支关于原点成中心对称。
（5）双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不能到达。
三、如图，点P(m,n)在双曲线上， y
过P点作PA⊥x轴，PB⊥y轴。
求长方形OAPB的面积 ( http: / / www.21cnjy.com )
∵ 点P(m,n)在双曲线上 0 x
∴ n= 即 mn=4
∴ Ｓ=OA×OB=mn=4 【实际上,在图像上任取一点， (比如H)向两坐标轴作垂线，所围成的长方形面积都等于4】
第十八章 勾股定理
一、勾股定理
1. 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如图，在直角三角形ABC中， A
a和b是直角边，c是斜边
有：
B C
2. 勾股定理公式的变形：
（1） （2） 等等。
3.利用勾股定理画无理数线段
如图，在数轴上画长度为的线段
① 在数轴上从原点向右截取线段OA=3
② 过A点作直线ｍ⊥x轴
③ 在直线ｍ上截取AB=2
④ 连接OB，
则线段OB=为所求。
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形就是直角三角形。【最长的边是斜边，它对的角是直角】
2.如图，在△ABC中， A
如果 AB=5,BC=3,AC=4
那么：
∵ 3
即：BC+AC=AB
则：△ABC是直角三角形，并且AB是斜边，∠C是直角。
3.象3,4,5这样的三个整数，其中两个数的平方和等于第三个数的平方，
则这样的三个整数叫勾股数。如：6,8,10； 5,12,13； 7,24,25；等等。
原命题和逆命题
1.看下面的两个命题：
（1）同位角相等，两直线平行。 （2）两直线平行，同位角相等。
这两个命题的题设和结论互相颠倒,这样的两个命题叫互为逆命题.【简称：互逆命题】
2. （1）同位角相等，两直线平行。（2）两直线平行，同位角相等。
上面的两个互逆命题都是定理，其中一个叫原定理另一个叫逆定理。
3.注意：并不是所有的定理都有逆定理【∵有的定理的逆命题是错误的】
第十九章 平行四边形
一、平行四边形
1.两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
如图，在四边形ABCD中
若，AD∥BC, AB∥DC, 则四边形ABCD是平行四边形 A D
记作：□ ABCD 读作：平行四边形ABCD
对边：AB和DC、AD和BC B C
对角：∠A和∠C、∠B和∠D A D
对角线：AC和BD（如图）
2.平行四边形的性质 B C
（1）平行四边形对边平行。 （2）平行四边形对边相等
（3）平行四边形对角相等。 （4）平行四边形邻角互补。
如图 A D
AB∥DC,AD∥BC(对边平行)
AB＝DC,AD＝BC(对边相等) B C
∠A＝∠C,∠B＝∠D(对角相等)
∠A+∠B=180°, ∠A+∠D=180°等(邻角互补)
（5）对角线互相平分
如图， ABCD中， A D
对角线AC和BD相交于O点， O
则有：OA=OC，OB=OD B C
3. 平行四边形的判定定理
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
如图，若AB∥DC,AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
如图，若AB=DC,AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形。
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
如图，若∠A＝∠C,∠B＝∠D，则四边形ABCD是平行四边形。
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
如图，若OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD是平行四边形。
O
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
如图,若AB∥DC并且AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形。
如图,若AD∥BC并且AD=BC,则四边形ABCD是平行四边形。
二、三角形的中位线
1.定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点
则线段DE叫△ABC的中位线。
2. 三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如图，线段DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，DE=BC
3.如图，点A是直线ｍ外的一点，过A作AE⊥ｍ于E，
则垂线段AE叫点A到直线ｍ的距离。
4.如图，直线a∥b，点A是直线a上的一点，过A作AE⊥b于E，则垂线段AE叫
两条平行线间的距离。
平行线间的距离不只一处，过a上另一点B作BF⊥b于F，则垂线段BF也叫
两条平行线a、b间的距离。
平行线间的距离处处相等。即AE=BF
三、矩形
1.有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
如图，若□ ABCD中, 有一个角∠B=90°，则它是矩形。
2.矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的所有性质（因为矩形首先是平行四边形，只不过
它是特殊的平行四边形，特殊在有一个角是直角）
（2）矩形的四个角都是直角，
（3）矩形的对角线相等。
3.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
如图，已知，矩形ABCD。
∵ 矩形的对角线相等
∴ AC=BD
又∵ 矩形的对角线互相平分 看Rt△ABC：O为斜边AC的中点，
∴ OA=OC=AC,OB=OD=BD OB为斜边AC上的中线
∴ OA=OC=OB=OD=AC=BD 而OB=AC
4.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
如图，若四边形ABCD是平行四边形,并且有一个角∠B=90°
则它是一个矩形
（2）有三个角是直角的四边形是矩形。
如图，四边形ABCD中,若∠A=∠B=∠C=90°,
则四边形ABCD是矩形。
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
如图，若四边形ABCD是平行四边形，
并且有一组邻边AC=BD，则它是一个矩形。
四、菱形
1.有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
如图，若□ABCD中，有一组邻边AB=BC
则它是一个菱形。
2.菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的所有性质。
（2）菱形的四条边都相等。
如图，若四边形ABCD是菱形，则AB=BC=CD=DA
（3）菱形对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
如图，若四边形ABCD是菱形，则AC⊥BD，OA=OC，OB=OD
并且，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
（4）菱形的面积等于对角线乘积的一半。
如上图，菱形ABCD的面积=AC·BD
3.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
如图，若四边形ABCD是平行四边形，
并且有一组邻边AB=BC，则它是一个菱形
（2）四边相等的四边形是菱形。
如图，四边形ABCD中，
若AB=BC=CD=DA，则它是一个菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
如图，若四边形ABCD是平行四边形，并且AC⊥BD
则它是一个菱形
五、正方形
1. 有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
如图，若□ ABCD中, 有一个角∠B=90°，并且有一组邻边AB=BC
则它是一个正方形。
2.正方形的性质（正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质）
（1）正方形既是矩形又是菱形。
（2）正方形的对边平行，四边相等。
（3）正方形的四个角都是直角。
如图， AB∥DC,AD∥BC
正方形ABCD AB=BC=CD=DA
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
（4）正方形的对角线互相垂直平分，且相等。每一条对角线平分一组对角。
如图，正方形ABCD中，
AC⊥BD，OA=OC=OB=OD=AC=BD，AC=BD
AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
3.正方形的判定
（1）有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
如图，若□ ABCD中, 有一个角∠B=90°，并且有一组邻边AB=BC
则它是一个正方形。
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
如图，若四边形ABCD是矩形，并且有一组邻边AB=BC
则它是正方形。
（3）有一个角是直角的菱形是正方形。
如图，若四边形ABCD是菱形，并且有一个角∠B=90°
则它是正方形。
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形。
如图，若四边形ABCD是矩形，并且对角线AC⊥BD
则它是正方形。
（5）对角线相等的菱形是正方形。
如图，若四边形ABCD是菱形，并且对角线AC=BD
则它是正方形。
（6）想证明一个四边形是正方形，就要证明它既是矩形又是菱形。
六、梯形
1.有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。
如图，四边形ABCD中AD∥BC，AB不平行于DC
则四边形ABCD是一个梯形。
平行的两边叫做底，较短的上底，较长的叫下底。
不平行的两边叫腰。
两底之间的距离叫梯形的高。
2.有一个角是直角的梯形叫直角梯形。
如图，梯形ABCD中，AB⊥BC，
则梯形ABCD就是一个直角梯形。
3. 两腰相等的梯形叫等腰梯形。
如图，梯形ABCD中，AB=DC
则梯形ABCD就是一个等腰梯形。
4.等腰梯形的性质
（1）等腰梯形同一底上的两个角相等。
如图，等腰梯形ABCD中，∠A =∠D，∠B =∠C
（2）等腰梯形的对角线相等。
如图，等腰梯形ABCD中，AC=BD
5.梯形常用辅助线
【作高】
【平移腰,过点D 【平移对角线,过点D
【延长腰】 作DE∥AB,交BC于E】 作DE∥AC,交BC的
延长线于E】
6. 等腰梯形的判定
（1）同一底上的两个角相等梯形是等腰梯形。
如图，梯形ABCD中，AD∥BC
若∠B =∠C，（或∠A =∠D）
则梯形ABCD是等腰梯形。
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形。
如图，梯形ABCD中，AD∥BC
若AC=BD，则梯形ABCD是等腰梯形。
7.梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线。
（1）如图，梯形ABCD中，点D、E分别是两腰
AB和DC的中点，则线段DE叫梯形ABCD的中位线。
（2）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
如上图，DE是梯形ABCD的中位线，则DE∥BC，并且DE=(AD+BC）
1
2
3
4
E
F
E
F
O
O
B
C
F
D
A
B
C
y
x
A
B
C
O
P
Q
R
O
m
n
实数
无理数
2
4
-2
-4
0
2
4
-2
-4
-2
-4
2
4
0
-2
-4
2
4
0
4
2
-4
-2
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-5
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
3x + 2x = 5x
0
2
4
6
-6
-2
-4
-6
y=
0
2
4
6
-6
-2
-4
-6
y= -
P
H
A
B
a
b
c
ｍ
B
A
O
x
0
1
-5
-4
-3
-2
-1
2
3
4
5
3
4
5
B
C
ABCD
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
A
E
ｍ
B
F
A
E
b
a
A
B
C
D
A
B
C
D
O
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
O
A
C
B
D
A
C
B
D
A
C
B
D
O
A
C
B
D
A
C
B
D
A
C
B
D
O
A
B
C
D
C
A
D
B
A
B
C
D
O
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
腰
腰
上底
下底
高
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
D
C
E
A
B
D
C
E
A
B
C
D
A
B
C
D
D
A
D
E
C
B
一、全等三角形
1.能够完全重合的两个图形叫全等形。能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
2.两个全等三角形重合在一起时，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，
重合的角叫对应角。
3.全等三角形性质定理：全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等。
4.如图，△ABC平移至△DEF，平移前后的两个三角形全等。
记作：△ABC≌△DEF 读作：△ABC全等于△DEF
A D
B C E F
对应顶点：A和D、 B和E 、C和F
对应角：∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F【∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F】
对应边：AB和DE、BC和EF、 CA和FD【AB=DE、 BC=EF、 CA=FD】
5.如图，△ABC沿BC翻折到△DEF △ABC≌△DEF
A
对应顶点：A和D、 B和B 、C和C
对应边：BC和BC、AB和DB、AC和DC
B C
（重合的边叫公共边，公共边是对应边）
对应角：∠A和∠D、∠1和∠2、∠3和∠4
D （对应边的对角是对应角）
6.如图，△ABC绕A点旋转180°到△AED △ABC≌△AED
D E 对应顶点：A和A、B和E 、C和D
2 对应角：∠1和∠2、∠B和∠E、∠C和∠D
A
1 （∠1和∠2是对顶角相等，相等的角是对应角）
B C 对应边：BC和ED、AB和AE、AC和AD
（对应角的对边是对应边）
二、三角形全等的判定
1.定理：三边对应相等的两个三角形全等（简称：“边边边”或“SSS”）
如图：△ABC和△DEF
A D
B C E F
若：AB=DE，BC=EF，CA=FD 则可得：△ABC≌△DEF
2.定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形相等（简称：“边角边”或“SAS”）
如上图:△ABC和△DEF中，若:AB=DE,∠A=∠D,AC=DF 则可得:△ABC≌△DEF
3.定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简称：“角边角”或“ASA”）
如上图：△ABC和△DEF中，若∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，则可得：△ABC≌△DEF
4.定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称：“角角边”或“AAS”）
如上图：△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则可得：△ABC≌△DEF
【三角形具有稳定性，而其它多边形都不具有稳定性】
5.定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简称:“斜边、直角边”或“HL”）【这个定理只能用于直角三角形全等的判定】
如图，Rt△ACB和 Rt△DFE中
若：AC=DF、AB=DE
则：Rt△ACB≌Rt△DEF A D
C B F E
6.定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
如图:已知OC平分∠AOB,点P在OC上并且PE⊥OA，PF⊥OB A
C
则可得：PE = PF P
O B
7.定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
如图：已知PE⊥OA，PF⊥OB并且PE = PF A
则射线OP肯定是∠AOB的平分线
P
O B
8．全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线相等。
全等三角形的周长相等，全等三角形的面积相等。
第十二章 轴对称
一、关于轴对称
1.线段的垂直平分线：经过线段中点（即：平分这条线段）并且垂直于这条线段的直线，
叫做这条线段的垂直平分线（线段的垂直平分线也叫线段的中垂线）
如图，点O线段AB中点，直线MN经过点O，并且MN⊥AB M
则直线MN是线段AB的垂直平分线
（MN⊥AB，OA=OB）
A· · · B
N
2.定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线,点C是直线MN上的任意一点
则可得：CA=CB M
C
A B
N
3.定理：到线段两个端点的距离相等的点，必在线段的垂直平分线上。
如图，如果：CA=CB
则：点C肯定在线段AB的垂直平分线上
C
A B
4.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，
那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫对称轴,折叠
后重合的对应点，叫对称点。两个图形关于直线对称叫轴对称。
如图：△ABC沿直线MN折叠后，与△DEF完全重合，
那么就说△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称。 M
直线MN是对称轴
点A与D、B与E、C与F是对称点 A D
定理：关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（△ABC≌△DEF）
定理：如果两个图形关于某条直线对称,那么 B E
对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（直线MN是线段AD的垂直平分线，同时也是线段 C F
BE、线段CF的垂直平分线） N
定理：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段 M
或延长线相交，那么交点在对称轴上。 A D
如图：△ABC与△DCB关于直线MN成轴对称，对应边 E
AC与DB相较于对称轴上的点E;对应边AB与DC
本身不相交，但它们的延长线相交于对称轴上
的点F。
N
5.如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。 M
如图：把长方形ABCD沿它一边BC的垂直平分线MN折叠， A D
直线MN两旁的部分能够互相重合，则长方形ABCD
就是一个轴对称图形。BC边的垂直平分线MN B C
就是对称轴。 N
轴对称图形中的对称轴是对应点所连线段的垂直平分线。
（直线MN不仅是BC的垂直平分线，也是AD的垂直平分线。）
6.注意：轴对称是指两个图形之间的关系。轴对称图形是一个图形。
二、轴对称作图
1.如图，已知△ABC和直线m,作出△ABC关于直线m对称的图形。
作法：（1）过点A作AO⊥m于O，并延长AO到 B
D点，使OD=AO.点D就是点A关于
直线m的对称点。 A C
（2）同理可以作出点B和点C的对称点 m
（3）顺次连接点D、E、F
△DEF为所求 D
2. 如图，已知△ABC和直线m,作出△ABC关于直线m对称的图形。 m
A
C
B
3. 如图，已知△ABC和直线m,作出△ABC关于直线m对称的图形。
m
A
B C
4.尺规作图：（作线段的垂直平分线）
已知：线段AB
求作：线段AB的垂直平分线
作法：（1）分别以A、B为圆心，以大于AB
为半径作弧，两弧交于C、D两点
（2）作直线CD
则直线CD为所求
三、用坐标表示轴对称
1. 如图，分别作出△ABC关于x轴和y轴
对称的图形。并写出对称前后三角形各
顶点的坐标。
2.如图，分别作出△PQR关于直线x = 1（记为直线m）和直线y = -1（记为直线n）
对称的图形，并写出对称前后三角形各顶点的坐标。
y
x
四、等腰三角形
1.有两条边相等的三角形是等腰三角形。 A
如图，△ABC中，若AB=AC，
则它是一个等腰三角形
B C
2.定理：等腰三角形的两个底角相等。（简称：等边对等角）
如图，△ABC中，若AB=AC A
那么AB边的对角∠C和AC边的对角∠B也相等。
（即：由AB=AC 可得 ∠B=∠C）
B C
3.定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
（简称：等腰三角形“三线合一”） A
如图，等腰△ABC中，AB=AC
线段AD只要具有以下三个身份中的一个
① 顶角∠BAC的平分线,
② 底边BC的中线
③ 底边BC上的高
那么它同时也具备剩下的那两个身份。 B D C
4.定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（简称：等角对等边） （则这个三角形就是一个等腰三角形）
如图，△ABC中，若∠B=∠C A
那么∠B的对边AC和∠C的对边AB也相等。
（即：由∠B=∠C 可得AB=AC）
B C
五、等边三角形
1.三条边都相等的三角形叫等边三角形。 A
如图，△ABC中，若AB=BC=CA
则它就是一个等边三角形，也叫正三角形
B C
2.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
3.定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 A
4.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如图，Rt△ACB中，∠C=90°
若∠A=30°，则可得BC=AB B C
第十三章 实数
一、平方根
1.因为3= 9 ，则9是3的平方。而3叫9的平方根。
又有（-3）= 9 ，则 -3也是9的平方根。
也就是说,9的平方根有两个,一个是3,另一个是 -3,它们一正一负,它们互为相反数
2.一般地,如果一个数x的平方等于a ，那么这个数x叫做a的平方根(或二次方根)。
就是说，如果x= a ，那么x叫a的平方根。
3.我们知道：正数有两个平方根。
又：因为：0= 0 所以：0的平方根是0
因为没有任何数的平方等于负数。所以：负数没有平方根
4. 一个正数a的正的平方根用+表示，读作：正的二次根号a （正号通常省略）
其中a叫被开方数，2叫根指数（根指数是2时通常省略）。如： =3
正数a的负的平方根用-表示，读作：负的二次根号a 如：-= -3
合起来：一个正数a的平方根用±表示。
如：9的平方根记为：±=±3 读作：正负根号9等于正负3
5.求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方的运算符号是“±2 ”
如：求16的平方根：±= ±4
6.正数有两个平方根，其中正的那一个平方根叫做这个正数的算术平方根。
如：9的平方根有两个,一个是3,另一个是 -3, 9的算术平方根是3
即：9的算术平方根：= 3 16的算术平方根：= 4
0的算术平方根：= 0
7.正数的算术平方根是正数；0的算术平方根0；负数没有算术平方根
a是非负数时（正数和0叫非负数），表示a的算术平方根。
8.比较大小
（1）因为：= 2 ，= 3 ，= 4 所以：＜＜
即：等于带根号的数来说，被开方数越大，它的值就越大。如：＞
（2）在哪两个整数之间？因为4=，5= 而16＜20＜25
所以在4和5之间。
二、立方根
1.如果一个数x的立方等于a ，那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根。
就是说：如果x= a ，那么x叫a的立方根。
如：2= 8 ，则2是8的立方根。 （-2）= -8 ，则-2是-8的立方根。
2.求一个数的立方根的运算叫做开立方；开立方的运算符号是:读作：三次根号
（根指数3不能省略） 如：8的立方根：= 2 读作：三次根号8等于2
-27的立方根： = 3 读作：三次根号负27等于负3
0的立方根：= 0
3.正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0
4.因为 = -2， -= -2 所以 = -
因为 = -3， -= -3 所以 = -
即： = - 如： = -， = -
三、关于逆运算
1.开平方与平方互为逆运算。如：3=9，=3
（1）所以：（）= 4（把4开平方再平方，逆运算互相抵消，相当于4没有变化）
同样：（）= 9 ，（）= 2 ，（）= 7 ， （）= 11
注意：（）是没有意义的【因为负数没有算术平方根，没有意义】
（2）还有：==3 ，=5 ，=6
但是要注意： ≠ - 5 ，而是：==5
2.开立方与立方互为逆运算。如：2= 8 ，= 2
所以：（）= 8（把8开立方再立方，逆运算互相抵消，相当于8没有变化）
同样：（）= 27 ，（）= 5 ， （）= -19
== 2 ，=4 ，= -5 ，= -6
四、实数
1.有理数包括整数和分数，而整数和分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
如：3=3.0 ， -=-0.6 ， =0.81
2. 无限不循环小数叫做无理数。如：，-，π，0.12345… ，2.1010010001…
3.有理数和无理数统称实数。
正有理数：2, 0.3，，…
有理数 0
负有理数：-3，-3.1，-…
正无理数：，π，0.12345…
负无理数：-，-π，-0.12345…
正实数：2, 0.1，，，π，0.12345…
实数 0
负实数：-2，-7.3，-，-，-π，-0.12345…
4.当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
的相反数是 -， π-3.14的相反数是 -（π-3.14） ， |-|=
五、实数运算
1. 3+2=（3+2）= 5 2. 3-2=（3-2）=
3. |- ︳+ 2 = - + 2 = +
4. （+2）= · + 2 =()+ 2 = 2 + 2
5. （+）=· +· =() + = 3 + 1 = 4
第十四章 一次函数
一、常量和变量、自变量与函数
1.汽车以60千米/小时的速度行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，
用式子表达为：s=60t 。在这个变化过程中60是不变的，叫常量；s和t
的值是变化的，叫变量。给定一个t的值，就有唯一的一个s的值与t的
值对应。我们就说t是自变量，s是t的函数。
2.一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定
的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
3.在上例中，我们是用式子s=60t来表达s与t之间的函数关系的。这种用数学式子
表示函数的方法叫做解析式法（或叫关系式法）
4. 在函数s=60t中，当t=3时，s=180，那么180叫做自变量t的值等于3时的函数值。
5. 在上例s=60t中，因为自变量t是表示时间，它不会是负数，所以t≥0
那么t≥0叫做函数s=60t中自变量t的取值范围。
例如：函数y=2x+3 自变量的取值范围是：全体实数
函数y= 自变量的取值范围是：x≠1
函数y= 自变量的取值范围是：x≥2
确定函数自变量的取值范围注意两点：① 使解析式有意义。② 使实际问题有意义。
二、一次函数
1.一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
如：y=2x ,y=-2x（右边是自变量的一次单项式）
2.画出下列正比例函数的图象
（1）y = 2x
解：列表：（在自变量x的取值范围内选取适当的值，算出对应的函数值）
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
描点：（把每组对应值都看成点的坐标，在坐标系中描出这些点）
y y = 2x
连线：（顺次连接各点） 得一条直线， ·
这条直线叫函数y=2x的图象。 ·6
·
·4
·
·2
·
· · · · · · · · · · · · · · ·
· x
·-2
·
·-4
·
·-6
所以函数y=2x的图象也叫直线y=2x
y=-2x y
·6
（2）y=-2x ·
与上面画法一样，可以得到 ·4
函数y = - 2x的图象。 ·
·2
·
· · · · · · · · · · · · · x
·
·-2
·
·-4
·
·-6
3. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx
（2）当k＞0时,直线y=kx经过第一、三象限。从左向右上升,即y随x的增大而增大。
当k＜0时,直线y=kx经过第二、四象限。从左向右下降,即y随x的增大而减小。
4.一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
当b=0时，就是正比例函数y=kx，即：正比例函数是特殊的一次函数。
5.画函数y = 2x + 1和y = -2x + 1的图像。
列表： x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 …
x … -2 -1 0 1 2 …
y=-2x+1 … 5 3 1 -1 -3 …
描点，连线
y y=2x+1 y=-2x+1 y
· ·
· ·
·4 ·4
· ·
·2 ·2
· ·
· · · · · · · · · x · · · · · · · · · x
· ·
·-2 ·-2
· ·
·-4 ·-4
· ·
· ·
6.一次函数y=kx+b（k≠0）的性质
（1）图像是一条直线。
（2）当k＞0时,从左向右上升,即y随x的增大而增大。
当k＜0时,从左向右下降,即y随x的增大而减小。
三、正比例函数与一次函数的联系
1.画函数y = 2x , y = 2x + 3 , y = 2x - 3的图象。
列表：
x -2 -1 0 1 2
y=2x -4 -2 0 2 4
y=2x+3 -1 1 3 5 7
y=2x-3
y=2x+3
y=2x
·
·6
·
·4
·
·2
·
· · · · · · · · ·
·
·-2
·
·-4
·
·-6
·
① 对于每一个确定的x的值，函数y=2x+3的值都比函数y=2x的值大3，反映在图象
上就是点的位置高3个单位。
② 即直线y=2x+3上的所有点都比直线y=2x上相应的点高3个单位。（整体来说就是
直线y=2x+3比直线y=2x高3个单位）
③ 把直线y=2x向上平移3个单位就得直线y=2x+3
④ 直线y=2x+3与直线y=2x是平行，平行的原因是k值都等于2
猜想：直线y = 2x - 3在什么地方
（在表中算出y=2x-3的值，画出图象，进行观察、总结）
2. 画函数y = -2x , y = -2x + 3 , y = -2x - 3的图象。
列表：（因为一次函数的图像是直线，所以用两个点就够了）
x 0 1
y = -2x 0 -2
y = -2x + 3 3 1
y = -2x - 3 -3 -5
y=2x+3
y=2x
y=2x-3
2.归纳
（1）对于直线y=kx与直线y=kx+b ，若k= k ，则直线y∥直线y
直线y可以通过平移直线y来得到。b＞0时，向上平移b个单位；
b＜0时，向下平移∣b∣个单位。
（2）直线y=kx+b与y轴交于点（0，b），b叫直线y=kx+b在y轴上的截距。
（b有正负，即截距有正负）
（3）对于直线y=kx+b
当k＞0 ，b＞0时，经过第 象限。
当k＞0 ，b＞0时，经过第 象限。
当k＞0 ，b＞0时，经过第 象限。
当k＞0 ，b＞0时，经过第 象限。
四、用待定系数法求函数解析式
1.先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，叫做待定系数法。
2.已知一次函数的图像过点（3,5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k、b这两个系数未知，待定）
得： 3k+b=5 解得： k=2
-4k+b=-9 b=-1
∴ 解析式为 y=2x-1
3.已知正比例函数y=kx ，当x=-2时，y=-1 。求解析式。
4.已知一次函数y=kx+b ,在x=4时，y的值为9 ，在x=6时的值为3 。求解析式。
5.已知y与x成正比例，且x=3时，y=4 ，求关系式。
6.已知y与x-1成正比例，且x=2时，y=-3 ，求y与x的函数关系式。
7.已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7 ，求y与x的函数关系式。
8.直线y=(2m-3)x+m-5与y轴交点的纵坐标为1 ，则m= 。
9.一次函数y=x+m-1的图象与x轴的交点到y轴的距离为4,则此一次函数的解析式为
五、一次函数与一元一次方程和一元一次不等式
1.函数y=2x-4的图象如图所示 y=2x-4
直线y=2x-4与x轴的交点是A（2,0）
（1）点A（2,0）在直线y=2x-4上，意味着
x=2时，可以使y=0 A（2,0)
（2）y=0就是2x-4=0 ，即x=2时，2x-4=0
就是：x=2是方程2x-4=0的解。
总结：函数y=2x-4的图象与x轴的交点A（2,0）
的横坐标x=2就是方程2x-4=0的解。
2.如图，方程mx+2=0的解是 ，m=
y
2 不等式mx+2＞0的解集是
x 不等式组0≤mx+2≤2的解集是
y=mx+2
六、用图象法解二元一次方程组
解方程组 x+2y=4 ① y=2x-3
2x-y=3 ② y=-x+2
解：把方程①化为函数形式：y=-x+2
把方程②化为函数形式：y=2x-3
在坐标系中画出直线y=-x+2和直线y=2x-3
两直线交点的坐标为（2，1）
则 x=2 是方程组 x+2y=4 ①
y=1 2x-y=3 ② 的解 （交点坐标为什么就是方程组的解）
不等式mx+2＞0的解集是 不等式-x+2＞2x-3的解集是
七、一次函数应用题
第十五章 整式的乘除与因式分解
一、幂的运算公式
1.同底数幂相乘：底数不变，指数相加。·=
2.幂的乘方：底数不变，指数相乘。=
3.积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。=
4.商的乘方：分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。=
二、整式的乘法
1. 单项式乘以单项式：系数乘以系数，相同字母乘以相同字母。对于只在
一个单项式里含有的字母，则连同它的指数保留下来。
如，(2x）·(-5xy)=8x·(-5xy)=[8×(-5)]·(xx)·y=-40xy
2. 单项式乘以多项式：用单项式分别去乘以多项式的每一项。
如，（-4x）·(2x+3x-xy)=（-4x）·(2x)+（-4x）·(3x)+（-4x）·(-xy)
= -8x-12x+4xy
-2a·(ab-b)= -ab + 2ab
3.多项式乘以多项式：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。
如，(-5m+2)(4m-3) = -20m+ 15m + 8m - 6 = -20m+ 23m - 6
4.乘法公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a-b
如，(3m+2n)(3m-2n)=(3m)-(2n)= 9m-4n
(-4a-1)(4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)-(4a)=1-16a
完全平方和公式：（a + b）= a + 2ab + b
如，(4x+3y)=(4x)+ 2×4x×3y + (3y)= 16x+ 24xy + 9y
完全平方差公式：（a - b）= a - 2ab + b
如，(-2m-1)=(-2m)- 2×(-2m)×1 + 1= 4m+ 4m + 1
三、整式的除法
1.同底数幂相除：底数不变，指数相减。÷=(a≠0)
2. =1 (≠0) = (≠0 ,p是正整数)
如，(-3)=1 3= =
3.单项式除以单项式：系数除以系数，同底数幂和同底数幂相除。
对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数保留下来。
如，-15abc÷5ab=[(-15)÷5]·(a÷a)·(b÷b)·c =-3ac
4.多项式除以单项式：用多项式的每一项去除以单项式。
如，(25x+ 15xy - 20x)÷(-5x)
=[25x÷(-5x)]+15xy÷(-5x)+(-20x)÷(-5x)
= -5 -3xy + 4x
(-4a + 12ab - 8ab)÷(-4a) = a - 3b + 2ab
四、因式分解
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解【也叫分解因式】。
2.因式分解的方法
（1）提公因式法：把多项式中各项的公因式提取出来。【提公因式就是做除法】
如，3a- 9ab中，3a和- 9ab这两项共同的因式是3a ,
从3a中提取3a就是做除法：=，即提取后剩下，同理：=-3b
∴3a- 9ab = 3a(a-3b) 【这个因式分解就完成了】
（2）运用公式法：把乘法公式反过来就是因式分解的过程。
乘法公式反过来就成了： a-b = (a+b)(a-b)
a + 2ab + b= （a + b）
a - 2ab + b= （a - b）
这三个公式从左到右就是因式分解的过程。它们可以用来进行因式分解。
如， 1-a=(1=a)(1-a) 8mn-2n=2n(4m-1)=2n(2m+1)(2m-1)
x+6x+9=(x+3) (m+n)-4(m+n)+4=[(m+n)-2]=(m+n-2)
（3）分组分解法：把多项式中能够提取公因式的项，或能够运用公式的项分成一组，
以便用提取公因式法和运用公式法进行因式分解。
如，xy-x+y-1=(xy-x)+(y-1)=x(y-1)+(y-1)=(y-1)(x+1)
-a+ 2ab + ac – bc - b= -( a-2ab+ b)+(ac-bc)
=-(a-b)+c(a-b)
=(a-b)[-(a-b)+c]
=(a-b)(-a+b+c)
（4）十字相乘法
如: 把x+5x+6因式分解：把第一项x和第三项6都分成两个因式的积：
把x分成x和x相乘，6分成2和3相乘，并且竖着写：
x 2
x 3
然后交叉相乘，再把乘得的积相加：3x+2x=5x，相加得到的5x与多项式x+5x+6
的中间项相等，说明算对了。最后横着写 ∴ x+5x+6 =(x+2)(x+3)
因式分解:① y-7y+12=(y -3)(y -4) ② 2x-x-6=(2x+3)(x-2)
y -3 2x 3
y -4 x -2
-4y - 3y = -7y -4x + 3x = - x
注意：第①题中的12不能分成-2乘以-6因为这样乘完后相加得不到-7x
第十六章 分 式
关于分式
1.一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫分式。
也就是说，分母中含有字母的式子是分式。
2.整式和分式统称为有理式。
3.分母不为0时分式才有意义。
如，当x≠0时，分式有意义。 当x≠2时，分式有意义。
当x≠-时，分式有意义。 当x≠y时，分式有意义。
4.分式的基本性质:分式的分子和分母都乘(或除以)不为0的整式,分式的值不变。
如：=（分子、分母都乘以） =（分子、分母都除以）
5.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
（1） = =
（2）==
6. 不改变分式的值，使下列各式的分子与分母都不含负号。
（1）==【分子、分母都乘以-1】
（2）=(-1)× = -【分式前面乘以-1就是乘到分子上】
（3）===
【总结：分式本身的符号、分子的符号、分母的符号，这三个符号中
任意改变其中两个，分式的值不变】
如：=【同时改变了分子和分母的符号】
=【同时改变了分子的符号和分式本身的符号】
=【同时改变了分子和分母的符号】
二、分式的乘除法
1.约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去。【即：分子、分母同时除以公因式】
如： = 【约去公因式5abc】
= = 【约去公因式（x+3）】
= = 2(x－y)【约去公因式3(x－y)】
= = 【约去公因式(x+3)】
注意：分式中出现多项式时，要先因式分解，才容易看出公因式。
【分子、分母没有公因式的分式叫最简分式。约分后的分式应该是最简分式】
2.分式乘法：分子乘分子、分母乘分母。能约分的要约分。
如：（1）· = = 又：· = · =
【先约去公因式，再乘】
（2）· =
=
=
又：· = =
【先约去公因式，再乘】
3.分式的除法：除以一个分式，等于乘以它的倒数。
如：（1）÷ = · = = －
（2）÷ = ·( = －·(
= ·
= －
（3） ÷÷（x－2y）
= ··
= ··
=
4.分式的乘方：分子、分母分别乘方。
如：() = =
÷· = ·· = －
三、分式的加减法
1.同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减。
如：+===
－===
2.异分母的分式相加减需要先通分，变成同分母的分式，再加减。
3.通分：把分母不相同的分式化成分母相同的分式。
4.通分需要先找最简公分母。找最简公分母的方法：
（1）最简公分母的的系数取各系数的最小公倍数。
（2）字母取指数大的。
（3）单独的字母参加最简公分母。
5.计算：（1）+=+=+=
（2）=
==
（3）（a+2）- =（a+2）+=+=
四、整数指数幂
1.我们以前学过幂的运算公式：
① 同底数幂相乘：底数不变，指数相加。·=
② 幂的乘方：底数不变，指数相乘。=
③ 积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。=
④ 商的乘方：分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。=
⑤ 同底数幂相除：底数不变，指数相减。÷=(a≠0)
⑥ =1 (≠0) ⑦ = (≠0 ,p是正整数)
上面公式中的指数m和n是负数时公式仍然成立。如：
( ==
2.科学记数法。
如：2300=2.3×10 420600=4.206×10 2304.23=2.30423×10
（指数＝原数的整数位数减1）
又如：0.0023=2.3×10 -0.000205 = -2.05×10 0.01=1×10
0.0001=10
（绝对值小于1的数的科学记数法：指数是负的，到底是负几呢，
是第一个不是0的数前面所有的0的个数。 ( http: / / www.21cnjy.com )包括小数点前面的那个0）
五、分式方程
1.分母中含有未知数的方程叫分式方程。
2.解分式方程：方程两边同时乘以最简公分母，达到去分母的目的，
把分式方程化为整式方程再解方程。
3.最简公分母由各个分母的所有因式组成，相同的因式取指数大的。
4.解方程组：
（1）＝ （2）=
解:方程两边同时乘以最简公分母x(x-2) 解：=
x=3(x-2) 两边乘以(x+5)(x-5)得
解这个方程 x+5=10
x=3x-6 x=5
x=3 检验：把x=5代入最简公分母(x+5)(x-5)
检验：把x=3代入原方程： 得0
左边==1 ，右边==1 ∴ 原方程无解
左边=右边 【x=5是原方程的增根】
∴ x=3是原方程的解（根）
（3） （4）+=
解：方程两边乘以(x-1)(x+2)得 解：
x(x+2) - (x-1)(x+2)=3 7(x-1)+(x+1)=6x
x+2x－(x+2x－x－2)＝３ 7x-7+x+1=6x
x+2x－(x+x－2)＝３ 2x=6
x+2x－x－x+2＝３ x=3
x+2＝３ 经检验x=3是原方程的解
x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0
∴ 原方程无解
【x=1是原方程的增根】
六、列分式方程解应用题
第十七章 反比例函数
一、反比例函数：一般地，形如（k为不等于0的常数）的函数叫反比例函数。
x是自变量，y是x的函数。自变量x的取值范围是：x≠0
二、反比例函数的图像和性质
1.画反比例函数和的图像
（1）列表
x -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6
y= -1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1
（2）描点、连线
y
·6
·
·4
·
·2
·
· · · · · · · · · · · · · x
·
·-2
·
·-4
·
·
（1）列表：
x -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6
y=- 1 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1
（2）描点、连线
y
·6
·
·4
·
·2
·
· · · · · · · · · · · · · x
·
·-2
·
·-4
·
· ·
2.反比例函数（k为不等于0的常数）的图像的性质：
（1）图像叫双曲线，有两个分支。
（2）当k＞0时，图像分别在一、三象限，在每个分支内y随x的增大而减小。
【图像从左向右呈下降趋势】
（3）当k＜0时，图像分别在二、四象限，在每个分支内y随x的增大而增大。
【图像从左向右呈上升趋势】
（4）双曲线的两个分支关于原点成中心对称。
（5）双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不能到达。
三、如图，点P(m,n)在双曲线上， y
过P点作PA⊥x轴，PB⊥y轴。
求长方形OAPB的面积 ( http: / / www.21cnjy.com )
∵ 点P(m,n)在双曲线上 0 x
∴ n= 即 mn=4
∴ Ｓ=OA×OB=mn=4 【实际上,在图像上任取一点， (比如H)向两坐标轴作垂线，所围成的长方形面积都等于4】
第十八章 勾股定理
一、勾股定理
1. 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如图，在直角三角形ABC中， A
a和b是直角边，c是斜边
有：
B C
2. 勾股定理公式的变形：
（1） （2） 等等。
3.利用勾股定理画无理数线段
如图，在数轴上画长度为的线段
① 在数轴上从原点向右截取线段OA=3
② 过A点作直线ｍ⊥x轴
③ 在直线ｍ上截取AB=2
④ 连接OB，
则线段OB=为所求。
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形就是直角三角形。【最长的边是斜边，它对的角是直角】
2.如图，在△ABC中， A
如果 AB=5,BC=3,AC=4
那么：
∵ 3
即：BC+AC=AB
则：△ABC是直角三角形，并且AB是斜边，∠C是直角。
3.象3,4,5这样的三个整数，其中两个数的平方和等于第三个数的平方，
则这样的三个整数叫勾股数。如：6,8,10； 5,12,13； 7,24,25；等等。
原命题和逆命题
1.看下面的两个命题：
（1）同位角相等，两直线平行。 （2）两直线平行，同位角相等。
这两个命题的题设和结论互相颠倒,这样的两个命题叫互为逆命题.【简称：互逆命题】
2. （1）同位角相等，两直线平行。（2）两直线平行，同位角相等。
上面的两个互逆命题都是定理，其中一个叫原定理另一个叫逆定理。
3.注意：并不是所有的定理都有逆定理【∵有的定理的逆命题是错误的】
第十九章 平行四边形
一、平行四边形
1.两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
如图，在四边形ABCD中
若，AD∥BC, AB∥DC, 则四边形ABCD是平行四边形 A D
记作：□ ABCD 读作：平行四边形ABCD
对边：AB和DC、AD和BC B C
对角：∠A和∠C、∠B和∠D A D
对角线：AC和BD（如图）
2.平行四边形的性质 B C
（1）平行四边形对边平行。 （2）平行四边形对边相等
（3）平行四边形对角相等。 （4）平行四边形邻角互补。
如图 A D
AB∥DC,AD∥BC(对边平行)
AB＝DC,AD＝BC(对边相等) B C
∠A＝∠C,∠B＝∠D(对角相等)
∠A+∠B=180°, ∠A+∠D=180°等(邻角互补)
（5）对角线互相平分
如图， ABCD中， A D
对角线AC和BD相交于O点， O
则有：OA=OC，OB=OD B C
3. 平行四边形的判定定理
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
如图，若AB∥DC,AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
如图，若AB=DC,AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形。
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
如图，若∠A＝∠C,∠B＝∠D，则四边形ABCD是平行四边形。
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
如图，若OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD是平行四边形。
O
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
如图,若AB∥DC并且AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形。
如图,若AD∥BC并且AD=BC,则四边形ABCD是平行四边形。
二、三角形的中位线
1.定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点
则线段DE叫△ABC的中位线。
2. 三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如图，线段DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，DE=BC
3.如图，点A是直线ｍ外的一点，过A作AE⊥ｍ于E，
则垂线段AE叫点A到直线ｍ的距离。
4.如图，直线a∥b，点A是直线a上的一点，过A作AE⊥b于E，则垂线段AE叫
两条平行线间的距离。
平行线间的距离不只一处，过a上另一点B作BF⊥b于F，则垂线段BF也叫
两条平行线a、b间的距离。
平行线间的距离处处相等。即AE=BF
三、矩形
1.有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
如图，若□ ABCD中, 有一个角∠B=90°，则它是矩形。
2.矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的所有性质（因为矩形首先是平行四边形，只不过
它是特殊的平行四边形，特殊在有一个角是直角）
（2）矩形的四个角都是直角，
（3）矩形的对角线相等。
3.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
如图，已知，矩形ABCD。
∵ 矩形的对角线相等
∴ AC=BD
又∵ 矩形的对角线互相平分 看Rt△ABC：O为斜边AC的中点，
∴ OA=OC=AC,OB=OD=BD OB为斜边AC上的中线
∴ OA=OC=OB=OD=AC=BD 而OB=AC
4.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
如图，若四边形ABCD是平行四边形,并且有一个角∠B=90°
则它是一个矩形
（2）有三个角是直角的四边形是矩形。
如图，四边形ABCD中,若∠A=∠B=∠C=90°,
则四边形ABCD是矩形。
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
如图，若四边形ABCD是平行四边形，
并且有一组邻边AC=BD，则它是一个矩形。
四、菱形
1.有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
如图，若□ABCD中，有一组邻边AB=BC
则它是一个菱形。
2.菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的所有性质。
（2）菱形的四条边都相等。
如图，若四边形ABCD是菱形，则AB=BC=CD=DA
（3）菱形对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
如图，若四边形ABCD是菱形，则AC⊥BD，OA=OC，OB=OD
并且，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
（4）菱形的面积等于对角线乘积的一半。
如上图，菱形ABCD的面积=AC·BD
3.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
如图，若四边形ABCD是平行四边形，
并且有一组邻边AB=BC，则它是一个菱形
（2）四边相等的四边形是菱形。
如图，四边形ABCD中，
若AB=BC=CD=DA，则它是一个菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
如图，若四边形ABCD是平行四边形，并且AC⊥BD
则它是一个菱形
五、正方形
1. 有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
如图，若□ ABCD中, 有一个角∠B=90°，并且有一组邻边AB=BC
则它是一个正方形。
2.正方形的性质（正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质）
（1）正方形既是矩形又是菱形。
（2）正方形的对边平行，四边相等。
（3）正方形的四个角都是直角。
如图， AB∥DC,AD∥BC
正方形ABCD AB=BC=CD=DA
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
（4）正方形的对角线互相垂直平分，且相等。每一条对角线平分一组对角。
如图，正方形ABCD中，
AC⊥BD，OA=OC=OB=OD=AC=BD，AC=BD
AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
3.正方形的判定
（1）有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
如图，若□ ABCD中, 有一个角∠B=90°，并且有一组邻边AB=BC
则它是一个正方形。
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
如图，若四边形ABCD是矩形，并且有一组邻边AB=BC
则它是正方形。
（3）有一个角是直角的菱形是正方形。
如图，若四边形ABCD是菱形，并且有一个角∠B=90°
则它是正方形。
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形。
如图，若四边形ABCD是矩形，并且对角线AC⊥BD
则它是正方形。
（5）对角线相等的菱形是正方形。
如图，若四边形ABCD是菱形，并且对角线AC=BD
则它是正方形。
（6）想证明一个四边形是正方形，就要证明它既是矩形又是菱形。
六、梯形
1.有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。
如图，四边形ABCD中AD∥BC，AB不平行于DC
则四边形ABCD是一个梯形。
平行的两边叫做底，较短的上底，较长的叫下底。
不平行的两边叫腰。
两底之间的距离叫梯形的高。
2.有一个角是直角的梯形叫直角梯形。
如图，梯形ABCD中，AB⊥BC，
则梯形ABCD就是一个直角梯形。
3. 两腰相等的梯形叫等腰梯形。
如图，梯形ABCD中，AB=DC
则梯形ABCD就是一个等腰梯形。
4.等腰梯形的性质
（1）等腰梯形同一底上的两个角相等。
如图，等腰梯形ABCD中，∠A =∠D，∠B =∠C
（2）等腰梯形的对角线相等。
如图，等腰梯形ABCD中，AC=BD
5.梯形常用辅助线
【作高】
【平移腰,过点D 【平移对角线,过点D
【延长腰】 作DE∥AB,交BC于E】 作DE∥AC,交BC的
延长线于E】
6. 等腰梯形的判定
（1）同一底上的两个角相等梯形是等腰梯形。
如图，梯形ABCD中，AD∥BC
若∠B =∠C，（或∠A =∠D）
则梯形ABCD是等腰梯形。
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形。
如图，梯形ABCD中，AD∥BC
若AC=BD，则梯形ABCD是等腰梯形。
7.梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线。
（1）如图，梯形ABCD中，点D、E分别是两腰
AB和DC的中点，则线段DE叫梯形ABCD的中位线。
（2）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
如上图，DE是梯形ABCD的中位线，则DE∥BC，并且DE=(AD+BC）
1
2
3
4
E
F
E
F
O
O
B
C
F
D
A
B
C
y
x
A
B
C
O
P
Q
R
O
m
n
实数
无理数
2
4
-2
-4
0
2
4
-2
-4
-2
-4
2
4
0
-2
-4
2
4
0
4
2
-4
-2
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-5
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
3x + 2x = 5x
0
2
4
6
-6
-2
-4
-6
y=
0
2
4
6
-6
-2
-4
-6
y= -
P
H
A
B
a
b
c
ｍ
B
A
O
x
0
1
-5
-4
-3
-2
-1
2
3
4
5
3
4
5
B
C
ABCD
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
A
E
ｍ
B
F
A
E
b
a
A
B
C
D
A
B
C
D
O
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
O
A
C
B
D
A
C
B
D
A
C
B
D
O
A
C
B
D
A
C
B
D
A
C
B
D
O
A
B
C
D
C
A
D
B
A
B
C
D
O
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
腰
腰
上底
下底
高
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
D
C
E
A
B
D
C
E
A
B
C
D
A
B
C
D
D
A
D
E
C
B
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