2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题 (二)
数 学
本试卷共 4页，19小题，满分 150分。考试用时 120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔在答题
卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上
要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1. 2x- 1
6
x 的展开式中常数项是
A. 15 B. 160 C. - 60 D. - 160
2.已知向量a，b满足a= 3,1 ，b= λa λ∈R ，且a b= 1，则 λ=
A. 14 B.
1
2 C. 2 D. 4
3. 等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0．若 a2, a3, a6成等比数列，则数列 an 的前 5项和为
A. - 15 B. - 3 C. 5 D. 25
4.下列命题为真命题的是
A. a> b b+c b若 ，则 a+c > a B.若 a> b,c> d，则 a- d> b- c；
C.若 a< b< 0，则 a2< ab< b2 D. a> b 1 > 1若 ，则
a-b a；
5.已知函数 f x π π = sin 2x+ 4 ，则“α= 8 + kπ k∈Z ” 是“f x+α 是偶函数，且 f x-α 是奇函数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.如图所示,某同学制作了一个工艺品.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 8的正方体的六个面所
截后剩余的部分 (球心与正方体的中心重合)．若其中一截面圆的周长为 4π，则球的体积为
A. 40 5π B. 80 5π C. 160 5π D. 200 5π3 3 3 3
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{#{QQABCYAQogCIAJBAABgCAwXACAGQkBECAIoOwAAIsAAAyQFABAA=}#}
x2 y
2
7.已知双曲线C: 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的右焦点为F，一条渐近线的方程为 y= 2x，直线 y= kx与C在a b
第一象限内的交点为P．若PF=PO，则 k的值为
A. 5 3 2 5 4 52 B. 2 C. 5 D. 5
8. b已知直线 y= kx+ b恒在曲线 y= ln(x+ 2)的上方，则 的取值范围是
k
A. 3 4 1,+∞ B. 4 ,+∞ C. 0,+∞ D. 5 ,+∞
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.已知m,n为异面直线，m 平面 α，n 平面 β．若直线 l满足 l⊥m，l⊥ n，l α，l β，则下面结论错
误的是
A. α β，l α B. α与 β相交，且交线平行于 l
C. α⊥ β，l⊥ β D. α与 β相交，且交线垂直于 l
2 y2
10.已知椭圆 E : x2 + 2 = 1(a > b > 0)的左、右焦点为 F1 , F2，过 F2 的直线与 E交于 M ,N两点 .若a b
cos∠F 71MF2= 9 ， MN = MF1 ，则
MF△ A. F1MN的周长为 4a B.
2 = 1
NF2 2
C. MN的斜率为± 3 D.椭圆E 3的离心率为 3
11.已知函数 f x ，g x 及导函数 f x ，g x 的定义域均为R．若 g(x+ 1)是奇函数，且 f ' x = g' x+1 ，
g x-1 - f 4-x = 2，则
A. f 0 = 2 B. f x 是偶函数
2024 2024
C. g n =0 D. f n =-4048
n=1 n=1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 1+ i z= 4i，z是关于 x的实系数方程 x2+mx+n= 0的一个根，则mn= ．
13.已知△ABC中，点D在边AC上，∠B= 60°，sinA= 3sinC，AC= 7，则△ABC的面积为 ；若
AD= 2DC，则BD= .
14.如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔 1 s等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动 5次．该质点在有且仅有一次经过-1位置的条件下，共经过两次 1位置的概率为 ．
·数学试卷 第2页（共4页）·
{#{QQABCYAQogCIAJBAABgCAwXACAGQkBECAIoOwAAIsAAAyQFABAA=}#}
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
1
如图所示的空间几何体是以AD为轴的 4 圆柱与以ABCD为轴截面的半圆柱拼接而成，其中AD为
半圆柱的母线，点G为弧CD的中点.
(1)求证：平面BDF⊥平面BCG；
(2)当AB= 4 15，平面BDF与平面ABG夹角的余弦值为 5 时，求点E到直线BG的距离.
16.（15分）
阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生 500人，其中男生 300人，女生
200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长 (单
位：小时)，计算得男生样本的均值为 100，方差为 16，女生样本的均值为 90，方差为 19.
(1)如果男、女的样本量都是 25，请估计总样本的均值．以该结果估计总体均值合适吗？为什么？
(2)已知总体划分为 2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本
方差分别为：n,x,s21；m,y,s22．记总的样本的均值为 z，样本方差为 s2．
(i) 1 证明：s2= 2 2 2m+n n s1+ x-z +m s2+
y-z
2 ；
(ii)如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差 (精确到 1)；
(3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布N μ,σ2 ，以(ii)总样本的均值和标准差分别作为 μ和 σ
的估计值．如果按照 16%,34%,34%,16%的比例将阅读时长从高到低依次划分为A,B,C,D四个等级，试确
定各等级时长 (精确到 1)．
附：P μ-σ≤X≤μ+σ ≈ 0.68, 302 ≈ 17, 322 ≈ 18, 352 ≈ 19．
·数学试卷 第3页（共4页）·
{#{QQABCYAQogCIAJBAABgCAwXACAGQkBECAIoOwAAIsAAAyQFABAA=}#}
17.（15分）
已知函数 f x = xeax a>0 ．
(1)求 f x 在区间 -1,1 上的最大值与最小值；
(2)当 a≥ 1时，求证：f x ≥ lnx+ x+ 1．
18.（17分）
已知抛物线C:y2= 4x，直线AB与抛物线C交于A，B两点,O为坐标原点.
(1)若直线AB过C的焦点F.
(i)当△AOB的面积最小时，求直线AB的方程；
(ii)当 AB = 8，记△AOB的外接圆Γ与C的另一个交点为P，求 OP ；
(2)设圆 (x- 7)2+ (y- b)2= r2(b∈R，r> 0)与C交于四点O,Q,A,B，记弦AB，OQ的中点分别为
M，N，求证：线段MN被定点平分，并求定点坐标.
19.（17分）
a +d, n N*n
若无穷项数列 an 满足 an+1= t n (d,q,t为常数，t∈N
*且 t≥ 2)，则称数列 an 为“M (t)
qa , ∈N*n t
数列”.
(1)设 d= 1，q= 1，若首项为 1的数列 an 为“M (3)数列”，求 a2024；
(2)若首项为 1的等比数列 bn 为“M (t)数列”，求数列 bn 的通项公式及前n项和Sn；
(3)设 d= 1，q= 2，若首项为 1的数列 cn 为“M (5)数列”，记数列 cn 的前n项和为Tn，求所有满足
T5n= 5n× c5n- 10n的n值.
·数学试卷 第4页（共4页）·
{#{QQABCYAQogCIAJBAABgCAwXACAGQkBECAIoOwAAIsAAAyQFABAA=}#}2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题 (二)参考答案
1.【答案】D
1 6 1 r
【解析】 2x- x 的展开式的通项公式为T =C
r
r+1 6 2x
6 -r - x = -1
r 26-rCrx6-2r6 ，
令 6- 2r= 0，得 r= 3，故常数项为 -1 3 23C36=-160.故选：D
2.【答案】A
【解析】a b= λa2= 1,所以 4 λ= 1, λ= 1即 4
3.【答案】A
【解析】设等差数列 an 的公差为 d，则 a2= 1+ d，a3= 1+ 2d，a6= 1+ 5d，
由题意可知， 1+2d 2 = 1+d 1+5d ，即 d2=-2d，
解得：d=-2或 d= 0(舍)，
5×4
则数列 an 的前 5项和S5= 5a1+ 2 d= 5- 20=-15.故选：A
4.【答案】B
【解析】对于A,可以取 a= 2,b= 1,c=-1，所以A错误.
对于B：∵ c> d，∴-d>-c，因为 a> b，所以 a- d> b- c，故B正确；
对于C：取 a=-2，b=-1时，则 a2= 4，ab= 2，b2= 1，则 a2> ab> b2，故C错误；
对于D：当 a= 1,b=-1 1时， = 1 1 = 1 1 < 1， ，则 ，故D错误；
a-b 2 a a-b a
故选：B.
5.【答案】A
f x+α = sin 2x+ π π π π kπ【解析】若 4 +2α 是偶函数，则 2α+ 4 = 2 + kπ k∈Z ,即 α= 8 + 2
π π π kπ
若 f x-α = sin 2x+ 4 -2α 是奇函数，则 4 - 2α=nπ n∈Z ，即 α= 8 + 2
π
所以“α= 8 + kπ k∈Z ” 是“f x+α 是偶函数，且 f x-α 是奇函数”的充分不必要条件.
6.【答案】C
【解析】设球的半径为R，截面圆的半径为 r，两个截面圆间的距离为 2d，
因为截面圆的周长为 4π，可得 2πr= 4π，解得 r= 2，
又因为该工艺品可以看成是一个球被一个棱为 8的正方体的六个面所截后剩余的部分，
所以两截面圆之间的距离为 2d= 8，解得 d= 4，
根据球的截面的性质，可得R2= r2+ d2= 22+ 42= 20，
4π 160 5π
所以球的体积为V= 33 R = 3 .故选：C.
7.【答案】C
b b
【解析】由题意知，双曲线E的两条渐近线方程分别为 y= a x，y=- a x，
由PF=PO P c得： 2 ,a ，且 c= 5a
点P在直线 y= 2x上 a= k× c2 = k×
5a
2 ，
2 5
解得：k= 5 ,
故选：C
8.【答案】A
【解】设直线 y= kx+ t与曲线切于点 x0,ln x0+2
1 x
切线方程为 y= x +2 x+ ln x0+2 -
0
0 x +2
，
0
·数学冲刺卷（二）参考答案 第1页（共7页）·
{#{QQABCYAQogCIAJBAABgCAwXACAGQkBECAIoOwAAIsAAAyQFABAA=}#}
k= 1 x b t所以有 x +2，t= ln x0+2 -
0
x +2 ,所以 > =k k x0+2 ln x0+2 - (x0+ 2) + 20 0
设 g x = xlnx- x+ 2，易求得 g x ≥ g 1 = 1, b所以 > 1.k
故选：A．
9.【答案】ACD
【解析】假设 α β，因为m⊥平面 α,n⊥平面 β，则m n，
这与直线m,n为异面直线矛盾，故A错误；
假设 l⊥ β，因为n⊥平面 β，所以n l，这与 l⊥n矛盾，故C错误；
设 α∩ β= a，作 b m，使得 b与n相交，记 b与n构成平面 γ，如图，
因为m⊥平面 α，a α，则m⊥ a，又 b m，故 b⊥ a，
同理：n⊥ a，而 b与n构成平面 γ，所以 a⊥ γ；
因为 l⊥m，又 b m，故 l⊥ b，又 l⊥n，b与n构成平面 γ，所以 l⊥ γ，
故而 l a，即 α与 β的交线平行于 l，故B正确，D错误；
故选：ACD
10.【答案】ABD
【解】点F1关于∠F1MF2平分线的对称点N在直线MF2上，
又点F1关于∠F1MF2平分线的对称点N也在椭圆E上，
所以点N为直线MF2与椭圆E的交点，故△F1MN的周长为 4a，故A正确；
设∠F1MF2的平分线交F1N于点D，设∠NMD= α,α∈ 0, π2 ，
则 cos2α= 2cos2α- 1= 79 cos
2α= 89 cosα=
2 2
3 ，
1
sinα= 1-cos2α= 1 1
ND 2 NF1 NF1 2
所以 3 ，而 sinα= 3 = = = ， NM NM NM 3
设 NF1 = 2m,则 NM = 3m= MF1 ，于是 NF1 + NM + MF1 = 8m= 4a，
所以m= a 32 ， NF1 = a， NM = 2 a， NF2 = a， MF =
a
2 2 ，
MF2 = 1所以 2 ，故B正确； NF2
在△F1MF2，由余弦定理可得： F 2 2 21F2 = MF1 + MF2 - 2 MF1 MF2 cos2α，
则 4c2= 94 a
2+ 14 a
2- 2 3 1 7 22 a 2 a 9 ，则 a = 3c
2 3，所以 e= 3 ，故D正确；
显然MN的斜率为± 2，C错误.故选：ABD
【答案】CD
【解析】因为 f x = g x+1 ，所以 f x + a= g x+1 + b a,b∈R ．
又因为 f 3-x + 2= g x ，所以 f x + 2= g 3-x ．
于是可得 g 3-x - 2+ a= g x+1 + b，令 x= 1，
则 g 3-1 - 2+ a= g 1+1 + b，所以 a- 2= b．
所以 f(x) = g x+1 - 2,所以 f 4-x = g 5-x - 2,因为 g x-1 - f 4-x = 2
所以 g x-1 = g(5- x)，即 g x = g 4-x ①
因为 g x+1 是奇函数，所以 g -x+1 =-g x+1 g 2-x + g x = 0②，
g 1 = 0，f 0 = g 1 - 2=-2，所以A错误.
由①②得 g x+4 = g x ,所以函数 g x 是周期为 4的周期函数．
因为 f(x) = g x+1 - 2,因此函数 f x 也是周期为 4的函数．
又 g x 的图像关于点 1,0 对称，所以 f x 的图像关于点 0,-2 对称，所以B选项不正确．
·数学冲刺卷（二）参考答案 第2页（共7页）·
{#{QQABCYAQogCIAJBAABgCAwXACAGQkBECAIoOwAAIsAAAyQFABAA=}#}
因为 g 2-x + g x = 0，令 x= 1，得 g 1 + g 1 = 0，即 g 1 = 0，所以 g 1 = g 3 = 0；
令 x= 0，得 g 2 + g 0 = 0，所以 g 2 + g 4 = 0，所以 g 1 + g 2 + g 3 + g 4 = 0，
2024
所以 g n =0，所以C选项正确．
n=1
因为 f x = g 3-x - 2，所以 f 0 = g 3 - 2=-2，f 2 = g 1 - 2=-2，f 1 = g 2 - 2，
f 3 = g 0 - 2，f 4 = f 0 =-2，
则有 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = g 2 - 2+ -2 + g 0 - 2+ -2 =-8，
2024
可得 f n =-4048，所以D选项正确．故选：CD．
n=1
12.【答案】-32
4i 1- i
【解】已知 1+ i z= 4i，则 z= 4i1+ i = = 2+ 2i，z
= 2- 2i，
1+ i 1- i
z为实系数方程 x2+mx+n= 0的一个根，
方法 1：将 z代入方程有 2+2i 2 +m 2+2i +n= 0，
2m+n=0
化简得 2m+n+ 8+2m i= 0，所以 8+2m= ，解得m=-4,n= 8，所以m n=-320
方法 2：因为 z,z都是方程的根，由韦达定理有m=- z+z =-4，n= z z= 8，所以m n=-32.
13. 3 3【答案】 4 ,
43
3
【解析】由正弦定理由 a= 3c,由余弦定理得 b2= a2+ c2- 2accosB，代入数据得 c= 1,a= 3,
1
所以S= 2 acsinB =
3 3
4
1
方法 1：BD= 3 BA+
2 2
3 BC，所以BD
2=BD2= 13 BA+
2 43
3 BC ，化简可得BD= 3
2 2 2
方法 2：因为 cosA= b +c -a =- 7 2 2 714 ，然后AD= 3 AC= 3 ，在△ABD中，由余弦定理有2bc
BD2=AB2+AD2- 2AB×AD× cosA= 439 ,所以BD=
43
3
14. 2【答案】5
【解】设事件A=“有且仅有一次经过-1”，事件B=“共经过两次位置 1”.按到-1位置需要 1步，3步，5
步分类讨论.记L=向左,R=向右
①若 1步到位为事件A1，则满足要求的是LRRLR，LRRR(第 5步无关)，LLLRL(，LLLL(第 5步无关)，
所以P 3 A1 = 2 P LRRLR +P LRRR = 16
②若 3步到位为事件A2，则满足要求的是RLLRR,RLLLL
所以P A2 = 2P RLLRR = 116
③若 5步到位为事件A3，则满足要求的是RRLLL，RLRLL
P A = 1 1所以 3 32 + 32 =
1
16
所以P A =P A1 +P 5 A2 +P A3 = 16
满足AB的情况有:LRRLR,LRRRL，RLLRR,RLRLL,所以P AB = 18
P AB
P B|A = = 2所以 .
P A 5
15.【解析】(1)过G作GH BC交弧AB上一点，连结GB
则G为弧AB的中点，则GH BC且GH=BC
所以四边形HBCG为平行四边形，所以HB CG
·数学冲刺卷（二）参考答案 第3页（共7页）·
{#{QQABCYAQogCIAJBAABgCAwXACAGQkBECAIoOwAAIsAAAyQFABAA=}#}
由题意可知，FB⊥BC,RtΔABF π为等腰直角三角形，则∠ABF= 4 ;
因为G为弧AB π的中点，则RtΔABH为等腰直角三角形，则∠ABH= 4
所以∠FBH= π2 ，则FB⊥BH
因为HB GC，则FB⊥CG
又因为BC、CG 面BCG，BC∩CG=C
所以BF⊥平面BCG,因为BF 面BDF
所以平面BDF⊥平面BCG.
6分
（2）如图所示建立空间直角坐标系，设AD= a，则
A(0,0,0),F(4,0,0),B(0,4,0),D(0,0,a),G(-2,2,a),
则BD= (0, -4,a),BF = (4, -4,0),AB= (0,4,0),AG= (-2,2,a),BG= (-2, -2,a),
设平面BDF的一个法向量为n
1
= (x1,y1,z1)，则
n1 B D =0 -4y1+az1=0 则 即n BF=0 4x - = 令 y1= 1，n1=4y 0 1,1,
4
a
1 1 1
设平面ABG的一个法向量为n = (x
2 2
,y2,z2)，
n AB=0 4y =0 则
2 2 2即
n 2 AG=0 -2x2+2y2+
令 x = 1，n = 1,0,
az2=0 2 2 a
设平面BDF与平面ABG的夹角为 θ
8
n n 1+ 2
cosθ =
cos = 1 2 = a = 151 2 ，解得 a= 4
n1 n2 1+1+ 162
4 + 51
a a
2
所以G(-2,2,4),B(0,4,0),E(4,0,4)，则BG= (-2, -2,4),BE= (4, -4,4)
2 BE BG= -
2
d BE = 4 21
BG 2 3
4 21
所以点E到直线BG的距离为 3 . 13分
16. 25【解析】(1)总样本的均值为 x= 50 × 100+
25
50 × 90= 95. 1分
用该结果作为总体均值的估计不合适，因为男生和女生的阅读习惯差异比较大，这个样本的分布与总体
的分布相差可能比较大，所以总样本均值作为总体均值的估计有偏差. 3分
n m n m
(2) (i)证明：s2= 1 2 2 1 2 2 m+n xi-z + yi-z
= m+n xi-x+x-z + yi-y+y-z
i=1 i=1 i=1 i=1
= 1
n m
m+ n xi-x
2+(x -z )2+2 x -x
i (x-z) + yi-y 2 +(y -z )2+2 yi-y (y -z )
i=1 i=1
n
∵ 2 x -x (x -z
n
i ) = 2(x
- z ) xi-x = 2(x - z ) x1+x2+x3+ +xn-nx = 0，
i=1 i=1
n
同理 2 yi-y (y-z) = 0．
i=1
s2= 1 n s2+(x -z )2 +m s2+(y 所以 2m+n x y -z)
. 9分
(ii) 因为是按比例分配分层随机抽样，记总样本的均值为 z，方差为 s2，
z = 1则 50 30×100+20×90 = 96，
所以 s2= 1 30 256+(100-96)2 +20 361+(90-96)250 = 322
·数学冲刺卷（二）参考答案 第4页（共7页）·
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又 322 ≈ 18，所以 s≈ 18．
总样本的均值为 96分，标准差约为 18分． 11分
(3)由 (2)知 μ= 96,σ= 18，所以X服从正态分布N 96,182 ，
所以P 96-18≤X≤96+18 ≈ 0.68,P X≥96 = 0.5．
P(78≤X< 96) =P(96≤X< 114) ≈ 0.34,P X≥114 =P(X< 78) ≈ 0.16．
故可将X≥ 114定为A等级，96≤X< 114定为B等级，
78≤X< 96定为C等级，X< 78定为D等级． 15分
17.【解析】(1)f (x) = eax(1+ ax) (x> 0) (a> 0)
1
令 f (x) = 0,则 x=- a
当 0< a≤ 1 1时，- a ≤-1，所以 f
(x)≥ 0在区间 -1，1 上恒成立，f(x)在区间 -1，1 上单调递增，所
以 f(x)min= f(-1) =-e-a，f(x) amax= f(1) = e .
当 a> 1 -1<- 1 < 1 x∈ -1,- 1时， ，则当 时，f a a (x)< 0，f(x)
1
在区间 -1,- a 上单调递减；当 x∈
- 1 1a，1 时，f (x)> 0，f(x)在区间 - ，1 a 上单调递增，
所以 f(x)min= f - 1a =-
1
ae，
而 f(-1) =-e-a< 0，f(1) = ea> 0，所以 f(x)max= f(1) = ea
综上所述,当 0< a≤ 1时，f(x)min=-e-a，f(x) amax= e ;
当 a> 1 1时,所以 f(x) amin=- ae，f(x)max= e . 7分
(2)方法一：隐零点法
因为 x> 0,a≥ 1，所以 xeax≥ xex，欲证 xeax≥ lnx+ x+ 1，只需证明 xex≥ lnx+ x+ 1
设 g(x) = xex- lnx- x- 1，(x> 0)，g (x) = (x+ 1) ex- 1x
1
令 (x) = ex- x，易知 (x)在 (0, +∞)上单调递增，
1而 2 = e- 2< 0， (1) = e- 1> 0
1 x 1
所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的 x ∈ 00 2 ,1 使得 (x0) = 0，即 e - x = 0，0
因此 ex0= 1x ，x0=-lnx00
当 x∈ (0,x0)时， (x)< 0，g (x)< 0，g(x)在 (0,x0)上单调递减；
当 x∈ (x0，+∞)时， (x)> 0g (x)> 0，g(x)在 (x0，+∞)上单调递增；
所以 g(x)min= g(x0) = ex0x0- lnx - x - 1= 10 0 x x0-- lnx0- x0- 1= 00
所以 g(x)≥ 0，因此 f(x)≥ lnx+ x+ 1. 15分
方法二：(同构)
因为 x> 0,a≥ 1，所以 xeax≥ xex，欲证 xeax≥ lnx+ x+ 1，只需证明 xex≥ lnx+ x+ 1
只需证明 xex= elnxex= elnx+x≥ lnx+ x+ 1
因此构造函数 h(x) = ex- x- 1(x∈R)
h (x) = ex- 1
当 x∈ (-∞,0)时，h (x)< 0，h(x)在 (-∞,0)上单调递减；
当 x∈ (0，+∞)时，h (x)> 0，h(x)在 (0，+∞)上单调递增；
所以 h(x)≥ h(0) = 0,所以 ex≥ x+ 1
所以 xex≥ lnx+ x+ 1
因此 f(x)≥ lnx+ x+ 1. 15分
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18.解：由题意可知直线AB不会与抛物线对称轴平行，设A x1,y1 ,B x2,y2 ，
(1) (i)因为AB过F(1，0)，设直线AB为 x=my+ 1，
与C方差联立可得：y2- 4my- 4= 0，
y1+y2=4m
所以有Δ= 16m2+ 16> 0， ，y1y2=-4
(i) 1点O到直线AB的距离为 d= ，
1+m2
又因为： AB = (x 2 2 2 21-x2) +(y1-y2) = 1+m (y1+y2) -4y1y2= 4(1+m2)，
S 1 1 1所以 2ΔOAB= 2 d AB = 2 4(1+m ) = 2 1+m
2≥ 2，
1+m2
当m= 0,△AOB的面积取得最小值 2，此时直线AB方程为 x= 1. 4分
(ii)设A x1,y1 ,B x2,y2 ，P x3,y3 ，若AB垂直于 x轴，此时 AB = 4，
所以由 AB = 8可知AB斜率存在，
因为弦AB过抛物线的焦点F(1，0)，所以 AB = AF + BF = 8，
由抛物线定义可知 AF = x1+ 1, BF = x2+ 1,所以 x1+ x2= 6,即 y2 21+ y2= 24,
因为 y1+ y2= 4m,y1y2=-4，所以 24= (y1+ y )22 - 2y y 2 21 2= 16m + 8,解得m = 1.
因为P、O、A、B四点共圆Γ
解法一：所以∠AOB和∠APB相等或互补，记AP、BP、AO、BO的倾斜角分别为 θ1、θ2、θ3、θ4，斜率分
别为 k1、k2、k3、k4所以 θ2- θ1= θ4- θ3，所以 tan(θ2- θ1) = tan(θ4- θ3)，
k -k k -k3 y1-y3 4(y1-y3)
即 2 1 4+ = + ，又因为 k1= x -x = 2 2 =
4
，
1 k2k1 1 k3k4 1 3 y1-y3 y1+y3
同理有：k = 4 4 42 y2+y
、k3=
3 y
、k4=
1 y
代入可得：
2
16y1y2+ 1= 16(y1y 22+ (y1+ y2)y3+ y3) + 1，解得：y3=- (y1+ y2)，即 y3=-4m，
所以P(4m2, -4m)，结合m2= 1可知P(4, ±4)，所以 OP = 4 2 . 9分
解法二：圆Γ经过点O，所以可设圆Γ为 (x- a)2+ (y- b)2= a2+ b2，与抛物线联立可得：
1 4 a 2
16 y + 1- 2 y - 2by= 0，此方程有 4个不同的解 0、y1、y2、y3，
所以联立方程可化简为 y3+ 16 1- a2 y- 32b= 0，又因为：
y3+ 16 1- a2 y- 32b= (y- y1) (y- y2) (y- y3)，所以 y1+ y2+ y3= 0，后面同解法一.
解法三：利用m2= 1算得直线为ABx=±y+ 1，与抛物线联立解得A、B坐标，
计算OB的中垂线与AB中垂线的交点即为圆心T 9 ± 12 ， 2 ，
81
进而求得半径 r= 2 ，表示出圆的方程
x- 9
2
2 + ±
1 2 y 412 = 2 ，联立抛物线方程求得点P(4, ±4)，进而计算出 OP = 4 2 .
(2)设A x1,y1 ,
x +x y1+y2 x yB 3 x2,y2 ,Q x3,y3 ，所以M 1 22 , 2 ,N 32 , 2 ，
x +x
MN中点为T 1 2+x3 ,
y1+y2+y3
4 4 ,类比第二问解法二，可知 y1+ y2+ y3= 0，
x + x + x = 11 2 3 4 (y
2 2
1+ y2+ y23) = 14 (y1+y2+y3)
2-2(y1y2+y2y3+y3y1) ，
由第二问解法二可知 y3+ 16 1- a2 y- 32b= (y- y1) (y- y2) (y- y3)，所以：
y1y2+ y2y3+ y3y1= 16 1- a2 = 16 1-
7
2 =-16
5
2 ，所以：
x1+x2+x3 1
4 = 16 (y
2+ y21 2+ y23) = 116 (y1+y2+y
2
3) -2(y1y2+y2y3+y3y1) = 5，
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所以T 5,0 ，即线段MN被定点T 5,0 平分. 17分
an+3,
n N*
19.【解析】(1)由题意有 d= 1，q= 1，t= 3，a1= 1，则 a 3n+1= 0, n ，3 ∈N*
a1= 1,a2= 2,a3= 3,a4= 3,a5= 4,a6= 5,a7= 5,a8= 6,a9= 7,a10= 7,
一般有 a3k-2= 2k- 1,a3k-1= 2k,a3k= 2k+ 1
所以 a2024= a3×675-1= 2× 675= 1350. 3分
(2)数列 bn 是首项为 1的等比数列，设其公比为m，又 bn 为M (t)数列，t∈N *,t≥ 2，
当 t= 2时，b2= 1+ d,b3= qb2,b4= b3+ d，有 d= b2- b1= b4- b3，又 b2=m,b3=m2,b =m34 ，
于是得m- 1=m3-m2，解得m=±1，有 bn= 1或 b = (-1)n-1n ，
bn, n2 N
*
当 bn= 1时，d= 0,q= 1，bn+1= n ， bn 为M (2)数列，bn, 2 ∈N*
b -2, nn N*
当 bn= (-1)n-1时，d=-2,q=-1，bn+1= 2 n ， bn 为M (2)数列，-b , ∈N*n 2
当 t≥ 3时，则 b1,b2,b3构成以 d为公差的等差数列，即 b1+ b 23= 2b2，有 1+m = 2m，解得m= 1，
b , n N*n t
于是得 bn= 1，d= 0,q= 1，bn+1= n ， bn 为M (t)数列，所以bn, t ∈N*
①当 d= 0,q= 1,t是大于 1的任意正整数，则 bn= 1，Sn=n；
1+(-1)n-1
②当 d=-2,q=-1，k= 2，则 b = (-1)n-1n ，Sn= 2 . 10分
(3)依题意，d= 1,q= 2,c1= 1，数列 cn 为“M (5)数列”，
则 c1= 1,c2= 2,c3= 3,c4= 4,c5= 5,c6= 2c5= 10,c7= 11,c8= 12,c9= 13,c10= 14，c11= 2c10= 28,
c5k-4,c5k-3,c5k-2,c5k-1,c5k是公差为 1的等差数列，且 c5k+1= 2× (c5k-4+ 4)=2c5k-4+ 8
所以 c5k+1+ 8= 2× (c5k-4+ 8)且 c1+ 8= 9
所以数列 c5k-4+8 是以首项为 9，公比为 2的等比数列，所以 c k-15k-4+ 8= 9× 2
即 c5k-4= 9× 2k-1- 8
即Ak= c5k-4+ c k-15k-3+ c5k-2+ c5k-1+ c5k= 45× 2 - 30
n n
所以T5n= Ak= 45× 2 -12-1 - 30n= 45× 2
n- 30n
k=1
所以T5n= 5n× c5n- 10n，即 45× 2n- 30n= 5n (9 2n-1- 4)，
n
化简得 2 -1 2
n+ 1= 0，代入n= 1，等式成立.
因为当n≥ 2 n时， n2 -1 2 + 1> 0，所以当n≥ 2，方程无解.
综上所述，满足T5n= 5n× c5n- 10n成立的n值为 1. 17分
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