2024 年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（三）参考答案
1. 答案：D【详解】因为M x x 1 ，N 1, 2 ，所以M N x x 1
2、答案：B【详解】因为复数 z 2 5i 1 2i 12 i ，所以 z 对应的点为 12,1 ，位于第二象限．
(a a )
3.答案：B【详解】因为 a 为等差数列，S 8 1 8 8 4(a a )，所以a a 2，所以a a 2n 8 1 8 1 8 3 6 .
2
4.【答案】C【详解】选项 A：当满足a∥ ,b∥ ,a∥b时， , 可能相交，如图：用四边形 ABCD 代表平
面 ，用四边形 AEFD 代表平面 ，故 A 错误；选项 B：当满足a ,b ,a b时， , 可能相交，如
图：用四边形 ABCD代表平面 ，用四边形 AEFD 代表平面 ，故B错误；选项C：因为a ,a∥b b ，
又b ，所以 ∥ ，故a ,b ,a∥b是 ∥ 的一个充分条件，故 C 正确；
当满足 a∥ ,b∥ ,a与b 相交时， , 可能相交，如图：用四边形 ABCD代表平面 ，用四边形 AEFD 代
表平面 ，故 D 错误；
5.【答案】D【详解】由题意知，抛物线的准线方程为 p πx ，又因为 F F A ，
1 2
2 6
则点 p 3
，又因为点A 在双曲线的渐近线 b 上，所以 b 2 3A , p
y x ，
2 3 a a 3
2
所以双曲线的离心率 b 4 21e 1 1
2
a 3 3
1 sin sin 1
6.【答案】C【详解】由 tan tan ，得 ，
cos cos cos cos
π
于是sin cos cos sin cos ，即sin( ) sin( ) ，
2
π π π π π π
由 (0, ) ， (0, )，得0 π,0< ，则 或 π，
2 2 2 2 2 2
π π π
即 2 或 （不符合题意，舍去），所以 2 .故选：C
2 2 2
7.【答案】D【详解】设正四面体 ABCD 的棱长为 a ，则其内切球、棱切球、外接球的半径分别为
6 2 6
a、 a、 a ．由题意知，球O 的球心落在正四面体的几何中心，即内切球、棱切球、外接球公共
12 4 4
6
的球心，又球O 的半径为定值 6 。当球O 是正四面体 ABCD 的外接球时，棱长a最小，此时 a 6 ，
4
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6
得 a 4 ．当球O 是正四面体 ABCD的内切球时，a最大，此时 a 6 ，得a 12
12
故正四面体 ABCD的棱长的取值范围为 4,12 ．故选：D.
8.【答案】A【详解】由题意知，设 BAD CAD ，则 BAC 2 ，如图所示，
S S S
由 1 1 4 6 1 4 6ABC ABD ACD 可得 3 2sin 2 3 sin 2 sin ，
2 2 5 2 5
整理得3sin 2 2 6 sin ，即sin (3cos 6) 0，又因为sin 0 ，所以 6cos ，
3
所以 2 1 2 2 2cos 2 2 cos 1 ，所以sin 2 1 cos 2 ，
3 3
2 2 2
在 ABC 中，由余弦定理得a 3 2 2 3 2cos 2 13 4 9，所以 a 3 ，
17
2 2 2
2 AB 2 AC BC 2 9 2 4 9 17 AH 2
由中线长公式，中线长 AH ， 2
4 4 4
9 答案：BCD
1 2
x 2x ln x
x(1 2 ln x)
10.答案：ACD【详解】对 A：由题意可知 f x 的定义域为 0, ， f (x) x ，
4 4
x x
1
令 f (x) 0，解得 x=e 2 ，当 x 0, e 时， f (x) 0，当 x e , 时， f (x) 0，故 A 正确；
1
对 B：当 x= e 时， f x 取得极大值为 f e ，故 B 错误；
2e
对 C：由上分析可作出 f x 的图象，要使方程 f x m有两个不等实根，只需要 y m与 f x 有两个交
点，由图可知， 1 m 0, ，所以实数m 的取值范围为
1
0, ，故 C 正确.
2e 2e
ln x
0
2 1
对 D：设曲线 y f x 在 x , y0 0 处的切线经过坐标原点，则切线斜率 1 2 ln x x0 0 ，解得 ln x ，k 0
3 3
x x
0 0
1 1 1
x e 3 ，所以切线斜率 k ，所以切线方程为 y x ，故 D 正确.
0 3e 3e
11.答案：ABD【详解】对于 A，设点 B 在准线 l 上的投影为D ，准线 l 与 y 轴交于点 E ，
QB BD BF 3 3
又 QB 3 BF ， BD BF ，则 ，所以 BF ，故 A 正确；
QF EF 1 4 4
3
对于 B，设点A 在准线 l 上的投影为点M ，易证 AQF AQM ，又 AQF ，
8
p 1
π π AF 2 2
FAQ MAQ ，即 MAF ， AFy ， 1 cos 2 ，故 B 正确；
8 4 1
2
π
对于 C，分两种情况：当点 A, B都在第一象限，设 AFy ， 0,
2
，
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1 1
1 BF 1
由焦半径公式可得 AF ， π 1 sin ， S ABF ，
1 cos 1 cos 2 1 cos 1 sin
2
令 f 1 sin 1 cos 1 sin cos sin cos ，
π
设 t sin cos 2 sin 1,1 ，且 2t 1 sin 2 ，
4
1 1 1
S
ABF 2 2 π 1 t t 1 4 ，当且仅当 时取得最小值.
2 1 t 2
2
π
当点 B 在第二象限时，设 AFO ， 0, ，
2
1 1 1
则 AF ， BF ，所以 S ABF ，
1 cos 1 sin 2 1 cos 1 sin
π
同理令 t sin cos 2 sin 1, 2 2
4
，且 t 1 sin 2 ，
2
2 1 cos 1 sin t 1 3 2 2 ，
1 1 π
所以 S 3 2 2 ABF ，当且仅当 时取得最小值，
3 2 2 4 4
综上，△AFB 面积的最小值为3 2 2 ，故 C 错误；
1 1
对于 D，当点 A, B都在第一象限， QF ， BF ，
sin 1 sin
1 QB 1 1
则 QB ，所以 1，即 QB BF ， S S ，
sin 1 sin AQB AFBBF sin 4
QB 1
当点 B 在第二象限时，同理可得 1，即 QB BF ， S S 3 2 2
BF sin AQB AFB
，
综上， AQB 的面积大于3 2 2 ，故 D 正确. 故选：ABD.
11 2 11
12.【答案】20 【详解】由 (1 2x) a a x a x a x0 1 2 11 ，
1
令 x 0 可得 a 10 ， a C ( 2) 22 a a 211 11 ，∴ 0 1 ．
11 2 11
在 (1 2x) a a x a x a x0 1 2 11 中，令 x 1，可得a a a a a 10 1 2 3 11 ，
∴ a a a 202 3 11
25
13.【答案】 【详解】根据题意，设甲获胜为事件A ，比赛进行三局为事件 B ，
79
3 3 3 1 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 27 79 ， 3 3 3 27 ，
P(A) C ( ) C ( ) ( ) P(AB)
3 4 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125
27
故 P(AB) 25
P(B | A) 125 ．
P(A) 27 79 79
5
5
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x x 1
14.【答案】 0 a 1【详解】不等式 1 ax e a 1 x ，即a x x 1，
e
x 1 x2 x e x 2
设 h x x ，
x h x 1 ，
e x xe e
设 t x x x e x 2， t x e 1 0，所以 t x 单调递增，且 t 0 1， t 1 e 2 0，
所以存在 x 0,1 ，使 t x 0，即h x 00 0 0 ，
当 x , x 0 时，h x 0，h x 单调递减，当 x x , 时， h x 0，h x0 单调递增，
x
x e 0 x 1
所以h x h x 0 0 ， 0 x
e 0
x
x e 0 x 1 x x 1 x 1 2x 0 0 0 x 1因为e x 1，所以h x h x 0 0 0 0， 0 x
e 0
x x
e 0 e 0
当 x 0 时，h x h 0 1，当 x 1时，h x h 1 1，
x x 1
不等式 1 ax e a 1 x 有整数解，即a x x 1有整数解，
e
1
若 a 1时，即 1，因为函数h x 在 ,0 上单调递减，在 1, 上单调递增，
a
1 1
所以 x Z 时，h x min h 0 , h 1 1 ，所以h x 无整数解，不符合题意，
a a
1
当 0 a 1时，因为h 0 h 1 1 ，显然0,1是 a h x 1的两个整数解，符合题意，
a
综上可知， 0 a 1 .
Sn 1
15.【详解】（1）解：由题意知：数列 是公差为 的等差数列，
n 2
S S
n 1 n 3 n(n 3)当 n 1时， 1 a 2，所以 2 n 1 ，整理得： S 1 n ， .................2 分
1 n 2 2 2
n(n 3) (n 1)(n 2)
又当n 2 时，a S S n 1n n n 1 ， ..................3 分
2 2
因为a 21 满足上式， ..................4 分
所以a n 1，故数列 a 的通项公式为 a n 1n n n ..................5 分
1 1 1 1
（2）解：由（1）知a n 1，可得 n ， ..................6 分 a a n 1 n 2 n 1 n 2n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
故 ； .................8 分
a a a a a a 2 3 3 4 n 1 n 2 2 n 21 2 2 3 n n 1
1 1 1 n
解法 1：由 a ，可得 n 2n 1 ， ..................9 分
a a a a a a 2 n 2
1 2 2 3 n n 1
n n
即 2 ，则 2 ， ..................10 分 2 n 2
2 n 2 max
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n 1 1
2
又由 2 n 2 4 16 ， ..................12 分 2 n 4
n
1
当且仅当n 2 时取等号，故实数 的取值范围为 , ． ..................13 分
16
1 1 1 1 1
解法 2：由 n 2 ， ..................9 分
a a a a a a 2 n 2
1 2 2 3 n n 1
2
1 1 1 1 1
可得 2 ， ..................10 分
2 n 2 n 2 n 2 4 16
1 1 1
当 n 2 4 ，即n 2 时， 2 ， ..................12 分
2 n 2 n 2 16 max
1 1
则 ，故实数 的取值范围为 , ． ..................13 分 16 16
1 2 2
16.V V h S ..................1 分
B PCD P BCD BCD
3 3
1
V h S ， AB 2CD ， S 2SP ABCD ， ..................2 四边形 分ABCD ADB BCD
3
S 3S
四边形ABCD BCD ，V 3V 2 2 .................3 分 P ABCD P BCD
延长 BC，AD，设 BC 的延长线和 AD 的延长线交点为 M，连接 PM，
则平面 PAD 和平面 PBC 的交线 l 为直线 PM .................5 分
证明：取 AD 的中点 E，连接 PE， PA PD ，E 是 AD 的中点，
PE AD ， 平面PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD AD ，PE 平面 PAD，PE AD ，
PE 平面 ABCD， .................6 分
1 2 2 1
V V PE S , S BC CD 2 ,即PE 2 .................7 分
B PCD P BCD BCD BCD
3 3 2
以点 B 为坐标原点，以直线 BA、BM分别为 x, y 轴，以过点 B 作平面 ABCD 的的垂线为 z 轴，建立空间直
角坐标系B xyz ，如图所示. .................8 分
则 P(3,1, 2) ，C(0,2,0) ， D(2,2,0) ，M (0,4,0) ，
CD (2, 0, 0)， PD ( 1,1, 2) ，PM ( 3,3, 2) ， .................9 分
设 PN PM ( 3 ,3 , 2 ) ，则DN PN PD (1 3 ,3 1, 2(1 )) ， .................10 分
m CD 0 2x 01
设平面 PCD 的法向量为m (x , y , z ) ，则
1 1 1 ，即 ，
m PD 0 x y 2z 01 1 1
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令 z 1，得m (0, 2,1) ， .................11 分
1
n CD 0
设平面 CDN 的法向量为n (x , y , z ) ，则 ， 2 2 2
n DN 0
2x 02
即
(1 3 )x (3 1) y 2(1 )z 02 2 2
令 y 2 ，可得 n (0, （2 1 ）,1 3 ) ， ................12 分
2
6
平面PDC与平面DCN 夹角的余弦值为
3
m n （2 1 ） 1 3 6
cos m ， n ， ................13 分
| m || n | 2 23 2(1 ) (1 3 ) 3
1
解得： 或 3， .................14 分
3
6
即在直线 l 上存在点 N，平面PDC与平面DCN 的夹角的余弦值为 ，
3
2
此时 PN 5 或 PN 6 5 .................15 分
3
17、【详解】（1）设最低正常使用零下温度的第 60 百分位数为 a ，
由直方图可知最低正常使用零下温度在 0,20 的频率为 0.4，
在 0,30 的频率为 0.65，因此最低正常使用零下温度的第 60 百分位数 a 一定在 20,30 内，..............1 分
则有0.01 10 0.03 10 0.025 a 20 0.6，解得a 28，
所以最低正常使用零下温度的第 60 百分位数为 28℃． ..................3 分
（2）①由题意可知 X 的可能值是 0,1,2,3， X B 3,0.6 ， .................5 分
0 0 3P X 0 C 0.6 0.4 0.064； ..................6 分3
1 1 2P X 1 C 0.6 0.4 0.2883 ； ..................7 分
2 2 1P X 2 C 0.6 0.4 0.432 ； .................8 分3
P X 3 3 3 0 C 0.6 0.4 0.2163 ，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
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..................9 分
②由题意可知，设抽到A 类锂电池的数量为Y ，则Y B 10,0.35 ， .................10 分
若抽到 k 块的可能性最大，
P Y k P Y k 1
则 P k k 10 kY k C 0.35 (1 0.35) ,k 0,1, ,1010 ， ， ..................12 分
P Y k P Y k 1
k k 10 k k 1 k 1 11 kC 0.35 0.65 C 0.35 0.65 ,
10 10
即 ..................13 分 k k 10 k k 1 k 1 9 k
C 0.35 0.65 C 0.35 0.65 ,10 10
7 11 k 13k ,
即 解得2.85 k 3.85， ..................14 分
13 k 1 7 10 k ,
由于 *k N ，故 k 3． ..................15 分
18、【详解】（1）解：设所求轨迹 上的任意点为( , )，与 2 + 2 = 2对应的点为( 1, 1)，
= 1 1 =
根据题意，可得{ √2 ，即{ 2
= 1 =
，
2 1 √2
2 2
代入方程 2 + 2 = 2，可得 2 + ( )2 = 2，整理得 + 2 = 1，
√2 2
2
所以曲线 的轨迹方程为 + 2 = 1. - ------5 分
2
（2）方法一：解：设 ( 1, 1), ( 2, 2), ( 3, 3), ( 4, 4)，
设直线 的方程为 = + 1 6 分，
= + 1
联立方程组{ 2 ，整理得( 2 2 + 2)
2 + 2 1 = 0， 8 分
+ = 1
2
2 1
则y1 + 3 = 2 , 1y3 = 9 分， t +2 2+t2
x1 1
2
又因为 = ,点 ( 1, 1)在椭圆 +
2 = 1 上；
y1 2
1 1 y y
所以y = = 1 = 13 2 2 ； 11 分 2+t y1 2 2+（x 1） 2 1 31
x1 1 y 3 4x3= y3 + 1 =
1 +1= 1 ， 12 分
y1 2 1 3 2 1 3
3 1 4 1 3 4 ( , )，同理可得 ( 2 , 2 )， 13 分
2 1 3 2 1 3 2 2 3 2 2 3
又因为 , , 三点共线，可得 1 = 2 ， 14 分
1+2 2+2
即 2 1 1 2 = 2( 2 1)， 15 分
2 1
2 2 3 2 1 3 2( 2 1 1 2)+3( 2 1) 7( 所以 = = = 2
1)
3 2 4 3 1 4 = 4 ， 16 分 2 1 2 1
2 2 3 2 1 3
tan 1
所以 = = . 17 分
tan 7
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方法二：解：设直线 的方程为 = ( 1)， ( 1, 1), ( 2, 2), ( 3, 3), ( 4, 4)，
= ( 1)
联立方程组{ 2 2 ，整理得(1 + 2
2) 2 4 2 + 2 2 2 = 0，
+ = 1
2
4 2 2 2 2
则Δ = ( 4 2)2 4(1 + 2 2)(2 2 2) > 0，且 1 + 3 = 2 , 1+2 1
3 = ， 1+2 2
3 2+4 2 3 4
可得 ( 1 + 3) 1 3 = 2 = 2，所以 3 =
1 ，
2 1+2 2 1 3
1 3 1 4 可得 3 = ( 1) =
1 ，
1 1 2 1 3 2 1 3
3
所以 ( 1
4
, 1 )，下同方法一。
2 1 3 2 1 3
19、【详解】（1）根据题意可知，不等式 x 2e sin x ax 1在[0, ) 上恒成立，
x 2 x设 F x =e sin x ax 1, x 0，则F 0 0，F x =e cos x 2ax ，
x x设 g x F x =e cos x 2ax ，则 g 0 0， g x e sin x 2a ，则 g 0 1 2a，
若 g 0 0，存在区间 0, t ，使 g x 在区间 0, t 上单调递减；
则 g x g 0 0，则F x 在区间 0, t 上单调递减，
1
则 F x F 0 0，不满足题意，故 g 0 1 2a 0 ，即a .
2
1 x 2 x 1 2
下证明：当 a 时，不等式成立，因为 2x 0, x 0 ， F x =e sin x ax 1 e sin x x 1，
2 2
x
1 2 x x
设m x =e sin x x 1，则m x =e cos x x e 1 x，
2
x设 n x =e 1 x ，则n x x x=e 1 0，所以n x =e 1 x 在[0, ) 上单调递增，
x x则 n x n 0 0，则m x =e cos x x e 1 x 0 成立，
x 1 2
故m x =e sin x x 1在[0, ) 上单调递增，则m x m 0 0，所以F x 0恒成立，得证，
2
1
综上知， a . ..................5 分
2
（2）当 x x x 2nπ, (2n 1)π 时， f x e cos x，设 r x f x e cos x，
x
则 r x e sin x 0，则函数 r 2nπx 单调递增，r x r 0 0， f x 单调递增， f 2nπ e 1 0
4n 1
4n 1 ( )π 1 4n
f π e 2 0 x ( 2nπ, π) ， f (x ) 0n n ， 0 0
2 2
f (x) 在 ( 2nπ, x )上单调递减， (x , (2n 1)π)n n 上单调递增， 0 0
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1 4n
2nπ
1 4n π
又 f 2nπ e 0 ， (1 2n)πf ( π) e 2 1 0， f ( (2n 1)π) e 0
2
1 4n
x ( 2nπ, π) ， f (x ) 02n 2n ，
2
1 4n
x ( π, (2n 1)π)， f (x ) 02n 1 2n 1 .
2
(4n 1)π x
f ( (4n 1)π x ) e 2 n
(4n 1)π x
sin( (4n 1)π x ) e 2 n sin x
2n 2n 2n
1 4n
由于， x ( 2nπ, π)， (4n 1)π x x ， (4n 1)π x xe 2n e 2n f ( (4n 1)π x ) f (x ) 02n 2n 2n 2n 2n 1 ，
2
1 4n
由于 f (x) 在 ( π, (2n 1)π) 上单调递增， (4n 1)π x x x x (4n 1)π2n 2n 1 2n 1 2n .
2
2
累加得 x x x x ··· x x (2n n)π1 2 3 4 2n 1 2n . ..................11 分
x x x x
（3）要证 (e 2 x 1)e 1 sin(x x ) sin x x cos x 即证e 1 2
x
sin(x x ) e 1
x
sin x x (e 2 cos x )
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 .
x
即证 f (x x ) f (x ) x f (x )1 2 1 2 1 .
x
f (x) e cos x ，设 t x f (x) e cos x
x
t x e sin x， x 0 时 t (x) 0， t(x)在 (0, )上单调递增，即 xf (x) e cos x 在 (0, )上单调递增，
设 h(x) f (x x ) f (x ) xf (x ), (x 0) ，h (x) f (x x ) f (x )1 1 1 1 1 ，
由于 f (x) 在 (0, )上单调递增， x x x f (x x ) f (x ) 1 1 1 1 ，h (x) 0， h(x) 在 (0, )单调递增.
又 h(0) 0， x 0时 h(x) 0 f (x x ) f (x ) xf (x ) 0 f (x x ) f (x ) xf (x )1 1 1 1 1 1
因此 f (x x ) f (x ) x f (x )1 2 1 2 1 恒成立，
原不等式恒成立，得证. ..................17 分
第 9 页 （共 9 页）
{#{QQABAYAQogiAAJBAARhCAwHgCAKQkAACCAoOBBAIoAAACBNABAA=}#}2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（三）
数 学
本试卷共 4页，19小题，满分 150分。考试用时 120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔在
答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.设集合M x lg x 0 ， N x Z e ex e2 ，则M U N
A． 2 B．{1, 2} C． x 1 x 2 D． x x 1
2.在复平面内，复数 z 2 5i 1 2i 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 S8 8，则 a3 a6
A．1 B．2 C．4 D．6
4.设 , 是两个不同平面， a,b是两条不同直线，则 ∥ 的一个充分条件是
A．a∥ ，b∥ ，a∥b B． a ，b ，a b
C． a ，b ，a∥b D．a∥ ，b∥ ，a与b相交
2 2
5. x y已知双曲线 1（a 0,b 02 2 ）的左、右焦点分别为 F
2
a b 1
，F2，且 F2与抛物线 y 2px（ p 0）的
π
焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于 A点，若 F1F2A ，则双曲线的离心率为6
A 21． 13 B．3 C． 3 D．
3
π (0, ) (0, π6.已知 ， )，且 tan tan
1
，则
2 2 cos
π π
A． 2 B． 2
2 2
π π
C． 2 D． 2
2 2
数学试卷 第 1页 （共 4页）
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7.已知半径为 6 的球O的球心到正四面体 ABCD各个顶点的距离都相等，若正四面体 ABCD与球O的球面
有公共点，则正四面体 ABCD的棱长的取值范围为
A． 2,4 3 B． 2 3,6 3 C．[4, 4 3] D． 4,12
8.在△ ABC 4 6中，角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若 c 3,b 2, BAC的平分线 AD的长为 ，则BC
5
边上的中线 AH 的长等于
17
A B 4 2
17
． ． C． D． 4 3
2 3 4 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
1 n
9.已知变量 x和变量 y的一组成对样本数据 (xi , yi )(i 1,2, ,n)的散点落在一条直线附近， x xi ，n i 1
1 ny yi ，相关系数为 r ，线性回归方程为 y b x a ，则n i 1
A．当 r越大时，成对样本数据的线性相关程度越强
B．当 r 0时，b 0
C．当 x
n 1 x, yn 1 y 时，成对样本数据 (xi , yi )(i 1,2, ,n，n 1)的相关系数 r 满足 r r
D．当 x
n 1 x, yn 1 y 时，成对样本数据 (xi , yi )(i 1,2, ,n，n 1)的线性回归方程 y d x c 满足 d b
n n
(xi x)(yi y) (xi x)(yi y)
r i 1参考公式： n n ，b
i 1 n .
(xi x)2 (y 2 2i y) (xi x)
i 1 i 1 i 1
ln x
10.设函数 f (x) 2 ，则（ ）x
A．函数 f (x)的单调递增区间为 0, e
1
B．函数 f (x)有极小值且极小值为
e
1
C．若方程 f (x) m
有两个不等实根，则实数 m的取值范围为 0,
2e
D．经过坐标原点的曲线 y f (x)的切线方程为 x 3ey 0
数学试卷 第 2页 （共 4页）
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11.已知抛物线C : x2 2y 的焦点为 F，准线为 l，点 A ,B在C上（ A在第一象限），点Q在 l上，以 AB为
直径的圆过焦点 F ，QB BF 0 ，则
3 3π
A．若 3，则 BF B．若 AQF ，则 AF 2 2
4 8
1
C．△AFB的面积最小值为 D．△AQB的面积大于
4 3 2 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12.若 (1 2x)11 a 2 110 a1x a2x a11x ，则 a2 a3 a11 = ．
13. 3选手甲和乙进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 2 ，采用五局三胜制，
5 5
则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为 ．
14.已知 a≥0，若关于 x的不等式 1 ax ex a 1 x 有整数解，则 a的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
S 1
已知数列 a n n 的前 n项和为 Sn，数列 是公差为 的等差数列，且an 2 1 2
．
（1）求数列 an 的通项公式；
1 1 1
（2）若存在 n N*，使得 a a ≥ 成立，求实数 的取值范围．1 2 a2a3 anan 1 an 1
16.（15分）
在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为直角梯形，CD / /AB， ABC 90 ， AB 2CD，三棱锥
B PCD 2 2的体积为 ，平面 PAD与平面 PBC 的交线为 l .
3
（1）求四棱锥 P ABCD的体积，并在答卷上画出交线 l（注意保留作图痕迹）.
（2）若 AB 2BC 4，PA PD ,且平面 PAD 平面 ABCD，在 l上是否存在点N ，使平面PDC
与平面DCN 所成角的余弦值为 6？若存在，求 PN 的长度；若不存在，请说明理由．
3
数学试卷 第 3页 （共 4页）
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17.（15分）
在第二十五届中国国际高新技术成果交易会上，中国科学院的科研团队带来了可以在零下 70摄氏度
到零上 80摄氏度范围内正常使用的宽温域锂电池，为新能源汽车在冬季等极端温度下的使用提供了技术
支撑．中国新能源汽车也在科研团队的努力下，在世界舞台上扮演着越来越重要的角色．已知某锂电池生
产商对一批锂电池最低正常使用零下温度进行了检测，得到如下频率分布直方图．
（1）求最低正常使用零下温度的第 60百分位数；
（2）以抽样检测的频率作为实际情况的概率：
①若随机抽取 3块电池，设抽到锂电池最低正常使用零下温度在 20,50 的数量为 X ，求 X 的分布列；
②若锂电池最低正常使用零下温度在 30,50 之间，则为A类锂电池．若以抽样检测的频率作为实际情
况的概率，从这批锂电池中随机抽取 10块，抽到 k块为“A类锂电池”的可能性最大，试求 k的值．
18.（17分）
2
将 x2 y2 2上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），所得曲线为 E．记P 2,0 ，Q 1,0 ，
2
过点 P的直线与 E交于不同的两点 A，B，直线 QA，QB与 E分别交于点 C，D．
（1）求 E的方程；
tan
（2）设直线 AB，CD的倾斜角分别为 ， ( , 0)，求 tan 的值．
19.（17分）
已知函数 f (x) e x sin x ．
（1）若 f (x)≥ ax2 1对于任意 x [0, )恒成立，求 a的取值范围；
2n
2 f (x) 2（ ）若函数 的零点按照从大到小的顺序构成数列 x ， n N*n ，证明： xi 2n n π；
i 1
（3）对于任意正实数 x1, x2 ，证明： ex2 x2 1 ex1 sin x1 x2 sin x1 x2 cosx1．
数学试卷 第 4页 （共 4页）
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