3.2 一元一次方程的应用 第1课时
素养目标
1.会用一元一次方程解决关于几何图形与行程的实际问题.
2.掌握列方程解应用题的一般步骤.
3.能体会数学问题源于实际生活,会从实际情境中建立方程模型.
◎重点:几何图形与行程问题中的方程思想.
预习导学
知识点一 几何图形中的方程
阅读课本本课时“例1”的内容,填空:
1.试比较“例1”中锻造前面后的立体图形,填写下表:
锻压前圆 柱体钢 锻压后长 方体钢
底面半径 底面面积
高 高
体积 体积
2.补全下面的解答过程.
解:设应截取的圆柱体钢长为x mm,根据题意,得 ,
解方程,得x≈ .
答:应截取约 mm长的圆柱体钢.
【归纳总结】列方程解应用题的步骤:
1.审:分析题意,找 关系;
2.设:根据题意 ;
3.列:列 ;
4.解:解这个 ;
5.验:检验;
6.答.
【答案】1.100 90000
x 90
π×(100)2x 8100000
2.π×(100)2×x=300×300×90 258 258
【归纳总结】
1.等量
2.设未知数
3.方程
4.方程
知识点二 行程问题
阅读本课时例2的内容,填空:
路程、平均速度、时间之间的等量关系为 = .
【答案】平均速度×时间 路程
对点自测
1.有一位工人师傅将底面直径为10 cm,高为80 cm的“瘦长”形圆柱,锻造成底面直径为40 cm 的“矮胖”形圆柱,则“矮胖”形圆柱的高是 ( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
2.甲、乙二人从相距21 km的两地同时出发,相向而行,120 min后相遇.甲每小时比乙多走300 m,设乙的速度为x km/h,下面所列方程正确的是 ( )
A.2(x+300)+2x=21
B.2(x+0.3)+2x=21
C.120(x-300)+120x=21
D.120(x-0.3)+120x=21
3.一条猎犬发现前方100米处有一头野猪以10米/秒的速度向正前方逃窜,猎犬立即以15米/秒的速度追赶(猎犬追赶路线与野猪逃跑路线在一条直线上),猎犬多少秒后可以追上野猪 若设猎犬x秒后可追上野猪,根据题意,以下方程正确的是 ( )
A.+=100
B.-=10
C.15x=10x+100
D.10x+15x=100
【答案】1.B 2.B 3.C
合作探究
任务驱动一 几何图形问题
1.根据图中给出的信息,可得正确的方程是 ( )
A.π×2x=π×()2×(x+5)
B.π×2x=π×()2×(x-5)
C.π×82x=π×62×(x+5)
D.π×82x=π×62×5
方法归纳交流 几何问题的常见等量关系是两种图形的体积或者面积相等.
【答案】1.A
任务驱动二 相遇问题
2.A、B两地间的公路长为375 km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从A,B两地同时出发沿公路相向而行,轿车的平均速度为90 km/h,公共汽车的平均速度为60 km/h.它们出发后多少小时在途中相遇
[变式演练]在上面的问题中,若公共汽车比轿车早出发1小时,那么公共汽车开出多长时间后与轿车相遇
方法归纳交流 怎样分析路程问题中的数量关系
【答案】2.解:设两车出发后x h相遇,根据题意,得
90x+60x=375,
解方程,得x=2.5.
答:两车出发后2.5小时相遇.
[变式演练]
解:设公共汽车开出x小时后与轿车相遇,根据题意,得
60x+90(x-1)=375.
解方程,得x=.
答:公共汽车开出 h后与轿车相遇.
方法归纳交流
画线段示意图.
任务驱动三 追及问题
3.学校科技小组的同学乘公共汽车去较远的省城参观科技展览.小明因为特殊原因要晚出发半小时,但他在同一地点乘坐了速度更快的高速客车追赶大家.公共汽车和高速客车的速度分别是60 km/h和80 km/h,高速客车在出发后多少小时可追上公共汽车 追上的地点距出发点有多远
[变式演练]在上面的问题中,设高速客车在距出发点y km处追上公共汽车,仍对上面的问题列方程求解.
方法归纳交流 相遇问题和追及问题中的等量关系有什么不同
【答案】3.解:设高速客车出发后x h追上公共汽车,根据题意,得80x=60(x+0.5),
解方程,得x=1.5,
80x=80×1.5=120.
答:略.
[变式演练]
解:设高速客车在距出发点y km处追上公共汽车,
根据题意,得=-,
解这个方程,得y=120,==1.5.
答:略.
方法归纳交流
相遇问题中的等量关系:两车行驶的路程之和等于总路程;追及问题中的等量关系:两车行驶的路程相等.
素养小测
1.
如图,轩轩将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每一个长条的面积为多少 为解决这个问题,轩轩设正方形的边长为x cm,则依题意正确的方程为 ( )
A.4x=5(x-4) B.4(x-4)=5x
C.4x=5(x+4) D.4(x+4)=5x
2.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)一书,有一道题目如下:“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.”译文:“跑得快的马每天走240里,跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天,快马几天可以追上慢马 ”若慢马和快马从同一地点出发,设快马x天可以追上慢马,则可以列方程: .
3.A,B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.已知甲的速度为120千米/时,乙车速度为80千米/时,经过t小时两车还相距50千米,则t的值是多少 (列方程解应用题)
【答案】1.A
2.240x-150x=150×12
3.解:由题意可得,120t+80t=450-50或120t+80t=450+50,
解得t=2或t=2.5.
答:t的值是2或2.5.
2(共25张PPT)
七年级·数学·沪科版·上册
第3章 一次方程与方程组
3.2 一元一次方程的应用
第1课时
1.会用一元一次方程解决关于几何图形与行程的实际问题.
2.掌握列方程解应用题的一般步骤.
3.能体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立方程模型.
◎重点:几何图形与行程问题中的方程思想.
◎难点:建立方程模型，解决实际问题.
我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后战胜了小白兔.如果在第二次赛跑中，小白兔知耻而后勇，在落后乌龟1千米时，以101米/分钟的速度奋起直追，而乌龟仍然以1米/分钟的速度爬行，那么小白兔大概需要多少分钟就能追上乌龟？为了解决这个问题，本节课我们来学习一元一次方程的应用.
几何图形中的方程
阅读课本本课时“例1”的内容，填空:
1.试比较“例1”中锻造前面后的立体图形，填写下表:
锻压前圆 柱体钢 锻压后长
方体钢
底面半径 1000 底面面积 90000
高 x 高 90
体积 π×(100)2x 体积 8100000
1000
90000
x
90
π×(100)2x
8100000
2.补全下面的解答过程.
解:设应截取的圆柱体钢长为x mm，根据题意，得 π×(100)2×x＝300×300×90 ，
解方程，得x≈ 258 .
答:应截取约 258 mm长的圆柱体钢.
π×(100)2×x＝300×300×90
258
258
【归纳总结】列方程解应用题的步骤:
1.审:分析题意，找 等量 关系；
2.设:根据题意 设未知数 ；
3.列:列 方程 ；
4.解:解这个 方程 ；
5.验:检验；
6.答.
等量
设未知数
方程
方程
行程问题
阅读本课时例2的内容，填空:
路程、平均速度、时间之间的等量关系为 平均速度×时间 ＝ 路程 .
平均速度×时
间
路程
·导学建议·
解应用题时，教学中应注重教学生如何审题，如何寻找等量关系，一步一步梳理列方程解应用题的步骤.
1.有一位工人师傅将底面直径为10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是( B )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
B
2.甲、乙二人从相距21 km的两地同时出发，相向而行，120 min后相遇.甲每小时比乙多走300 m，设乙的速度为x km/h，下面所列方程正确的是( B )
A.2(x＋300)＋2x＝21
B.2(x＋0.3)＋2x＝21
C.120(x－300)＋120x＝21
D.120(x－0.3)＋120x＝21
B
3.一条猎犬发现前方100米处有一头野猪以10米/秒的速度向正前方逃窜，猎犬立即以15米/秒的速度追赶(猎犬追赶路线与野猪逃跑路线在一条直线上)，猎犬多少秒后可以追上野猪？若设猎犬x秒后可追上野猪，根据题意，可列方程为( C )
A.＋＝100 B.－＝10
C.15x＝10x＋100 D.10x＋15x＝100
C
几何图形问题
1.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( A )
A
A.π×()2x＝π×()2×(x＋5)
B.π×()2x＝π×()2×(x－5)
C.π×82x＝π×62×(x＋5)
D.π×82x＝π×62×5
方法归纳交流 几何问题的常见等量关系是两种图形的体积或者面积相等.
相遇问题
2.A、B两地间的公路长为375 km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从A，B两地同时出发沿公路相向而行，轿车的平均速度为90 km/h，公共汽车的平均速度为60 km/h.它们出发后多少小时在途中相遇？
解方程，得x＝2.5.
答:两车出发后2.5小时相遇.
解:设两车出发后x h相遇，根据题意，得
90x＋60x＝375，
[变式演练]在上面的问题中，若公共汽车比轿车早出发1小时，那么公共汽车开出多长时间后与轿车相遇？
解:设公共汽车开出x小时后与轿车相遇，根据题意，得
60x＋90(x－1)＝375.
解方程，得x＝.
答:公共汽车开出 h后与轿车相遇.
方法归纳交流 怎样分析路程问题中的数量关系？线段示意图.
画线段示意图.
追及问题
3.学校科技小组的同学乘公共汽车去较远的省城参观科技展览.小明因为特殊原因要晚出发半小时，但他在同一地点乘坐了速度更快的高速客车追赶大家.公共汽车和高速客车的速度分别是60 km/h和80 km/h，高速客车在出发后多少小时可追上公共汽车？追上的地点距出发点有多远？
解方程，得x＝1.5，
80x＝80×1.5＝120.
答:略.
解:设高速客车出发后x h追上公共汽车，根据题意，得80x＝60(x＋0.5)，
[变式演练]在上面的问题中，设高速客车在距出发点y km处追上公共汽车，仍对上面的问题列方程求解.
解:设高速客车在距出发点y km处追上公共汽车，
根据题意，得＝－，
解这个方程，得y＝120，＝＝1.5.
答:略.
方法归纳交流 相遇问题和追及问题中的等量关系有什么不同？
相遇问题中的等量关系:两车行驶的路程之和等于总路程；追及问题中的等量关系:两车行驶的路程相等.
·导学建议·
教师可以让学生讨论、交流，分析应用题中如何设未知数.对于行程问题，一般可以让学生画线段示意图帮助分析理解，从而准确地找出题中包含的等量关系，快速解决问题.
1.如图，轩轩将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？为解决这个问题，轩轩设正方形的边长为x cm，则依题意可得方程为( A )
A.4x＝5(x－4) B.4(x－4)＝5x
C.4x＝5(x＋4) D.4(x＋4)＝5x
A
2.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)一书，有一道题目如下:“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”译文:“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马x天可以追上慢马，则可以列方程为 240x－150x＝150×12 .
240x－150x＝150×12
3.A，B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行.已知甲的速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车还相距50千米，则t的值是多少？(列方程解应用题)
解:由题意可得，120t＋80t＝450－50或120t＋80t＝450＋50，
解得t＝2或t＝2.5.
答:t的值是2或2.5.
