第3章 能力微专训——一次方程(组)的解法技巧
专训导读
从数学学科本质看,方程是代数学的核心内容,正是对它的研究推动了整个代数学的发展.于是,有关数学史经常将代数定义为“以解方程为核心的学科”.可见“方程”在整个代数学领域有着极其重要的作用和意义.课程标准要求学生能解方程,包括一元一次方程、二元一次方程组等.解方程的重点是化归,化归思想承载着数学学科核心素养的数学运算和逻辑推理.因此,学好(解)方程的关键不仅是要有良好的数学运算能力和逻辑推理能力,还需掌握必要的数学思想与方法.同时,要在解方程(组)的过程中,不断提高数学运算能力和逻辑推理能力,掌握有关的数学思想、方法,为后续学习不等式(组)和函数等做好知识储备.
题型突破
一、运用整体思想解题
题型一 整体替换法
例1 若方程组的解是则方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】C
方法归纳交流 如果从整体上来看,两个方程组具有“形异而质同”的特点,那么就可以通过“等效替换”建立较为简单的方程或方程组,从而避免不必要的烦琐计算,甚至可以解决无法通过直接计算求解的问题.
[变式演练]已知关于x,y的二元一次方程组的解为则关于m,n的二元一次方程组的解为
【答案】
题型二 构造整体法
例2 已知实数x,y,z满足则代数式3(x-z)+1的值是 ( )
A.-2 B.-4 C.-5 D.-6
【答案】B
方法归纳交流 当问题中未知数的值不能逐一求出或者求解比较复杂时,通常要转换角度,从已知条件出发,进行适当的变换构造出与目标相应的整体,再用这个整体来解决问题.当然,问题不同构造整体的方式也不同.
[变式演练]1.某商场推出A、B、C三种特价玩具,若购买A种2件、B种1件、C种3件,共需24元;若购买A种3件、B种4件、C种2件,共需36元.那么小明购买A种1件、B种1件、C种1件,共需付款 ( )
A.11元 B.12元
C.13元 D.不能确定
2.已知关于x,y的方程的解满足x+y=-3,则a= .
3.已知关于x,y的方程的解满足x-y=9,则k= .
【答案】1.B 2.5 3.3
二、解方程(组)的特殊方法
题型三 换元法
例3 解方程(组):
(1)(x+2020)+(x+2019)=3-(x+2021).
(2)
(3)
【答案】解:(1)设x+2020=y,
则x-2019=y-1,x+2021=y+1.
所以原方程化为y+(y-1)=3-(y+1),
解得y=3,所以x=-2017.
(2)设=u,=v,
则方程组变形为
解得
所以=3,=-1,
所以原方程组的解为
设===k,
则x=2k,y=3k,z=4k.
因为2x-y+2z=-9,
所以4k-3k+8k=-9,即k=-1.
所以x=-2,y=-3,z=-4,
所以原方程组的解为
方法归纳交流 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法,它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决.换元法也是解方程(组)常用的方法之一,其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示,从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元方程的目的.换元时要尽可能把分散的条件联系起来,把隐含的条件显露出来,便于进行有效地设元,达到转化的目的.
题型四 整体代入法
例4 解方程组:
【答案】解:由②,得3x+6x-4y=-35,
即3x+2(3x-2y)=-35.③
把①代入③,得3x+2×(-13)=-35.
解得x=-3.
把x=-3代入①,得y=2.
所以方程组的解为
方法归纳交流 在解方程组时,把系数的绝对值较大的方程进行“改造”,构造或分离出另一个方程含未知数的部分,再用代入法求解.
[变式演练]方程组 的解为 .
【答案】
题型五 整体相加(减)法
例5 解方程组:(1)
(2)
【答案】解:(1)①+②,得16x+16y=80,即x+y=5.③
①-②,得-2x+2y=2,即x-y=-1.④
③+④,得2x=4,即x=2.
③-④,得2y=6,即y=3.
所以方程组的解是
(2)①+②+③,得2(x+y+z)=6,即x+y+z=3.④
④-①,得z=2,④-②,得x=1,
④-③,得y=0.
所以方程组的解为
方法归纳交流 解系数“轮换对称”的方程组,常用整体相加(减)的方法求解.
[变式演练]方程组的解为 .
【答案】
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第3章 一次方程与方程组
能力微专训——一次方程组的解法技巧
从数学学科本质看，方程是代数学的核心内容，正是对它的研究推动了整个代数学的发展.于是，有关数学史经常将代数定义为“以解方程为核心的学科”.可见“方程”在整个代数学领域有着极其重要的作用和意义.课程标准要求学生能解方程，包括一元一次方程、二元一次方程组等.解方程的重点是化归，化归思想承载着数学学科核心素养的数学运算和逻辑推理.
因此，学好(解)方程的关键不仅是要有良好的数学运算能力和逻辑推理能力，还需掌握必要的数学思想与方法.同时，要在解方程(组)的过程中，不断提高数学运算能力和逻辑推理能力，掌握有关的数学思想、方法，为后续学习不等式(组)和函数等做好知识储备.
题型突破
一、运用整体思想解题
整体替换法
题型突破
例1 若方程组的解是则方程组的解是( C )
C
A. B.
C. D.
方法归纳交流 如果从整体上来看，两个方程组具有“形异而质同”的特点，那么就可以通过“等效替换”建立较为简单的方程或方程组，从而避免不必要的烦琐计算，甚至可以解决无法通过直接计算求解的问题.
[变式演练]已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于m，n的二元一次方程组的解为 .
构造整体法
例2 已知实数x，y，z满足则代数式3(x－z)＋1的值是( B )
B
A.－2 B.－4 C.－5 D.－6
方法归纳交流 当问题中未知数的值不能逐一求出或者求解比较复杂时，通常要转换角度，从已知条件出发，进行适当的变换构造出与目标相应的整体，再用这个整体来解决问题.当然，问题不同构造整体的方式也不同.
[变式演练]1.某商场推出A、B、C三种特价玩具，若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元.那么小明购买A种1件、B种1件、C种1件，共需付款( B )
A.11元 B.12元
C.13元 D.不能确定
B
2.已知关于x，y的方程的解满足x＋y＝－3，则a＝ 5 .
3.已知关于x，y的方程的解满足x－y＝9，则k＝ 3 .
5
3
(2)
二、解方程(组)的特殊方法
换元法
例3 解方程(组):
(1)(x＋2020)＋(x＋2019)＝3－(x＋2021).
(3)
解:(1)设x＋2020＝y，则x－2019＝y－1，x＋2021＝y＋1.
所以原方程化为y＋(y－1)＝3－(y＋1)，
解得y＝3，所以x＝－2017.
所以原方程组的解为
(2)设＝u，＝v，
则方程组变形为解得
所以＝3，＝－1，
(3)设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k.
因为2x－y＋2z＝－9，
所以4k－3k＋8k＝－9，即k＝－1.
所以x＝－2，y＝－3，z＝－4，
所以原方程组的解为
方法归纳交流 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决.换元法也是解方程(组)常用的方法之一，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元方程的目的.换元时要尽可能把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，便于进行有效地设元，达到转化的目的.
整体代入法
例4 解方程组:
解:由②，得3x＋6x－4y＝－35，即3x＋2(3x－2y)＝－35.③
把①代入③，得3x＋2×(－13)＝－35.
解得x＝－3.
把x＝－3代入①，得y＝2.
所以方程组的解为
把x＝－3代入①，得y＝2.
所以方程组的解为
方法归纳交流 在解方程组时，把系数的绝对值较大的方程进行“改造”，构造或分离出另一个方程含未知数的部分，再用代入法求解.
[变式演练]方程组 的解为 .
整体相加(减)法
例5 解方程组:(1)
(2)
解:(1)①＋②，得16x＋16y＝80，即x＋y＝5.③
①－②，得－2x＋2y＝2，即x－y＝－1.④
③＋④，得2x＝4，即x＝2.
③－④，得2y＝6，即y＝3.
所以方程组的解是
(2)①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝6，即x＋y＋z＝3.④
④－①，得z＝2，④－②，得x＝1，
④－③，得y＝0.
所以方程组的解为
方法归纳交流 解系数“轮换对称”的方程组，常用整体相加(减)的方法求解.
[变式演练]方程组的解为 .
