数 学 2024.5
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设随机变量,=0.3，则函数无零点的概率为
2.已知复数满足，则的虚部是
3.已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则
甲是乙的充分条件但不是必要条件 甲是乙的必要条件但不是充分条件
甲是乙的充要条件 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.已知函数是偶函数，则的值是
5.已知双曲线的左、右焦点分别为，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的离心率为
6.已知且则下列不等式成立的是
7.已知则
8.已知函数均是定义在为的导函数,且，若为奇函数，则下列说法正确的是
是周期函数 为奇函数
关于对称
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线, 阿基米德三角形，弦过的焦点,其中点在第一象限，则下列说法正确的是
点的纵坐标为 的准线方程为
.若,则的斜率为 面积的最小值为
10.如图在四棱柱中，底面四边形是菱形，，，平面, ，点与点关于平面对称，做任意平面，平面与上、下底面的交线分别为和，则下列说法正确的是
三棱锥的体积为
11.在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，我们称服从“几何分布”，经过计算，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则那么下列说法正确的是
的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量，将绕原点顺时针旋转到的位置，则 .
13.已知圆，圆，直线与圆分别相交于四点，若,则直线的方程可以为 （写出一条满足条件的即可）.
14.在中,角所对的边分别为，函数，图象的相邻两对称轴间的距离为，且将的图象向右平移个单位得到的图象且，的内切圆的周长为.则的面积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13分)
已知四名选手参加某项比赛，其中为种子选手，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为.比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军。
（1）若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？
（2）选手与选手相遇的概率为多少？
（3）以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？
方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；
方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛.
16.(15分)
如图，在五面体中，面面，平面，二面角的平面角为.
（1）求证：是梯形；
（2）点在线段上，且，求二面角的余弦值.
17.(15分)
已知椭圆的两个顶点分别为,焦点在轴上，离心率为,直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由．
18.(17分)
已知函数,其中.
（1）求曲线在点处切线的倾斜角；
（2）若函数的极小值小于，求实数的取值范围；
（3）证明：.
19.(17分)
设如果存在使得,那么就说可被整除(或整除),记做且称是的倍数,是的约数(也可称为除数、因数). 不能被整除就记做.由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若②互质，若③若其中
（1）若数列{}满足，，其前项和为，证明：；
（2）若为奇数，求证:能被整除；
（3）对于整数与，, 求证：可整除.山东中学联盟2024年高考考前热身押题
数学答案解析
2024.5
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1.答案：B
解析：因为函数()=2-+1无零点，所以△=2-4<0，解得-2<<2，且(<-2)=0.3，
所以(-2<<2)=1-2(<-2)=0.4.故B项正确.
2.答案：A
解析：因为=芸=+2=+，所以=引，所以的虚部是-号故A正确，
2-
5
3.答案：D
解析：若公差>0，如数列-10，-9，-8，-7，…，0,1,2，…，则数列的前n项和先减再增：
若{}是递增数列，如=，则=1为常数列，故=0：
所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D项正确。
4.答案：A
解析：因为函数()=
(1+)是偶函数，所以()=（)，即(-)=sin(-)(1+一)=
(1+)=(（1+一）所以士=2，即=-2，故A正确，
5.答案：B
解析：由题意知：||=|1=，且！1|=③|=V3,在△1中，
由余弦定理知1=号
所以
2=-号=写所以2=-=V3,离心率=-=1+号=2，
故B正确.
6.答案：C
解析：因为+=，所以2+上=1，
对于A项：+=(+)（仁+月=2+-+-≥2+2=4，当且仅当==2时取“=”，故A错误；
对于B项：因为
=+≥2W厂，所以≥4,2+2=2≥24=2，当且仅当==2
时取“=”，故B错误；
对于C项：因为=+，所以=1>0，所以>1，
>1等价于
>1,等价于>1
构造函数()=+上-1(>1)，'()=上-=÷>0，所以()在(1，+)上单调递增：
所以()>(0)=0恒成立，所以不等式
>1成立，故C正确：
对于D项：取==2，则V厂+V厂=2V2<3,故D错误.
7.答案：D
解析：
=sin(+)=
数学答案解析第1页（共8页）
2-2=cos[(+)+(-)】-cos[(+)-(-〗=-2sin(+)sin(-)=-sin(-
)=子所以（一）=-子故D正确
8.答案：C
解析：(+1)+(+2)=2
①
(-1)-(4-)=4
②
将②式中换为2-得(1-)-(2+)=4③
①+③得(+1)+(1-)=6，所以()关于(1,3)中心对称：
将②式中换为2+得：(+1)-(2-)=4
④
①④得：(2+)+(2-)=-2≠0，所以=（+2)不是奇函数，故B错误：
'(2+)-(2-)=0即'(2+)='(2-)，所以=()关于=2对称，故C正确：
又(0)=0，(1)=3，(2)=6，，()=3=2024无解，且()无周期，故A和D均误。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案：AD
解析：对于A项，设A(x,),B(x2,y2),直线AB:y=x+2,
联立C:×2=8y,消去y,得x2-8-16=0,△=64k2+64>0,所以，x1+x2=8k,xx2=-16,
1
11
11
由：2=8，得)=4X,则点A处的切线：y=4x-8,①同理点B处的切线：y=4
4
85,②
联立①②，得x=+龙，y=-2,所以，点P(4k,-2),故A正确：
2
对于B项，准线方程为y=-2,故B错误：
对于C项，AF=y+2=8,得y=6,所以P(4V3,6),kB=k=
6-2V5
4331
故C错误；
对于D项，MB=+乃+4=k(G+x)+8=8k2+8,点P到直线AB的距离为：d=42+4
V1+k21
所以Smn24d=8+84=16+ke,
3
V1+k2
当k=0时，△4BP有最小值16.故D正确.
10.答案：ABD
解析：对于A项，因为
一1111是四棱柱，上、下底面平行且平面与上、下底面的交线分别为1和2，
所以1/12，故A正确：
数学答案解析第2页（共8页）
