内蒙古自治区赤峰市红山区部分学校2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题（含解析）

红山区部分学校2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章至选择性必修第三册第七章7.3。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若X服从两点分布,P(X=1)-P(X=0)=0.34,则P(X=1)=
A.0.57 B.0.67 C.0.68 D.0.77
2.函数f(x)=3 +sin2x的图象在x=1处的切线斜率为
A.3ln3+2cos2 B.3+2cos2
C.3ln3+cos2 D.3+cos 2
的展开式中x 的系数为
A.1 B.6 C.12 D.24
4.已知 则
A. B. C. D.
5.已知函数 的导函数存在两个零点，则a的取值范围是
A.(1,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,2)
6.已知定义域为[a,b]的函数 f(x)的导函数为f'(x),f(a)A.[f(x ),f(x )]
B.[f(x ),f(x )]
C.[f(a),f(b)]
D.[f(x ),f(b)]
7.15名学生与5名老师站成一排拍照，要求5名老师两两不相邻，则不同的排法数为
A.
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8.若( 则
A.-63 B.-9 C.9 D.63
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为 且 表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s)，则
A.该物体瞬时速度的最小值为1m /s
B.该物体瞬时速度的最小值为2m /s
该物体在第1 s时的动能为16 J
D.该物体在第1s时的动能为8 J
10.在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至多2张，则下列结论正确的是
A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况
B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况
C.若仅有2人获奖，则共有 36种不同的获奖情况
D.若仅有3人获奖，则共有144种不同的获奖情况
11.已知随机变量X，Y的分布列分别如表所示，且a>0，b>0，则
Y 1 2 3
P b 0.5 a°
A. E(X)+E(Y)=4 B.→1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有 ▲ 种.
13.已知E(X)=3,D(2X-1)=8,则E(2X-1)+D(X)= ▲ .
14.某中学研究性学习课题小组在研究某一圆柱形饮料罐的容积、表面积(用料)时遇到了一些困难，请你一起思考并帮助他们解决如下问题：当圆柱形饮料罐的容积V一定时，要使得饮料罐的表面积S最小，圆柱形饮料罐的高h和底面半径r需满足的关系式为 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演纂步骤.
15.(13分)
已知(
(1)求
(2)求
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16.(15分)
甲、乙两人参加知识竞赛，按甲先乙后的次序，每人通过不放回抽签的方式抽取一道试题，回答正确即可晋级.已知被抽取的5道试题中有2道是难题，3道是基础题.
(1)求甲抽到难题的概率；
(2)在甲抽到基础题的情况下，求乙也抽到基础题的概率；
(3)若甲答对难题、基础题的概率分别为0.6，0.9，求甲晋级的概率.
17.(15分)
不透明的袋子中装有6个红球，3个黄球，这些球除颜色外其他完全相同.从袋子中随机取出 4个小球.
(1)求取出的红球个数大于黄球个数的概率；
(2)记取出的红球个数为 X，求 X 的分布列与期望.
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18.(17分)
在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合 这样的点共有 n个.
(1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数；
(2)求这n个点能确定的直线的条数；
(3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数.
19.(17分)
已知函数
(1)当 时,求 f(x)的零点;
(2)若f(x)恰有两个极值点，求a的取值范围.
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高二数学试卷参考答案
1. B 依题意可得P(X=1)+P(X=0)=1,所以
则
3.C 展开式的通项公式为 令6-r=5,得r=1,则x 的系数为
5. C 由 得 则△=4-4a>0,解得a<1.
6. D 当x∈[a,x )时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x ,b]时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,则 因为 f(a)7.D 先将15名学生的位置进行全排，有 A种，再从产生的16个空位选5个排5名老师，共有 A{6种,所以不同的排法数为 A}{A{6,
8. A 对等式( 两边同时求导，得 即 令x=1,得 9a .
9. AD 由题意得 则该物体瞬时速度的最小值为1m /s ，A正确，B错误.
由 得 所以该物体在第 1 s时的动能为8 J，C 错误，D正确.
10. ACD 若甲、乙、丙、丁均获奖,则共有 种不同的获奖情况，A 正确.
若甲获得了一等奖和二等奖，则其他3人有1人获得2个奖项或者有2人各获得1个奖项，共有 种不同的获奖情况，B错误.
若仅有2人获奖，则有2人各获得2个奖项，共有 种不同的获奖情况，C正确.若仅有3人获奖，则有1人获得2个奖项，有2人各获得1个奖项，共有 种不同的获奖情况，D正确.
11. ABD 由分布列可知 且 所以E(X)+E(Y)=3+2a+2b=4,E(X)-E(Y)=2b-2a=1-4a,,则-1< .则
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则 故选 ABD.
12.15 根据分类加法计数原理，不同的选法共有5+5+5=15种.
13.7 由E(X)=3,得E(2X-1)=2×3-1=5,由 ,得D(X)=2,所以E(2X-1)+D(X)=7.
14. h=2r 由 得
则
所以
令S'(r)=0,解得
当 时,S'(r)<0,S(r).单调递减，当 时,S'(r)>0,S(r)单调递增,
所以当 时，S(r)取得最小值，此时
另解：由 可得 代入 中可得
15.解:(1)由题意得 则 2分
令x=1,得 ① 4分
所以 6分
(2)令x=-1,得 ,② 8分
①+②,得 , 11分
所以 ………………………………………………13分
16.解：(1)甲抽到难题的概率为 …………………4分
(2)在甲抽到基础题的情况下，乙也抽到基础题的概率为 8分
(3)用事件A ，A 分别表示甲抽到难题、基础题，用B表示甲晋级，由题意得P(A )=0.4,P(A )=1-0.4=0.6,P(B|A )=0.6,P(B|A )=0.9,…… 11分所以由全概率公式得 . 15分
17.解：(1)从袋子中随机取出4个小球，共有( 种不同的取法， 2分
由取出的红球个数大于黄球个数，可知取出3个红球或4个红球， 3分
取出3个红球的取法有 种, 4分
取出4个红球的取法有 种, 5分
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所求的概率 ……6分
(2)由题可知,X的取值可能为1,2,3,4, 7分
且 …9分
…11分
X的分布列为
X 1 2 3 4
P
…………………………………………12分
…15分
18.解:(1)点的横、纵坐标均有4种可能,则n=4×4=16, 2分所以所求线段的条数为 …………………………………………………………4分
(2)如图，在这n个点中，仅有4点共线的直线有9条， 6分仅有3点共线的直线有2条，…………………………7分
所以这n个点能确定的直线的条数为 2=71. 11分
(3)从这n个点中选出3个点，共有 种选法.… 13分
在同一条直线上的3个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为 …………………17分
19.解:(1)当a=1时,f(x)=0等价于x+lnx-1=0. 2分
令g(x)=x+lnx-1,显然g(x)在(0,+∞)上单调递增. 4分
因为g(1)=0,所以f(x)有且仅有一个零点x=1. 6分
(2)由 得 …7分
令h(x)=2x+alnx+a-1,则 …8分
若a≥0,则h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,h(x)在(0,+∞)上单调递增,h(x)最多只有一个零点，则f(x)最多只有一个极值点，不符合题意. 9分
若a<0,则当. 时,,h'(x)<0,h(x)单调递减,当 时,
h(x)单调递增,则 …10分
令 则 当 时,
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φ(x)单调递增,当 时, p(x)单调递减,…11分
则 从而 …12分
显然,当x→0时,h(x)→+∞,则 13分
令 则 易得 恒成立，故m(x)单调递增. 14分
当x>0时,m(x)>m(0)=0,即 则 因为 所以 …… 15分
当 时, 当 时, ，则h(x)的单调递增区间为(0,x )和( 单调递减区间为( ,则f(x)恰有两个极值点. 16分故当f(x)恰有两个极值点时,a的取值范围为(-∞,0).………………………………17分
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