参考答案： π
所以 sin( ) cos 3 3 10 .
1．D 2 r 10
故选：A
【分析】利用向量、零向量、单位向量及共线向量的定义，逐一对各个选项分析判断，即可得出结
5．C
果.
【分析】根据角 的终边在直线 y x上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情
【详解】对于选项 A，由零向量的定义知，零向量方向任意，所以选项 A错误，
况，即可求出角 的集合.
对于选项 B，当共线向量方向相反时，它们肯定不是相等向量，所以选项 B错误，
【详解】由题意知角 的终边在直线 y x上，
对于选项 C，向量不能比较大小，所以选项 C错误，
故 k 360 45 ,k Z 或 k 360 225 ,k Z ，
对于选项 D，单位向量的模长均为 1个单位长，所以选项 D正确，
故选：D. 即 2k 1 180 135 ,k Z或 2k 2 180 135 ,k Z ，
2．D 故角 的取值集合为 ∣ k 180 135 ,k Z .
【分析】先求出两个向量的坐标，再根据数量积的坐标公式计算即可.
故选：C.
【详解】因为 A(1,2),B(2,3),C( 2,5)，
6．C
所以 AB 1,1 , BC 4,2 ， 【分析】先求出函数的增区间，结合选项可得答案.
所以 AB BC 4 2 2 . π 3π π【详解】令 2kπ π 2x 2kπ， k Z，得 kπ x kπ+ ，
4 8 8
故选：D.
令 k 0可得， f x 3π π 的一个增区间为 , ，结合选项可得 C符合题意.
3．A 8 8
故选：C
【分析】根据正弦定理即可求解.
7．C
【详解】 在 ABC中， A 60 ， AC b 4， BC a 2 3，
【分析】根据投影向量定义计算即可.
3
由正定理得： a b 4 sin B b sinA 2 a b b 4 1 cos120 1 ， 【详解】由投影向量定义可知， a 在b 上的投影向量为 b 2bsin A sin B a 2 3 b b 1 .
由于 B 0, π ，所以 B π
2 故选：C
故选：A 8．C
4．A 【分析】延长 AD到点 E使DE AD，连接CE，根据 ABD ECD可得 ABC面积等于△ACE的
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义结合诱导公式求解即得. 面积，利用余弦定理求出 cos ACE，再求出 sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案．
【详解】角 的终边过点 (3,1)，则 r 32 12 10 ， 【详解】如图所示，
答案第 1页，共 4页
{#{QQABIYAUoggoAJIAARgCAwUQCACQkACCCAoOABAEsAIAyAFABAA=}#}
f π π π 2π因为 2sin
π
2 2sin 3不是最值，所以直线 x 不是函数 f (x)的对称轴，B错
6 6 3 3 6
误；
f π 因为 2sin 2
π
π
2sin 0 0 x
π
，所以 是函数 f (x)的零点，C正确；
6 6 3 6
由正弦函数的值域可知， f (x)的最大值为 2，D错误.
延长 AD到点 E使DE AD，连接CE， 故选：BD
又∵ BD DC, ADB CDE，∴ ABD ECD (SAS)， 11．BD
∴CE AB 2 2, AE 2 5, ABC的面积等于△ACE的面积． 【分析】由已知条件，利用正弦定理角三角形，根据结果判断解的个数.
a c
【详解】由正弦定理， ，得 sinC
csinA
2 2 2 ，sinA sinC a
在△ACE中，由余弦定理得 cos ACE AC CE AE 6 8 20 3 ，
2AC CE 2 6 2 2 4 A π ,c 2,a 1 sinC csinA若 ， 2 1， ABC无解，A选项错误；
6 2 a
0 ACE π sin ACE 1 3 13又 ，则 ，
A π ,c 2,a 1 sinC csinA π16 4 若 ， 1，得C ， ABC恰有一个解，B选项正确；
6 a 2
S 1 1 13 39∴ ABC S ACE AC CEsin ACE 6 2 2 ． π 3 csinA 22 2 4 2 若 A ,c 2,a ， sinC ， c a，C有两解， ABC有两个解，C选项错误；6 2 a 3
故选：C．
A π若 ,c 2,a 2， c a，C
π
， ABC恰有一个解，D选项正确.
9．AC 6 6
故选：BD
【分析】根据 所在的象限，结合基本不等式，即可求解.
4 12． sin x
【详解】若 tan ，则 为第一或第三象限角，
3 【分析】根据伸缩变换和平移变换得到答案.
sin 4
π π
当 第一象限时， cos 3 ，得 sin
4
= ， cos
3
， 【详解】 y sin 2x 纵坐标不变，横坐标变为原来的 2倍变为 f x sin x ，
sin
2 cos2 1 5 5 3 3
π
sin 4 将 f x 图象上所有点向右平移 个单位，
当
4 3 3
第三象限时， cos 3 ，得 sin ， cos ，
sin2 cos2 1 5 5 π π π 可得 g x f x sin x sin x .
3 3 3
故选：AC
故答案为： sin x
10．BD 1
13．
【分析】利用周期公式可判断 A；代入验证可判断 BC；由正弦函数值域可判断 D. 3
2π 【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】由周期公式知T π，A正确；
2
答案第 2页，共 4页
{#{QQABIYAUoggoAJIAARgCAwUQCACQkACCCAoOABAEsAIAyAFABAA=}#}
3π π π 1 【分析】（1）计算出扇形的弧长，可求得扇形的圆心角的弧度数；
【详解】 sin sin π sin .
4 4
4 3 （2）利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
1 4 2
故答案为： 【详解】（1）解：由题意可知，该扇形的弧长为 l 16 2 6 4，故该扇形圆心角的弧度数为 .
3 6 3
1 1
14． /0.5 （2）解：由题意可知，该扇形的面积为S 4 6 12 .
2 2
3 r
x 16．（1 r r） c 2a b ；（2） k 1；（3） k
7
.
【分析】建立平面直角坐标系求得向量的坐标表示联立方程组即可求得 2，可得结果. 9
y 2
【分析】（1 c
）设 xa yb，进而根据向量相等，利用向量数乘运算，加法运算的坐标公式计算即
【详解】以O为坐标原点，分别以 AB,OC为 x, y轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：
可；
（2）由向量坐标运算得 a k c 1 3k, 2 3k ，b a 2, 1 ，再根据向量共线坐标表示计算即可；
（3）由向量坐标运算得 a 2b 1,4 ，再根据向量垂直的坐标表示即可得答案.
【详解】（1）设 c xa yb；所以有 3,3 x 1,2 y 1,1 ，
x y 3 x 2
, r r
r
2x y
，所以
3 y 1
c 2a b
易知O 0,0 , A 1,0 ,B 1,0 ,C 0, 3 ,D 1 ,
3
，
2 2
（2）因为 a k c 1 3k, 2 3k ， b a 2, 1 ，
3 3 则OC 0, 3 ,AB 2,0 ,AD , ， 因为 a k c / / b a ，所以： 1 3k 2 3k 2 0，
2 2
3 解得 k 1 .
2x y 0 3 2 x
由OC xAB yAD 可得 ，解得 2； （3）因为 a 2b 1,4 ， a k c 1 3k, 2 3k ， a k c a 2 b ，
3
y 3
y 2
2
所以 a k c a 2 b 0，即： 1 3k 4 2 3k 0，
可得 x y 12 .
解得： k
7
1 9
故答案为： 2
【点睛】方法点睛：设 a x1 , y1 , b x2 , y2 2
，
15．(1) 3
则 a/ / b x ，1y2 x2 y1 0 a b x1x2 y1y2 0
(2)12
17．(1)
3
答案第 3页，共 4页
{#{QQABIYAUoggoAJIAARgCAwUQCACQkACCCAoOABAEsAIAyAFABAA=}#}
a 3b 7 f x T 1 2π 5π π π(2) 设 最小正周期为T， ，∴ 2，
4 4 12 6 4
∴ f x 2sin 2x 2，
【分析】（1）由 2a b a b 6，求得 a b 1，再利用夹角公式求解； f π 又∵ 2sin 2 π 2 4 π，且 ，
6 6
2
2 2
（2）由 a 3b a 3b ，利用数量积的运算律求解. 2 π π π∴ 2kπ， k Z ，∴ ，
6 2 6
【详解】（1）解：∵ a 2，b
1 3 π
, ， ∴函数 f x
的解析式为 f x 2sin 2x 2 .
2 2 6
x π , π π π π π 1
b 1 （2）当∴ ， 6 6
时， 2x ， ， sin 2x ，1 ，6 6 2 6 2
π
2 2 2 2 ∴函数 f x 2sin 2x 2的取值范围是 1,4 .又 2a b a b 2a a b b 2 a a b b 6 . 6
解得 a b 1， 19．(1) (
1 3
, )；(2) arccos 2 5 .
2 2 5
a b 1 1 cos 【分析】(1)利用OP与 e1 的数量积及OP为单位向量列出方程组，求解即得；∴ a b 2 1 2，
(2)类比平面向量的长度及夹角公式，计算向量OP与 e1 的夹角的余弦得解.
又∵ 0, ，
【详解】(1) 90 时，坐标系 xOy为平面直角坐标系，
∴ （或 60 ）.
3 设点 P(x,y)，则有OP (x, y)，而 e1 (1,0)，OP e1 x，
2
（2）∵ a 3b 2a 3b ，
又OP e |OP | |e
1 1
1 1 | cos120 ，所以 x ，又因 |OP | x2 y2 1，
2 2
2 2
2 2 2
a 3b a 6a b 9b a 6 a b cos 9 b 7，
3 3 1 3解得 y ，故点 P的坐标是 ( , )；
2 2 2
∴ a 3b 7 .
(2)依题意e1,e2 夹角为 45 ， e1 e2 |e1 | |e2 | cos 45
2 ，OP e1 2 e2 2
，
18．(1) f x 2sin π 2x 2 2
6 2 |OP | | e1 2 e2 | (e1 2 e )
2
2 e ，1 2 2e1 e2 2e2 5
(2) 1,4
OP e1 |OP |
2
|e1 | cos 5 cos ，OP e1 (e1 2 e2 ) e1 e1 2 e2 e1 2 ，
【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出A， B，由周期求出 ，由特殊点求出 ，即可求得函
5 cos 2 cos 2 5所以 ＝ ， ，而 [0, ]，故 arccos 2 5 .
数解析式； 5 5
x π π , 2x π π
【点睛】坐标系下新定义的创新试题，类比原有平面向量的模、数量积解决，但不能直接类比原有
（2）由 求出 的范围，再求出 sin 2x 的取值范围，即可求得函数的取值范围. 6 6 6 6 平面向量的直角坐标方法处理.
4 0 4 0
【详解】（1）由图象可知， A 2，B 2，
2 2
答案第 4页，共 4页
{#{QQABIYAUoggoAJIAARgCAwUQCACQkACCCAoOABAEsAIAyAFABAA=}#}2024 年蓝天集团高一数学期中考试试卷
考试时间：120 分钟 总分：150 分
二、多选题（每小题 6分，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得 0分，共
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 18 分）
一、单选题(每小题 5 分，共 40 分）
9．若 tan
4
，则 sin 的值可以取（ ）
1．下列命题中正确的是（ ） 3
4 3 4 3
A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 A． B．- C． D．5 5 5 5
C．若向量 a,b同向，且 a
π
b ，则 a b D．单位向量的模都相等 10．设函数 f (x) 2sin 2x ，则下列结论错误的是（ ）
3
2．已知点 A(1,2),B(2,3),C( 2,5)，则 AB BC （ ） A． f (x)的最小正周期为 π
A． 1 B．0 C．2 D． 2 B． f (x)的图象关于直线 x
π
对称
6
3．在 ABC中， A 60 ， AC 4， BC 2 3，则角 B的值为（ ） π
C． f (x)的一个零点为 x
6
A．90 B．60 C． 45 D．30
D． f (x)的最大值为 1
4．若角 的终边过点 (3,1)
π
，则 sin( ) （ ）
2 11．在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，下列各组条件中，能使 ABC恰有一个解的是
A 3 10 B 3 10 10 10． ． C． D． （ ）
10 10 10 10
π 1 π
5．若角 的终边在直线 y x上，则角 的取值集合为（ ） A． A ,c 2,a B． A ,c 2,a 16 2 6
A． ∣ k 360 45 ，k Z B ∣ k 360 135 ． ，k Z C． A π ,c 2,a 3 A π D． ,c 2,a 2
6 2 6
C． ∣ k 180 135 ，k Z D ． ∣ k 180 45，k Z 三、填空题（每小题 5分，共 15 分）
π
12．把函数 y sin 2x 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2倍，得到函数 f x 的
π 36．函数 f x cos 2x
在下列哪个区间上单调递增（ ）
4
图象；再将 f x π图象上所有点向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象，则 g x .
π ,0 π π 0, π ,0 0,
3
A． B． C． D． 2 2 4 4
13．已知sin
π 1 3π
，则 sin
4 3 4
7．若 a 4, b 1
a ，向量 与向量b 的夹角为120 ，则 a在b 上的投影向量为（ ）
14．已知 ABC是边长为 2的正三角形，O，D分别为边 AB，BC的中点，则若OC xAB yAD，
A． 3b B． 2b C． 2b D． b
则 x y ．
8．在 ABC中， AB 2 2， AC 6， BC边上的中线 AD 5，则 ABC的面积 S为( )
A 39 23 39 23． B． C． D．
4 4 2 2
{#{QQABIYAUoggoAJIAARgCAwUQCACQkACCCAoOABAEsAIAyAFABAA=}#}
18（17分）．已知函数 f (x) Asin( x ) B
π
的一部分图象如图所示，如果 A 0， 0， ．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 2
15．（13分）
一个扇形所在圆的半径为6，该扇形的周长为16 .
(1)求该扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积.
(1)求函数 f x 的解析式；
16（15分）．平面内给定三个向量 a
1,2 ，b 1,1 ，c 3,3 ，
(2) x
π
, π
当 时，求函数 f (x)的取值范围．
6 6
（1）若以 a，b
为基底，用该基底表示向量 c；
（2）若 a k c
/ / b a
，求实数 k；
（3）若 a k c a 2 b ，求实数 k .
19（17分）．如图，数轴 x, y的交点为O，夹角为 ，与 x轴、 y轴正向同向的单位向量分别是 e1,e2 .
a 2 b 1 , 3
17（15分）．已知 ， ， 2a b a b 6 . 由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量OP，存在唯一的有序实数对 x, y ，使得OP xe1 ye2 ，
2 2
(1)求向量 a与b的夹角 ； 我们把 x, y 叫做点 P在斜坐标系 xOy中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系 xOy中的坐标)．
(2)求 a 3b .
(1)若 90 ，OP为单位向量，且OP与 e1 的夹角为120 ，求点 P的坐标；
(2)若 45 ，点 P的坐标为 (1, 2)，求向量OP与e1 的夹角的余弦值．
{#{QQABIYAUoggoAJIAARgCAwUQCACQkACCCAoOABAEsAIAyAFABAA=}#}
