天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
第Ⅰ卷（共三部分；满分150分）
一、选择题
1. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接计算可得结果.
【详解】因为.
所以.
所以的虚部为.
故选：A
2. 圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的（ ）
A. 4倍 B. 3倍 C. 倍 D. 2倍
【答案】D
【解析】
【分析】设出圆锥的底面半径和母线，根据轴截面是正三角形，明确与的关系，再代入圆锥的侧面积公式可得答案.
【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面是正三角形，所以母线，
所以：.
故选：D
3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①；②；
③；④．
其中正确命题的个数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断.
【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求相交，若没有，则可能相交，故①错误；
对于②：因为线面平行的判定定理要求，若没有，则可能，故②错误；
对于③：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故③错误；
对于④：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故④错误；
故选：A.
4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在直观图中求出的长，再还原平面图，即可求出相应的线段的长度，从而求出面积.
【详解】如图，在直观图中过点，作交于点，
因为，
所以，，即
将直观图还原为平面图如下：
则，，，
所以.
故选：A
5. 一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设正方体的棱长为a,球的半径为R，
由6a2＝4πR2得＝，故
故答案为A．
6. 为所在平面内一点，且满足，则是的（ ）
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解.
详解】依题意，，
，
，
则，于是，
所以是的外心.
故选：B
7. 以下4个命题，其中正确的命题的个数为（ ）
（1）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
（2）在中，角所对的边分别是，则是的充分必要条件；
（3）已知向量，若，，则；
（4）在平面内，三点在同一条直线上，点是平面内一点，若，则.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】考虑0在虚轴上，判断（1）的真假；利用正弦定理，判断（2）的真假；考虑判断（3）的真假；利用向量共线判断（4）的真假.
【详解】对（1），因为0在虚轴上，但0是实数，故（1）错误；
对（2），由正弦定理：可得，故（2）正确；
对（3），若，则与未必平行，故（3）错；
对（4），因为三点共线，所以存在实数，使得，
令，则且，故（4）正确.
所以正确的命题是（2）（4）
故选：C
8. 已知球O为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】外接球球心为正三棱柱上下底面的外接圆圆心连线的中点，先求出底面外接圆半径，再由勾股定理即可求出外接球半径.
【详解】解：设三棱柱的高为h，底边边长为a．设球O的半径为R，
则三棱柱底面三角形的外接圆半径满足：，解得：
由题知，，
，
故球O的表面积为，
故选：B.
9. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由及面积公式与正弦定理求得， 由得，由平方结合二次函数求的最小值.
【详解】，，
由正弦定理得，
，，
，
，.
，，当且仅当时取等号.
，
.
.
故选：D
二、填空题
10. 设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为________________
【答案】2
【解析】
【分析】把复数化为代数形式，再由复数的分类求解．
【详解】，
它为纯虚数，则且，解得．
故答案为：2．
11. 已知点.则在上的投影向量为____________.
【答案】
【解析】
【分析】首先表示出、，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为，
所以，，
所以，
所以在上的投影向量为.
故答案为：
12. 在中,,则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
在中,由余弦定理的推论:,求得,结合,即可求得答案.
【详解】在中,由余弦定理的推论:,
又 .
故答案为:.
【点睛】本题考查了向量的数量积,解题关键是掌握余弦定理的推论和向量的数量积公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
13. 已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】不妨令，，表示出、的坐标，依题意可得且与不反向，根据数量积的坐标表示及平面向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】不妨令，，
所以，
，
因为与的夹角为钝角，
所以且与不反向，
若，则，解得，
若与共线，则，解得，
综上可得实数的取值范围是.
故答案为：
14. 已知过球面上A、B、C三点截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为____________，球的体积为____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径即可.
【详解】在中，由，得，则，
外接圆半径，设球半径，依题意，，
即，，
所以球的表面积，体积.
故答案为：；
15. 已知在中，，，且的最小值为3，则___________，若P为边上任在一点，则的最小值为___________．
【答案】 ①. ②. ##-3.0625
【解析】
【分析】根据数量积的运算律，可推得，令，即可得出的值；以点为坐标原点，建立直角坐标系，根据点的关系，表示出，求出最小值即可.
【详解】因为
，
当且仅当时等号成立.
又因为的最小值为，所以，
解得，所以.
如图所示建立直角坐标系，则，，，
设，.
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：本题考查了向量的模的最值，向量的数量积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键.
三、解答题
16. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若.
①求与的夹角的余弦值；
②求.
【答案】（1）或
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）利用向量共线的结论求值.
（2）先根据条件求出的值，再利用向量的数量积求夹角，利用向量的坐标求模.
【小问1详解】
因为，所以或.
【小问2详解】
因为.
此时，.
①，，.
所以.
②因为，所以.
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）过点，，的平面与棱交于点，求证：是的中点.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明平面，平面，即可得到平面平面，从而得证；
（2）首先证明平面，根据线面平行的性质得到，即，从而得证.
【小问1详解】
取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以，，
因为底面是菱形，即，所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
又，平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为过点，，的平面与棱交于点，
又，平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，
所以，所以，
所以为的中点，即与中点重合，所以是的中点．
18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且与共线.
（1）求：
（2）若，且，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共线的坐标表示结合正弦定理可求得，再由角的取值范围可求得角的值；
（2）求出、的长，在中，利用余弦定理可得出关于的方程，解出的长，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【小问1详解】
解：在中，，
因为向量与向量共线，则，
由正弦定理可得，
所以，，
、，则，所以，，因此，.
【小问2详解】
解：，且，，，，
在中，由余弦定理有，
即，即，，解得，
所以，.
19. 如图：在正方体中，为的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：平面；
（3）若为中点，求证：平面平面.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可；
（2）根据线面平行判定进行证明；
（3）根据面面平行的的判定进行证明.
【小问1详解】
显然平面，于是.
【小问2详解】
设，连接，
在正方体中，四边形是正方形，是中点，
是的中点，，
平面平面
平面；
【小问3详解】
为的中点，为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
又平面平面平面，
由（2）知平面平面平面，
平面平面.
20. 在中，内角的对边分别为，且，.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积；
（3）求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式化简整理可得，由此可得；
（2）利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果；
（3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围，令，将所求式子化为，由单调性可求得最大值.
【小问1详解】
由正弦定理得：，又，
，
即，又，，，
又，.
【小问2详解】
由余弦定理得：，解得：，
.
【小问3详解】
由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），，
又，；
，
令，，则在上单调递增，
，即，的最大值为.天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
第Ⅰ卷（共三部分；满分150分）
一、选择题
1. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的（ ）
A. 4倍 B. 3倍 C. 倍 D. 2倍
3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①；②；
③；④．
其中正确命题的个数有（ ）
A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ）
A B. C. D.
5. 一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是 ( )
A. B. C. D.
6. 为所在平面内一点，且满足，则是的（ ）
A 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
7. 以下4个命题，其中正确的命题的个数为（ ）
（1）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
（2）在中，角所对的边分别是，则是的充分必要条件；
（3）已知向量，若，，则；
（4）在平面内，三点在同一条直线上，点是平面内一点，若，则.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知球O为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（ ）
A. B. C. D.
9. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
二、填空题
10. 设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为________________
11. 已知点.则在上的投影向量为____________.
12. 在中,,则_________.
13. 已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是____________.
14. 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为____________，球的体积为____________.
15. 已知在中，，，且的最小值为3，则___________，若P为边上任在一点，则的最小值为___________．
三、解答题
16. 已知向量.
（1）若，求值；
（2）若.
①求与的夹角的余弦值；
②求.
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）过点，，的平面与棱交于点，求证：是的中点.
18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且与共线.
（1）求：
（2）若，且，，求的面积.
19. 如图：在正方体中，为的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：平面；
（3）若为的中点，求证：平面平面.
20. 在中，内角的对边分别为，且，.
（1）求的大小；
（2）若，求面积；
（3）求的最大值.
