山东省聊城市2022-2023学年高二下学期期中质量检测数学试题
1．（2023高二下·聊城期中）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意分两步完成任务：
第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；
第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，
根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数： 种，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，依次分析从A到C和从C到B的走法数目，由分步计数原理计算可得答案．
2．（2023高二下·聊城期中）曲线在处的切线方程为：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为
所以，所以，
又
所以所求切线方程为 ， 即 .
故答案为：A.
【分析】对函数 求导得，将 代入得到 ， 然后计算 ， 利用点斜式求解即可.
3．（2023高二下·聊城期中）4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】从 4 张分别写有 “中” 、“国”、“你”、“好” 四个字的卡片中随机抽取 2 张，
基本事件总数为： ，
取出的2张卡片上的文字恰好是 “中”、“国” 包含的基本事件个数 ，
根据古典概型概率公式得，取出的2张卡片上的文字恰好是 “中”、“国” 的概率为 ： .
故答案为： D
【分析】利用已知条件先求出基本事件总数 ， 在求出取出的 2 张卡片上的文字恰好是 “中”、“国”包含的基本事件个数 ， 利用古典概型概率公式求出即可.
4．（2023高二下·聊城期中）已知定义在的函数，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为y个（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】极大值点在导函数的零点处，
且满足零点的左侧为正，右侧为负，
所以根据由导函数的图象分析可得函数在上的极大值点共有2个.
故答案为：C.
【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，从而分析得出原函数的单调性，根据极大值的判定方法即可判断出极大值个数.
5．（2023高二下·聊城期中）的展开式中，的系数为（ ）
A．360 B．180 C．90 D．-180
【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】因为的通项公式为 ，
令，
在中此时含的项为，
故含 的项的系数为 ，
故答案为： A.
【分析】把变形为， 然后利用二项展开式的通项公式， 求得含 的项的系数即可.
6．（2023高二下·聊城期中）已知随机变量X服从正态分布，，则（ ）
A．0.5 B．0.72 C．0.14 D．0.86
【答案】D
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】因为随机变量X服从正态分布，
根据正态分布曲线的对称性得：，
所以
故答案为：D.
【分析】由随机变量X服从正态分布，根据分布曲线的对称性即可.
7．（2023高二下·聊城期中）在某个章节学习完成后，进行系统化归纳梳理以及个性化回顾整理，不仅可以帮助我们构建完整的知识框架，也能够及时查漏补缺，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养。某同学在学完“计数原理”这一章之后的纠错本整理过程中发现以下四个课后习题中仍然有一个结论是错误的，则该同学（ ）选项中结论有误，需要进一步落实纠错.
A．能被整除
B．乘积展开后，共有项
C．一含有5个元素的集合，其含有3个元素的子集共有20个
D．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58
【答案】C
【知识点】子集与真子集；分步乘法计数原理；简单计数与排列组合；二项式定理的应用
【解析】【解答】对于A，因为
所以
因为 为正整数，
所以 能被 整除，故A正确；
对于 B， 根据分步乘法原理，
第1步在 n个数中任取一个数有 种取法，
第2步在 n个数中任取一个数有 种取法，所以共有 种取法，
展开后， 共有 项， 故 B 正确；
对于 C， 一含有 5 个元素的集合， 其含有 3 个元素的子集共有 个， 故 C错误；
对于 D，由三棱锥结构可知以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为 个， 故 D正确.
故答案为： C.
【分析】将展开后分析能否被 整除即可判断选项A， 利用分步乘法原理分析选项 B， 根据子集概念和空间几何体的结构结合组合排列即可判断CD.
8．（2023高二下·聊城期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】当 时， 由 ， 可知 ，
所以 在 区间 上的值域为 ，
因为 在 上的值域为 ， 所以 在 上的最小值大于等于 2，
当 时， 由，
则 ，由，
可知 在 上满足 ， 在 上满足 ，
所以 在 上是减函数， 在 上是增函数，
所以最小值为 ，
因此可得 ， 解得 .实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据分段函数分时和两种情况分析，再结合题意求函数的值域以及利用函数导数关系式建立关于参数 的不等式分析解决即可.
9．（2023高二下·聊城期中）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商.
B．有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法
C．从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法
D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法
【答案】B,C
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】对于 ， 从2，11，13，17中任选两个数相除，除数和被除数与顺序有关，是排列问题，故 错误；
对于 ， 在 8 人中抽 5 人， 没有顺序问题， 是组合问题， 故 正确；
对于 ， 从20只选出 6 只， 没有顺序问题， 是组合问题， 故 正确；
对于 ， 从 9 名同学中选出 4 名分别去参加两个不同的节目， 涉及顺序问题， 是排列问题， 故 错误.
故答案为： BC.
【分析】根据组合排列的定义分别判断即可.
10．（2023高二下·聊城期中）函数的极值点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为函数，化简可得
所以 ，
令 ，即 ， 即 ，
解得 或 或 ，
所以由时，则 或 ，
当时， 或 ， ，
所以函数 在 和 上单调递减，
在 和 上单调递增，
所以 与 为极小值点， 为极大值点，
综上， 函数 的极值点为 或 或 .
故答案为： ABC.
【分析】对函数求导，然后根据函数导数单调性与函数极值点概念分析即可.
11．（2023高二下·聊城期中）甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ）
A．事件B与事件C互斥
B．
C．事件A与事件B相互独立
D．记C的对立事件为，则
【答案】C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【解答】对于A，事件B与事件C能同时发生，不是互斥事件，故A错误.
对于 ， 故 错误；
对于C选项，事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，
则 ， 又 ，，
所以 ，
所以事件 与事件 相互独立， 故 正确；
对于D，事件C表示“3次结果中没有正面向上”则，
所以， 故 正确.
故答案为：CD.
【分析】根据互斥事件定义分析即可得出A选项，利用古典概型概率求解即可知选项B，利用即可验证C选项，根据条件概率分析D选项.
12．（2023高二下·聊城期中）已知实数且则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；实际问题中导数的意义
【解析】【解答】已知如图所示：
因为，，
所以，
令 ，，
则
所以函数 在 上单调递增，
所以即
所以
①令；
令，
当时，
当时，
即
②令
令
当时，，
.
当 时， ， 即 ，
又 ，
可得 .
综上， 可得 .
故答案为：AD.
【分析】根据题意变形函数，利用函数的导数以及函数单调性，分类讨论分析即可解决问题.
13．（2023高二下·聊城期中）中国航天史是从1956年二月开始的，当时著名科学家钱学森向中央提出《建立中国国防航空工业的意见》。1956年四月，成立中华人民共和国航空工业委员会，统一领导了中国的航空和火箭事业。航空工业委员会的成立标志着中国的航天事业创业的开始。某次模拟实验中航天飞机发射后的一段时间内，第秒时的高度，（其中的单位为m，的单位为s），则第2s末的瞬时速度为 m/s.
【答案】185
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，而，
所以第2 s 末的瞬时速度为m/s.
故答案为： 185 .
【分析】对函数求导将代入计算即可.
14．（2023高二下·聊城期中）“奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动。一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有 种不同的涂法
【答案】180
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】因为有 5 种不同颜色选择，同时相邻两块地图涂不同的颜色，
第一步：由于①②③两两相邻，则①②③涂的颜色不同，
则有 种涂法，
第二步：而④与①③相邻，则④有3种涂色方法，
所以满足题意的情况共有 种不同涂色方法.
故答案为： 180 .
【分析】根据题意分两步进行分析，然后利用分步乘法计数原理计算即可.
15．（2023高二下·聊城期中）某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优化。产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量，且优秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应的值为1、2、3、4，其中优秀产品是良好产品的两倍，合格产品是良好产品的一半，不合格产品与合格产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，则 .
【答案】0.5
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】由题意优秀产品的数量是良好产品数量的两倍，
所以有，
又因为合格的数量是良好产品数量的一半，
所以，
且不合格产品的数量等于合格产品数量，
所以，
因为所有产品的总数量是固定的， 可以根据以上条件计算各个等级产品的概率：
其中 表示良品的占比，
所以有： ，即 .
所以，
.
因为 就是取到2 ，3 或 4 的概率之和：
所以所求概率为
即，
所以抽取的产品质量大于优秀的概率为 0.5 .
故答案为： 0.5 .
【分析】根据题意及概率和的性质，求出对应ξ的概率，再求出的概率即可.
16．（2023高二下·聊城期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 因为，
所以，
如果还是 在上单调递增，
即在上恒成立，
即 在 上恒成立.
令，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上有最小值，
所以， 即 .
所以实数的取值范围为.
故答案为： .
【分析】对函数求导，根据由函数在区间上单调递增，问题转化为在区间上恒成立，构造新函数求出最值即可解决..
17．（2023高二下·聊城期中）已知的二项展开式中二项式系数之和为256.
（1）求n的值；
（2）求展开式中项的系数.
【答案】（1）解：因为
所以n的值为8.
（2）解：因为，代入得原式
则通项
令则
所以
所以展开式中项的系数为-3584.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项展开式中二项式系数之和，列出方程解出即可.
（2）由（1）结合通项公式求出指定项系数即可.
18．（2023高二下·聊城期中）已知函数，，且.
（1）求的值；
（2）求函数在的最值.
【答案】（1）解：因为的定义域为.
又因为即
解得
所以的值为2.
（2）解：因为，
所以
令则
解得，
又因为
.
列表得：
0 3
\ + 0 - 0 + \
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 10
所以在处取得极大值
在处取得极小值.
又因为，
所以的最大值为10，最小值为.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求导，由解出的值即可
（2）利用函数导数，求出函数的极值和端点值比较即可.
19．（2023高二下·聊城期中）甲、乙、丙三位电竞爱好者参加一项比赛的海选赛测试，三人测试相互独立，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙小.
（1）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（2）求测试结束后通过的人数X的数学期望.
【答案】（1）解：设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、，或.
由题意得：，
解得或（舍去）
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是，.
（2）解：的取值分别为0，1，2，3，
则，，
，
所以；
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、，或根据题意建立方程组解出即可.
（2）由题意知的取值分别为0，1，2，3分别求出概率即可得的分布列，然后求出即可.
20．（2023高二下·聊城期中）（结果可用指数幂的形式表示）
设.求：
（1）；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）解：令即
则
即
（2）解：令即时，
则①
令即时，
则②
①-②有
即
（3）解：令，则
所以
因为对二项展开有
因为
所以
令有
所以的值为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）令，结合二项式定理即可求出；
（2）令和 令列出两式相减即可解决问题；
（3）令，则代入原式子中，再结合二项式定理分析即可求出.
21．（2023高二下·聊城期中）运动能让大脑分泌更多多巴胺，提高幸福感。而球类运动不仅能够改善身体素质、提升反应能力，更能够提升人际关系，因此颇受人们喜爱。某高校对开设体育选修课进行调查，从该校大学生中随机抽取容量为100的样本，其中选择球类运动的有24人（其中选择羽毛球的有8人，2名男生，6名女生）
（1）若从样本中选一位学生，已知这位学生选择球类运动，那么，他选的是羽毛球的概率是多大
（2）从这8名选择羽毛球的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从该校的大学生中，随机选出20位，求选择羽毛球的人数Y的期望和方差.
【答案】（1）解：设“这位大学生选择球类运动”为事件，则，
“这位大学生选择羽毛球”为事件B，
则“这位大学生选择球类，且选择羽毛球”为事件，则，
故所求的概率为：，
所以已知这位大学生选择球类运动，则他选的是羽毛球的概率是；
（2）解：因为选择羽毛球的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人，
男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
0 1 2
所以，
.
（3）解：由已知可得：则：，
所以选择羽毛球的人数的期望是1.6，方差是1.472.
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）设“这位大学生选择球类运动”为事件，求出，“这位大学生选择羽毛球”为事件B，
则“这位大学生选择球类，且选择羽毛球”为事件，求出，再根据条件概率计算即可.
（2）分层抽样得出男生应选出2人，则男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，求出X的分布列，进而求出X期望与方差即可
（3）由题意可知随机变量Y满足二项分布，利用二项分布均值和方差公式求解即可.
22．（2023高二下·聊城期中）已知函数，.
（1）当时，求函数的零点；
（2）讨论的单调区间.
【答案】（1）令，即.
因为，所以.又，所以
解得，.所以函数有且只有两个零点2，-1.
（2）.令，即，
解得或.
若，则，，单调递减区间为，无增区间.
当，列表得：
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
当时，①若，则，列表得
1
- 0 + 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
②若，则，列表得
1
- 0 + 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
综上，当，单调递减区间为，无增区间，
当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将代入函数中，令分析求解即可；
（2）对函数求导，对分类讨论分析，即可得出函数的单调区间.
1 / 1山东省聊城市2022-2023学年高二下学期期中质量检测数学试题
1．（2023高二下·聊城期中）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．16
2．（2023高二下·聊城期中）曲线在处的切线方程为：（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·聊城期中）4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·聊城期中）已知定义在的函数，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为y个（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023高二下·聊城期中）的展开式中，的系数为（ ）
A．360 B．180 C．90 D．-180
6．（2023高二下·聊城期中）已知随机变量X服从正态分布，，则（ ）
A．0.5 B．0.72 C．0.14 D．0.86
7．（2023高二下·聊城期中）在某个章节学习完成后，进行系统化归纳梳理以及个性化回顾整理，不仅可以帮助我们构建完整的知识框架，也能够及时查漏补缺，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养。某同学在学完“计数原理”这一章之后的纠错本整理过程中发现以下四个课后习题中仍然有一个结论是错误的，则该同学（ ）选项中结论有误，需要进一步落实纠错.
A．能被整除
B．乘积展开后，共有项
C．一含有5个元素的集合，其含有3个元素的子集共有20个
D．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58
8．（2023高二下·聊城期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高二下·聊城期中）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商.
B．有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法
C．从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法
D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法
10．（2023高二下·聊城期中）函数的极值点是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高二下·聊城期中）甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ）
A．事件B与事件C互斥
B．
C．事件A与事件B相互独立
D．记C的对立事件为，则
12．（2023高二下·聊城期中）已知实数且则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023高二下·聊城期中）中国航天史是从1956年二月开始的，当时著名科学家钱学森向中央提出《建立中国国防航空工业的意见》。1956年四月，成立中华人民共和国航空工业委员会，统一领导了中国的航空和火箭事业。航空工业委员会的成立标志着中国的航天事业创业的开始。某次模拟实验中航天飞机发射后的一段时间内，第秒时的高度，（其中的单位为m，的单位为s），则第2s末的瞬时速度为 m/s.
14．（2023高二下·聊城期中）“奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动。一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有 种不同的涂法
15．（2023高二下·聊城期中）某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优化。产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量，且优秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应的值为1、2、3、4，其中优秀产品是良好产品的两倍，合格产品是良好产品的一半，不合格产品与合格产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，则 .
16．（2023高二下·聊城期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为 .
17．（2023高二下·聊城期中）已知的二项展开式中二项式系数之和为256.
（1）求n的值；
（2）求展开式中项的系数.
18．（2023高二下·聊城期中）已知函数，，且.
（1）求的值；
（2）求函数在的最值.
19．（2023高二下·聊城期中）甲、乙、丙三位电竞爱好者参加一项比赛的海选赛测试，三人测试相互独立，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙小.
（1）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（2）求测试结束后通过的人数X的数学期望.
20．（2023高二下·聊城期中）（结果可用指数幂的形式表示）
设.求：
（1）；
（2）求的值；
（3）求的值.
21．（2023高二下·聊城期中）运动能让大脑分泌更多多巴胺，提高幸福感。而球类运动不仅能够改善身体素质、提升反应能力，更能够提升人际关系，因此颇受人们喜爱。某高校对开设体育选修课进行调查，从该校大学生中随机抽取容量为100的样本，其中选择球类运动的有24人（其中选择羽毛球的有8人，2名男生，6名女生）
（1）若从样本中选一位学生，已知这位学生选择球类运动，那么，他选的是羽毛球的概率是多大
（2）从这8名选择羽毛球的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从该校的大学生中，随机选出20位，求选择羽毛球的人数Y的期望和方差.
22．（2023高二下·聊城期中）已知函数，.
（1）当时，求函数的零点；
（2）讨论的单调区间.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意分两步完成任务：
第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；
第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，
根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数： 种，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，依次分析从A到C和从C到B的走法数目，由分步计数原理计算可得答案．
2．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为
所以，所以，
又
所以所求切线方程为 ， 即 .
故答案为：A.
【分析】对函数 求导得，将 代入得到 ， 然后计算 ， 利用点斜式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】从 4 张分别写有 “中” 、“国”、“你”、“好” 四个字的卡片中随机抽取 2 张，
基本事件总数为： ，
取出的2张卡片上的文字恰好是 “中”、“国” 包含的基本事件个数 ，
根据古典概型概率公式得，取出的2张卡片上的文字恰好是 “中”、“国” 的概率为 ： .
故答案为： D
【分析】利用已知条件先求出基本事件总数 ， 在求出取出的 2 张卡片上的文字恰好是 “中”、“国”包含的基本事件个数 ， 利用古典概型概率公式求出即可.
4．【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】极大值点在导函数的零点处，
且满足零点的左侧为正，右侧为负，
所以根据由导函数的图象分析可得函数在上的极大值点共有2个.
故答案为：C.
【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，从而分析得出原函数的单调性，根据极大值的判定方法即可判断出极大值个数.
5．【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】因为的通项公式为 ，
令，
在中此时含的项为，
故含 的项的系数为 ，
故答案为： A.
【分析】把变形为， 然后利用二项展开式的通项公式， 求得含 的项的系数即可.
6．【答案】D
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】因为随机变量X服从正态分布，
根据正态分布曲线的对称性得：，
所以
故答案为：D.
【分析】由随机变量X服从正态分布，根据分布曲线的对称性即可.
7．【答案】C
【知识点】子集与真子集；分步乘法计数原理；简单计数与排列组合；二项式定理的应用
【解析】【解答】对于A，因为
所以
因为 为正整数，
所以 能被 整除，故A正确；
对于 B， 根据分步乘法原理，
第1步在 n个数中任取一个数有 种取法，
第2步在 n个数中任取一个数有 种取法，所以共有 种取法，
展开后， 共有 项， 故 B 正确；
对于 C， 一含有 5 个元素的集合， 其含有 3 个元素的子集共有 个， 故 C错误；
对于 D，由三棱锥结构可知以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为 个， 故 D正确.
故答案为： C.
【分析】将展开后分析能否被 整除即可判断选项A， 利用分步乘法原理分析选项 B， 根据子集概念和空间几何体的结构结合组合排列即可判断CD.
8．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】当 时， 由 ， 可知 ，
所以 在 区间 上的值域为 ，
因为 在 上的值域为 ， 所以 在 上的最小值大于等于 2，
当 时， 由，
则 ，由，
可知 在 上满足 ， 在 上满足 ，
所以 在 上是减函数， 在 上是增函数，
所以最小值为 ，
因此可得 ， 解得 .实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据分段函数分时和两种情况分析，再结合题意求函数的值域以及利用函数导数关系式建立关于参数 的不等式分析解决即可.
9．【答案】B,C
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】对于 ， 从2，11，13，17中任选两个数相除，除数和被除数与顺序有关，是排列问题，故 错误；
对于 ， 在 8 人中抽 5 人， 没有顺序问题， 是组合问题， 故 正确；
对于 ， 从20只选出 6 只， 没有顺序问题， 是组合问题， 故 正确；
对于 ， 从 9 名同学中选出 4 名分别去参加两个不同的节目， 涉及顺序问题， 是排列问题， 故 错误.
故答案为： BC.
【分析】根据组合排列的定义分别判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为函数，化简可得
所以 ，
令 ，即 ， 即 ，
解得 或 或 ，
所以由时，则 或 ，
当时， 或 ， ，
所以函数 在 和 上单调递减，
在 和 上单调递增，
所以 与 为极小值点， 为极大值点，
综上， 函数 的极值点为 或 或 .
故答案为： ABC.
【分析】对函数求导，然后根据函数导数单调性与函数极值点概念分析即可.
11．【答案】C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【解答】对于A，事件B与事件C能同时发生，不是互斥事件，故A错误.
对于 ， 故 错误；
对于C选项，事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，
则 ， 又 ，，
所以 ，
所以事件 与事件 相互独立， 故 正确；
对于D，事件C表示“3次结果中没有正面向上”则，
所以， 故 正确.
故答案为：CD.
【分析】根据互斥事件定义分析即可得出A选项，利用古典概型概率求解即可知选项B，利用即可验证C选项，根据条件概率分析D选项.
12．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；实际问题中导数的意义
【解析】【解答】已知如图所示：
因为，，
所以，
令 ，，
则
所以函数 在 上单调递增，
所以即
所以
①令；
令，
当时，
当时，
即
②令
令
当时，，
.
当 时， ， 即 ，
又 ，
可得 .
综上， 可得 .
故答案为：AD.
【分析】根据题意变形函数，利用函数的导数以及函数单调性，分类讨论分析即可解决问题.
13．【答案】185
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，而，
所以第2 s 末的瞬时速度为m/s.
故答案为： 185 .
【分析】对函数求导将代入计算即可.
14．【答案】180
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】因为有 5 种不同颜色选择，同时相邻两块地图涂不同的颜色，
第一步：由于①②③两两相邻，则①②③涂的颜色不同，
则有 种涂法，
第二步：而④与①③相邻，则④有3种涂色方法，
所以满足题意的情况共有 种不同涂色方法.
故答案为： 180 .
【分析】根据题意分两步进行分析，然后利用分步乘法计数原理计算即可.
15．【答案】0.5
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】由题意优秀产品的数量是良好产品数量的两倍，
所以有，
又因为合格的数量是良好产品数量的一半，
所以，
且不合格产品的数量等于合格产品数量，
所以，
因为所有产品的总数量是固定的， 可以根据以上条件计算各个等级产品的概率：
其中 表示良品的占比，
所以有： ，即 .
所以，
.
因为 就是取到2 ，3 或 4 的概率之和：
所以所求概率为
即，
所以抽取的产品质量大于优秀的概率为 0.5 .
故答案为： 0.5 .
【分析】根据题意及概率和的性质，求出对应ξ的概率，再求出的概率即可.
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 因为，
所以，
如果还是 在上单调递增，
即在上恒成立，
即 在 上恒成立.
令，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上有最小值，
所以， 即 .
所以实数的取值范围为.
故答案为： .
【分析】对函数求导，根据由函数在区间上单调递增，问题转化为在区间上恒成立，构造新函数求出最值即可解决..
17．【答案】（1）解：因为
所以n的值为8.
（2）解：因为，代入得原式
则通项
令则
所以
所以展开式中项的系数为-3584.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项展开式中二项式系数之和，列出方程解出即可.
（2）由（1）结合通项公式求出指定项系数即可.
18．【答案】（1）解：因为的定义域为.
又因为即
解得
所以的值为2.
（2）解：因为，
所以
令则
解得，
又因为
.
列表得：
0 3
\ + 0 - 0 + \
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 10
所以在处取得极大值
在处取得极小值.
又因为，
所以的最大值为10，最小值为.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求导，由解出的值即可
（2）利用函数导数，求出函数的极值和端点值比较即可.
19．【答案】（1）解：设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、，或.
由题意得：，
解得或（舍去）
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是，.
（2）解：的取值分别为0，1，2，3，
则，，
，
所以；
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、，或根据题意建立方程组解出即可.
（2）由题意知的取值分别为0，1，2，3分别求出概率即可得的分布列，然后求出即可.
20．【答案】（1）解：令即
则
即
（2）解：令即时，
则①
令即时，
则②
①-②有
即
（3）解：令，则
所以
因为对二项展开有
因为
所以
令有
所以的值为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）令，结合二项式定理即可求出；
（2）令和 令列出两式相减即可解决问题；
（3）令，则代入原式子中，再结合二项式定理分析即可求出.
21．【答案】（1）解：设“这位大学生选择球类运动”为事件，则，
“这位大学生选择羽毛球”为事件B，
则“这位大学生选择球类，且选择羽毛球”为事件，则，
故所求的概率为：，
所以已知这位大学生选择球类运动，则他选的是羽毛球的概率是；
（2）解：因为选择羽毛球的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人，
男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
0 1 2
所以，
.
（3）解：由已知可得：则：，
所以选择羽毛球的人数的期望是1.6，方差是1.472.
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）设“这位大学生选择球类运动”为事件，求出，“这位大学生选择羽毛球”为事件B，
则“这位大学生选择球类，且选择羽毛球”为事件，求出，再根据条件概率计算即可.
（2）分层抽样得出男生应选出2人，则男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，求出X的分布列，进而求出X期望与方差即可
（3）由题意可知随机变量Y满足二项分布，利用二项分布均值和方差公式求解即可.
22．【答案】（1）令，即.
因为，所以.又，所以
解得，.所以函数有且只有两个零点2，-1.
（2）.令，即，
解得或.
若，则，，单调递减区间为，无增区间.
当，列表得：
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
当时，①若，则，列表得
1
- 0 + 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
②若，则，列表得
1
- 0 + 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
综上，当，单调递减区间为，无增区间，
当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将代入函数中，令分析求解即可；
（2）对函数求导，对分类讨论分析，即可得出函数的单调区间.
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